La teoria degli insiemi

I fondamenti dell'insiemistica: gli insiemi e le operazioni con questi

Poco conosciuta è la teoria degli insiemi, ovvero quella teoria alla base della matematica stessa, come abbiamo visto nel post sui numeri naturali, che si occupa degli insiemi. La teoria è relativamente recente: prima del XIX secolo il concetto di insieme era considerato primitivo e intuitivo. Soltanto nella seconda metà del XIX secolo la nozione di insieme ha ricevuto la sua prima formalizzazione dal matematico Georg Cantor, mentre la teoria degli insiemi ha ricevuto i suoi fondamenti assiomatici nella prima metà del XX secolo grazie a matematici tra cui Ernst Zermelo e Adolf Fraenkel (a cui si deve il sistema assiomatico di Zermelo-Fraenkel) e Paul Bernays, Kurt Gödel e John von Neumann (a cui si deve il sistema assiomatico di Von Neumann-Bernays-Gödel) [1]. A Giuseppe Peano si deve, invece, la notazione e la sintassi. 

In questo post vedremo gli argomenti essenziali della teoria degli insiemi, quali le nozioni fondamentali, le operazioni tra insiemi e le relazioni tra questi.

Sommario

• Le nozioni base
• Operazioni con gli insiemi
• Unione
• Intersezione
• Differenza o complemento
• Differenza simmetrica
• Prodotto cartesiano
• Riferimenti
• Immagini

Le nozioni base

Le nozioni alla base della teoria degli insiemi sono l'elemento e l'insieme. L'insieme è un concetto primitivo, poiché non derivabile da concetti più elementari, e intuitivo, perché derivante dall'esperienza quotidiana della mente umana. Intuitivamente, un insieme viene definito come una scatola. Gli oggetti che possono essere contenuti nella scatola si chiamano, invece, elementi. Formalmente, un insieme è un raggruppamento di oggetti legati tra loro da un criterio univoco di appartenenza a quell'insieme. 

Esistono sostanzialmente due modi per definire un insieme:

• Definizione per elencazione o in estensione: consiste nello scrivere uno ad uno gli elementi dell'insieme, separati da virgole, all'interno di parentesi graffe. Ad esempio, l'insieme dei primi tre numeri naturali è \(N=\{0,1,2\}\).
• Definizione per proprietà caratteristica o in comprensione: consiste nello scrivere la proprietà che caratterizza l'appartenenza al determinato insieme all'interno di parentesi graffe. Ad esempio, l'insieme dei primi tre numeri naturali è \(N=\{n \in \mathbb{N} \colon n \lt 3 \}\). Il simbolo "\(\colon\)" si legge "tale che" e a volte viene indicato con la notazione \( | \).

Ciò che caratterizza l'insieme da altre strutture matematiche sono le seguenti proprietà:

• Un elemento \(x\) o appartiene, o non appartiene all'insieme \(A\). Nel primo caso si scrive (secondo la notazione di Peano) \(x\in A\), mentre nel secondo caso \(x \notin A\). Ad esempio, il gatto appartiene all'insieme dei felini, quindi scriveremo \(\text{gatto} \in \text{felini}\).
• Un elemento compaiono una sola volta in un insieme. Ad esempio, gli insiemi \(A=\{1,2,a\}\) e \(B=\{1,2,1,1,a,a\}\) sono uguali. Ciò significa che un insieme è caratterizzato dai suoi elementi: due insiemi sono uguali se e solo se i loro elementi sono uguali.
• Gli elementi di un insieme non sono ordinati. Ad esempio, gli insiemi \(A=\{1,2,3\}\) e \(B=\{2,3,1\}\) sono uguali. Tuttavia, a volte si scrive \(\{k,...,n\}\) per indicare l'insieme dei numeri naturali dal \(k\)-esimo all'\(n\)-esimo. Ad esempio, l'insieme \(\{1,...,5\}\) contiene i numeri \(1,2,3,4,5\).

Attenzione! Come hai notato, un elemento non dev'essere per forza un numero. Informalmente, qualsiasi concetto può essere l'elemento di un insieme.

Si chiama cardinalità di un insieme il numero di elementi contenuti nell'insieme.

Il diagramma di Eulero-Venn è un metodo grafico per la rappresentazione degli insiemi. Un insieme è rappresentato da una linea chiusa che non s'intreccia e gli elementi dell'insieme sono rappresentati come punti. Ad esempio, se vogliamo rappresentare l'insieme delle vocali \(V=\{\text{a,e,i,o,u}\}\), lo faremo come in Figura 1:

Figura 1: diagramma di Eulero-Venn dell'insieme \(V=\{\text{a,e,i,o,u}\}\).

Due particolari insiemi sono l'insieme vuoto \(\emptyset\), ovvero l'insieme senza elementi, e l'insieme universo \(U\), ossia l'insieme che contiene tutti gli elementi e tutti gli insiemi (quindi, anche sé stesso e l'insieme vuoto).

Operazioni con gli insiemi

Con gli insiemi si possono definire operazioni, di cui elencheremo in questo post le più importanti.

Unione

Dati due insiemi \(A\) e \(B\), si definisce la loro unione come l'insieme \(A \cup B\) che contiene tutti gli elementi di \(A\) e \(B\). Formalmente si scrive 

$$ x \in A \cup B \Leftrightarrow \left( x \in A \vee x \in B \right) $$

(ricordo che "\(\vee\)" è l'operazione logica OR). Se gli insiemi sono disgiunti (vedremo più avanti cosa significhi), allora l'unione si dice disgiunta. 

Vediamo un esempio: se \(A = \{1,3,4\}\) e \(B=\{3,2,5,1\}\), l'unione è l'insieme \(A \cup B = \{1,2,3,4,5\}\). L'unione \(A \cup B\) nei diagrammi di Eulero-Venn è rappresentata dall'unione degli spazi degli insiemi \(A\) e \(B\).

Figura 2: unione di insiemi con i diagrammi di Eulero-Venn.

In generale, data un insieme di \(n\) insiemi \(\{ A_1,...,A_n \}\), la loro unione è rappresentata con l'operatore \(\bigcup\).

$$ \bigcup\limits_{k = 1}^n A_k $$

L'unione gode delle seguenti proprietà:

• Commutatività: \(A \cup B=B\cup A\).
• Associatività: \(A \cup (B\cup C)=(A\cup B) \cup C\) 

Esercizio 1: Le dimostrazioni sono banali e ti invito a provare a scriverle nei commenti ;)

Intersezione

Dati due insiemi \(A\) e \(B\), si definisce la loro intersezione come l'insieme \(A \cap B\) che contiene tutti gli elementi di \(A\) e \(B\). Formalmente si scrive 

$$ x \in A \cap B \Leftrightarrow \left( x \in A \wedge x \in B \right) $$

(ricordo che "\(\wedge\)" è l'operazione logica AND). Gli insiemi \(A\) e \(B\) si dicono disgiunti se la loro intersezione è l'insieme vuoto (ovvero, se non hanno elementi in comune). 

Vediamo un esempio: se \(A = \{1,3,4\}\) e \(B=\{3,2,5,1\}\), l'intersezione è l'insieme \(A \cap B = \{1,3\}\). L'intersezione \(A \cap B\) nei diagrammi di Eulero-Venn è rappresentata dallo spazio in comune agli insiemi \(A\) e \(B\).

Figura 3: intersezione di insiemi con i diagrammi di Eulero-Venn.

In generale, data un insieme di \(n\) insiemi \(\{ A_1,...,A_n \}\), la loro intersezione è rappresentata con l'operatore \(\bigcap\).

$$ \bigcap\limits_{k = 1}^n A_k $$

L'unione gode delle seguenti proprietà:

• Commutatività: \(A \cap B=B\cap A\).
• Associatività: \(A \cap (B\cap C)=(A\cap B) \cap C\) 

Esercizio 2: Anche queste dimostrazioni sono banali. Prova a scriverle nei commenti ;)

Differenza o complemento

Dati due insiemi \(A\) e \(B\), si definisce l'insieme differenza di \(B\) meno \(A\) o insieme complemento relativo di \(A\) rispetto a \(B\) l'insieme \(B \setminus A\) (anche indicato con \(B-A\)) che contiene tutti e soli gli elementi di \(B\) e non di \(A\). Formalmente si scrive 

$$ x \in B \setminus A \Leftrightarrow \left( x \in B \wedge x \notin A \right) $$

Vediamo un esempio: se \(A = \{1,3,4\}\) e \(B=\{3,2,5,1\}\), la differenza di \(B\) meno \(A\) è l'insieme \(B \setminus A = \{2,5\}\). La differenza \(B \setminus A\) nei diagrammi di Eulero-Venn è rappresentata da solo spazio di \(B\) che non appartiene anche a \(A\).

Figura 4: differenza di insiemi con i diagrammi di Eulero-Venn.

Siano \(A,B,C\) insiemi. Ecco un elenco di identità notevoli:

1. \(K\subseteq A \Rightarrow K - A = \emptyset \). In particolare, \(A - A = \emptyset - A = \emptyset\)
2. \(A - \emptyset = A\)
3. \(C - (A \cap B) = (C - A) \cup (C - B)\)
4. \(C - (A \cup B) = (C - A) \cap (C - B)\)
5. \(C - (B - A) = (A \cap C) \cup (C - B)\)
6. \((B-A) \cap C = (B \cap C) -A=B \cap (C - A)\)
7. \((B-A) \cup C = (B \cup C) - (A-C)\)

Attenzione! Per la differenza non valgono le proprietà commutativa e associativa, quindi devi far attenzione all'ordine delle operazioni.

$$ B - A \neq A - B $$

$$ A - ( B - C) \neq (A- B) - C $$

Esercizio 3: Sapresti dire perché? Scrivilo nei commenti!

Diverso ancora è il complemento assoluto \(A^c\) (a volte indicato come \(\neg A\)) di un insieme \(A\), così definito:

$$ A^c = U - A = \{x \in U \wedge x \notin A\} $$

dove \(U\) è l'insieme universo. Nota che il complemento relativo è definito su due insiemi, mentre il complemento assoluto soltanto su un insieme (escluso l'insieme universo). 

Siano \(A\) e \(B\) due sottoinsiemi di un insieme universo \(U\). Segnaliamo qui alcune identità importanti definite con il complemento assoluto:

• Teoremi (o leggi) di De Morgan:
• \((A \cup B)^c=A^c \cap B^c\)
• \((A \cap B)^c=A^c \cup B^c\)
• Leggi di complementarità:
• \(A \cup A^c = U\), da cui segue che \(\emptyset^c = U\)
• \(A \cap A^c = \emptyset\), da cui segue che \(U^c = \emptyset\)
• Legge del doppio complemento:
• \((A^c)^c=A\)

Ed ecco, infine, quali sono le due relazioni che sussistono tra il complemento relativo e il complemento assoluto:

• \(A-B=A \cap B^c\)
• \((A-B)^c = A^c \cup B\)

Esercizio 4: Prova a dimostrare nei commenti perché \(A \cup A^c = U \Rightarrow \emptyset^c = U\) e \(A \cap A^c = \emptyset \Rightarrow U^c = \emptyset \).

Differenza simmetrica

Dati due insiemi \(A\) e \(B\), si definisce l'insieme differenza simmetrica l'insieme \(A \Delta B\) che contiene tutti e soli gli elementi che appartengono a \(A\), a \(B\), ma non a entrambi. Formalmente si scrive 

$$ A \Delta B= (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (A \cup B) \setminus (A \cap B) $$

Sono due definizioni equivalenti di \(A \Delta B\). Sta a te scegliere quale ti sia più comoda utilizzare. Usando le definizioni di unione e di differenza si può scrivere che

\( \quad x \in A \Delta B \Leftrightarrow x \in A \dot{\vee} x \in B \Leftrightarrow x\in A \vee x \in B \wedge ( x\notin A \wedge x \notin B) \)

Vediamo un esempio: se \(A = \{1,3,4\}\) e \(B=\{3,2,5,1\}\), la differenza simmetrica è l'insieme \(A \Delta B = \{2,4,5\}\). La differenza simmetrica \(A \Delta B\) nei diagrammi di Eulero-Venn è rappresentata dallo spazio di \(A\) e \(B\) che non è condiviso da entrambi.

Figura 5: differenza di insiemi con i diagrammi di Eulero-Venn.

La differenza simmetrica gode delle proprietà

• commutativa: \(A \Delta B = B \Delta A\)
• associativa: \(A \Delta (B \Delta C) = (A \Delta B) \Delta C\)

Esercizio 5: Prova a dimostrare queste due proprietà per la differenza simmetrica nei commenti ;)

Vediamo, invece, la dimostrazione di una proprietà meno banale della differenza simmetrica: la differenza simmetrica di differenze simmetriche. Si ha

\( \quad x \in A \dot{\vee} x \in C \Leftrightarrow (x \in A \dot{\vee} x \in B) \dot{\vee} (x \in B \dot{\vee} x \in C) \)

Quindi:

\( \quad (A \Delta B) \Delta (B \Delta C) = A \Delta C \)

Quest'ultima costituisce una proprietà transitiva per la differenza simmetrica.

Prodotto cartesiano

Dati due insiemi \(A\) e \(B\), si definisce prodotto cartesiano di \(A\) e \(B\) l'insieme \(A \times B\) i cui elementi sono le coppie \(a,b\) degli elementi \(a\) di \(A\) e \(b\) di \(B\). Formalmente si scrive 

$$ A \times B= \{ (a,b): a \in A \wedge b \in B \} $$

La definizione potrebbe sembrare ermetica e forse un po' strana, ma vediamone un esempio per chiarire il concetto. Se \(A = \{1,3,4\}\) e \(B=\{3,2,5,1\}\), il prodotto cartesiano di questi insiemi è

\( \quad A \times B = \{(1,1),(1,2),(1,3),(1,5),(3,1),(3,2),\)\(\quad (3,3),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5)\}\)

Un altro esempio è il piano cartesiano \(\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}\), i cui punti sono una coppia \((x,y)\) di numeri reali.

Il prodotto cartesiano di \(n\) insiemi \(A_1,...,A_n\) si può scrivere usando il simbolo di produttoria:

\( \quad \prod\limits_{i=1}^n A_i \)

In particolare, il prodotto cartesiano di un insieme \(A\) con sé stesso per \(n\) volte si scrive \(A^n\).

Vediamo le proprietà del prodotto cartesiano \(A \times B\). 

• Se e solo se \(A\) e \(B\) sono distinti, allora \(A \times B\) e \(B \times A\) sono distinti e in corrispondenza biunivoca. $$ A \times B \cap B \times A = \emptyset \Leftrightarrow A \cap B = \emptyset $$
• La cardinalità di \(A \times B\) è il prodotto delle cardinalità di \(A\) e di \(B\).

Esercizio 6: Prova a dimostrare queste proprietà per il prodotto cartesiano nei commenti.

Riferimenti

[1] Teoria degli insiemi - Wikipedia

Immagini

Figure 1, 2, 3, 4, 5 e 6: generate con Microsoft Paint.