Cos'è e a cosa serve lo studio di funzione? Lo studio di funzione è un importante strumento dell'analisi matematica per poter comprendere al meglio le caratteristiche di una funzione. Ne discende che chiunque lavori nell'ambito delle scienze esatte deve padroneggiare l'abilità di studiare una funzione. In questo post vedremo come si fa uno studio di funzione, a una o più variabili, portando due esempi. Inoltre, vedremo in qual modo lo studio di una funzione possa essere applicato a un caso reale. Studio di funzione: come si fa? Lo studio di una funzione reale a variabili reali deve passare per i seguenti passi in modo ordinato: Dominio e l'immagine : ponendo le condizioni di esistenza della funzione \(f:D \rightarrow C\) si può comprendere quale sia il suo dominio naturale \(D\). Inoltre, non meno importante è studiare quale sia l'immagine \(\text{Im}\), che può darci utili informazioni. Simmetrie : cerchia
I numeri interi, le operazioni con questi e le loro proprietà
Nella realtà quotidiana i numeri più utilizzati sono quelli naturali. Ad esempio, \(1\) mela \(+\) \(2\) mele fanno un totale di \(3\) mele. Nelle operazioni sono comparse solo quantità intere e positive di mele. Allo stesso modo, i numeri naturali permettono di risolvere equazioni diofantee di primo grado come \(x + 2 = 3\). Dunque, apparentemente non si avrebbe alcuna necessità di introdurre i numeri negativi, che nella realtà difficilmente avrebbero una spiegazione. Come esempio, tuttavia, immagina questa situazione: vogliamo trovare il numero \(x\) di mele che bisogna sommare a \(2\) mele per ottenere \(1\) mela. L'equazione associata al problema è \(2 + x = 1\). Questa equazione non ha soluzione nei naturali. Infatti, non si può ottenere \(1\) sommando una quantità positiva a \(2\). L'unica soluzione sarebbe \(x = -1\), ma fisicamente non ha alcun significato \(-1\) mela se non quello di sottrarre una mela. Analogamente, qual è la soluzione dell'operazione \(1-3\)? Nei naturali quest'operazione non ha alcuna soluzione.
Si rende necessaria l'introduzione dei numeri relativi, ovvero il corrispondente dei numeri naturali, ma con un segno \(-\) davanti, per generalizzare la soluzione di problemi come quello appena presentato. L'unione dei numeri naturali e dei numeri relativi formano l'insieme dei numeri interi, generalmente indicato con il simbolo \(\mathbb{Z}\) dal tedesco Zahl.
Sommario
- Definizione dell'insieme \(\mathbb{Z}\)
- Definizione
- Operazioni aritmetiche
- Proprietà
- Proprietà algebriche
- Cardinalità dell'insieme
- Ordinamento
Definizione dell'insieme \(\mathbb{Z}\)
Definizione
Formalmente l'insieme degli interi \(\mathbb{Z}\) viene definito a partire dai naturali \(\mathbb{N}\). Si considerino l'insieme \(\mathbb{N}^2 = \mathbb{N} \times \mathbb{N}\), nato dal prodotto cartesiano dei naturali con sé stesso, e la relazione \(\sim\) definita come
\( \quad (a_1,b_1) \sim (a_2,b_2) \Leftrightarrow a_1+b_2=a_2+b_1 \)
Ricordando le proprietà dei naturali che abbiamo dimostrato nel post dedicato, possiamo dimostrare che \(\sim\) è una relazione di equivalenza. Infatti, questa è
- simmetrica: \( (a_1,b_1) \sim (a_2,b_2) \Leftrightarrow (a_2,b_2) \sim (a_1,b_1) \) per il principio di identità;
- riflessiva: \( (a,b) \sim (a,b)\), di nuovo per il principio di identità;
- transitiva: \( (a_1,b_1) \sim (a_2,b_2) \wedge (a_2,b_2) \sim (a_3,b_3) \Leftrightarrow (a_1,b_1) \sim (a_3,b_3) \). Infatti: \( (a_1,b_1) \sim (a_2,b_2) \wedge (a_2,b_2) \sim (a_3,b_3) \)\( \Leftrightarrow a_1+b_2=a_2+b_1 \wedge a_2+b_3=a_3+b_2 \)\( \Leftrightarrow a_1+b_2 + a_2+b_3 = a_2+b_1 + a_3+b_2 \)\( \Leftrightarrow a_1+b_3 = a_3 + b_1 \)\( \Leftrightarrow (a_1,b_1) \sim (a_3,b_3) \)
Definiamo l'insieme degli interi come l'insieme quoziente \(\mathbb{Z}= \mathbb{N}^2/\sim\).
Ogni classe di equivalenza \([(a,b)]\) contiene un solo elemento nella forma \((a_0,b_0)\) con \(a_0=0\) o \(b_0=0\), quindi possiamo definire la notazione a cui siamo abituati:
- \(a=[(a,0)]\)
- \(-a=[(0,a)]\)
- \(0=[(0,0)]\)
Nota che
\( \quad (a,b) \sim (a-b,0) \)
, perché, come da definizione di \(\sim\), si ha \(a+0=a-b+b\). Quindi \(a-b = [(a,b)]\).
Poiché esiste un isomorfismo che associa ad ogni intero \([(a,0)]\) il naturale \(a\), si dice che \(\mathbb{N}\) è un sottoinsieme di \(\mathbb{Z}\).
\( \quad \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \)
In particolare, si definisce l'insieme degli interi strettamente positivi \(\mathbb{Z}^+ = \mathbb{N}\), mentre l'insieme degli interi strettamente negativi si indica come \(\mathbb{Z}^- = \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}\).
Operazioni aritmetiche
Le operazioni di somma \(+\) e prodotto \(\cdot\) vengono così definite:
- \((a_1,b_1) + (a_2,b_2) = (a_1 + a_2 , b_1 + b_2) \)
- \((a_1,b_1) \cdot (a_2,b_2) = (a_1a_2 + b_1b_2 , a_1b_2 + a_2b_1) \)
Le operazioni così definite rispettano la relazione di equivalenza e si traducono nelle operazioni a cui siamo soliti. Vediamo alcuni esempi:
\( \quad a + (-b) = [(a,0) + (0,b)] = [(a , b)] = a - b \)
\( \quad (-a) + b = [(0,a) + (b, 0)] = [(b , a )] = b - a \)
\( \quad a \cdot (-b) = [(a,0) \cdot (0,b)] = [(0,ab)] = - ab \)
Proprietà
Proprietà algebriche
\(\mathbb{Z}\) è chiuso rispetto alla somma e al prodotto. Inoltre, a differenza dei naturali, è chiuso anche rispetto alla sottrazione. Tuttavia, non è chiuso rispetto alla divisione, per cui sarà necessario introdurre l'insieme dei numeri razionali \(\mathbb{Q}\), di cui ci occuperemo prossimamente. Analogamente a quanto fatto per i naturali è possibile dimostrare la validità delle seguenti proprietà per la somma
- associatività: \((a+b)+c=a+(b+c)\)
- commutatività: \(a+b=b+a\)
- elemento neutro: \(a+0=a\)
Inoltre, negli interi possiamo definire
- l'elemento opposto: \(a+(-a)=0\)
Per la moltiplicazione si dimostrano le seguenti proprietà:
- associatività: \((a \cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\)
- commutatività: \(a\cdot b=b\cdot a\)
- elemento neutro: \(a\cdot 1=a\)
Inoltre, vale la proprietà distributiva:
\( \quad a\cdot (b+c) = a \cdot b + a\cdot c\)
Si noti che l'elemento opposto non esiste in \(\mathbb{N}\).
In particolare, \(\mathbb{Z}\) è un gruppo ciclico, poiché ogni \(n \in \mathbb{Z}\) è ottenibile dalla somma di \(1\) o \(-1\) per \(n\) volte, ed è un monoide commutativo con l'operazione prodotto.
Cardinalità dell'insieme
Si consideri la funzione \(f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{N}\) definita come
\( \quad f(x) = \begin{cases} 2|x|, & \text{se $x\lt 0$} \\ 0, & \text{se $x = 0$} \\ 2x-1, & \text{se $x\gt 0$} \end{cases} \)
La funzione è biiettiva, quindi \(\mathbb{Z}\) ha la stessa cardinalità \(\aleph_0\) (aleph-zero) di \(\mathbb{N}\).
Ordinamento
\(\mathbb{Z}\) è un insieme totalmente ordinato senza massimo e minimo:
\( \quad \cdots \lt -2 \lt -1 \lt 0 \lt 1 \lt 2 \lt \cdots \)
Da questo ordinamento segue che si possa definire
- positivo un numero \(a\), se \(a \geq 0\);
- negativo un numero \(a\), se \(a \leq 0\);
- strettamente positivo un numero \(a\), se \(a \gt 0\);
- strettamente negativo un numero \(a\), se \(a \lt 0\).
Secondo questa definizione, \(0\) è sia positivo che negativo.
È semplice dimostrare che \(\mathbb{Z} \) è superiormente illimitato. È un corollario del fatto che, \(\mathbb{N} = \mathbb{Z}^+ \cup \{0\}\) e che \(\sup \mathbb{N} = \infty \). Tuttavia, \(\mathbb{Z} \) è anche inferiormente illimitato. Quindi, chiamiamo \(+\infty \) il numero tale che
\(\quad \forall n \in \mathbb{Z} \mspace{7mu} +\infty \gt n \)
e introduciamo \(-\infty\) come il numero tale che
\(\quad \forall n \in \mathbb{Z} \mspace{7mu} - \infty \lt n \)
Riferimenti
Fonte delle immagini
Figura d'intestazione: opera dell'autore del post.
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