Tutto ciò che devi sapere sui numeri complessi
Finora abbiamo introdotto nuovi insiemi numerici man mano che si presentava la necessità di risolvere equazioni non risolubili negli insiemi definiti in precedenza. Siamo arrivati a definire i numeri reali, che comprendono i naturali, gli interi, i razionali e gli irrazionali, ma questi non permettono di risolvere la seguente equazione:
Infatti, non esiste
Sommario
- Definizione
- L'unità immaginaria
- I numeri complessi in forma cartesiana e il piano di Argand-Gauss
- Altre forme
- Le operazioni con i complessi
- Coniugato
- Inverso
- Somma
- Prodotto
- Rapporto
- Proprietà
- Applicazioni
- Immagini
Definizione
L'unità immaginaria
Iniziamo la definizione dei numeri complessi introducendo l'unità immaginaria come la radice
Grazie a questo numero possiamo le soluzioni dell'equazione
a discriminante
Si noti che
I numeri complessi in forma cartesiana e il piano di Argand-Gauss
In generale un numero complesso
dove
Si noti che
Pertanto,
, da cui segue che
, da cui segue che
Si noti che l'insieme dei numeri reali è un sottoinsieme dei numeri complessi (
Altre forme
Quella cartesiana non è l'unica forma in cui si possano scrivere i numeri complessi. Qualsiasi base di
Un'altra forma molto importante in cui vengono spesso rappresentati i complessi è quella polare. Per ogni complesso
- modulo:
- anomalia:
dove la funzione
A volte il modulo del complesso
Ora, per ogni complesso
Quest'ultima è la forma polare, che permette di esprimere i complessi in funzione della loro distanza
In conclusione, un complesso in forma polare si scrive come
Figura 1: numero complesso in forma cartesiana e polare sul piano di Argand-Gauss. |
La forma polare semplifica molte operazioni con i complessi, ma ne complica altre, quindi devi porre attenzione alla forma da usare in base alla necessità. Nota che
In forma polare la parte reale e immaginaria sono
Le operazioni con i complessi
Prodotto
Il prodotto tra due complessi
- In coordinate cartesiane:
Ricordo che per definizione dell'unità immaginaria. - In coordinate polari:
Coniugato
Si definisce complesso coniugato
- In coordinate cartesiane, sia
: - In coordinate polari, sia
:
Sul piano di Argand-Gauss
Si noti che
e che
Inverso
L'elemento inverso di
Pertanto, si ha
- In coordinate cartesiane, sia
: - In coordinate polari, sia
:
Somma
La somma tra due complessi
Rapporto
Il rapporto tra due complessi
- In coordinate cartesiane:
- In coordinate polari:
Per calcolare il rapporto tra i complessi basta servirsi della definizione dell'inverso:
In coordinate cartesiane si ottiene:
In coordinate polari la formula è più semplice:
Proprietà
La principale differenza tra
La terza proprietà di
Applicazioni
La branca della matematica che studia le funzioni a variabile complessa si chiama analisi complessa e trova diverse applicazioni nella fisica e in ingegneria. La stessa analisi reale usa talvolta risultati di analisi complessa.In ingegneria i numeri complessi sono utili alla risoluzione delle equazioni differenziali che rappresentano l'evoluzione nel tempo di sistemi oscillatori. Inoltre, il metodo simbolico (anche conosciuto come metodo di Steinmetz o di Steinmetz-Kennelly), utilizza i fasori, ovvero numeri complessi rotanti sul piano di Argand-Gauss, per semplificare lo studio dei circuiti in corrente alternata.
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Figura 2: generatore di corrente alternata. |
In analisi dei segnali è possibile scomporre un segnale tempo-invariante qualsiasi grazie alla trasformata di Fourier, che utilizza i numeri complessi. Ogni segnale si scrive come la somma di infinite sinusoidi nella forma
dove
In fisica i numeri complessi trovano applicazioni anche in campi diversi dall'elettromagnetismo. In dinamica dei fluidi il flusso potenziale bidimensionale usa i numeri complessi. La meccanica quantistica si sviluppa su uno spazio di Hilbert a dimensione infinita derivato da
Nella teoria della relatività di Einstein il tempo si può scrivere come la variabile immaginaria degli elementi dello spazio metrico.
I numeri complessi, poi, sono estensibili, costruendo l'insieme dei numeri ipercomplessi. Gli insiemi dei quaternioni
Immagini
Figura 1: generato con Microsoft OneNote.
Figura 2: di Staehler - Opera propria, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=75233145.
Figura 3: di Gonfer di Wikipedia in inglese, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=11313700.
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