Elevamento a potenza ed estrazione di radice

Tutto ciò che devi sapere sulle potenze e sui radicali

A un lettore inesperto potrebbero sembrare strane queste operazioni. Cos'è la potenza di un numero? Esistono le radici di un numero? Ebbene sì e le loro definizioni non sono così complicate come può sembrare 😉

La definizione di radice e di potenza possono essere facilmente trovate su Wikipedia o su un qualunque libro di matematica del liceo, ma qui tratteremo l'argomento in modo diverso. Inizieremo a trattare le potenze e le radici a esponente/indice naturale, per poi passare a quello intero e così via fino ai complessi. In tal modo riusciremo a ricostruire con criterio e in modo completo la teoria delle potenze.

Se ti sei perso i post sugli insiemi numerici, ti consiglio di darci una letta prima di intraprendere questo argomento.

Sommario

• Potenze e radici a esponente/indice naturale
• Potenza $n$-esima, con $n\in \mathbb{N}$
• Proprietà delle potenze
• Proprietà 1.
• Proprietà 2.
• Proprietà 3.
• Proprietà 4.
• Proprietà 5.
• Radice $n$-esima
• Potenze a esponente intero
• Potenze e radici a esponente/indice razionale
• Potenza $n$-esima, con $n\in \mathbb{Q}$
• Proprietà delle radici
  
• Proprietà 1.
• Proprietà 2.
• Proprietà 3.
• Proprietà 4.
• Proprietà 5.
• Radice $n$-esima, con $n\in \mathbb{Z}$
• Potenze e radici a esponente/indice reale
• Definizione
• Esempi
• Indeterminatezza di $\sqrt[0]{a}$
• Potenze a esponente complesso
• Riferimenti
• Immagini

Potenze e radici a esponente/indice naturale

Definire queste operazioni nei naturali è molto semplice e permette di capire intuitivamente cosa siano. Iniziamo dalla potenza.

Potenza $n$-esima, con $n\in \mathbb{N}$

Siano $n$ un naturale non nullo e $a$ un reale. Ricordando come abbiamo definito le operazioni tra naturali nel post dedicato, la potenza $n$-esima di $a$ è definita come la moltiplicazione di $a$ per sé stesso in cui $a$ compare per $n$ volte:

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \mathrm{\forall }a\in \mathbb{R}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\setminus \{0\}{a}^n=\prod _{i=1}^{n}a=\underset{a\text{ compare }n\text{ volte}}{\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a\cdot a}}\end{array}$$

$a$ si chiama base e $n$ esponente. Si noti che se $n$ è pari, allora $a^n$ è sempre positivo. Questo perché i segni si cancellano a due a due nelle moltiplicazioni.

Vediamo alcuni esempi:

• $2^2=2\cdot 2=4$ (leggi: "due al quadrato" o "due alla seconda")
• $3^5=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=243$ (leggi: "tre alla quinta")
• ${32}^3=32\cdot 32\cdot 32=32768$ (leggi: "trentadue al cubo" o "trentadue alla terza")
• $(-5{)}^2=-5\cdot (-5)=25$ (leggi: "meno cinque al quadrato" o "meno cinque alla seconda")
• $0^3=0\cdot 0\cdot 0=0$ (leggi: "zero al cubo" o "zero alla terza")

Ovviamente, $0^n=0$ per ogni $n$ naturale non nullo.

Come puoi notare, fissato un $a\in \mathbb{R}$, la successione delle potenze $n$-esime $\{a^n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ cresce piuttosto rapidamente. Questo perché il numero che si moltiplica per $a$ non è lo stesso, ma cresce man mano che le moltiplicazioni vengono eseguite. Proviamo a rappresentare qui sotto in Figura 1 su un grafico la successione delle potenze $n$-esime di $2$.

Figura 1: potenze $n$-esime di $2$. 

E per quanto riguarda lo $0$? Ovviamente non ha senso calcolarlo con la definizione $\text{(1)}$, in quanto non si può definire il prodotto di $a\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ per sé stesso per zero volte. Quindi, per ora poniamo Questo andamento della successione, che sembra inarcarsi, si chiama crescita esponenziale.

$\mathrm{\forall }a\in \mathbb{N}\setminus \{0\}{a}^0=1$

e proveremo a spiegarlo quando potremo definire potenze con esponente minore di $1$.

Bisogna escludere $a=0$ perché la potenza $0^0$ è indeterminata.

Proprietà delle potenze

Ora che abbiamo definito una potenza, descriviamone alcune importanti proprietà. Siano $a,b\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ e sia $n,m\in \mathbb{N}$.

1. $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$
2. ${\displaystyle \frac{a^n}{a^m}}=a^{n-m}$
3. ${\left(a^n\right)}^m=a^{n\cdot m}$
4. $a^n\cdot b^n=(a\cdot b{)}^n$
5. ${\displaystyle \frac{a^n}{b^n}}={\left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)}^n$

Dimostriamo le proprietà.

Proprietà 1.

$a^n\cdot a^m=\prod _{i=1}^{n}a\cdot \prod _{i=1}^{m}a=\prod _{i=1}^{n+m}a=a^{n+m}$

Intuitivamente, si ha 

$a^n\cdot a^m=\underset{n\text{ volte}}{\underbrace{a\cdot ...\cdot a}}\cdot \underset{m\text{ volte}}{\underbrace{a\cdot ...\cdot a}}=\underset{n+m\text{ volte}}{\underbrace{a\cdot ...\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a}}=a^{n+m}$

Proprietà 2.

Si supponga $n\ge m$. Utilizzando la proprietà 1. possiamo scrivere

${\displaystyle \frac{a^n}{a^m}}={\displaystyle \frac{\cancel{a^m}\cdot a^{n-m}}{\cancel{a^m}}}=a^{n-m}$

Se $n<m$, bisogna introdurre le potenze a esponente intero.

Proprietà 3.

Utilizzando la proprietà 1.:

${\left(a^n\right)}^m=\prod _{i=1}^m{a}^n=a^{\sum _{i=1}^{m}n}=a^{n\cdot m}$

Vediamo intuitivamente cosa succede:

${\left(a^n\right)}^m=\underset{m\text{ volte}}{\underbrace{a^n\cdot ...\cdot a^n}}=a^{\stackrel{m\text{ volte}}{\overbrace{n+...+n}}}=a^{n\cdot m}$

Proprietà 4.

$a^n\cdot b^n=\prod _{i=1}^{n}a\cdot \prod _{i=1}^{n}b=\prod _{i=1}^n(a\cdot b)=(a\cdot b{)}^n$

Proprietà 5.

${\displaystyle \frac{a^n}{b^n}}={\displaystyle \frac{\prod _{i=1}^{n}a}{\prod _{i=1}^{n}b}}=\prod _{i=1}^n\left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)={\left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)}^n$

Radice $n$-esima

Siano $n$ un naturale non nullo e $a$ un reale. L'estrazione di radice è l'operazione inversa dell'elevamento a potenza. La radice $n$-esima di $a$ è definita come il numero $r$ tale che $r^n=a$:

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \mathrm{\forall }a\in \mathbb{R}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\setminus \{0\}\sqrt[n]{a}=r:r^n=a\end{array}$$

$a$ si chiama radicando e $n$ indice. Quando l'indice è $2$, si omette. Si noti che la radice a indice $n$ pari è sempre positiva.

Attenzione! Se $n$ è pari, la radice $n$-esima di $a$ negativo non esiste in $\mathbb{R}$, a differenza della potenza. Infatti, non esiste un numero $r\in \mathbb{R}$ tale che $r^n$ con $n$ pari dia un numero negativo. Per questo motivo abbiamo introdotto i numeri complessi.

Vediamo alcuni esempi:

• $\sqrt{4}=2$ (leggi: "radice quadrata di quattro" o "radice seconda di quattro"). Infatti, $2^2=4$.
• $\sqrt[3]{64}=4$ (leggi: "radice cubica di sessantaquattro" o "radice terza di sessantaquattro"). Infatti, $4^3=64$.
• $\sqrt[1]{7}=7$ (leggi: "radice prima di sette"). Infatti, $7^1=7$.
• $\sqrt[5]{0}=0$ (leggi: "radice quinta di cinque"). Infatti, $0^5=0$.
• $\nexists \sqrt[4]{-\pi }\in \mathbb{R}$ (leggi: "non esiste la radice quadrata di meno pi greco nell'insieme dei reali").

Ovviamente, $\sqrt[n]{0}=0$ per ogni $n$ naturale non nullo.

Vediamo l'andamento della successione di radici $\{\sqrt[n]{2}{\}}_{n\in \mathbb{N}}$.

Figura 2: grafico della successione $\{\sqrt[n]{2}{\}}_{n\in \mathbb{N}}$.

Nota dal grafico che solo $\sqrt[1]{2}$ è un naturale e che la successione converge a $1$.

Esercizio 1: sei in grado di dimostrare che $\sqrt[n]{2}\to 1$ per $n\to \mathrm{\infty }$? 😌

Prima di vedere le proprietà delle radici, vediamo le potenze e le radici a esponente razionale.

Riguardo allo $0$? La radice zeresima è indeterminata, ma lo dimostreremo più avanti.

Potenze a esponente intero

Siano $n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ e $a\in \mathbb{R}$. Se $n>0$, allora $a^n$ ricade nel caso di potenza a esponente naturale. E se l'esponente è negativo? Se $n<0$ non possiamo usare la definizione $\text{(1)}$. Ad esempio, non avrebbe senso moltiplicare $a$ per sé stesso per $-2$ volte. Dobbiamo trovare un altro modo di definire la potenza a esponente relativo.

Per la proprietà 1. delle potenze si ha

$a^n\cdot a^{-n}=a^{n+(-n)}=a^0=1$

Eureka! Dall'equazione precedente ne consegue che $a^{-n}$ è l'elemento inverso di $a^n$, quindi si pone

$$\mathrm{\forall }a\in \mathbb{R}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}{a}^{-n}={\displaystyle \frac{1}{a^n}}$$

Nota che le proprietà delle potenze restano valide anche per $n<0$ secondo questa definizione.

Ora che abbiamo definito le potenze negative, vediamo il grafico di $2^n$ per esponenti $n$ negativi:

Figura 3: potenze $n$-esime di $2$ per valori di $n$ negativi. 

Nota dal grafico che nessuna potenza a esponente negativo di $2$ è un naturale e che la successione converge a $0$ per $n$ sempre minore.

Esercizio 2: sei in grado di dimostrare che $2^n\to 0$ per $n\to -\mathrm{\infty }$?

Potenze e radici a esponente/indice razionale

Potenza $n$-esima, con $n\in \mathbb{Q}$

Per definizione di radice $n$-esima di $a$ si ha

$(\sqrt[n]{a}{)}^n=a$

Guardando alla proprietà 3., potremmo pensare di usare i numeri razionali e scrivere la radice come una potenza:

$$\mathrm{\forall }a\in \mathbb{R}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$

dove $1/n\in \mathbb{Q}$. Infatti, si avrebbe ${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n={\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^n=a^{\frac{n}{n}}=a^1=a$.

In generale, quindi, grazie alla proprietà 3. possiamo calcolare la potenza a esponente razionale per $n\ne 0$:

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}={\sqrt[n]{a}}^m$

Proprietà delle radici

Scrivendo le radici come potenze, possiamo utilizzare le proprietà potenze per dedurre le proprietà delle radici:

1. $\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[m]{a}=\sqrt[n\cdot m]{a^{n+m}}$
2. ${\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{a}}}=\sqrt[n\cdot m]{a^{n-m}}$
3. ${\sqrt[n]{a}}^m=\sqrt[n]{a^m}$
4. $\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}$
5. ${\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}=\sqrt[n]{{\displaystyle \frac{a}{b}}}$

Dimostriamo le proprietà (la 3. è immediatamente dimostrata per  definizione di potenza a esponente razionale).

Proprietà 1.

$\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[m]{a}=a^{\frac{1}{n}}\cdot a^{\frac{1}{m}}=a^{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}=a^{\frac{n+m}{n\cdot m}}=\sqrt[n\cdot m]{a^{n+m}}$

Proprietà 2.

Sia $n\ge m$:

${\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{a}}}={\displaystyle \frac{a^{\frac{1}{n}}}{a^{\frac{1}{m}}}}=a^{\frac{1}{n}-\frac{1}{m}}=a^{\frac{n-m}{n\cdot m}}=\sqrt[n\cdot m]{a^{n-m}}$

Se $n<m$, bisogna introdurre le potenze a esponente intero.

Proprietà 4.

$\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=a^{\frac{1}{n}}\cdot b^{\frac{1}{n}}=(a\cdot b{)}^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a\cdot b}$

Proprietà 5.

${\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}={\displaystyle \frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}}}={\left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)}^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{{\displaystyle \frac{a}{b}}}$

Radice $n$-esima, con $n\in \mathbb{Z}$

Grazie a quanto detto in precedenza, non è difficile comprendere il significato di una radice a indice intero negativo:

$$\mathrm{\forall }a\in \mathbb{R}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}\sqrt[-n]{a}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt[n]{a}}}$$

Infatti:

$\sqrt[-n]{a}=a^{-\frac{1}{n}}={\displaystyle \frac{1}{a^{\frac{1}{n}}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt[n]{a}}}$

Potenze e radici a esponente/indice reale

Definizione

Siamo quasi giunti alla fine di questo tour sulle potenze. Abbiamo visto che le potenze possono avere esponente naturale, poi abbiamo definito le potenze a esponente intero e razionale. Definiamo ora una potenza a esponente reale. 

Innanzitutto, bisogna dire che la potenza a esponente $x$ reale è definita solo per basi $a$ positive. Cominciamo definendo la potenza di reali $a^x$ tali che $a>1$ e $x>0$. Scriviamo $x$ nella sua rappresentazione decimale $c_0,c_1{c}_2{c}_3...$. La successione $\{{\gamma }_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ delle approssimazioni ${\gamma }_n=c_0,c_1...c_n$ di $x$ per troncamento all'$n$-esima cifra decimale, converge a $x$. $\{{\gamma }_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ è una successione di numeri razionali, pertanto la successione di potenze  $\{a^{{\gamma }_n}{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ è definita (abbiamo definito precedentemente la potenza a esponente razionale) e converge a $a^x$ [1]. 

$$\mathrm{\forall }a\in (1,+\mathrm{\infty })\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{+}}{a}^x=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}^{{\gamma }_n}=\underset{n\in \mathbb{N}}{sup}\{a^{{\gamma }_n}\}$$

Se $x<0$, basta porre $a^x=1/a^{-x}$ e calcolare $a^{-x}$ come prima, dato che $-x>0$. Attenzione: $\{1/a^{-{\gamma }_n}{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ è una successione decrescente.

$$\mathrm{\forall }a\in (1,+\mathrm{\infty })\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{-}}{a}^x=\underset{n\in \mathbb{N}}{inf}\left\{{\displaystyle \frac{1}{a^{-{\gamma }_n}}}\right\}$$

Se $0<a<1$, si scrive $a^x={\left(a^{-1}\right)}^{-x}$, ricadendo in uno dei due casi precedenti.

La radice a indice reale ricade nel caso di potenza a esponente reale, ponendo $\sqrt[x]{a}=a^{\frac{1}{x}}$.

Se $a=1$, si pone $1^x=1$ per ogni $x\in \mathbb{R}$. Se $a=0$, si pone $0^x=0$ per ogni $x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$. $0^0$ resta indeterminato.

Esempi

Per comprendere meglio il concetto, vediamo due esempi.

Calcoliamo $2^{\pi }$. Definiamo la successione $\{{\gamma }_n\}$:

• ${\gamma }_0=3$
• ${\gamma }_1=3,1$
• ${\gamma }_2=3,14$
• ${\gamma }_3=3,141$
• ${\gamma }_4=3,1415$
• ${\gamma }_5=3,14159$
• ${\gamma }_6=3,141592$
• ${\gamma }_7=3,1415926$
• $...$

Ora definiamo la successione di potenze a esponente razionale:

• $2^{{\gamma }_0}=2^3$
• $2^{{\gamma }_1}=2^{3,1}$
• $2^{{\gamma }_2}=2^{3,14}$
• $2^{{\gamma }_3}=2^{3,141}$
• $2^{{\gamma }_4}=2^{3,1415}$
• $2^{{\gamma }_5}=2^{3,14159}$
• $2^{{\gamma }_6}=2^{3,141592}$
• $2^{{\gamma }_7}=2^{3,1415926}$
• $...$

La successione $\{2^{{\gamma }_n}\}$ converge al valore di $2^{\pi }$. Nel grafico della successione questo fatto si vede bene:

Figura 4: successione $\{2^{{\gamma }_n}\}$ per il calcolo di $2^{\pi }$.

Si noti come la successione $\{2^{{\gamma }_n}\}$ delle potenze approssimate converga rapidamente al valore della potenza $2^{\pi }$.

Indeterminatezza di $\sqrt[0]{a}$

Ora che abbiamo definito le radici per esponenti negativi e minori di $1$ possiamo dimostrare che $\sqrt[0]{a}$ è indeterminato. 

Sia $a>1$. Calcoliamo i limiti per $x$ tendente a $0$ da sinistra e da destra. Per ogni $\epsilon >1$:

$\sqrt[x]{a}>\epsilon \iff 0<x<{\displaystyle \frac{1}{{\log }_a\epsilon }}$

Infatti, essendo $\epsilon$ e $a$ maggiori di $1$, si ha ${\log }_a\epsilon >0$. Quindi, ponendo $\delta =1/{\log }_a\epsilon$, si ha 

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0:0<x<\delta \Rightarrow \sqrt[x]{a}>\epsilon$

ovvero:

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\sqrt[x]{a}=+\mathrm{\infty }$$

Tuttavia, è vero anche che per ogni $0<\epsilon <1$:

$\left|\sqrt[x]{a}\right|=\sqrt[x]{a}<\epsilon \iff {\displaystyle \frac{1}{{\log }_a\epsilon }}<x<0$

Infatti, essendo $0<\epsilon <1$ e $a>1$, si ha ${\log }_a\epsilon <0$. Quindi, ponendo $\delta =1/{\log }_a\epsilon$, si ha 

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0:\delta <x<0\Rightarrow \left|\sqrt[x]{a}\right|<\epsilon$

ovvero:

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\sqrt[x]{a}=0$$

I limiti destro e sinistro per $x$ tendente a $0$ sono diversi, pertanto il limite per $x$ tendente a $0$ di $\sqrt[x]{a}$ non esiste.

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\sqrt[x]{a}\ne \underset{x\to 0^{-}}{lim}\sqrt[x]{a}\Rightarrow \nexists \underset{x\to 0}{lim}\sqrt[x]{a}$$

Se $0<a<1$, si ha $\sqrt[x]{a}={\left(\sqrt[x]{a^{-1}}\right)}^{-1}$, quindi i limiti destro e sinistro di scambiano, ma restano diversi.

Potenze a esponente complesso

Per ultime definiamo le potenze complesse. 

La potenza di un complesso $z$ elevato a un reale $n$ è la stessa di quelle viste in precedenza, con l'accortezza che su $\mathbb{C}$ non esiste una relazione d'ordine.

Ricordiamo che un complesso in forma polare è espresso come

$z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=r{e}^{i\varphi }$

Questa forma è molto utile per calcolare le potenze, poiché permette di sfruttare le proprietà delle potenze: $$\mathrm{\forall }z\in \mathbb{C}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{R}{z}^n=r^n(\cos (n\varphi )+i\sin (n\varphi ))=r^n{e}^{in\varphi }$$ Quest'ultima è conosciuta come formula di De Moivre ed è valida anche per esponenti $n$ complessi, avendo definito le funzioni $\sin$ e $\cos$ con argomento complesso.

Vediamo come calcolare il caso più generale di tutti: un complesso $z$ elevato a potenza con esponente $w$ complesso: $z^w$. Esprimiamo $z$ in forma polare e $w$ in forma cartesiana:

• $z=r{e}^{i\varphi }$
• $w=x+iy$

In tal modo si ottiene

$z^w=r^w{e}^{iw\varphi }$

Abbiamo qui ottenuto due termini, entrambi potenze a base reale ed esponente complesso. Trattiamole separatamente:

• Possiamo ricondurre $e^{iw\varphi }$ al prodotto di due esponenziali, uno a esponente reale e l'altro a esponente immaginario, rappresentante un numero complesso: $$e^{iw\varphi }=e^{i(x+iy)\varphi }=e^{ix\varphi -y\varphi }=\underset{\in \mathbb{R}}{\underbrace{e^{-y\varphi }}}\underset{\in \mathbb{C}}{\underbrace{e^{ix\varphi }}}$$
• Resta da definire come calcolare $r^w$. Si ha $$r^w=r^{x+iy}=r^x{r}^{iy}=r^x{e}^{iy\ln r}$$ Siamo ricaduti in un caso risolvibile con la formula di Eulero o De Moivre. 

In conclusione:

$$z^w=r^x{e}^{i(y\ln r+x\varphi )-y\varphi }$$

o, in forma cartesiana,

$$z^w=r^x{e}^{-y\varphi }(\cos (y\ln r+x\varphi )+i\sin (y\ln r+x\varphi ))$$

Esercizio 3: calcola le potenze $(4+2i{)}^{1+7i}$ e $2^{2+3i}$.

Riferimenti

[1] Potenza (matematica) - Wikipedia

Immagini

Figure 1, 2, 3 e 4: generate con Desmos | Elaboratore grafico e modificate con Microsoft Paint.