Dividere la spesa in parti uguali? Come si fa

Come si divide una spesa in parti uguali?

Marco, Elisa, Saverio e Giovanna hanno comprato cibi e bevande da portare per una festa. Vorrebbero dividersi la spesa totale in modo che ognuno abbia pagato lo stesso prezzo. Sembra l'inizio di un problema di matematica trovato in qualche libro scolastico, ma è un problema da affrontare piuttosto comune e controintuitivamente complesso. In questo post proveremo a sviluppare una teoria matematica che ci permetta di risolvere il problema della divisione della spesa tra un certo numero di persone.

Indice dei contenuti

• La teoria
  • Formulazione del problema
  • In conclusione
• Esempio
• Immagini

La teoria           [ torna al menu ]

Formulazione del problema           [ torna al menu ]

Immaginiamo questa situazione: \(n\) persone (con \(n \in \mathbb{N},n \geq 2\)), che chiameremo per semplicità "persona \(1\)", "persona \(2\)", "persona \(3\)", ..., "persona \(n\)", ha ognuno sostenuto una spesa \(x_1, x_2, x_3, ..., x_n\) e vorrebbero dividerla tra di loro in modo che, alla fine delle operazioni, la spesa risultante \(y_1, y_2, y_3, ..., y_n\) di ognuno sia uguale per tutti.

$$ y_1 = y_2 = y_3 = \cdots = y_n = y $$

Cerchiamo di capire quanto vale \(y\). Per la conservazione del denaro, la somma \(s\) dei soldi spesi dev'essere uguale prima e dopo le operazioni, dunque:

$$ s = \sum\limits_{i=1}^n x_i = \sum\limits_{i=1}^n y_i = ny $$

da cui segue

$$ y = \dfrac{s}{n} = \dfrac{\sum\limits_{i=1}^n x_i}{n} $$

dunque, \(y\) è la media aritmetica delle spese sostenute \(x_1,...,x_n\) da ogni persona.

Ogni persona dovrà dare agli altri o ricevere dagli altri una certa quantità di denaro. Chiamiamo \(d_i = y_i - x_i \) la differenza tra la spesa obiettivo \(y_i\) e la spesa sostenuta inizialmente \(x_i\) dalla persona \(i\).

$$ d_i = y_i - x_i $$

• Se \( d_i \gt 0 \), la persona \(i\) ha sostenuto una spesa minore della media e dovrà dare denaro agli altri$$ d_i \gt 0 \Leftrightarrow y_i \gt x_i $$
• Se \( d_i \lt 0 \), la persona \(i\) ha sostenuto una spesa maggiore della media e dovrà ricevere denaro dagli altri$$ d_i \lt 0 \Leftrightarrow y_i \lt x_i $$

\(d_i\) rappresenta la quantità di soldi che la persona \(i\) deve dare agli altri. Nota che la somma delle differenze \(d_1,...,d_n\) dev'essere nulla. Infatti, 

$$ \sum\limits_{i=1}^n d_i = \sum\limits_{i=1}^n \left( y_i - x_i \right) = ny - \sum\limits_{i=1}^n x_i = s - s = 0 $$

Questo risultato è logico: gli spostamenti di denaro non devono generare nuovo denaro nel sistema. Segue che

$$ d_i = - \sum\limits_{\begin{array}{c} j=1 \\ i \neq j \end{array}}^n d_j \tag{1} \label{diff} $$

Per risolvere il nostro problema dobbiamo capire come la persona \(i\) deve distribuire (o ricevere) la propria differenza \(d_i\) di soldi, ovvero in quali quantità deve dare (o ricevere) denaro dalle altre persone. Sia \(q_{i,j}\) la quota di denaro che la persona \(i\) deve dare alla persona \(j\). La somma delle quote che la persona \(i\) dà agli altri dev'essere pari alla differenza totale che deve dare:

$$ d_i = \sum\limits_{j=1}^n q_{i,j} \quad \forall i $$

Si ottiene un sistema lineare

$$ \begin{cases} d_1 = \sum\limits_{j=1}^n q_{1,j} \\ d_2 = \sum\limits_{j=1}^n q_{2,j} \\ \vdots \\ d_n = \sum\limits_{j=1}^n q_{n,j} \end{cases} \tag{2} \label{sistema} $$

Le incognite sembrerebbero essere \(n^2\), ma in realtà ci sono delle semplificazioni. Consideriamo le persone \(i\) e \(j\). La quantità di denaro scambiata tra \(i\) e \(j\) deve conservarsi, quindi

$$ q_{i,j} = - q_{j,i} \quad \forall i,j \tag{3} \label{eq2} $$

In particolare, dalla (\(\ref{eq2}\)) segue che \(q_{i,i} = 0\). Infatti, \(q_{i,i}\) è la quota che la persona \(i\) deve a sé stessa.  Inoltre, per l'equazione (\(\ref{diff}\)), l'ultima equazione del sistema (\(\ref{sistema}\)) è dipendente dalle altre. Applicando queste considerazioni, cambiamo gli indici a tutte le quote \(q_{i,j}\) se \(i \gt j\), cambiandone il segno, e poniamo a \(0\) le quote \(q_{i,i}\) con indici uguali. Il sistema (\(\ref{sistema}\)) diventa

$$ \begin{cases} d_1 = \sum\limits_{j=2}^n q_{1,j} \\ d_2 = - q_{1,2} + \sum\limits_{j=3}^n q_{2,j} \\ d_3 = - q_{1,3} - q_{2,3} + \sum\limits_{j=4}^n q_{3,j} \\ \vdots \\ d_k = - \sum\limits_{i=1}^{k-1} q_{i,k} + \sum\limits_{j=k+1}^n q_{k,j} \\ \vdots \\ d_{n-1} = - \sum\limits_{i=1}^{n-2} q_{i,n-1} + q_{n-1,n}  \end{cases} \tag{4} \label{sistema2} $$

• La prima equazione del sistema (\(\ref{sistema2}\)) ha \(n-1\) incognite.
• La seconda equazione del sistema (\(\ref{sistema2}\)) ha \(n-2\) incognite (\(q_{1,2}\) è già comparsa nell'equazione precedente).
• ...
• La \(k\)-esima equazione del sistema (\(\ref{sistema2}\)) ha \(n-k\) incognite (\(q_{1,k},q_{2,k},...,q_{k-1,k}\) sono già comparse nelle equazioni precedenti).

Quindi, il numero delle incognite è

$$ \sum\limits_{k=1}^{n-1} (n-k) = n(n-1) - \frac{(n-1)^2+n-1}{2} = \frac{n^2-n}{2} $$

Si noti che

• Se \(n=2\), il problema ha una incognita (\(q_{1,2}\)) e una equazione$$ d_1 = q_{1,2} $$quindi il problema ammette una sola soluzione. Tale soluzione, prevede che la persona \(1\) dia alla (o, se \(q_{1,2} \lt 0\), riceva dalla) persona \(2\) la differenza \(d_1 = y_1 - x_1\).$$q_{1,2} = y_1 - x_1 = \dfrac{x_1 + x_2}{2} - x_1 = \dfrac{x_2 - x_1}{2}$$Ad esempio, se Marco ha speso \(15\text{€}\) e Lucrezio ha speso \(21\text{€}\), allora$$x_1 = 15\text{€},x_2=21\text{€},q_{1,2}=3\text{€}$$Se Marco dà \(3\text{€}\) a Lucrezio, Marco avrà speso \(15\text{€}+3\text{€}=18\text{€}\) e Lucrezio \(21\text{€}-3\text{€}=18\text{€}\).
• Se \(n\gt 2\), il problema ha più incognite che equazioni. Precisamente, esistono$$p = \frac{n^2-n}{2}-(n-1) = \frac{(n-1)(n-2)}{2}$$incognite in più rispetto al numero di equazioni. Quindi, lo spazio vettoriale delle soluzioni del sistema (\(\ref{sistema2}\)) ha \(p\) dimensioni.

Consideriamo il caso \(n \gt 2\). Per semplicità, conviene porre le \(p\) incognite sovrabbondanti (considerabili come scambi superflui) pari a \(0\). In questo modo si minimizzano gli scambi di denaro, dal momento che \(p\) scambi non avverranno e il numero di incognite non poste a \(0\) è

$$ \underbrace{\frac{n^2-n}{2}}_{\begin{array}{c} \text{numero di incognite} \\ \text{del sistema (} \ref{sistema2} \text{)} \end{array}} - \underbrace{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}_{\begin{array}{c} \text{numero di incognite} \\ \text{poste a } 0 \end{array}} = n - 1 $$

In particolare, poniamo nulli tutti gli scambi tranne gli scambi \(q_{i,j}\) che non hanno \(1\) al pedice:

$$ \left( i \neq 1 \wedge j \neq 1 \right) \Rightarrow q_{i,j} = 0 $$

Così facendo, le uniche \(n-1\) incognite rimaste sono \(q_{1,2},q_{1,3},q_{1,4},...,q_{1,n}\) e il sistema \(\ref{sistema2}\) diventa 

$$ \begin{cases} d_1 = \sum\limits_{j=2}^n q_{1,j} \\ d_2 = - q_{1,2} \\ d_3 = - q_{1,3} \\ \vdots \\ d_k = - q_{1,k}  \\ \vdots \\ d_{n-1} = - q_{1,n-1} \end{cases} \tag{5} \label{sistema3} $$

Sostituendo tutte le incognite nella prima equazione, questa diventa

$$ d_1 = - \sum\limits_{j=2}^{n-1} d_j + q_{1,n} $$

ovvero

$$ q_{1,n} = \underbrace{\sum\limits_{j=1}^{n-1} d_j = - d_n }_{\text{vedi equazione (}\ref{diff}\text{)}} $$

Dunque, invertendo i pedici delle incognite, la soluzione del (\(\ref{sistema3}\)) è

$$ q_{k,1} = d_k \quad \forall k $$

In conclusione           [ torna al menu ]

Esistono infiniti possibili scambi di denaro tra le persone per appianare la spesa. Basta risolvere il sistema di equazioni (\ref{sistema2}). Una delle soluzioni che minimizzano gli scambi tra le persone è la seguente: 

• Ogni persona \(k\) dovrà calcolare la differenza \(d_k\) tra la spesa media e la propria spesa \(x_k\)$$ d_k = \dfrac{\sum\limits_{i=1}^n x_i}{n} - x_k $$
• Calcolato \(d_k\),
• se \(d_k \geq 0\), la persona \(k\) dovrà dare alla persona \(1\) una quantità \(d_k\) di denaro.
• Se \(d_k \leq 0\), la persona \(k\) dovrà ricevere dalla persona \(1\) una quantità \(d_k\) di denaro.

Esempio           [ torna al menu ]

Chiariamo la teoria con un esempio. Supponiamo che Marco, Elisa, Saverio e Giovanna abbiano speso rispettivamente \(x_1 = 13\text{€}, x_2 = 21\text{€}, x_3 = 10\text{€}, x_4 = 15\text{€}\). La spesa media è

$$ y = \dfrac{13\text{€}+ 21\text{€}+ 10\text{€}+ 15\text{€}}{4} = 14,75\text{€} $$

Calcoliamo le differenze (bastano solo le differenze di Marco, Elisa e Saverio):

• \(d_1 = y - x_1 = 14,75\text{€} - 13\text{€} = 1,75\text{€} \)
• \(d_2 = y - x_2 = 14,75\text{€} - 21\text{€} = -6,25\text{€} \)
• \(d_3 = y - x_3 = 14,75\text{€} - 10\text{€} = 4,75\text{€} \)

Il sistema (\(\ref{sistema}\)) da risolvere in questo caso diventa

$$ \begin{cases} 1,75\text{€} = q_{1,1} + q_{1,2} + q_{1,3} + q_{1,4} \\ -6,25\text{€} = q_{2,1} + q_{2,2} + q_{2,3} + q_{2,4} \\ 4,75\text{€} = q_{3,1} + q_{3,2} + q_{3,3} + q_{3,4} \end{cases} $$

Considerando che

• \(q_{1,1}\) sono i soldi che Marco deve a sè stesso;
• \(q_{2,2}\) sono i soldi che Elisa deve a sè stessa;
• \(q_{3,3}\) sono i soldi che Saverio deve a sè stesso;

e che

• \(q_{1,2}\) sono i soldi che Marco deve dare a Elisa, mentre \(q_{2,1}\) sono i soldi che Elisa deve dare a Marco, quindi \(q_{2,1} = -q_{1,2} \);
• \(q_{1,3}\) sono i soldi che Marco deve dare a Saverio, mentre \(q_{2,1}\) sono i soldi che Saverio deve dare a Marco, quindi \(q_{3,1} = -q_{1,3} \);
• etc.

Quindi il sistema diventa

$$ \begin{cases} 1,75\text{€} = q_{1,2} + q_{1,3} + q_{1,4} \\ -6,25\text{€} = - q_{1,2} + q_{2,3} + q_{2,4} \\ 4,75\text{€} = - q_{1,3} - q_{2,3} + q_{3,4} \end{cases} $$

Nota che ci sono \(4\) incognite più rispetto al numero di equazioni, quindi esistono \(\infty^4\) modi di risolvere il problema. Nel seguito presentiamo una possibile soluzione.

Soluzione senza limitazioni al problema

Supponiamo che ogni persona possa scambiare con Marco una qualsiasi quantità di denaro. Questa situazione è molto rara nella realtà, ma cominciamo a vedere il problema in questo caso.

Ponendo, tutte le \(q_{i,j}\) che non hanno \(1\) al pedice nulle, diventa

$$ \begin{cases} 1,75\text{€} = q_{1,2} + q_{1,3} + q_{1,4} \\ -6,25\text{€} = - q_{1,2} \\ 4,75\text{€} = - q_{1,3} \end{cases} $$

con soluzione

$$ \begin{cases}  q_{1,2} = 6,25\text{€} \\ q_{1,3} = -4,75\text{€} \\ q_{1,4} = 0,25\text{€} \end{cases} $$

ovvero:

• Marco dà a Elisa \(6.25\text{€}\);
• Marco riceve da Saverio \(4.75\text{€}\)
• Marco dà a Giovanna \(0.25\text{€}\)

Le spese finali delle persone saranno le seguenti:

• Spesa di Marco: \(x_1 + q_{1,2} + q_{1,3} + q_{1,4} = 14,75\text{€}\);
• Spesa di Elisa: \(x_2 - q_{1,2} = 14,75\text{€}\);
• Spesa di Saverio: \(x_3 - q_{1,3} = 14,75\text{€}\);
• Spesa di Giovanna: \(x_4 - q_{1,4} = 14,75\text{€}\).

In questa soluzione Marco viene interessato da ogni scambio, ma ricordo che non è l'unica soluzione possibile. Ne esistono infinite. Basta scegliere all'inizio tre scambi nel modo che risulta più comodo.

Immagini           [ torna al menu ]

Figura d'intestazione: di Kampus Production, Gioiosi Amici Diversi Che Tostano Con Bottiglie Di Birra Sul Tetto · Immagine gratuita (pexels.com)