I numeri complessi e le loro applicazioni

Tutto ciò che devi sapere sui numeri complessi

Finora abbiamo introdotto nuovi insiemi numerici man mano che si presentava la necessità di risolvere equazioni non risolubili negli insiemi definiti in precedenza. Siamo arrivati a definire i numeri reali, che comprendono i naturali, gli interi, i razionali e gli irrazionali, ma questi non permettono di risolvere la seguente equazione:

$x^2+1=0$

Infatti, non esiste $x\in \mathbb{R}$ tale che il suo quadrato sia negativo. Dobbiamo ancora allargare, dunque, i nostri insiemi numerici e definire i cosiddetti numeri complessi, il cui insieme si indica con la lettera $\mathbb{C}$.

Sommario

• Definizione
• L'unità immaginaria
• I numeri complessi in forma cartesiana e il piano di Argand-Gauss
• Altre forme
• Le operazioni con i complessi
• Coniugato
• Inverso
• Somma
• Prodotto
• Rapporto
• Proprietà
• Applicazioni
• Immagini

Definizione

L'unità immaginaria

Iniziamo la definizione dei numeri complessi introducendo l'unità immaginaria come la radice $\sqrt{-1}$ del polinomio $x^2+1$: 

$$i=\sqrt{-1}$$

Grazie a questo numero possiamo le soluzioni dell'equazione $x^2+1=0$ sono $x=\pm i$. In realtà, ad un'analisi approfondita, quest'unità ci permette di risolvere qualsiasi equazione di secondo grado

$a{x}^2+bx+c=0$

a discriminante $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ negativo:

$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{-1}\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a}}=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}\pm i{\displaystyle \frac{\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a}}$

Si noti che $-\mathrm{\Delta }$ è positivo (poiché $\mathrm{\Delta }<0$ per ipotesi) e che i termini $b/2a$ e $\sqrt{-\mathrm{\Delta }}/2a$ sono numeri reali.

I numeri complessi in forma cartesiana e il piano di Argand-Gauss

In generale un numero complesso $z$ appare nella forma

$$z=x+iy$$

dove $x,y\in \mathbb{R}$. $x$ si definisce parte reale di $z$, mentre $y$ parte immaginaria. Formalmente si scrive

• $\mathrm{\Re }(z)=x$
• $\mathrm{\Im }(z)=y$

Si noti che $\mathbb{C}$ è isomorfo a ${\mathbb{R}}^2=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ tramite la funzione $\mathrm{\Phi }:\mathbb{C}\to {\mathbb{R}}^2$ definita come

$\mathrm{\Phi }(z)=(\mathrm{\Re }(z),\mathrm{\Im }(z))=(x,y)$

Pertanto, $\mathbb{C}$ è uno spazio vettoriale di cui $\{1,i\}$ è una base ortonormale. Infatti, definito il prodotto scalare euclideo come $⟨z_1,z_2⟩=⟨\mathrm{\Phi }(z_1),\mathrm{\Phi }(z_2)⟩=x_1{x}_2+y_1{y}_2$, si ha

$⟨1,i⟩=0$

, da cui segue che $1$ e $i$ sono ortogonali e formano una base di $\mathbb{C}$, e

• $\Vert 1\Vert =\sqrt{⟨1,1⟩}=1$
• $\Vert i\Vert =\sqrt{⟨i,i⟩}=1$

, da cui segue che $1$ e $i$ abbiano norma unitaria e siano versori. Allora, $\{1,i\}$ è un sistema di riferimento cartesiano e $x,y$ sono le coordinate cartesiane di $z\in \mathbb{C}$. Per questo motivo $x+iy$ si dice forma cartesiana di $z$. A questo punto possiamo dire che i numeri complessi formano un piano, detto piano di Argand-Gauss o piano complesso.

Si noti che l'insieme dei numeri reali è un sottoinsieme dei numeri complessi ($\mathbb{R}\subset \mathbb{C}$), poiché ogni reale non è altro che un complesso con parte immaginaria nulla:

$\mathbb{R}=\{z\in \mathbb{C}:\mathrm{\Im }(z)=0\}$

Altre forme

Quella cartesiana non è l'unica forma in cui si possano scrivere i numeri complessi. Qualsiasi base di ${\mathbb{R}}^2$ è anche una base di $\mathbb{C}$ ed è utile a rappresentare un numero complesso. La base cartesiana è pratica, poiché in questa base si può definire agevolmente il prodotto scalare euclideo, e quindi la norma euclidea.

Un'altra forma molto importante in cui vengono spesso rappresentati i complessi è quella polare. Per ogni complesso $z=x+iy$ definiamo i parametri

• modulo: $r=\Vert z\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$
• anomalia: $\varphi =\text{atan2}(y,x)$

dove la funzione $\text{atan2}:{\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}\to (-\pi ,\pi ]$ è così definita:

$\text{atan2}(y,x)=\{\begin{array}{ll}\arctan \left({\displaystyle \frac{y}{x}}\right),& \text{se }x>0\\ \arctan \left({\displaystyle \frac{y}{x}}\right)+\pi ,& \text{se }x<0\wedge y\ge 0\\ \arctan \left({\displaystyle \frac{y}{x}}\right)-\pi ,& \text{se }x<0\wedge y>0\\ {\displaystyle \frac{\pi }{2}},& \text{se }x=0\wedge y>0\\ -{\displaystyle \frac{\pi }{2}},& \text{se }x=0\wedge y<0\end{array}$

A volte il modulo del complesso $z$ viene indicato con la scrittura $|z|$.

Ora, per ogni complesso $z$ si può scrivere

$z=x+iy=r({\displaystyle \frac{x}{r}}+i{\displaystyle \frac{y}{r}})=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$

Quest'ultima è la forma polare, che permette di esprimere i complessi in funzione della loro distanza $r$ dall'origine del piano complesso e dell'angolo $\varphi$ che il complesso forma con la retta dei reali. Infine, grazie alla formula di Eulero possiamo contrarre la forma polare usando l'esponenziale complesso: $\cos \varphi +i\sin \varphi =e^{i\varphi }$.

In conclusione, un complesso in forma polare si scrive come

$$z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=r{e}^{i\varphi }$$

Figura 1: numero complesso in forma cartesiana e polare sul piano di Argand-Gauss.

La forma polare semplifica molte operazioni con i complessi, ma ne complica altre, quindi devi porre attenzione alla forma da usare in base alla necessità. Nota che $\text{atan2}$ (leggi "arcotangente due") non è definita per il complesso $z=0$, pertanto questo numero resta così com'è anche in forma polare.

In forma polare la parte reale e immaginaria sono

• $\mathrm{\Re }(z)=r\cos \varphi =\frac{r}{2}(e^{-i\varphi }+e^{i\varphi })$
• $\mathrm{\Im }(z)=r\sin \varphi =i\frac{r}{2}(e^{-i\varphi }-e^{i\varphi })$

Le operazioni con i complessi

Prodotto

Il prodotto tra due complessi $z_1$ e $z_2$ è così definito:

• In coordinate cartesiane: $$z_1{z}_2=(x_1+i{y}_1)(x_2+i{y}_2)=x_1{x}_2-y_1{y}_2+i(x_2{y}_1+x_1{y}_2)$$ Ricordo che $i^2=-1$ per definizione dell'unità immaginaria.
• In coordinate polari: $$z_1{z}_2=\left(r_1{e}^{i{\varphi }_1}\right)\left(r_2{e}^{i{\varphi }_2}\right)=r_1{r}_2{e}^{i({\varphi }_1+{\varphi }_2)}$$

Coniugato

Si definisce complesso coniugato $\bar{z}$ di $z\in \mathbb{C}$ il numero complesso che ha la stessa parte reale, ma parte immaginaria opposta.

• In coordinate cartesiane, sia $z=x+iy$: $$\bar{z}=x-iy$$
• In coordinate polari, sia $z=r{e}^{i\varphi }$: $$\bar{z}=r{e}^{-i\varphi }$$

Sul piano di Argand-Gauss $\bar{z}$ è il punto simmetrico a $z$ rispetto all'asse reale.

Si noti che 

$z\bar{z}=\Vert z{\Vert }^2$

e che

$z=\bar{z}\iff z\in \mathbb{R}$

Inverso

L'elemento inverso di $\mathbb{C}$ è quel complesso $z^{-1}$ tale che

$z{z}^{-1}=z^{-1}z=1,\mathrm{\forall }z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}$

Pertanto, si ha

$$z^{-1}={\displaystyle \frac{1}{z}}={\displaystyle \frac{\bar{z}}{\Vert z{\Vert }^2}}$$

• In coordinate cartesiane, sia $z=x+iy$: $$z^{-1}={\displaystyle \frac{x-iy}{x^2+y^2}}$$
• In coordinate polari, sia $z=r{e}^{i\varphi }$: $$z^{-1}={\displaystyle \frac{e^{-i\varphi }}{r}}$$

Somma

La somma tra due complessi $z_1$ e $z_2$ si ottiene sommando le parti reale e immaginaria:

$$z_1+z_2=x_1+i{y}_1+x_2+i{y}_2=x_1+x_2+i(y_1+y_2)$$

Rapporto

Il rapporto tra due complessi $z_1$ e $z_2$ è così definito:

• In coordinate cartesiane: $${\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}={\displaystyle \frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2+i(x_2{y}_1-x_1{y}_2)}{x_2^2+y_2^2}}$$
• In coordinate polari: $${\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}={\displaystyle \frac{r_1}{r_2}}{e}^{i({\varphi }_1-{\varphi }_2)}$$

Per calcolare il rapporto tra i complessi basta servirsi della definizione dell'inverso:

${\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}={\displaystyle \frac{z_1{\bar{z}}_2}{\Vert z_2{\Vert }^2}}$

In coordinate cartesiane si ottiene:

${\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}={\displaystyle \frac{(x_1+i{y}_1)(x_2-i{y}_2)}{x_2^2+y_2^2}}={\displaystyle \frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2+i(x_2{y}_1-x_1{y}_2)}{x_2^2+y_2^2}}$

In coordinate polari la formula è più semplice:

${\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}={\displaystyle \frac{r_1{e}^{i{\varphi }_1}}{r_2{e}^{i{\varphi }_2}}}={\displaystyle \frac{r_1}{r_2}}{e}^{i({\varphi }_1-{\varphi }_2)}$

Proprietà

La principale differenza tra $\mathbb{C}$ e $\mathbb{R}$ è la perdita dell'ordinamento, in quanto non è possibile stabilire una relazione d'ordine in $\mathbb{C}$. In altre parole, non ha senso chiedersi se un numero complesso sia maggiore (o minore) di un altro numero complesso. 

$\mathbb{C}$ è uno spazio vettoriale complesso a una dimensione, ma anche uno spazio vettoriale reale a due dimensioni. Ricordiamo che esiste un isomorfismo $\mathrm{\Phi }:\mathbb{C}\to {\mathbb{R}}^2$. In particolare, $\mathbb{C}$ è uno spazio di Hilbert.

La terza proprietà di $\mathbb{C}$ è la sua struttura algebrica: $\mathbb{C}$ è un campo algebricamente chiuso, ossia ogni complesso $z$ è la radice di un polinomio $p$ a coefficienti reali (vedi il teorema fondamentale dell'algebra).

Applicazioni

La branca della matematica che studia le funzioni a variabile complessa si chiama analisi complessa e trova diverse applicazioni nella fisica e in ingegneria. La stessa analisi reale usa talvolta risultati di analisi complessa.

In ingegneria i numeri complessi sono utili alla risoluzione delle equazioni differenziali che rappresentano l'evoluzione nel tempo di sistemi oscillatori. Inoltre, il metodo simbolico (anche conosciuto come metodo di Steinmetz o di Steinmetz-Kennelly), utilizza i fasori, ovvero numeri complessi rotanti sul piano di Argand-Gauss, per semplificare lo studio dei circuiti in corrente alternata.

Figura 2: generatore di corrente alternata.

In analisi dei segnali è possibile scomporre un segnale tempo-invariante qualsiasi grazie alla trasformata di Fourier, che utilizza i numeri complessi. Ogni segnale si scrive come la somma di infinite sinusoidi nella forma

$A{e}^{i\omega t}$

dove $\omega$ è la frequenza angolare, $A$ l'ampiezza e $t$ la coordinata temporale.

Figura 3: un fasore è un numero complesso costante in modulo, ma la cui anomalia varia linearmente con il tempo. La parte immaginaria (o reale, in base alla convenzione adottata) rappresenta la grandezza fisica reale.

In fisica i numeri complessi trovano applicazioni anche in campi diversi dall'elettromagnetismo. In dinamica dei fluidi il flusso potenziale bidimensionale usa i numeri complessi. La meccanica quantistica si sviluppa su uno spazio di Hilbert a dimensione infinita derivato da $\mathbb{C}$. La stessa unità immaginaria trova posto nell'equazione di Schrödinger. 

$i\hslash {\displaystyle \frac{\partial \mathrm{\Psi }(\overrightarrow{\mathbf{r}},t)}{\partial t}}=\hat{H}\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{\mathbf{r}},t)$

Nella teoria della relatività di Einstein il tempo si può scrivere come la variabile immaginaria degli elementi dello spazio metrico.  

I numeri complessi, poi, sono estensibili, costruendo l'insieme dei numeri ipercomplessi. Gli insiemi dei quaternioni $\mathbb{H}$, ottetti $\mathbb{O}$ e dei sedenioni $\mathbb{S}$ formano le algebre a $4$, $8$ e $16$ dimensioni sui numeri reali, dette algebre di Cayley-Dickson.

Immagini

Figura 1: generato con Microsoft OneNote.

Figura 2: di Staehler - Opera propria, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=75233145.

Figura 3: di Gonfer di Wikipedia in inglese, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=11313700.