Il teorema di Poisson e la velocità angolare

Il teorema di Poisson 

Il teorema di Poisson è un importante risultato della geometria analitica che trova molte applicazioni nella meccanica classica. Grazie a questo teorema si introduce formalmente il concetto di velocità angolare, ovvero la rapidità con la quale un sistema di riferimento tridimensionale ruota rispetto a un altro.

Prerequisiti:

• derivata
• prodotto vettoriale
• applicazione lineare
• matrice ortogonale
• operatore antisimmetrico

Sommario

Indice dei contenuti

• Il teorema
• Dimostrazione
• Riferimenti
• Immagini

Il teorema [ torna al menu ]

Teorema di Poisson: per ogni $\overrightarrow{\mathbf{u}}(t)\in {\mathbb{E}}^3$ funzione del tempo $t\in [t_0,t_1]\subseteq \mathbb{R}$ la cui norma euclidea sia costante esiste uno e un solo vettore $\overrightarrow{\omega }(t)\in {\mathbb{E}}^3$ tale che

$${\displaystyle \frac{d\overrightarrow{\mathbf{u}}}{dt}}=\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{\mathbf{u}}$$

Figura 1: rappresentazione grafica del vettore $\overrightarrow{\omega }$.

Attenzione: il vettore $\overrightarrow{\omega }$ non dipende dal vettore $\overrightarrow{\mathbf{u}}$.

Un corollario di questo teorema è che la velocità ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_P$ di ogni punto $P$ di un corpo rigido $\mathcal{R}\subseteq {\mathcal{E}}_3$ (dove ${\mathcal{E}}_3$ è lo spazio affine euclideo tridimensionale) può essere espressa in funzione della velocità ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_O$ di un centro di riduzione $O\in \mathcal{R}$:

${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_P={\overrightarrow{\mathbf{v}}}_O+\overrightarrow{\omega }\times (P-O)$

dove $P-O\in {\mathbb{E}}^3$ è la posizione di $P$ rispetto al polo di riduzione $O$ nella notazione di Grassmann. Infatti, grazie all'ipotesi di rigidità del corpo, il vettore $P-O$ ha norma costante e il teorema di Poisson è applicabile. In tal caso $\overrightarrow{\omega }$ si chiama velocità angolare del rigido.

Dimostrazione [ torna al menu ]

Sia la norma del vettore $\overrightarrow{\mathbf{u}}\in {\mathbb{E}}^3$ costante. Tale ipotesi si esprime con la condizione

${\displaystyle \frac{d\Vert \overrightarrow{\mathbf{u}}\Vert }{dt}}=0$

Se la norma $\Vert \overrightarrow{\mathbf{u}}\Vert$ è costante, anche il suo quadrato lo è. In tal caso, si ha

$0={\displaystyle \frac{d\Vert \overrightarrow{\mathbf{u}}{\Vert }^2}{dt}}={\displaystyle \frac{d(\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}})}{dt}}=2{\displaystyle \frac{d\overrightarrow{\mathbf{u}}}{dt}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}$

da cui seguono due possibilità:

1. $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ è costante nel tempo o nullo;
2. $\frac{d\overrightarrow{\mathbf{u}}}{dt}$ e $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ sono ortogonali.

Nel caso 1. il vettore $\overrightarrow{\omega }$ è il vettore nullo $\overrightarrow{\mathbf{0}}$, che esiste ed è unico; quindi, il teorema è verificato.

Nel caso 2., dato che la norma del vettore $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ è costante, si ha

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \Vert \overrightarrow{\mathbf{u}}(t)\Vert =\Vert \overrightarrow{\mathbf{u}}(t_0)\Vert \mathrm{\forall }t\in [t_0,t_1]\end{array}$$

Definiamo l'applicazione $\mathbf{A}:{\mathbb{E}}^3\to {\mathbb{E}}^3$ come segue:

$\overrightarrow{\mathbf{u}}(t)=\mathbf{A}(\overrightarrow{\mathbf{u}}(t_0))$

L'applicazione $\mathbf{A}$ rispetta il seguente lemma:

Lemma 1: $\mathbf{A}$ è un'applicazione lineare, ovvero:

$$\mathbf{A}(\lambda \overrightarrow{\mathbf{u}}(t_0)+\mu \overrightarrow{\mathbf{v}}(t_0))=\lambda \mathbf{A}(\overrightarrow{\mathbf{u}}(t_0))+\mu \mathbf{A}(\overrightarrow{\mathbf{v}}(t_0))$$

Dimostrazione:

$\mathbf{A}(\lambda \overrightarrow{\mathbf{u}}(t_0)+\mu \overrightarrow{\mathbf{v}}(t_0))=\lambda \overrightarrow{\mathbf{u}}(t)+\mu \overrightarrow{\mathbf{v}}(t)=\lambda \mathbf{A}(\overrightarrow{\mathbf{u}}(t_0))+\mu \mathbf{A}(\overrightarrow{\mathbf{v}}(t_0))$

$◼$

Ricapitolando, $\mathbf{A}$ è un'applicazione 

• lineare, per il Lemma 1;
• ortogonale, per la proprietà $\text{(1)}$;

Dunque, esiste una matrice $A\in {\mathbb{E}}^{3,3}$ tale che

$\mathbf{A}(\overrightarrow{\mathbf{u}}(t_0))=A\overrightarrow{\mathbf{u}}(t_0)$

Ora, introduciamo un secondo lemma, denotando con un pallino la derivata rispetto al tempo:

Lemma 2: la matrice $\dot{A}{A}^T$ è antisimmetrica, ovvero

$$\dot{A}{A}^T=-{\left(\dot{A}{A}^T\right)}^T$$

Dimostrazione: essendo $A$ ortogonale, $A$ è invertibile e la sua trasposta coincide con l'inversa: 

$A{A}^T=I_3$

con $I_3$ la matrice identità dello spazio euclideo tridimensionale ${\mathbb{E}}_3$. Derivando da entrambe le parti rispetto al tempo l'ultima uguaglianza si ottiene l'identità 

$\dot{A}{A}^T+A{\dot{A}}^T=0_3$

con $0_3$ la matrice nulla $3\times 3$. Pertanto:

$\dot{A}{A}^T=-A{\dot{A}}^T=-{\left(\dot{A}{A}^T\right)}^T$

$◼$

Tornando alla dimostrazione del teorema, possiamo concludere che

${\displaystyle \frac{d\overrightarrow{\mathbf{u}}}{dt}}=\dot{A}\overrightarrow{\mathbf{u}}(t_0)=\dot{A}{A}^T\overrightarrow{\mathbf{u}}(t)$

Poiché la matrice $\dot{A}{A}^T$ è antisimmetrica per il Lemma 2, esiste ed è unico [1] il vettore $\overrightarrow{\omega }$ tale che

$\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{\mathbf{u}}(t)=\dot{A}{A}^T\overrightarrow{\mathbf{u}}(t)={\displaystyle \frac{d\overrightarrow{\mathbf{u}}}{dt}}\mathrm{\forall }\overrightarrow{\mathbf{u}}\in {\mathbb{E}}^3$

QED

Riferimenti [ torna al menu ]

[1] Skew-symmetric matrix - Wikipedia

https://it.wikipedia.org/wiki/Relazione_di_Poisson

Immagini [ torna al menu ]

Figura 1: generato con Microsoft Paint.