Matesica

Tutto ciò che devi sapere sulle potenze e sui radicali A un lettore inesperto potrebbero sembrare strane queste operazioni. Cos'è la potenza di un numero? Esistono le radici  di un numero? Ebbene sì e le loro definizioni non sono così complicate come può sembrare 😉 La definizione di radice e di potenza possono essere facilmente trovate su Wikipedia o su un qualunque libro di matematica del liceo, ma qui tratteremo l'argomento in modo diverso. Inizieremo a trattare le potenze e le radici a esponente/indice naturale, per poi passare a quello intero e così via fino ai complessi. In tal modo riusciremo a ricostruire con criterio e in modo completo la teoria delle potenze. Se ti sei perso i post sugli insiemi numerici, ti consiglio di darci una letta prima di intraprendere questo argomento. Sommario Potenze e radici a esponente/indice naturale Potenza \(n\)-esima, con \(n \in \mathbb{N}\) Proprietà delle potenze Proprietà 1. Proprietà 2. Proprietà 3. Proprietà 4. Proprietà 5. Radi...

La formula di De Moivre Figura 1: ritratto di Abraham de Moivre. La formula di De Moivre , in onore al matematico francese Abraham de Moivre, permette di calcolare agilmente la potenza \(n\)-esima di un numero complesso \(z\). Sebbene sia facilmente derivabile dalla formula di Eulero, storicamente fu scoperta per prima e per questo motivo ne daremo una dimostrazione per induzione.  Sommario La formula Dimostrazione Trovare le radici di \(z\) Formula generale Radici dell'unità La formula Sia \(z = r( \cos \phi + i \sin \phi)\) un numero complesso di modulo \(r\) e anomalia \(\phi\). La potenza \(n\)-esima di \(z\) è $$ z^n = r^n (\cos (n\phi) + i \sin (n \phi)) $$ Nota che se volessimo calcolare la potenza in coordinate cartesiane \((x+iy)^n\) dovremmo usare il teorema binomiale, complicando notevolmente i calcoli. Dimostrazione Dimostriamola per induzione su \(n \in \mathbb{N}\). Per \(n = 0\) la formula è verificata: \( \quad z^0 = r^0(\cos (0\phi) + i \sin (0 \phi) = 1\) Or...