La formula di De Moivre e le radici di un complesso

La formula di De Moivre

Figura 1: ritratto di Abraham de Moivre.

La formula di De Moivre, in onore al matematico francese Abraham de Moivre, permette di calcolare agilmente la potenza \(n\)-esima di un numero complesso \(z\). Sebbene sia facilmente derivabile dalla formula di Eulero, storicamente fu scoperta per prima e per questo motivo ne daremo una dimostrazione per induzione. 

Sommario

• La formula
• Dimostrazione
• Trovare le radici di \(z\)
• Formula generale
• Radici dell'unità

La formula

Sia \(z = r( \cos \phi + i \sin \phi)\) un numero complesso di modulo \(r\) e anomalia \(\phi\). La potenza \(n\)-esima di \(z\) è

$$ z^n = r^n (\cos (n\phi) + i \sin (n \phi)) $$

Nota che se volessimo calcolare la potenza in coordinate cartesiane \((x+iy)^n\) dovremmo usare il teorema binomiale, complicando notevolmente i calcoli.

Dimostrazione

Dimostriamola per induzione su \(n \in \mathbb{N}\).

Per \(n = 0\) la formula è verificata:

\( \quad z^0 = r^0(\cos (0\phi) + i \sin (0 \phi) = 1\)

Ora, supponiamo che la formula sia vera per \(n\) e dimostriamo che ciò implica la verità della formula per \(n+1\):

\( \quad z^{n+1} = zz^n = r( \cos \phi + i \sin \phi) r^n (\cos (n\phi) + i \sin (n \phi)) \)\( \quad = r^{n+1} (\cos \phi \cos (n\phi) - \sin \phi \sin (n \phi) + i(\sin (n \phi) \cos \phi + \cos (n\phi) \sin \phi ) ) \)\( \quad = r^{n+1} (\cos ((n+1)\phi) + i \sin ((n+1) \phi)) \)

Per dimostrare la formula per \(n \notin \mathbb{N}\) abbiamo bisogno della formula di Eulero.

Trovare le radici di \(z\)

Formula generale

La formula di De Moivre ci permette di trovare anche le radici \(n\)-esime \(w = \sqrt[n]{z}\) di un numero complesso \(z\), il che equivale a risolvere l'equazione 

\( \quad w^n = z\)

Scrivendo i numeri in forma polare si ottiene l'equazione

\( \quad r_w^n (\cos(n\phi_w) + i\sin (n\phi_w))= r_z (\cos \phi_z + i \sin \phi_z)\)

Confrontando modulo e anomalia dei due complessi \(w^n\) e \(z\) si ottiene

• \(r_w = \sqrt[n]{r_z}\);
• \(\phi_w = (\phi_z + 2k\pi)/n\), dove \(k \in \{0,...,n-1\}\).

\(k\) varia tra \(0\) e \(n-1\), poiché per valori superiori a \(n-1\) o inferiori a \(0\) si otterrebbero anomalie \(\phi_w\) che sono già state ottenute per \(k \in \{0,...,n-1\}\) differenti per un multiplo dell'angolo giro.

$$ \sqrt[n]z = \sqrt[n]{r_z} \left( \cos \left( \dfrac{\phi_z + 2k\pi}{n} \right) + i \sin \left( \dfrac{\phi_z + 2k\pi}{n} \right) \right), k \in \{0,...,n-1\} $$

Radici dell'unità

Calcolare \(\sqrt[n]1\) equivale a calcolare le radici del polinomio \(z^n -1\).

Come esempio vediamo come si calcolano le radici del polinomio \(z^6-1\):

\( \quad z^6 = 1 \Leftrightarrow r^6 (\cos (6\phi) + i \sin (6 \phi)) = \cos 0 + i \sin 0 \)\( \quad \Leftrightarrow z =  \cos \left( \dfrac{0 + 2k\pi}{6} \right) + i \sin \left( \dfrac{0 + 2k\pi}{6} \right) \)\(\quad = \cos \left( \dfrac{k\pi}{3} \right) + i \sin \left( \dfrac{k\pi}{3} \right)  , k \in \{0,...,5\} \)

Andiamo a sostituire i valori di \(k\) da \(0\) a \(5\) per andare a trovare tutte le radici:

$$\begin{array}{c|c} \text{valore di }k & \text{valore di }z \\ \hline 0 & \cos 0 + i \sin 0 = 1 \\ 1 & \cos \left( \dfrac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( \dfrac{\pi}{3} \right) = \dfrac{1}{2} + i \dfrac{\sqrt 3}{2} \\ 2 & \cos \left( \dfrac{2}{3} \pi \right) + i \sin \left( \dfrac{2}{3} \pi \right) = - \dfrac{1}{2} + i \dfrac{\sqrt 3}{2} \\ 3 & \cos \pi + i \sin \pi = - 1 \\ 4 & \cos \left( \dfrac{4}{3} \pi \right) + i \sin \left( \dfrac{4}{3} \pi \right) = - \dfrac{1}{2} - i \dfrac{\sqrt 3}{2} \\ 5 & \cos \left( \dfrac{5}{3} \pi \right) + i \sin \left( \dfrac{5}{3} \pi \right) = \dfrac{1}{2} - i \dfrac{\sqrt 3}{2} \end{array}$$

Vediamo come si posizionano sul piano di Argand-Gauss:

Figura 2: radici del polinomio \(z^6 = 1\) sul piano complesso. La circonferenza unitaria è segnata in rosso

Come si può notare, le radici si dispongono equidistanti sulla circonferenza unitaria, formando i vertici di un poligono regolare. Le radici sono \(6\), tante quante \(n\).

Immagini

Figura 1: autore sconosciuto - University of York: Portraits of Statisticians, pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=76618.

Figura 2: generato con Desmos | Elaboratore grafico.