I numeri naturali

I numeri naturali, le operazioni con questi e le loro proprietà

Il bisogno di contare e di numerare gli oggetti risale agli albori dell'umanità. La tavoletta Plimpton 322, datata intorno al 1800 a.C., fa risalire le origini del concetto di numero naturale astratto ai Babilonesi. [1] Quando si evocano i numeri naturali, sin dalle scuole elementari ci hanno abituati a pensare ai numeri \(0,1,2,3,...\), ovvero quei numeri che banalmente utilizziamo ogni giorno per contare. 

Figura 1: tavoletta Plimpton 322

Nonostante la nozione di numero naturale sembri semplice e intuitiva, la sua definizione formale ha incontrato storicamente varie difficoltà. Infatti, quello di numero naturale non è un concetto primitivo.

Indice dei contenuti

• Come si definisce un numero naturale
• Esempi di costruzione dell'insieme dei naturali
  • Costruzione standard
  • Altre costruzioni
• Le operazioni con i naturali e le loro proprietà
• L'addizione e la sottrazione
• La moltiplicazione
• La proprietà distributiva
• Proprietà dell'insieme \(\mathbb{N}\)
• Estremi inferiore e superiore
• Cardinalità
• Riferimenti
• Fonte delle immagini

Come si definisce un numero naturale [ torna al menu ]

Gli assiomi di Peano diedero una definizione matematica precisa di numero naturale. [1]

1. Esiste un numero naturale, chiamato \(0\): \(\exists 0 \in \mathbb{N}\).
2. Ogni numero naturale \(a\) ha un numero naturale successore, denotato con \(S(a)\): \( \forall a \in \mathbb{N} \quad \exists S(a) \in \mathbb{N}\).
3. Non esiste un numero naturale il cui successore è \(0\): \(\nexists a \in \mathbb{N} \colon S(a)=0\).
4. Numeri naturali distinti hanno successori distinti: \(a\neq b\Rightarrow S(a)\neq S(b)\).
5. Se una proprietà \(P\) è posseduta dallo \(0\) ed è posseduta anche dal successore di ogni numero naturale che possiede la proprietà \(P\), allora la proprietà \(P\) è posseduta da tutti i numeri naturali: \(P(0)\wedge \left( P(a) \Rightarrow P\left(S(a)\right)\right) \Rightarrow P(a) \quad \forall a\in \mathbb{N}\).

L'insieme dei numeri naturali viene denotato con il simbolo \(\mathbb{N}\).

L'assioma 1. garantisce l'esistenza almeno un numero naturale, chiamato \(0\).

L'assioma 2. garantisce l'esistenza del successore di ogni numero naturale, compreso \(0\). Poiché per ogni naturale \(a\) esiste un successore \(S(a)\in \mathbb{N}\), l'insieme dei naturali \(\mathbb{N}\) ha infiniti elementi.

L'assioma 3. stabilisce che \(0\) non ha un successore: \(\nexists a \in \mathbb{N} \colon S(a)=0 \). Automaticamente, per l'assioma 2. non esistono predecessori di \(0\).

L'assioma 4. garantisce che ogni numero naturale abbia il proprio successore, distinto dagli altri.

L'assioma 5., infine, si chiama principio d'induzione ed è alla base della dimostrazione per induzione. Metaforicamente, se la prima tessera del domino cade e ogni tessera è posizionata in modo da far cadere la tessera successiva, allora ogni tessera cadrà. Analogamente, se una proprietà \(P\) vale per lo \(0\) e se la proprietà \(P\) applicata a un numero naturale \(a\) implica che sia vera anche per il naturale successivo \(S(a)\), allora \(P\) vale per tutti i naturali.

Esempi di costruzione dell'insieme dei naturali [ torna al menu ]

Costruzione standard [ torna al menu ]

La costruzione standard dell'insieme \(\mathbb{N}\) viene implementata con la teoria degli insiemi. Si definisce numero naturale una classe di insiemi con uguale cardinalità finita.

Si pone 
\(\quad 0=\{\}\)
e
\(\quad S(a)=a\cup \{a\}\)

In tal modo si ottiene la costruzione

• \(0=\{\}\)
• \(S(0)=1=0\cup \{0\}=\{0\}=\{\{\}\}\)
• \(S(1)=2=1\cup \{1\}=\{0,1\}= \{\{\},\{\{\}\}\}\)
• \(S(2)=3=2\cup \{2\}=\{0,1,2\}=\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\)
• \(...\) [1]

Altre costruzioni [ torna al menu ]

La costruzione standard non è l'unica possibile. Si può anche, ad esempio, porre

\(\quad 0=\{\}\)

e

\(\quad S(a)=\{a\}\)

In tal modo si ottiene la costruzione

• \(0=\{\}\)
• \(S(0)=1=\{0\}=\{\{\}\}\)
• \(S(1)=2=\{1\}=\{\{\{\}\}\}\)
• \(S(2)=3=\{2\}=\{\{\{\{\}\}\}\}\)
• \(...\) [1]

Le operazioni con i naturali e le loro proprietà [ torna al menu ]

L'addizione e la sottrazione [ torna al menu ]

Siano \(a,b\in \mathbb{N}\). L'addizione \(+\colon \mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \) tra due numeri naturali \(a\) e \(b\) può essere definita ponendo [1]

• \(a+0=a\)
• \(a+S(b)=S(a+b)\)

Definendo così la somma, \(0\) costituisce l'elemento neutro di questa operazione e si può dimostrare che il successore \(S(a)\) di un naturale \(a\) è \(a+1\):

\(\quad S(a)=S(a+0)=a+S(0)=a+1\)

Per l'addizione valgono la

• proprietà commutativa: \(\forall a,b\in\mathbb{N} \quad a+b=b+a\)
• proprietà associativa: \(\forall a,b,c\in\mathbb{N} \quad (a+b)+c=a+(b+c)\)

Dalla proprietà commutativa segue che \(a+0=0+a=a\).

La coppia \((\mathbb{N},+)\) si definisce monoide commutativo con elemento neutro \(0\).

Definita la somma tra due numeri naturali, ora possiamo generalizzarla. La somma di \(n\) elementi \(a_1,...,a_n\) di \(\mathbb{N}\) si denota come

$$\quad \sum\limits_{i=1}^{n}{a_i}$$

Il simbolo \(\sum\) si chiama sommatoria. Grazie alla proprietà commutativa e associativa, il risultato dell'operazione è indipendente dall'ordine con cui si calcolano le somme, pertanto si possono ignorare le parentesi e scrivere semplicemente:

$$\quad \sum\limits_{i=1}^{n}{a_i}=a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n$$

La sottrazione \(-\colon \mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \) tra due naturali \(a\) e \(b\) può essere definita come il naturale \(c\) tale che l'addizione di \(b\) e \(c\) sia pari a \(a\):

\( \quad a-b = c,\mspace{5mu} c\in \mathbb{N} : b+c =a \)

Nota che la sottrazione non è sempre eseguibile in \(\mathbb{N}\), ovvero \(\mathbb{N}\) non è chiuso rispetto a quest'operazione.

Dimostrazione della proprietà commutativa per l'addizione

Dimostriamo la commutatività 

$$\quad P(a,b) \colon a+b=b+a$$

per induzione. 

Poiché la proprietà \(P(a,b)\) dipende da due variabili \(a\) e \(b\), dovremo applicare una sorta di "induzione concatenata", ossia dovremo dimostrare il passo zero e il passo induttivo di \(b\) con due corrispettive dimostrazioni per induzione su \(a\).

1. Sia \(b=0\) e dimostriamo che \(P(a,0)\) è vera.
1. Sia \(a=0\): la proprietà \(P(0,0)\) è vera: banalmente \(0+0=0+0\) per il principio di identità.
2. Sia \(a\neq 0\). Ciò significa che esiste un naturale \(c\) tale che \(a=S(c)\). Si supponga che la proposizione \(P(c,0)\) sia vera. Si dimostra che ciò implica la verità di \(P\left(a,0 \right)\): \(P(c,0) \colon c+0=0+c \Rightarrow P\left(a,0 \right) \colon a+0=a=S(c)=S(c+0)\)\(=S(0+c)=0+S(c)=0+a\)
2. Sia \(b\neq 0\). Ciò significa che esiste un naturale \(d\) tale che \(b=S(d)\). Si supponga che \(P(a,d)\) sia vera e dimostriamo che ciò implica la verità di \(P(a,b)\). Lo dimostreremo ancora per induzione su \(a\).
1. Sia \(a=0\). Dobbiamo dimostrare che \(P(0,d)\) vera implica \(P(0,d)\Rightarrow P(0,b)\). Si ha \(P(0,b) \colon 0+b=0+S(d)=S(0+d)=S(d+0)=S(d)=b=b+0\)
2. Sia \(a\neq 0\). Ciò significa che esiste un naturale \(c\) tale che \(a=S(c)\). Ora, sia \(P(c,d)\) vera. Dobbiamo dimostrare che se \(P(c,d) \Rightarrow P(c,b)\), allora\(P(a,d)\Rightarrow P(a,b)\). Si ha \(a+b=a+S(d)=S(a+d)=S(d+a)=S(d+S(c))=S(S(d+c))\)\(=S(S(c+d))=S(c+S(d))=S(c+b)=S(b+c)=b+S(c)=b+a\)

Dimostrazione della proprietà associativa per l'addizione

Dimostriamo la proprietà associativa

$$\quad P(a,b,c) \colon (a+b)+c=a+(b+c)$$

per induzione.

1. Dimostriamo che \(P(a,b,0)\) è vera. \(P(a,b,0) \colon (a+b)+0=a+b=a+(b+0)\)
2. Sia ora \(c\neq0\). Ciò significa che esiste un naturale \(f\) tale che \(c=S(f)\). Dimostriamo che \(P(a,b,f)\Rightarrow P(a,b,c)\). \(P(a,b,c) \colon (a+b)+c=(a+b)+S(f)=S((a+b)+f)=\)\(S(a+(b+f))=a+S(b+f)=a+(b+S(f))=a+(b+c)\)

La moltiplicazione [ torna al menu ]

Siano \(a,b\in \mathbb{N}\). Anche la moltiplicazione \(\cdot \colon \mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\) tra due numeri naturali \(a\) e \(b\) può essere definita ricorsivamente ponendo [1]

• \(a\cdot 0=a\)
• \(a\cdot S(b) = (a \cdot b) + a\)

Intuitivamente, la moltiplicazione di \(a\) per \(b\) consiste nel sommare \(a\) per sé stesso \(b\) volte:

$$\quad a\cdot b = \sum\limits_{i=1}^b a$$

La moltiplicazione, così definita, trova il suo elemento neutro nel naturale \(1\). Infatti:

\(\quad a \cdot 1 = a\cdot S(0)=(a\cdot 0) + a= 0+a=a\)

Per la moltiplicazione valgono la

• proprietà commutativa: \(\forall a,b\in\mathbb{N} \quad a \cdot  b=b \cdot  a\)
• proprietà associativa: \(\forall a,b,c\in\mathbb{N} \quad (a \cdot  b) \cdot  c=a \cdot (b \cdot  c)\)

Dalla proprietà commutativa segue che \(a \cdot 0= 0 \cdot a= 0\) e che \(a \cdot 1= 1 \cdot a= a\).

Anche la coppia \((\mathbb{N},\cdot)\) costituisce un monoide commutativo, con elemento neutro \(1\).

Definita la moltiplicazione tra due numeri naturali, ora possiamo generalizzarla. La moltiplicazione di \(n\) elementi \(a_1,...,a_n\) di \(\mathbb{N}\) si denota come

$$\quad \prod\limits_{i=1}^{n}{a_i}$$

Il simbolo \(\prod\) si chiama produttoria. Come per la somma, le proprietà commutativa e associativa permettono di ignorare l'ordine di calcolo delle moltiplicazioni. Pertanto, possiamo ignorare le parentesi:

$$\quad \prod\limits_{i=1}^{n}{a_i}=a_1\cdot a_2 \cdot ... \cdot a_{n-1} \cdot a_n$$

Dimostrazione della proprietà commutativa per la moltiplicazione

Prima di procedere alla dimostrazione introduciamo il seguente lemma:

Lemma 1: Siano \(a,b\in \mathbb{N}\) non nulli. Essendo \(a\neq0\) e \(b\neq0\), esistono \(c,d\in\mathbb{N}\) tali che \(a=S(c)\) e \(b=S(d)\). Si ha

\(\quad d+a=c+b\)

Infatti:

\(\quad d+a=d+S(c)=S(d+c)=S(c+d)=c+S(d)=c+b\)

Dimostriamo la commutatività della moltiplicazione

\(\quad P(a,b) \colon a \cdot b=b \cdot a\)
per induzione. 

1. Sia \(b=0\) e dimostriamo che \(P(a,0)\) è vera.
1. Sia \(a=0\): la proprietà \(P(0,0)\) è vera: banalmente \(0 \cdot 0 = 0 \cdot 0\) per il principio di identità.
2. Sia \(a\neq 0\). Ciò significa che esiste un naturale \(c\) tale che \(a=S(c)\). Ora, dimostriamo \(P(c,0) \colon c\cdot 0=0 \cdot c \Rightarrow P\left(a,0 \right)\). \(0\cdot a=0\cdot S(c)=(0\cdot c)+0=0\cdot c=c\cdot 0=0=a \cdot 0\)
2. Sia \(b\neq 0\). Ciò significa che esiste un naturale \(d\) tale che \(b=S(d)\). Dimostriamo che \(P(a,d)\Rightarrow P(a,b)\). 
1. Sia \(a=0\). Dobbiamo dimostrare \(P(0,d)\Rightarrow P(0,b)\). Si ha \(P(0,b)=0 \cdot b = 0 \cdot S(d) = (0 \cdot d ) + 0 = 0 \cdot d = d \cdot 0= 0 = b \cdot 0 \)
2. Sia \(a\neq 0\). Ciò significa che esiste un naturale \(c\) tale che \(a=S(c)\). Ora, sia \(P(c,d)\) vera. Dobbiamo dimostrare che se \(P(c,d) \Rightarrow P(c,b)\), allora\(P(a,d)\Rightarrow P(a,b)\). Si ha \(a \cdot b=a \cdot S(d)=(a\cdot d)+a=(d \cdot a)+a = (d \cdot S(c))+a =\)\( ((d \cdot c) + d)+a = (c \cdot d) + d + a =(c \cdot d)+ c + b=\)\((c \cdot S(d))+b=(c \cdot b)+b=(b \cdot c)+b=b \cdot S(c)=b \cdot a\)

Dimostrazione della proprietà associativa per la moltiplicazione

Dimostriamo la proprietà associativa

\(\quad P(a,b,c) \colon (a \cdot  b) \cdot  c=a \cdot (b \cdot  c)\)

per induzione.

1. Dimostriamo che \(P(a,b,0)\) è vera. \(P(a,b,0) \colon (a+b)+0=a+b=a+(b+0)\)
2. Sia ora \(c\neq0\). Ciò significa che esiste un naturale \(f\) tale che \(c=S(f)\). Dimostriamo che \(P(a,b,f)\Rightarrow P(a,b,c)\). \(P(a,b,c)\colon (a+b)+c=(a+b)+S(f)=S((a+b)+f)=\)\(S(a+(b+f))=a+S(b+f)=a+(b+S(f))=a+(b+c)\)

La proprietà distributiva [ torna al menu ]

Un'importante proprietà tra le operazioni di somma e moltiplicazione è quella distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma:

$$P(a,b,c)\colon\forall a,b,c\in\mathbb{N} \quad (a+b)\cdot c=a\cdot c + b \cdot c$$

Dimostriamola per induzione.

1. Dimostriamo che \(P(a,b,0)\) è vera. \( (a+b)\cdot 0= 0 = a\cdot 0 + b \cdot 0\)
2. Sia ora \(c\neq0\). Ciò significa che esiste un naturale \(f\) tale che \(c=S(f)\). Dimostriamo che \(P(a,b,f)\Rightarrow P(a,b,c)\). \((a+b)\cdot c = (a+b)\cdot S(f) = ((a+b) \cdot f)+ (a+b) =\)\( (a \cdot f )+ (b \cdot f) + a + b= (a \cdot f )+ a + (b \cdot f)  + b =\)\( a\cdot S(f) + b \cdot S(f) = a\cdot c + b \cdot c\)

Proprietà dell'insieme \(\mathbb{N}\) [ torna al menu ]

Estremi inferiore e superiore [ torna al menu ]

È semplice dimostrare che l'insieme \(\mathbb{N}\) è inferiormente limitato, ma non superiormente. In particolare:

• \(\inf \mathbb{N} = 0 \)
• \(\sup \mathbb{N} = \infty\)

L'estremo inferiore appartiene a \(\mathbb{N}\), mentre per l'estremo superiore bisogna introdurre l'elemento \(\infty\), detto infinito, che non appartiene a \(\mathbb{N}\) ed è definito come segue

\( \quad \forall n \in \mathbb{N} \mspace{7mu} n \lt \infty \)

Cardinalità [ torna al menu ]

Parrebbe banale il calcolo della cardinalità di \(\mathbb{N}\), essendo questa definita come il numero degli elementi di un insieme (vedi il post sui fondamenti di insiemistica). Tuttavia, così non è, dal momento che esistono insiemi con un numero infinito di elementi, ma con cardinalità diversa. In parole povere, esistono diversi gradi di infinito secondo la teoria dei numeri cardinali transfiniti di Georg Cantor. La cardinalità di \(\mathbb{N}\), chiamata \(\aleph_0\) (aleph-zero), è il primo numero cardinale transfinito.

Riferimenti [ torna al menu ]

[1] Numero naturale. (20 ottobre 2021). Wikipedia, L'enciclopedia libera. Tratto il 22 ottobre 2021, 07:38 da Numero naturale - Wikipedia.

Fonte delle immagini [ torna al menu ]

Figura 1: autore sconosciuto - immagine copiata da http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m446-03/pl322/pl322.html, pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=1170904