Posizione, spostamento, velocità e accelerazione

Localizzazione spaziale di un oggetto

Quando in auto leggiamo \(3 km\) a Firenze o \(50km/h\) cosa significano? Come fa il navigatore a calcolare il tempo necessario per giungere a destinazione? Quanto tempo serve per arrivare da \(0\) a \(100km/h\) nota l'accelerazione dell'auto? La cinematica è la branca della fisica che si occupa di rispondere a queste domande. In questo post vedremo i suoi fondamenti.

Indice dei contenuti

• Fondamenti di cinematica
• La cinematica e i modelli di corpo
• La posizione
• La velocità
• L'accelerazione
• Fonte delle immagini

Fondamenti di cinematica [ torna al menu ]

La cinematica e i modelli di corpo [ torna al menu ]

La cinematica si occupa dello studio del moto degli oggetti nello spazio, senza considerare le cause del moto. In fisica gli oggetti si chiamano corpi ed esistono diversi modelli matematici per descriverli, uno più articolato dell'altro in base alle ipotesi assunte. I tre modelli principali sono:

• il punto materiale. In questo modello il corpo non ha dimensioni: è un punto dello spazio. Ovviamente, tutti gli oggetti nella realtà si sviluppano lungo tutte e tre le dimensioni dello spazio, ma il modello è applicabile in tutti i casi in cui le dimensioni dell'oggetto non influiscono sul problema. I gradi di libertà (ovvero, le coordinate necessarie per individuare univocamente una posizione) di un punto materiale non vincolato nello spazio tridimensionale sono tre.
• il corpo rigido. Il corpo in questo caso ha dimensioni non trascurabili. È dotato di una lunghezza, una larghezza e una profondità che influiscono sul problema. Tuttavia, i punti materiali che compongono il corpo hanno distanza fissa l'uno dall'altro. Si può dimostrare che i gradi di libertà di un corpo rigido non vincolato nello spazio tridimensionale sono sei.
• il corpo deformabile. Questo modello si usa se il corpo non ha dimensioni trascurabili e le distanze tra i punti del corpo sono mutevoli. I suoi gradi di libertà dipendono dal problema.

Alle scuole superiori il programma prevede lo studio soltanto del primo modello, mentre il rigido e il corpo deformabile si studiano nei corsi universitari di fisica e ingegneria. In questo post studieremo la cinematica del punto materiale e ci occuperemo degli altri modelli in altri post più specifici.

La posizione e lo spostamento [ torna al menu ]

Hai mai fatto caso che la posizione di un oggetto viene sempre riferita a qualcos'altro? Pensa al cartello: \(3km\) a Firenze. Se ci fosse scritto soltanto \(3km\) non avrebbe molto significato. Insomma, non esiste una posizione assoluta, ma abbiamo bisogno sempre di specificare rispetto a cosa la posizione viene riferita. Il punto che scegliamo come riferimento in fisica si chiama origine. Le posizioni degli oggetti nello spazio verranno sempre riferite all'origine. Scelte, poi, un numero di coordinate pari ai gradi di libertà del corpo, l'insieme origine + coordinate formano il cosiddetto sistema di riferimento. Analizzeremo i più importanti sistemi di riferimento separatamente in un altro post.

Prendiamo, ora, in considerazione un punto materiale \(P\), appartenente allo spazio euclideo \(\mathcal{E}_3\). La posizione del punto verrà individuata tramite un vettore \(\vec{\mathbf{r}}\in \mathbb{R}^3\), chiamato vettore posizione, con punto di applicazione nell'origine \(O \in \mathcal{E}_3\) e punta in \(P\).

Figura 1: posizione \(\vec{r}\) del punto \(P\) in un sistema di riferimento cartesiano \(Oxyz\).

Se il vettore \(\vec{\mathbf{r}}\) non è una funzione del tempo \(t\), allora il punto \(P\) non cambia posizione nel tempo e si dice fisso, altrimenti il punto \(P\) si dice mobile. Quindi, in generale, la posizione \(\vec{\mathbf{r}}\) di \(P\) è un vettore tridimensionale funzione del tempo \(t\).

$$\vec{\mathbf{r}}(t): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3 $$

L'immagine \(\{O + \vec{\mathbf{r}}(t) \in \mathcal{E}_3 \colon t\in \mathbb{R}\} \) della funzione \(\vec{\mathbf{r}}(t)\) si definisce traiettoria. Ovviamente, a parte casi eccezionali, nella quotidianità la funzione \(\vec{\mathbf{r}}(t)\) della posizione è una funzione continua e derivabile. Una discontinuità rappresenterebbe un salto improvviso nello spazio (come un teletrasporto), mentre un punto di non derivabilità rappresenterebbe un cambio improvviso della direzione del moto.

Siano \(t_1\) e \(t_2\) due istanti di tempo tali che \(t_1 \lt t_2\). Si definisce spostamento del punto \(P\) il vettore

$$\Delta \vec{\mathbf{r}} := \vec{\mathbf{r}}(t_2) - \vec{\mathbf{r}}(t_1) $$

\(\vec{\mathbf{r}}(t_2)\) è la posizione del punto \(P\) al tempo \(t_2\), mentre \(\vec{\mathbf{r}}(t_1)\) è la posizione al tempo \(t_1\). 

Figura 2: spostamento \(\Delta \vec{r}\).

In fisica generalmente si indica con un \(\Delta\) (leggi: "delta") la differenza della grandezza fisica rispetto a cui è posto davanti. Invece, in matematica il simbolo \(:=\) significa semplicemente "uguale per definizione".

Attenzione! \(\Delta \vec{\mathbf{r}}\) è lo spostamento vettoriale! La distanza effettivamente percorsa nello spostamento corrisponde al suo modulo \(|\Delta \vec{\mathbf{r}}| \).

Per un punto fisso lo spostamento è nullo per qualsiasi istanti di tempo \(t_1\) e \(t_2\), essendo per definizione di punto fisso la posizione \(\vec{\mathbf{r}}(t)=\vec{\mathbf{r}}\) per ogni \(t\in\mathbb{R}\):

\(\quad \Delta \vec{\mathbf{r}} := \underbrace{\vec{\mathbf{r}}(t_2)}_{=\vec{\mathbf{r}}} - \underbrace{\vec{\mathbf{r}}(t_1)}_{=\vec{\mathbf{r}}} = \vec{\mathbf{r}} - \vec{\mathbf{r}} = \vec{\mathbf{0}}\)

Attenzione! Lo spostamento non dipende dal percorso seguito per raggiungere il punto finale! Infatti, si supponga che il punto \(P\) esegua \(n\) spostamenti. Siano \(t_1,t_2,...,t_n,t_{n+1} \in [t_1,t_{n+1}]\), sia \(\{ \Delta \vec{\mathbf{r}}_i=\vec{\mathbf{r}}(t_{i+1})-\vec{\mathbf{r}}(t_i)\}_{i\in \{1,...,n\}}\) la successione degli spostamenti di \(P\) e sia \(\Delta \vec{\mathbf{r}}_\text{tot}\) lo spostamento totale. Si ha

$$\Delta \vec{\mathbf{r}}_\text{tot}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\Delta \vec{\mathbf{r}}_i}= \sum\limits_{i=1}^{n}{\left(\vec{\mathbf{r}}(t_{i+1})-\vec{\mathbf{r}}(t_i)\right)} = \vec{\mathbf{r}}(t_{n+1})-\vec{\mathbf{r}}(t_1)$$

dove \(\sum\limits_{i=1}^{n}{\left(\vec{\mathbf{r}}(t_{i+1})-\vec{\mathbf{r}}(t_i)\right)}\) è una somma telescopica.

Figura 3: esempio di come lo spostamento totale non dipenda dal percorso seguito.

Passando al continuo, la dimostrazione è ancora più evidente grazie al teorema fondamentale del calcolo integrale. Precisamente, sia \(d\vec{\mathbf{r}}\) lo spostamento infinitesimale. Si ha

$$\Delta \vec{\mathbf{r}}_\text{tot}=\int\limits_{t_1}^{t_{n+1}}{d\vec{\mathbf{r}}}=\vec{\mathbf{r}}(t_{n+1})-\vec{\mathbf{r}}(t_1)$$

La velocità [ torna al menu ]

Ora, cosa significa quel numero \(50km/h\) sul tachimetro della tua auto? In realtà leggendo quel numero ti sei risposto da solo. Una velocità di \(50\) chilometri orari significa che l'auto percorrerà \(50km\) nel giro di un'ora. Torniamo al nostro punto materiale \(P\).

In cinematica la velocità è definita come il rapporto tra la quantità di spazio percorsa in un'intervallo di tempo e la lunghezza dell'intervallo di tempo stesso. E qui arriva il trucco per definirla operativamente: lo spazio percorso dal punto \(P\) in un intervallo di tempo \([t_1,t_2]\) corrisponde al suo spostamento nello stesso intervallo di tempo. Quindi, possiamo definire la velocità vettoriale media come

$$ \overline{\vec{\mathbf{r}}} := \dfrac{\Delta \vec{\mathbf{r}}}{\Delta t} $$

dove \(\Delta \vec{\mathbf{r}} = \vec{\mathbf{r}}(t_2) - \vec{\mathbf{r}}(t_1)\) è lo spostamento tra gli istanti \(t_1\) e \(t_2\) e \(\Delta t = t_2 - t_1\) è la lunghezza dell'intervallo di tempo \([t_1,t_2]\) in cui avviene lo spostamento. Nota bene: la velocità media non dipende strettamente dallo spazio percorso o dal tempo impiegato, ma dipende soltanto dal loro rapporto. Ad esempio, un punto che ha percorso \(100m\) in \(10s\) ha la stessa velocità media di un altro punto che ha percorso \(1000m\) in \(100s\), nonostante gli spostamenti e i tempi impiegati siano diversi. Questo perché:

\(\quad \dfrac{100m}{10s}=\dfrac{1000m}{100s}\)

Come prima, \(\overline{\vec{\mathbf{v}}}\) è un vettore. Per conoscere il modulo della velocità \(\overline{v}\) del punto materiale in direzione e verso dello spostamento devi calcolarne la norma:

\(\quad \overline{v} =  \left|\overline{\vec{\mathbf{v}}}\right|\)

Attenzione! \(\overline{\vec{\mathbf{v}}}\) è una velocità media. Ciò significa che non dipende dall'andamento della velocità nel percorso, ma soltanto dalla velocità assunta all'inizio e alla fine dello spostamento. Allora, se la velocità media di un punto è nulla, significa che il punto complessivamente non si è mosso, ma negli istanti di tempo \(t\) tra \(t_1\) e \(t_2\) non sappiamo cosa sia successo! Potrebbe essere rimasto fermo o potrebbe essersi mosso per poi tornare, infine, nella posizione iniziale. In entrambi i casi lo spostamento è nullo e, quindi, anche la velocità media.

Per conoscere la velocità in ogni istante di tempo \(t\) dovremo far tendere il tempo \(t_2\) a \(t_1\), ottenendo la definizione di derivata:

$$ \vec{\mathbf{v}}(t) = \lim\limits_{t_2 \rightarrow t_1}{\dfrac{\Delta \vec{\mathbf{r}}}{\Delta t}} := \dfrac{d\vec{\mathbf{r}}(t)}{dt} $$

\(\vec{\mathbf{v}}(t)\) si chiama velocità istantanea.

Anche qui, per conoscere la velocità \(\overline{v}(t)\) del punto materiale in direzione e verso dello spostamento in ogni istante di tempo \(t\) devi calcolare la norma della velocità istantanea \(\vec{\mathbf{v}}(t)\):

\(\quad \overline{v}(t)=|\vec{\mathbf{v}}(t)|\)

Per quanto detto precedentemente è possibile che la velocità media sia nulla e la velocità istantanea sia non nulla. Infatti, la velocità istantanea sarà nulla se e solo se è nulla per ogni istante \(t\in\mathbb{R}\), ovvero se e solo se il punto \(P\) è fisso.

Nota la velocità istantanea \(\vec{\mathbf{v}}(t)\) per ogni istante \(t\in\mathbb{R}\) si può risalire alla posizione \(\vec{\mathbf{r}}(t)\) del punto per ogni istante \(t\in\mathbb{R}\)? Sì, a patto di conoscere una sua posizione \(\vec{\mathbf{r}}^*\) in un istante di tempo \(t^* \in [t_1,t_2]\). In tal caso, la posizione \(\vec{\mathbf{r}}(t)\) sarà la soluzione del problema di Cauchy

$$\begin{cases} \dfrac{d\vec{\mathbf{r}}(t)}{dt} = \vec{\mathbf{v}}(t) \\ \vec{\mathbf{r}}(t^*)=\vec{\mathbf{r}}^* \end{cases} $$

Lo spostamento \(\Delta \vec{\mathbf{r}}\) tra due istanti \(t_1\) e \(t_2\) si può calcolare come

$$ \Delta \vec{\mathbf{r}} := \vec{\mathbf{r}}(t_2) - \vec{\mathbf{r}}(t_1) = \int\limits_{t_1}^{t_2}{\dfrac{d\vec{\mathbf{r}}(t)}{dt} dt}= \int\limits_{t_1}^{t_2}{\vec{\mathbf{v}}(t) dt}$$

da cui segue che la relazione tra velocità media \(\overline{\vec{\mathbf{v}}}\) e velocità istantanea \(\vec{\mathbf{v}}(t)\) sia 

$$ \overline{\vec{\mathbf{v}}}:= \dfrac{\Delta \vec{\mathbf{r}}}{\Delta t} = \dfrac{1}{\Delta t} \int\limits_{t_1}^{t_2}{\vec{\mathbf{v}}(t) dt} $$

In realtà, il risultato appena ottenuto non è altro che l'applicazione del teorema del valor medio.

A volte in fisica si indica la derivata di una grandezza rispetto al tempo con un punto sopra il simbolo della grandezza. In tal caso la velocità si trova scritta con la notazione \(\dot{\vec{\mathbf{r}}}\).

L'accelerazione [ torna al menu ]

Rispondiamo, in conclusione, all'ultima domanda: cos'è l'accelerazione?

Sia \(\vec{\mathbf{v}}(t)\) la funzione di velocità del punto nel tempo \(t\). Definiamo l'accelerazione media \(\vec{\mathbf{a}}\) come il rapporto tra la variazione di velocità \(\Delta \vec{\mathbf{v}}\) in un intervallo di tempo \([t_1,t_2]\) e il tempo \(\Delta t=t_2-t_1\) in cui la velocità è variata.

$$ \overline{\vec{\mathbf{a}}} := \dfrac{\Delta \vec{\mathbf{v}}}{\Delta t} $$

Come la velocità media, anche l'accelerazione media dipende solo dalle condizioni finali e iniziali e non ci dà alcuna informazione sull'accelerazione negli istanti \(t\in (t_1,t_2)\). Per studiare l'accelerazione in ogni istante \(t \in \mathbb{R}\) calcoliamo l'accelerazione per \(t_2\) tendente a \(t_1\):

$$ \vec{\mathbf{a}}(t) = \lim\limits_{t_2 \rightarrow t_1}{\dfrac{\Delta \vec{\mathbf{v}}}{\Delta t}} := \dfrac{d\vec{\mathbf{v}}(t)}{dt} $$

ottenendo la cosiddetta accelerazione istantanea.

Per conoscere l'accelerazione media  \(\overline{a}(t)\) del punto materiale in direzione e verso dello spostamento in ogni istante di tempo \(t\) devi calcolare la norma dell'accelerazione istantanea \(\vec{\mathbf{a}}(t)\):

\(\quad \overline{a}(t)=|\vec{\mathbf{a}}(t)|\)

Nota l'accelerazione \(\vec{\mathbf{a}}(t)\) per ogni istante \(t\in\mathbb{R}\) si può conoscere la velocità istantanea \(\vec{\mathbf{v}}(t)\)? Sì, a patto di conoscere la sua velocità \(\vec{\mathbf{v}}^*\) in un istante di tempo \(t^*_1 \in [t_1,t_2]\). In tal caso, la velocità istantanea \(\vec{\mathbf{v}}(t)\) sarà la soluzione del problema di Cauchy

$$\begin{cases} \dfrac{d\vec{\mathbf{v}}(t)}{dt} = \vec{\mathbf{a}}(t) \\ \vec{\mathbf{v}}(t^*_1)=\vec{\mathbf{v}}^* \end{cases} $$

La variazione di velocità \(\Delta \vec{\mathbf{v}}\) tra due istanti \(t_1\) e \(t_2\) si può calcolare come

$$ \Delta \vec{\mathbf{v}} := \vec{\mathbf{v}}(t_2) - \vec{\mathbf{v}}(t_1) = \int\limits_{t_1}^{t_2}{\dfrac{d\vec{\mathbf{v}}(t)}{dt} dt}= \int\limits_{t_1}^{t_2}{\vec{\mathbf{a}}(t) dt}$$

da cui segue che la relazione tra accelerazione media \(\overline{\vec{\mathbf{a}}}\) e velocità istantanea \(\vec{\mathbf{a}}(t)\) sia 

$$ \overline{\vec{\mathbf{a}}}:= \dfrac{\Delta \vec{\mathbf{v}}}{\Delta t} = \dfrac{1}{\Delta t} \int\limits_{t_1}^{t_2}{\vec{\mathbf{a}}(t) dt} $$

Il risultato precedente è anche ottenibile semplicemente dal teorema del valor medio.

Nota che vale la seguente relazione:

$$ \vec{\mathbf{a}}(t) = \dfrac{d\vec{\mathbf{v}}(t)}{dt} = \dfrac{d^2\vec{\mathbf{r}}(t)}{dt^2} $$

Ora, posso ottenere la posizione? Sì, a patto di conoscere la sua posizione \(\vec{\mathbf{r}}^*\) in un istante di tempo \(t^*_2 \in [t_1,t_2]\). In tal caso, la posizione \(\vec{\mathbf{r}}(t)\) sarà la soluzione del problema di Cauchy

$$\begin{cases} \dfrac{d^2\vec{\mathbf{r}}(t)}{dt^2} = \vec{\mathbf{a}}(t) \\ \vec{\mathbf{v}}(t^*_1)=\vec{\mathbf{v}}^* \\ \vec{\mathbf{r}}(t^*_2)=\vec{\mathbf{r}}^* \end{cases} $$

A volte in fisica si indica la derivata seconda di una grandezza rispetto al tempo con due punti sopra il simbolo della grandezza. In tal caso l'accelerazione si trova scritta con la notazione \(\ddot{\vec{\mathbf{r}}}\).

Fonte delle immagini [ torna al menu ]

Figura d'intestazione: Editor di immagini online gratis per graphic design - Pixlr.com.

Figure 1, 2 e 3: creato con Microsoft OneNote.