La formula di De Moivre e le radici di un complesso

La formula di De Moivre

Figura 1: ritratto di Abraham de Moivre.

La formula di De Moivre, in onore al matematico francese Abraham de Moivre, permette di calcolare agilmente la potenza $n$-esima di un numero complesso $z$. Sebbene sia facilmente derivabile dalla formula di Eulero, storicamente fu scoperta per prima e per questo motivo ne daremo una dimostrazione per induzione. 

Sommario

• La formula
• Dimostrazione
• Trovare le radici di $z$
• Formula generale
• Radici dell'unità

La formula

Sia $z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$ un numero complesso di modulo $r$ e anomalia $\varphi$. La potenza $n$-esima di $z$ è

$$z^n=r^n(\cos (n\varphi )+i\sin (n\varphi ))$$

Nota che se volessimo calcolare la potenza in coordinate cartesiane $(x+iy{)}^n$ dovremmo usare il teorema binomiale, complicando notevolmente i calcoli.

Dimostrazione

Dimostriamola per induzione su $n\in \mathbb{N}$.

Per $n=0$ la formula è verificata:

$z^0=r^0(\cos (0\varphi )+i\sin (0\varphi )=1$

Ora, supponiamo che la formula sia vera per $n$ e dimostriamo che ciò implica la verità della formula per $n+1$:

$z^{n+1}=z{z}^n=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )r^n(\cos (n\varphi )+i\sin (n\varphi ))$$=r^{n+1}(\cos \varphi \cos (n\varphi )-\sin \varphi \sin (n\varphi )+i(\sin (n\varphi )\cos \varphi +\cos (n\varphi )\sin \varphi ))$$=r^{n+1}(\cos ((n+1)\varphi )+i\sin ((n+1)\varphi ))$

Per dimostrare la formula per $n\notin \mathbb{N}$ abbiamo bisogno della formula di Eulero.

Trovare le radici di $z$

Formula generale

La formula di De Moivre ci permette di trovare anche le radici $n$-esime $w=\sqrt[n]{z}$ di un numero complesso $z$, il che equivale a risolvere l'equazione 

$w^n=z$

Scrivendo i numeri in forma polare si ottiene l'equazione

$r_w^n(\cos (n{\varphi }_w)+i\sin (n{\varphi }_w))=r_z(\cos {\varphi }_z+i\sin {\varphi }_z)$

Confrontando modulo e anomalia dei due complessi $w^n$ e $z$ si ottiene

• $r_w=\sqrt[n]{r_z}$;
• ${\varphi }_w=({\varphi }_z+2k\pi )/n$, dove $k\in \{0,...,n-1\}$.

$k$ varia tra $0$ e $n-1$, poiché per valori superiori a $n-1$ o inferiori a $0$ si otterrebbero anomalie ${\varphi }_w$ che sono già state ottenute per $k\in \{0,...,n-1\}$ differenti per un multiplo dell'angolo giro.

$$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r_z}(\cos \left({\displaystyle \frac{{\varphi }_z+2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\displaystyle \frac{{\varphi }_z+2k\pi }{n}}\right)),k\in \{0,...,n-1\}$$

Radici dell'unità

Calcolare $\sqrt[n]{1}$ equivale a calcolare le radici del polinomio $z^n-1$.

Come esempio vediamo come si calcolano le radici del polinomio $z^6-1$:

$z^6=1\iff r^6(\cos (6\varphi )+i\sin (6\varphi ))=\cos 0+i\sin 0$$\iff z=\cos \left({\displaystyle \frac{0+2k\pi }{6}}\right)+i\sin \left({\displaystyle \frac{0+2k\pi }{6}}\right)$$=\cos \left({\displaystyle \frac{k\pi }{3}}\right)+i\sin \left({\displaystyle \frac{k\pi }{3}}\right),k\in \{0,...,5\}$

Andiamo a sostituire i valori di $k$ da $0$ a $5$ per andare a trovare tutte le radici:

$$\begin{array}{cc}\text{valore di }k& \text{valore di }z\\ 0& \cos 0+i\sin 0=1\\ 1& \cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)+i\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}+i{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ 2& \cos \left({\displaystyle \frac{2}{3}}\pi \right)+i\sin \left({\displaystyle \frac{2}{3}}\pi \right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+i{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ 3& \cos \pi +i\sin \pi =-1\\ 4& \cos \left({\displaystyle \frac{4}{3}}\pi \right)+i\sin \left({\displaystyle \frac{4}{3}}\pi \right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}-i{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ 5& \cos \left({\displaystyle \frac{5}{3}}\pi \right)+i\sin \left({\displaystyle \frac{5}{3}}\pi \right)={\displaystyle \frac{1}{2}}-i{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}$$

Vediamo come si posizionano sul piano di Argand-Gauss:

Figura 2: radici del polinomio $z^6=1$ sul piano complesso. La circonferenza unitaria è segnata in rosso

Come si può notare, le radici si dispongono equidistanti sulla circonferenza unitaria, formando i vertici di un poligono regolare. Le radici sono $6$, tante quante $n$.

Immagini

Figura 1: autore sconosciuto - University of York: Portraits of Statisticians, pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=76618.

Figura 2: generato con Desmos | Elaboratore grafico.