Lo studio di funzione

Cos'è e a cosa serve lo studio di funzione? 

Lo studio di funzione è un importante strumento dell'analisi matematica per poter comprendere al meglio le caratteristiche di una funzione. Ne discende che chiunque lavori nell'ambito delle scienze esatte deve padroneggiare l'abilità di studiare una funzione. In questo post vedremo come si fa uno studio di funzione, a una o più variabili, portando due esempi. Inoltre, vedremo in qual modo lo studio di una funzione possa essere applicato a un caso reale.

Studio di funzione: come si fa?

Lo studio di una funzione reale a variabili reali deve passare per i seguenti passi in modo ordinato:

1. Dominio e l'immagine: ponendo le condizioni di esistenza della funzione \(f:D \rightarrow C\) si può comprendere quale sia il suo dominio naturale \(D\). Inoltre, non meno importante è studiare quale sia l'immagine \(\text{Im}\), che può darci utili informazioni.
2. Simmetrie: cerchiamo eventuali simmetrie della funzione.
1. Una funzione pari, ovvero una funzione \(f:D \rightarrow C\) con \(D,C \subseteq \mathbb{R}\) tale che$$f(-x)=f(x) \mspace{7mu} \forall x \in D$$è simmetrica rispetto all'asse delle ordinate.
2. Una funzione dispari, ovvero una funzione \(f:D \rightarrow C\) con \(D,C \subseteq \mathbb{R}\) tale che$$f(-x)=-f(x) \mspace{7mu} \forall x \in D$$è simmetrica rispetto all'origine.
3. Intersezioni con gli assi: cerchiamo in quali punti degli assi questi s'intersechino con il grafico della funzione.
1. L'intersezione con l'asse \(x\) si trova risolvendo l'equazione$$f(x)=0$$Le soluzioni dell'equazione forniscono le ascisse \(x_1,x_2,...\) dei punti d'intersezione con l'asse \(x\), che avranno coordinate \((x_1,0),(x_2,0),...\).
2. L'intersezione con l'asse \(y\) si trova calcolando $$f(0)$$Il punto d'intersezione avrà coordinate \((0,f(0))\). Naturalmente, tale punto è unico (a differenza delle intersezioni con l'asse \(x\), che potrebbero essere molteplici) ed esiste se e solo se \(0\) appartiene al dominio.
4. Segno: cerchiamo per quali \(x\) del dominio la funzione sia positiva e per quali sia negativa. Per far ciò, basta risolvere soltanto la disequazione$$f(x) \gt 0$$Infatti, una volta trovato l'insieme \(S\) delle soluzioni della disequazione, l'insieme delle soluzioni di \(f(x) \lt 0\) è dato da \(D \setminus S\).
5. Asintoti: cerchiamo le equazioni degli asintoti (se esistono) della funzione. Gli asintoti orizzontali e obliqui sono rette che per grandi valori di \(x\) approssimano la funzione. Gli asintoti verticali, invece, sono rette di equazione \(x=x_0\) (con \(x_0\) costante) alle quali la funzione tende parallelamente alle ordinate.
6. Derivata prima: attraverso lo studio del segno della derivata prima si può stabilire il comportamento della funzione.
1. \(f\) è crescente per \(f'(x) \gt 0\).
2. \(f\) è decrescente per \(f'(x) \lt 0\).
3. \(f\) ha un punto critico \(x_0\) per \(f'(x_0) = 0\).
7. Derivata seconda \(f''(x)\): attraverso lo studio del segno della derivata seconda si aggiungono informazioni sul comportamento della funzione e sui suoi punti critici, calcolati al punto 6.
1. \(f\) è convessa per \(f''(x) \gt 0\).
2. \(f\) è concava per \(f''(x) \lt 0\).
3. \(f\) ha un punto di flesso \(\tilde{x}\) per \(f''(\tilde{x}) = 0\)
1. a tangente obliqua se \(f'(\tilde{x}) \neq 0\).
2. a tangente orizzontale se \(f'(\tilde{x}) = 0\).
3. a tangente verticale se \(x \rightarrow \tilde{x} \Rightarrow f'(\tilde{x}) \rightarrow \infty\).
4. Dato un punto critico \(x_0\):
1. \(x_0\) è un punto di massimo se \(f''(x_0) \lt 0\).
2. \(x_0\) è un punto di minimo se \(f''(x_0) \gt 0\).

Naturalmente una funzione potrebbe anche non essere né pari né dispari, nel caso in cui non abbia simmetrie. Basta pensare alla funzione \(f(x) = \ln (x)\). Se il dominio non è simmetrico rispetto all'origine, ne consegue immediatamente che sia impossibile che la funzione sia simmetrica rispetto alle ordinate o all'origine. In tal caso, il secondo punto può essere saltato.

Nel caso in cui, invece, la funzione sia simmetrica, è sufficiente, dunque, studiare la funzione soltanto per le \(x\) positive o solo per le \(x\) negative. Generalmente è preferibile lavorare con quantità positive, dunque si sceglie la prima possibilità. Una volta studiata la funzione su metà dominio, basta utilizzare la simmetria per ottenere subito le informazioni sulla funzione nell'altra metà del dominio.

Esempio

Studiamo la funzione

$$ f(x) = x \ln (x^2+1) $$

Iniziamo definendone il dominio. La funzione \(f\) sarà definita solo su un intervallo \(D\), sottoinsieme dei numeri reali \(\mathbb{R}\). Tale intervallo \(D\) è costituito dai soli valori della variabile \(x\) che permettono l'esistenza della funzione \(f\). Affinché il valore di \(f\) sia definito, richiediamo che l'argomento del logaritmo sia strettamente positivo:

\( \quad \text{CE:} \quad x^2+1 \gt 0\)

Tale condizione è soddisfatta per ogni \(x\) reale. Infatti, \(x^2 \geq 0\), dunque \(x^2 +1 \geq 1 \gt 0\). Ne concludiamo che il dominio \(D\) di \(f\) sia tutta la retta reale \(\mathbb{R}\):

\( \quad D = \mathbb{R}\)

Passiamo ora alla ricerca di eventuali simmetrie. Calcoliamo \(f(-x)\):

$$ f(-x) = -x \ln ((-x)^2+1) = - x \ln (x^2+1) = - f(x) $$

La funzione \(f\), dunque, è per definizione dispari e il suo grafico sarà simmetrico rispetto all'origine del piano cartesiano.

Vediamo le intersezioni con gli assi cartesiani.

• Per le intersezioni con l'asse delle ascisse risolviamo l'equazione$$x \ln (x^2+1) = 0$$Per la legge di annullamento del prodotto dev'essere$$x=0 \vee \ln (x^2+1) = 0 $$La seconda equazione ammette le soluzioni$$x^2+1=1$$ovvero$$x=0$$L'unica soluzione, quindi, è \(x=0\) e l'unica intersezione con l'asse \(x\) è \((0;0)\).
• Per le intersezioni con l'asse delle ordinate calcoliamo$$f(0) = 0 \ln (0^2+1) = 0$$L'intersezione con l'asse \(y\) è \((0;0)\). È un caso che coincida con l'intersezione con l'asse \(x\).

Iniziamo a inserire le informazioni finora acquisite sul grafico. Man mano che otterremo nuove informazioni aggiorneremo il grafico. Questa procedura ci permette di trovare subito eventuali errori, poiché questi creano discrepanze con le informazioni precedenti. Inseriamo, così, il punto \((0;0)\) di intersezione con gli assi.

Figura 1: intersezione con gli assi.

Arriviamo al segno. Poniamo \(f(x) \gt 0\) e risolviamo la disequazione.

$$ x \ln (x^2+1) \gt 0 $$

A sinistra del segno di disequazione abbiamo un prodotto di funzioni: \(g(x) = x\) e \(h(x) = \ln (x^2+1)\). Ricordiamo che un prodotto \(ab\) è positivo se e solo se i fattori \(a\) e \(b\) hanno lo stesso segno, quindi studiamo il segno delle funzioni \(g(x)\) e \(h(x)\):

• \(g(x) \gt 0 \Leftrightarrow x \gt 0\);
• \(h(x) \gt 0 \Leftrightarrow \ln (x^2+1) \gt 0 \Leftrightarrow x^2+1 \gt 1 \Leftrightarrow x^2 \gt 0 \Leftrightarrow x \neq 0\)

\(h(x)\) è positiva per ogni \(x\) reale, tranne che per \(x=0\), in cui si annulla. Dunque, è \(g(x)\) che comanda il segno di \(f(x)\) e possiamo scrivere che \(f(x)\) è positiva per le \(x\) in cui \(g(x)\) ed è negativa per le \(x\) in cui \(g(x)\) è negativa:

$$ \begin{cases} f(x) \gt 0 \Leftrightarrow x \gt 0 \\ f(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \\ f(x) \lt 0 \Leftrightarrow x \lt 0 \end{cases} $$

Possiamo rappresentare nel grafico quest'ultima informazione "eliminando" il secondo e il quarto quadrante del piano cartesiano. Infatti, ora, sappiamo che sicuramente il grafico della funzione non ha punti in questi quadranti.

Figura 2: eliminiamo il secondo e il quarto quadrante del piano cartesiano.

Veniamo agli asintoti. Essendo \(\mathbb{R}\) il dominio, non esistono asintoti verticali. Per cercare gli asintoti orizzontali, calcoliamo il limite della funzione per \(x\) tendente a \(+\infty\) e \(-\infty\):

• Limite a \(+\infty\): $$ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x \ln (x^2+1) $$Sia \(x\), sia l'argomento del logaritmo tendono a \(+\infty\), quindi:$$ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty $$
• Limite a \(-\infty\): $$ \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x \ln (x^2+1) $$\(x\) tende a \(-\infty\), ma l'argomento del logaritmo tende a \(+\infty\), poiché \(-\infty\) è posto al quadrato, che lo positivizza. Il prodotto di due infiniti con segno diverso è un infinito negativo:$$ \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = (-\infty)(+\infty) = -\infty $$

Visto che abbiamo ottenuto infinito come risultato, non esistono asintoti orizzontali. Tuttavia, \(f(x)\) potrebbe avere asintoti obliqui. Per calcolare un asintoto obliquo, dobbiamo calcolare il limite di \(f(x)/x\) per \(x\) tendente a \(+\infty\) e \(-\infty\). Se il risultato esiste ed è un numero reale finito, abbiamo trovato il coefficiente angolare \(m\) dell'asintoto obliquo. Successivamente, si calcola il limite di \(f(x)-mx\) per \(x\) tendente a \(+\infty\) e \(-\infty\). Se il risultato esiste ed è un numero reale finito, abbiamo trovato il termine noto \(q\) dell'asintoto obliquo.

• Asintoto a \(+\infty\):
• Limite a \(+\infty\): $$ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \ln (x^2+1) = +\infty $$Non c'è un asinstoto obliquo per \(x\) tendente a \(+\infty\)
• Asintoto a \(-\infty\):
• Limite a \(-\infty\): $$ \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \ln (x^2+1) = +\infty $$Non c'è nemmeno l'asinstoto obliquo per \(x\) tendente a \(-\infty\)

La funzione \(f(x)\) non ammette asintoti di nessun tipo.

Veniamo alla derivata prima: 

$$ \begin{split} f'(x) = \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x} & = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (x \ln (x^2+1)) \\ & = \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x \right) \ln (x^2+1) + x \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln (x^2+1) \right) \\ & = \ln (x^2+1) + \frac{2x^2}{x^2+1} \end{split} $$

Purtroppo gli zeri della derivata prima non possono essere determinati analiticamente. Tuttavia, si noti che per \(x\neq0\) si ha \(x^2+1\gt 1\), quindi anche \(\ln (x^2+1) \gt 0\). Pertanto, la derivata prima è composta dalla somma di due addendi sempre positivi per ogni \(x\neq 0\). Inoltre, è facile verificare che \(f'(0)=0\). In conclusione, la derivata \(f'(x)\) è sempre positiva, tranne che per \(x=0\), per cui è nulla.

$$ f'(x) \gt 0 \quad \forall x \neq 0 \wedge f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0 $$

Ne consegue che \(f(x)\) è crescente per ogni \(x\), tranne che per \(x=0\), in cui presumibilmente vi è un flesso a tangente orizzontale.

$$ \begin{array}{c|c|c|c} x & <0 & =0 & >0 \\ \hline f'(x) & >0 & =0 & >0 \\ \hline f(x) & \nearrow & \rightarrow & \nearrow \end{array}$$

Passiamo, infine, alla derivata seconda:

$$ \begin{split} \frac{\mathrm{d}^2f(x)}{\mathrm{d}x^2} & = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\ln (x^2+1) + \frac{2x^2}{x^2+1} \right) \\ & = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln (x^2+1) + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{2x^2}{x^2+1} \\ & = \frac{2x}{x^2+1} + \frac{4x(x^2+1)-2x^2(2x)}{(x^2+1)^2} \\ & = \frac{2x(x^2+3)}{(x^2+1)^2} \end{split} $$

Basta notare che il termine \(\frac{x^2+3}{(x^2+1)^2} \) è positivo per ogni \(x\) reale, dunque la derivata seconda ha lo stesso segno di \(2x\), confermando il flesso in \(x=0\).

$$ \begin{array}{c|c|c|c} x & <0 & =0 & >0 \\ \hline f''(x) & <0 & =0 & >0 \\ \hline f(x) & \cap & \text{flesso} & \cup \end{array}$$

Siamo pronti per mettere tutte le nostre informazioni insieme e tracciare il grafico della funzione.

Figura 3: grafico completo della funzione \(f(x)\).