Elevamento a potenza ed estrazione di radice

Tutto ciò che devi sapere sulle potenze e sui radicali

A un lettore inesperto potrebbero sembrare strane queste operazioni. Cos'è la potenza di un numero? Esistono le radici di un numero? Ebbene sì e le loro definizioni non sono così complicate come può sembrare 😉

La definizione di radice e di potenza possono essere facilmente trovate su Wikipedia o su un qualunque libro di matematica del liceo, ma qui tratteremo l'argomento in modo diverso. Inizieremo a trattare le potenze e le radici a esponente/indice naturale, per poi passare a quello intero e così via fino ai complessi. In tal modo riusciremo a ricostruire con criterio e in modo completo la teoria delle potenze.

Se ti sei perso i post sugli insiemi numerici, ti consiglio di darci una letta prima di intraprendere questo argomento.

Sommario

Potenze e radici a esponente/indice naturale

Potenza $n$-esima, con $n \in \mathbb{N}$
Proprietà delle potenze

Proprietà 1.
Proprietà 2.
Proprietà 3.
Proprietà 4.
Proprietà 5.

Radice $n$-esima

Potenze a esponente intero
Potenze e radici a esponente/indice razionale

Potenza $n$-esima, con $n \in \mathbb{Q}$
Proprietà delle radici

Proprietà 1.
Proprietà 2.
Proprietà 3.
Proprietà 4.
Proprietà 5.

Radice $n$-esima, con $n \in \mathbb{Z}$

Potenze e radici a esponente/indice reale

Definizione
Esempi
Indeterminatezza di $\sqrt[0]{a}$

Potenze a esponente complesso
Riferimenti
Immagini

Potenze e radici a esponente/indice naturale

Definire queste operazioni nei naturali è molto semplice e permette di capire intuitivamente cosa siano. Iniziamo dalla potenza.

Potenza $n$-esima, con $n \in \mathbb{N}$

Siano $n$ un naturale non nullo e $a$ un reale. Ricordando come abbiamo definito le operazioni tra naturali nel post dedicato, la potenza $n$-esima di $a$ è definita come la moltiplicazione di $a$ per sé stesso in cui $a$ compare per $n$ volte:

$$ \forall a\in \mathbb{R} \mspace{3mu} \forall n\in \mathbb{N}\setminus \{0\} \mspace{7mu} a^n = \prod\limits_{i=1}^{n} a = \underbrace{ a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a \cdot a}_{a \text{ compare } n \text{ volte}} \tag{1}\label{eq1}$$

$a$ si chiama base e $n$ esponente. Si noti che se $n$ è pari, allora $a^n$ è sempre positivo. Questo perché i segni si cancellano a due a due nelle moltiplicazioni.

Vediamo alcuni esempi:

$2^2 = 2 \cdot 2 = 4$ (leggi: "due al quadrato" o "due alla seconda")
$ 3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 243$ (leggi: "tre alla quinta")
$ 32^3 = 32 \cdot 32 \cdot 32 = 32768$ (leggi: "trentadue al cubo" o "trentadue alla terza")
$ (-5)^2 = -5 \cdot (-5) = 25$ (leggi: "meno cinque al quadrato" o "meno cinque alla seconda")
$0^3 = 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$ (leggi: "zero al cubo" o "zero alla terza")

Ovviamente, $0^n = 0$ per ogni $n$ naturale non nullo.

Come puoi notare, fissato un $a\in \mathbb{R}$, la successione delle potenze $n$-esime $\{a^n\}_{n\in\mathbb{N}}$ cresce piuttosto rapidamente. Questo perché il numero che si moltiplica per $a$ non è lo stesso, ma cresce man mano che le moltiplicazioni vengono eseguite. Proviamo a rappresentare qui sotto in Figura 1 su un grafico la successione delle potenze $n$-esime di $2$.

Figura 1: potenze $n$-esime di $2$.

E per quanto riguarda lo $0$? Ovviamente non ha senso calcolarlo con la definizione $\eqref{eq1}$, in quanto non si può definire il prodotto di $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ per sé stesso per zero volte. Quindi, per ora poniamo Questo andamento della successione, che sembra inarcarsi, si chiama crescita esponenziale.

$ \quad \forall a \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \mspace{7mu} a^0 =1 $

e proveremo a spiegarlo quando potremo definire potenze con esponente minore di $1$.

Bisogna escludere $a=0$ perché la potenza $0^0$ è indeterminata.

Proprietà delle potenze

Ora che abbiamo definito una potenza, descriviamone alcune importanti proprietà. Siano $a,b \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ e sia $n,m\in \mathbb{N}$.

$ a^n \cdot a^m = a^{n+m}$
$ \dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m} $
$ \left(a^n\right)^m = a^{n\cdot m}$
$ a^n \cdot b^n = (a\cdot b)^n $
$ \dfrac{a^n}{b^n} = \left( \dfrac{a}{b} \right)^n$

Dimostriamo le proprietà.

Proprietà 1.

$ \quad a^n \cdot a^m = \prod\limits_{i=1}^{n} a \cdot \prod\limits_{i=1}^{m} a = \prod\limits_{i=1}^{n+m} a = a^{n+m}$

Intuitivamente, si ha

$ \quad a^n \cdot a^m = \underbrace{a\cdot ... \cdot a}_{ n \text{ volte}} \cdot \underbrace{a\cdot ... \cdot a}_{ m \text{ volte}} = \underbrace{a\cdot ... \cdot a \cdot a\cdot ... \cdot a}_{ n + m \text{ volte}} = a^{n+m}$

Proprietà 2.

Si supponga $n \geq m$. Utilizzando la proprietà 1. possiamo scrivere

$ \quad \dfrac{a^n}{a^m} = \dfrac{ \cancel{a^m} \cdot a^{n-m}}{\cancel{a^m}} = a^{n-m}$

Se $n \lt m$, bisogna introdurre le potenze a esponente intero.

Proprietà 3.

Utilizzando la proprietà 1.:

$ \quad \left(a^n\right)^m = \prod\limits_{i=1}^{m} a^n = a^{\sum\limits_{i=1}^{m} n} = a^{n\cdot m} $

Vediamo intuitivamente cosa succede:

$ \quad \left(a^n\right)^m = \underbrace{a^n \cdot ... \cdot a^n}_{ m \text{ volte}} = a^{\overbrace{n + ... + n}^{ m \text{ volte}}} = a^{n\cdot m} $

Proprietà 4.

$ \quad a^n \cdot b^n = \prod\limits_{i=1}^{n} a \cdot \prod\limits_{i=1}^{n} b = \prod\limits_{i=1}^{n} (a\cdot b) = (a\cdot b)^n $

Proprietà 5.

$ \quad \dfrac{a^n}{b^n} = \dfrac{\prod\limits_{i=1}^{n} a}{\prod\limits_{i=1}^{n} b} = \prod\limits_{i=1}^{n} \left(\dfrac{a}{b}\right) = \left( \dfrac{a}{b} \right)^n $

Radice $n$-esima

Siano $n$ un naturale non nullo e $a$ un reale. L'estrazione di radice è l'operazione inversa dell'elevamento a potenza. La radice $n$-esima di $a$ è definita come il numero $r$ tale che $r^n = a$:

$$ \forall a\in \mathbb{R} \mspace{3mu} \forall n\in \mathbb{N}\setminus \{0\} \mspace{7mu} \sqrt[n]{a} = r : r^n = a \tag{2}\label{eq2}$$

$a$ si chiama radicando e $n$ indice. Quando l'indice è $2$, si omette. Si noti che la radice a indice $n$ pari è sempre positiva.

Attenzione! Se $n$ è pari, la radice $n$-esima di $a$ negativo non esiste in $\mathbb{R}$, a differenza della potenza. Infatti, non esiste un numero $r \in \mathbb{R}$ tale che $r^n$ con $n$ pari dia un numero negativo. Per questo motivo abbiamo introdotto i numeri complessi.

Vediamo alcuni esempi:

$ \sqrt{4} = 2 $ (leggi: "radice quadrata di quattro" o "radice seconda di quattro"). Infatti, $2^2 = 4$.
$ \sqrt[3]{64} = 4 $ (leggi: "radice cubica di sessantaquattro" o "radice terza di sessantaquattro"). Infatti, $4^3 = 64$.
$ \sqrt[1]{7} = 7 $ (leggi: "radice prima di sette"). Infatti, $7^1 = 7$.
$ \sqrt[5]{0} = 0 $ (leggi: "radice quinta di cinque"). Infatti, $0^5 = 0$.
$ \nexists \sqrt[4]{-\pi}\in \mathbb{R}$ (leggi: "non esiste la radice quadrata di meno pi greco nell'insieme dei reali").

Ovviamente, $\sqrt[n]{0} = 0$ per ogni $n$ naturale non nullo.

Vediamo l'andamento della successione di radici $\{\sqrt[n]{2}\}_{n\in\mathbb{N}}$.

Figura 2: grafico della successione $\{\sqrt[n]{2}\}_{n\in\mathbb{N}}$.

Nota dal grafico che solo $\sqrt[1]{2}$ è un naturale e che la successione converge a $1$.

Esercizio 1: sei in grado di dimostrare che $\sqrt[n]{2} \rightarrow 1$ per $n \rightarrow \infty$? 😌

Prima di vedere le proprietà delle radici, vediamo le potenze e le radici a esponente razionale.

Riguardo allo $0$? La radice zeresima è indeterminata, ma lo dimostreremo più avanti.

Potenze a esponente intero

Siano $n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ e $a \in \mathbb{R}$. Se $n \gt 0$, allora $a^n$ ricade nel caso di potenza a esponente naturale. E se l'esponente è negativo? Se $n \lt 0$ non possiamo usare la definizione $\eqref{eq1}$. Ad esempio, non avrebbe senso moltiplicare $a$ per sé stesso per $-2$ volte. Dobbiamo trovare un altro modo di definire la potenza a esponente relativo.

Per la proprietà 1. delle potenze si ha

$ a^n \cdot a^{-n} = a^{n+(-n)} = a^0 = 1 $

Eureka! Dall'equazione precedente ne consegue che $a^{-n}$ è l'elemento inverso di $a^n$, quindi si pone

$$ \forall a\in \mathbb{R} \mspace{3mu} \forall n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\} \mspace{7mu} a^{-n} = \dfrac 1{a^{n}} $$

Nota che le proprietà delle potenze restano valide anche per $n \lt 0$ secondo questa definizione.

Ora che abbiamo definito le potenze negative, vediamo il grafico di $2^n$ per esponenti $n$ negativi:

Figura 3: potenze $n$-esime di $2$ per valori di $n$ negativi.

Nota dal grafico che nessuna potenza a esponente negativo di $2$ è un naturale e che la successione converge a $0$ per $n$ sempre minore.

Esercizio 2: sei in grado di dimostrare che $2^n \rightarrow 0$ per $n \rightarrow -\infty$?

Potenze e radici a esponente/indice razionale

Potenza $n$-esima, con $n \in \mathbb{Q}$

Per definizione di radice $n$-esima di $a$ si ha

$ \quad (\sqrt[n]{a})^n = a $

Guardando alla proprietà 3., potremmo pensare di usare i numeri razionali e scrivere la radice come una potenza:

$$ \forall a\in \mathbb{R} \mspace{3mu} \forall n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\} \mspace{7mu} \sqrt[n]{a} = a^{\frac 1n} $$

dove $1/n \in \mathbb{Q} $. Infatti, si avrebbe $ \left(\sqrt[n]{a}\right)^n = \left(a^{\frac 1n}\right)^n = a^{\frac nn} = a^1 = a$.

In generale, quindi, grazie alla proprietà 3. possiamo calcolare la potenza a esponente razionale per $n \neq 0$:

$ \quad a^{\frac mn} = \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n]{a}^m $

Proprietà delle radici

Scrivendo le radici come potenze, possiamo utilizzare le proprietà potenze per dedurre le proprietà delle radici:

$ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{a} = \sqrt[n\cdot m]{a^{n+m}}$
$ \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n\cdot m]{a^{n-m}} $
$ \sqrt[n]{a}^m =\sqrt[n]{a^m}$
$ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a\cdot b} $
$ \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$

Dimostriamo le proprietà (la 3. è immediatamente dimostrata per definizione di potenza a esponente razionale).

Proprietà 1.

$ \quad \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{a} = a^{\frac 1n} \cdot a^{\frac 1m} = a^{\frac 1n+\frac 1m} = a^{\frac{n+m}{n\cdot m}} = \sqrt[n\cdot m]{a^{n+m}}$

Proprietà 2.

Sia $n \geq m$:

$ \quad \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{a}} = \dfrac{a^{\frac 1n}}{a^{\frac 1m}} = a^{\frac 1n - \frac 1m} = a^{\frac{n-m}{n\cdot m}} = \sqrt[n\cdot m]{a^{n-m}} $

Se $n \lt m$, bisogna introdurre le potenze a esponente intero.

Proprietà 4.

$ \quad \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = a^{\frac 1n} \cdot b^{\frac 1n} = (a\cdot b)^{\frac 1n} =\sqrt[n]{a\cdot b} $

Proprietà 5.

$ \quad \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \dfrac{a^{\frac 1n}}{b^{\frac 1n}} = \left( \dfrac{a}{b} \right)^{\frac 1n} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} $

Radice $n$-esima, con $n \in \mathbb{Z}$

Grazie a quanto detto in precedenza, non è difficile comprendere il significato di una radice a indice intero negativo:

$$ \forall a\in \mathbb{R} \mspace{3mu} \forall n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\} \mspace{7mu} \sqrt[-n]{a} = \dfrac{1}{\sqrt[n]{a}} $$

Infatti:

$ \quad \sqrt[-n]{a} = a^{- \frac 1n} = \dfrac{1}{a^{\frac 1n}} = \dfrac{1}{\sqrt[n]{a}} $

Potenze e radici a esponente/indice reale

Definizione

Siamo quasi giunti alla fine di questo tour sulle potenze. Abbiamo visto che le potenze possono avere esponente naturale, poi abbiamo definito le potenze a esponente intero e razionale. Definiamo ora una potenza a esponente reale.

Innanzitutto, bisogna dire che la potenza a esponente $x$ reale è definita solo per basi $a$ positive. Cominciamo definendo la potenza di reali $a^x$ tali che $a \gt 1$ e $x \gt 0$. Scriviamo $x$ nella sua rappresentazione decimale $ c_0,c_1c_2c_3...$. La successione $ \{\gamma_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ delle approssimazioni $\gamma_n = c_0,c_1...c_n$ di $x$ per troncamento all'$n$-esima cifra decimale, converge a $x$. $ \{\gamma_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ è una successione di numeri razionali, pertanto la successione di potenze $ \{a^{\gamma_n}\}_{n \in \mathbb{N}}$ è definita (abbiamo definito precedentemente la potenza a esponente razionale) e converge a $a^x$ [1].

$$ \forall a\in (1,+\infty) \mspace{3mu} \forall x\in \mathbb{R^+} \mspace{7mu} a^x = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} a^{\gamma_n} = \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} \{a^{\gamma_n}\} $$

Se $x \lt 0$, basta porre $a^x = 1/a^{-x}$ e calcolare $a^{-x}$ come prima, dato che $-x \gt 0$. Attenzione: $ \{1/a^{-\gamma_n}\}_{n \in \mathbb{N}}$ è una successione decrescente.

$$ \forall a\in (1,+\infty) \mspace{3mu} \forall x\in \mathbb{R^-} \mspace{7mu} a^x = \inf\limits_{n \in \mathbb{N}} \left\{\dfrac{1}{a^{-\gamma_n}}\right\} $$

Se $0 \lt a \lt 1$, si scrive $a^x = \left(a^{-1} \right)^{-x}$, ricadendo in uno dei due casi precedenti.

La radice a indice reale ricade nel caso di potenza a esponente reale, ponendo $\sqrt[x]{a} = a^{\frac1x}$.

Se $a=1$, si pone $1^x = 1$ per ogni $x \in \mathbb{R}$. Se $a=0$, si pone $0^x = 0$ per ogni $x \in \mathbb{R}\setminus \{0\}$. $ 0^0$ resta indeterminato.

Esempi

Per comprendere meglio il concetto, vediamo due esempi.

Calcoliamo $2^\pi$. Definiamo la successione $ \{\gamma_n\}$:

$ \gamma_0 = 3 $
$ \gamma_1 = 3,1 $
$ \gamma_2 = 3,14 $
$ \gamma_3 = 3,141 $
$ \gamma_4 = 3,1415 $
$ \gamma_5 = 3,14159 $
$ \gamma_6 = 3,141592 $
$ \gamma_7 = 3,1415926 $
$...$

Ora definiamo la successione di potenze a esponente razionale:

$ 2^{\gamma_0} = 2^3 $
$ 2^{\gamma_1} = 2^{3,1} $
$ 2^{\gamma_2} = 2^{3,14} $
$ 2^{\gamma_3} = 2^{3,141} $
$ 2^{\gamma_4} = 2^{3,1415} $
$ 2^{\gamma_5} = 2^{3,14159} $
$ 2^{\gamma_6} = 2^{3,141592} $
$ 2^{\gamma_7} = 2^{3,1415926} $
$...$

La successione $\{2^{\gamma_n}\}$ converge al valore di $2^\pi$. Nel grafico della successione questo fatto si vede bene:

Figura 4: successione $\{2^{\gamma_n}\}$ per il calcolo di $2^\pi$.

Si noti come la successione $\{2^{\gamma_n}\}$ delle potenze approssimate converga rapidamente al valore della potenza $2^\pi$.

Indeterminatezza di $\sqrt[0]{a}$

Ora che abbiamo definito le radici per esponenti negativi e minori di $1$ possiamo dimostrare che $\sqrt[0]{a}$ è indeterminato.

Sia $a \gt 1$. Calcoliamo i limiti per $x$ tendente a $0$ da sinistra e da destra. Per ogni $\varepsilon \gt 1$:

$ \quad \sqrt[x]{a} \gt \varepsilon \Leftrightarrow 0 \lt x \lt \dfrac{1}{\log_a \varepsilon} $

Infatti, essendo $\varepsilon$ e $a$ maggiori di $1$, si ha $\log_a \varepsilon \gt 0$. Quindi, ponendo $\delta = 1/\log_a \varepsilon$, si ha

$ \quad \forall \varepsilon \gt 0 \exists \delta\gt 0 : 0 \lt x \lt \delta \Rightarrow \sqrt[x]{a} \gt \varepsilon $

ovvero:

$$ \lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \sqrt[x]{a} = +\infty $$

Tuttavia, è vero anche che per ogni $0 \lt \varepsilon \lt 1$:

$ \quad \left|\sqrt[x]{a}\right| = \sqrt[x]{a} \lt \varepsilon \Leftrightarrow \dfrac{1}{\log_a \varepsilon} \lt x \lt 0 $

Infatti, essendo $0 \lt \varepsilon \lt 1$ e $a \gt 1$, si ha $\log_a \varepsilon \lt 0$. Quindi, ponendo $\delta = 1/\log_a \varepsilon$, si ha

$ \quad \forall \varepsilon \gt 0 \exists \delta\gt 0 : \delta \lt x \lt 0 \Rightarrow \left| \sqrt[x]{a}\right| \lt \varepsilon $

ovvero:

$$ \lim\limits_{x \rightarrow 0^-} \sqrt[x]{a} = 0 $$

I limiti destro e sinistro per $x$ tendente a $0$ sono diversi, pertanto il limite per $x$ tendente a $0$ di $\sqrt[x]{a}$ non esiste.

$$ \lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \sqrt[x]{a} \neq \lim\limits_{x \rightarrow 0^-} \sqrt[x]{a} \Rightarrow \nexists \lim\limits_{x \rightarrow 0} \sqrt[x]{a} $$

Se $0 \lt a \lt 1$, si ha $\sqrt[x]a = \left(\sqrt[x]{a^{-1}}\right)^{-1} $, quindi i limiti destro e sinistro di scambiano, ma restano diversi.

Potenze a esponente complesso

Per ultime definiamo le potenze complesse.

La potenza di un complesso $z$ elevato a un reale $n$ è la stessa di quelle viste in precedenza, con l'accortezza che su $\mathbb{C}$ non esiste una relazione d'ordine.

Ricordiamo che un complesso in forma polare è espresso come

$ \quad z = r \left( \cos \phi + i \sin \phi \right) = re^{i \phi} $

Questa forma è molto utile per calcolare le potenze, poiché permette di sfruttare le proprietà delle potenze: $$ \forall z \in \mathbb{C} \mspace{3mu} \forall n \in \mathbb{R} \mspace{7mu} z^n = r^n \left( \cos (n \phi) + i \sin (n \phi) \right) = r^n e^{i n \phi} $$ Quest'ultima è conosciuta come formula di De Moivre ed è valida anche per esponenti $n$ complessi, avendo definito le funzioni $\sin$ e $\cos$ con argomento complesso.

Vediamo come calcolare il caso più generale di tutti: un complesso $z$ elevato a potenza con esponente $w$ complesso: $z^w$. Esprimiamo $z$ in forma polare e $w$ in forma cartesiana:

$ z = re^{i \phi}$
$ w = x + iy$

In tal modo si ottiene

$ \quad z^w = r^w e^{i w\phi} $

Abbiamo qui ottenuto due termini, entrambi potenze a base reale ed esponente complesso. Trattiamole separatamente:

Possiamo ricondurre $e^{i w\phi}$ al prodotto di due esponenziali, uno a esponente reale e l'altro a esponente immaginario, rappresentante un numero complesso: $$ e^{i w\phi} = e^{i (x+iy) \phi} = e^{ix\phi - y\phi} = \underbrace{e^{- y\phi}}_{\in \mathbb{R}} \mspace{3mu} \underbrace{e^{ix\phi}}_{\in \mathbb{C}} $$
Resta da definire come calcolare $r^w$. Si ha $$ r^w = r^{x+iy} = r^x r^{iy} = r^x e^{iy\ln r} $$ Siamo ricaduti in un caso risolvibile con la formula di Eulero o De Moivre.

In conclusione:

$$ z^w = r^x e^{i(y \ln r + x \phi) - y \phi } $$

o, in forma cartesiana,

$$ z^w = r^x e^{- y \phi } (\cos (y \ln r + x \phi) + i \sin (y \ln r + x \phi)) $$

Esercizio 3: calcola le potenze $ (4+2i)^{1+7i} $ e $ 2^{2+3i} $.

Riferimenti

[1] Potenza (matematica) - Wikipedia

Immagini

Figure 1, 2, 3 e 4: generate con Desmos | Elaboratore grafico e modificate con Microsoft Paint.

Matesica

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