Cos'è e a cosa serve lo studio di funzione?
Lo studio di funzione è un importante strumento dell'analisi matematica per poter comprendere al meglio le caratteristiche di una funzione. Ne discende che chiunque lavori nell'ambito delle scienze esatte deve padroneggiare l'abilità di studiare una funzione. In questo post vedremo come si fa uno studio di funzione, a una o più variabili, portando due esempi. Inoltre, vedremo in qual modo lo studio di una funzione possa essere applicato a un caso reale.
Studio di funzione: come si fa?
Lo studio di una funzione reale a variabili reali deve passare per i seguenti passi in modo ordinato:
-
Dominio e
l'immagine: ponendo le condizioni di
esistenza della funzione
si può comprendere quale sia il suo dominio naturale . Inoltre, non meno importante è studiare quale sia l'immagine , che può darci utili informazioni. - Simmetrie: cerchiamo eventuali simmetrie della funzione.
-
Una funzione pari, ovvero una funzione
con tale che è simmetrica rispetto all'asse delle ordinate. -
Una funzione dispari, ovvero una funzione
con tale che è simmetrica rispetto all'origine. - Intersezioni con gli assi: cerchiamo in quali punti degli assi questi s'intersechino con il grafico della funzione.
-
L'intersezione con l'asse
si trova risolvendo l'equazione Le soluzioni dell'equazione forniscono le ascisse dei punti d'intersezione con l'asse , che avranno coordinate . -
L'intersezione con l'asse
si trova calcolando Il punto d'intersezione avrà coordinate . Naturalmente, tale punto è unico (a differenza delle intersezioni con l'asse , che potrebbero essere molteplici) ed esiste se e solo se appartiene al dominio. -
Segno: cerchiamo per quali
del dominio la funzione sia positiva e per quali sia negativa. Per far ciò, basta risolvere soltanto la disequazione Infatti, una volta trovato l'insieme delle soluzioni della disequazione, l'insieme delle soluzioni di è dato da . -
Asintoti: cerchiamo le equazioni degli asintoti (se esistono) della
funzione. Gli asintoti orizzontali e obliqui sono rette che per
grandi valori di
approssimano la funzione. Gli asintoti verticali, invece, sono rette di equazione (con costante) alle quali la funzione tende parallelamente alle ordinate. - Derivata prima: attraverso lo studio del segno della derivata prima si può stabilire il comportamento della funzione.
è crescente per . è decrescente per . ha un punto critico per .-
Derivata seconda
: attraverso lo studio del segno della derivata seconda si aggiungono informazioni sul comportamento della funzione e sui suoi punti critici, calcolati al punto 6. è convessa per . è concava per .-
ha un punto di flesso per - a tangente obliqua se
. - a tangente orizzontale se
. -
a tangente verticale se
. - Dato un punto critico
: è un punto di massimo se . è un punto di minimo se .
Naturalmente una funzione potrebbe anche non essere né pari né dispari, nel
caso in cui non abbia simmetrie. Basta pensare alla funzione
Nel caso in cui, invece, la funzione sia simmetrica, è sufficiente, dunque,
studiare la funzione soltanto per le
Esempio
Studiamo la funzione
Iniziamo definendone il dominio. La funzione
Tale condizione è soddisfatta per ogni
Passiamo ora alla ricerca di eventuali simmetrie. Calcoliamo
La funzione
Vediamo le intersezioni con gli assi cartesiani.
-
Per le intersezioni con l'asse delle ascisse risolviamo l'equazione
Per la legge di annullamento del prodotto dev'essere La seconda equazione ammette le soluzioni ovvero L'unica soluzione, quindi, è e l'unica intersezione con l'asse è . -
Per le intersezioni con l'asse delle ordinate calcoliamo
L'intersezione con l'asse è . È un caso che coincida con l'intersezione con l'asse .
Iniziamo a inserire le informazioni finora acquisite sul grafico. Man mano
che otterremo nuove informazioni aggiorneremo il grafico. Questa procedura
ci permette di trovare subito eventuali errori, poiché questi creano
discrepanze con le informazioni precedenti. Inseriamo, così, il punto
Figura 1: intersezione con gli assi.
Arriviamo al segno. Poniamo
A sinistra del segno di disequazione abbiamo un prodotto di funzioni:
;-
Possiamo rappresentare nel grafico quest'ultima informazione "eliminando" il secondo e il quarto quadrante del piano cartesiano. Infatti, ora, sappiamo che sicuramente il grafico della funzione non ha punti in questi quadranti.
Figura 2: eliminiamo il secondo e il quarto quadrante del piano cartesiano.
Veniamo agli asintoti. Essendo
-
Limite a
: Sia , sia l'argomento del logaritmo tendono a , quindi: -
Limite a
: tende a , ma l'argomento del logaritmo tende a , poiché è posto al quadrato, che lo positivizza. Il prodotto di due infiniti con segno diverso è un infinito negativo:
Visto che abbiamo ottenuto infinito come risultato, non esistono asintoti
orizzontali. Tuttavia,
- Asintoto a
: -
Limite a
: Non c'è un asinstoto obliquo per tendente a - Asintoto a
: -
Limite a
: Non c'è nemmeno l'asinstoto obliquo per tendente a
La funzione
Veniamo alla derivata prima:
Purtroppo gli zeri della derivata prima non possono essere determinati
analiticamente. Tuttavia, si noti che per
Ne consegue che
Passiamo, infine, alla derivata seconda:
Basta notare che il termine
Siamo pronti per mettere tutte le nostre informazioni insieme e tracciare il grafico della funzione.
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