I numeri naturali, le operazioni con questi e le loro proprietà
Il bisogno di contare e di numerare gli oggetti risale agli albori
dell'umanità. La tavoletta
Plimpton 322, datata intorno al 1800 a.C., fa risalire le origini del concetto di numero
naturale astratto ai
Babilonesi. [1] Quando si evocano i numeri naturali, sin dalle scuole elementari ci
hanno abituati a pensare ai numeri
![]() |
Figura 1: tavoletta Plimpton 322 |
Nonostante la nozione di numero naturale sembri semplice e intuitiva, la sua definizione formale ha incontrato storicamente varie difficoltà. Infatti, quello di numero naturale non è un concetto primitivo.
Come si definisce un numero naturale [ torna al menu ]
Gli assiomi di Peano diedero una definizione matematica precisa di numero naturale. [1]
-
Esiste un numero naturale, chiamato
: . -
Ogni numero naturale
ha un numero naturale successore, denotato con : . -
Non esiste un numero naturale il cui successore è
: . -
Numeri naturali distinti hanno successori distinti:
. -
Se una proprietà
è posseduta dallo ed è posseduta anche dal successore di ogni numero naturale che possiede la proprietà , allora la proprietà è posseduta da tutti i numeri naturali: .
Esempi di costruzione dell'insieme dei naturali [ torna al menu ]
Costruzione standard [ torna al menu ]
La costruzione standard dell'insieme
e
-
[1]
Altre costruzioni [ torna al menu ]
In tal modo si ottiene la costruzione
[1]
Le operazioni con i naturali e le loro proprietà [ torna al menu ]
L'addizione e la sottrazione [ torna al menu ]
Siano
Definendo così la somma,
Per l'addizione valgono la
-
proprietà commutativa:
-
proprietà associativa:
Dalla proprietà commutativa segue che
La coppia
Il simbolo
La sottrazione
Nota che la sottrazione non è sempre eseguibile in
Dimostrazione della proprietà commutativa per l'addizione
Poiché la proprietà
- Sia
e dimostriamo che è vera. -
Sia
: la proprietà è vera: banalmente per il principio di identità. -
Sia
. Ciò significa che esiste un naturale tale che . Si supponga che la proposizione sia vera. Si dimostra che ciò implica la verità di : -
Sia
. Ciò significa che esiste un naturale tale che . Si supponga che sia vera e dimostriamo che ciò implica la verità di . Lo dimostreremo ancora per induzione su . -
Sia
. Dobbiamo dimostrare che vera implica . Si ha -
Sia
. Ciò significa che esiste un naturale tale che . Ora, sia vera. Dobbiamo dimostrare che se , allora . Si ha
Dimostrazione della proprietà associativa per l'addizione
-
Dimostriamo che
è vera. -
Sia ora
. Ciò significa che esiste un naturale tale che . Dimostriamo che .
La moltiplicazione [ torna al menu ]
Siano
Intuitivamente, la moltiplicazione di
La moltiplicazione, così definita, trova il suo
elemento neutro nel naturale
Per la moltiplicazione valgono la
-
proprietà commutativa:
-
proprietà associativa:
Dalla proprietà commutativa segue che
Anche la coppia
Dimostrazione della proprietà commutativa per la moltiplicazione
Prima di procedere alla dimostrazione introduciamo il seguente lemma:
Lemma 1: Siano
per induzione.
- Sia
e dimostriamo che è vera. -
Sia
: la proprietà è vera: banalmente per il principio di identità. -
Sia
. Ciò significa che esiste un naturale tale che . Ora, dimostriamo . -
Sia
. Ciò significa che esiste un naturale tale che . Dimostriamo che . -
Sia
. Dobbiamo dimostrare . Si ha -
Sia
. Ciò significa che esiste un naturale tale che . Ora, sia vera. Dobbiamo dimostrare che se , allora . Si ha
Dimostrazione della proprietà associativa per la moltiplicazione
-
Dimostriamo che
è vera. -
Sia ora
. Ciò significa che esiste un naturale tale che . Dimostriamo che .
La proprietà distributiva [ torna al menu ]
Dimostriamola per induzione.
-
Dimostriamo che
è vera. -
Sia ora
. Ciò significa che esiste un naturale tale che . Dimostriamo che .
Proprietà dell'insieme
[ torna al menu ]
Estremi inferiore e superiore [ torna al menu ]
È semplice dimostrare che l'insieme
L'estremo inferiore appartiene a
Cardinalità [ torna al menu ]
Parrebbe banale il calcolo della cardinalità di
Riferimenti [ torna al menu ]
[1] Numero naturale. (20 ottobre 2021). Wikipedia, L'enciclopedia libera. Tratto il 22 ottobre 2021, 07:38 da Numero naturale - Wikipedia.
Fonte delle immagini [ torna al menu ]
Figura 1: autore sconosciuto - immagine copiata da http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m446-03/pl322/pl322.html, pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=1170904
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