Matesica

Cos'è e a cosa serve lo studio di funzione?  Lo studio di funzione è un importante strumento dell'analisi matematica per poter comprendere al meglio le caratteristiche di una funzione. Ne discende che chiunque lavori nell'ambito delle scienze esatte deve padroneggiare l'abilità di studiare una funzione. In questo post vedremo come si fa uno studio di funzione, a una o più variabili, portando due esempi. Inoltre, vedremo in qual modo lo studio di una funzione possa essere applicato a un caso reale. Studio di funzione: come si fa? Lo studio di una funzione reale a variabili reali deve passare per i seguenti passi in modo ordinato: Dominio e l'immagine : ponendo le condizioni di esistenza della funzione \(f:D \rightarrow C\) si può comprendere quale sia il suo dominio naturale \(D\). Inoltre, non meno importante è studiare quale sia l'immagine \(\text{Im}\), che può darci utili informazioni. Simmetrie : cerchia...

Come si divide una spesa in parti uguali? Marco, Elisa, Saverio e Giovanna hanno comprato cibi e bevande da portare per una festa. Vorrebbero dividersi la spesa totale in modo che ognuno abbia pagato lo stesso prezzo. Sembra l'inizio di un problema di matematica trovato in qualche libro scolastico, ma è un problema da affrontare piuttosto comune e controintuitivamente complesso. In questo post proveremo a sviluppare una teoria matematica che ci permetta di risolvere il problema della divisione della spesa tra un certo numero di persone. Indice dei contenuti La teoria Formulazione del problema In conclusione Esempio Immagini La teoria            [ torna al menu ] Formulazione del problema            [ torna al me...

Qual è la relazione tra due basi dello stesso spazio vettoriale? In un post precedente abbiamo parlato di spazi vettoriali , di basi e di dimensione. Abbiamo visto che un'insieme di vettori che formano una base permettono di individuare ogni vettore dello spazio con una combinazione lineare, ma la base non è unica. La domanda sorge spontanea: che relazione esiste tra una base e l'altra? Come faccio a cambiare la base dello spazio? Vediamolo. Sommario Introduzione al problema Generalizzazione del problema Proprietà della matrice di cambiamento di base Relazione tra le basi Matrice inversa Orientamento della base Permutazione dei vettori alla base Conservazione del volume Note Immagini Introduzione al problema Vediamo di capire l'importanza di questo problema con un esempio pratico. Immagina un piano inclinato su cui si trova una pallina come in Figura 1. Tutti abbiamo la concezione naturale di "alto" e "basso", quindi possiamo decidere di costruire un sis...

La formula di De Moivre Figura 1: ritratto di Abraham de Moivre. La formula di De Moivre , in onore al matematico francese Abraham de Moivre, permette di calcolare agilmente la potenza \(n\)-esima di un numero complesso \(z\). Sebbene sia facilmente derivabile dalla formula di Eulero, storicamente fu scoperta per prima e per questo motivo ne daremo una dimostrazione per induzione.  Sommario La formula Dimostrazione Trovare le radici di \(z\) Formula generale Radici dell'unità La formula Sia \(z = r( \cos \phi + i \sin \phi)\) un numero complesso di modulo \(r\) e anomalia \(\phi\). La potenza \(n\)-esima di \(z\) è $$ z^n = r^n (\cos (n\phi) + i \sin (n \phi)) $$ Nota che se volessimo calcolare la potenza in coordinate cartesiane \((x+iy)^n\) dovremmo usare il teorema binomiale, complicando notevolmente i calcoli. Dimostrazione Dimostriamola per induzione su \(n \in \mathbb{N}\). Per \(n = 0\) la formula è verificata: \( \quad z^0 = r^0(\cos (0\phi) + i \sin (0 \phi) = 1\) Or...

Tutto ciò che devi sapere sui numeri complessi Finora abbiamo introdotto nuovi insiemi numerici man mano che si presentava la necessità di risolvere equazioni non risolubili negli insiemi definiti in precedenza. Siamo arrivati a definire i numeri reali, che comprendono i naturali , gli interi , i razionali e gli irrazionali , ma questi non permettono di risolvere la seguente equazione: \( \quad x^2+1=0\) Infatti, non esiste \(x \in \mathbb{R}\) tale che il suo quadrato sia negativo. Dobbiamo ancora allargare, dunque, i nostri insiemi numerici e definire i cosiddetti numeri complessi, il cui insieme si indica con la lettera \(\mathbb{C}\). Sommario Definizione L'unità immaginaria I numeri complessi in forma cartesiana e il piano di Argand-Gauss Altre forme Le operazioni con i complessi Coniugato Inverso Somma Prodotto Rapporto Proprietà Applicazioni Immagini Definizione L'unità immaginaria Iniziamo la definizione dei numeri complessi introducendo l' unità immaginaria come l...

Cos'è una funzione? Sicuramente avrai sentito parlare di funzioni alle superiori, ma sono un concetto che può sembrare difficile da comprendere per chi è alle prime armi. Cosa significa quella scritta \(f(x)\)? E quei simboli \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)? In questo post cercheremo di rispondere a queste domande! Se ti sei perso il post sui fondamenti d'insiemistica si consiglio di leggerlo. Sommario Definizioni Operazioni Estensione e restrizione Applicazioni Immagini Definizioni Siano \(D\) e \(C\) due insiemi qualsiasi. Una funzione \(f\) (a volte chiamata applicazione ) si definisce come una legge che associa ad ogni elemento \(x\) di \(D\) un elemento \(y\) di \(C\). Quest'associazione si scrive con la notazione $$ f: D \rightarrow C $$ o, equivalentemente, $$ x \longmapsto f(x) $$ Figura 1: esempio di funzione. L'insieme blu si chiama dom...