I numeri interi

I numeri interi, le operazioni con questi e le loro proprietà

Nella realtà quotidiana i numeri più utilizzati sono quelli naturali. Ad esempio, $1$ mela $+$ $2$ mele fanno un totale di $3$ mele. Nelle operazioni sono comparse solo quantità intere e positive di mele. Allo stesso modo, i numeri naturali permettono di risolvere equazioni diofantee di primo grado come $x+2=3$. Dunque, apparentemente non si avrebbe alcuna necessità di introdurre i numeri negativi, che nella realtà difficilmente avrebbero una spiegazione. Come esempio, tuttavia, immagina questa situazione: vogliamo trovare il numero $x$ di mele che bisogna sommare a $2$ mele per ottenere $1$ mela. L'equazione associata al problema è $2+x=1$. Questa equazione non ha soluzione nei naturali. Infatti, non si può ottenere $1$ sommando una quantità positiva a $2$. L'unica soluzione sarebbe $x=-1$, ma fisicamente non ha alcun significato $-1$ mela se non quello di sottrarre una mela. Analogamente, qual è la soluzione dell'operazione $1-3$? Nei naturali quest'operazione non ha alcuna soluzione.

Si rende necessaria l'introduzione dei numeri relativi, ovvero il corrispondente dei numeri naturali, ma con un segno $-$ davanti, per generalizzare la soluzione di problemi come quello appena presentato. L'unione dei numeri naturali e dei numeri relativi formano l'insieme dei numeri interi, generalmente indicato con il simbolo $\mathbb{Z}$ dal tedesco Zahl.

Sommario

• Definizione dell'insieme $\mathbb{Z}$
• Definizione
• Operazioni aritmetiche
• Proprietà
• Proprietà algebriche
• Cardinalità dell'insieme
• Ordinamento

Definizione dell'insieme $\mathbb{Z}$

Definizione

Formalmente l'insieme degli interi $\mathbb{Z}$ viene definito a partire dai naturali $\mathbb{N}$. Si considerino l'insieme ${\mathbb{N}}^2=\mathbb{N}\times \mathbb{N}$, nato dal prodotto cartesiano dei naturali con sé stesso, e la relazione $\sim$ definita come

$(a_1,b_1)\sim (a_2,b_2)\iff a_1+b_2=a_2+b_1$

Ricordando le proprietà dei naturali che abbiamo dimostrato nel post dedicato, possiamo dimostrare che $\sim$ è una relazione di equivalenza. Infatti, questa è

• simmetrica: $(a_1,b_1)\sim (a_2,b_2)\iff (a_2,b_2)\sim (a_1,b_1)$ per il principio di identità;
• riflessiva: $(a,b)\sim (a,b)$, di nuovo per il principio di identità;
• transitiva: $(a_1,b_1)\sim (a_2,b_2)\wedge (a_2,b_2)\sim (a_3,b_3)\iff (a_1,b_1)\sim (a_3,b_3)$. Infatti: $(a_1,b_1)\sim (a_2,b_2)\wedge (a_2,b_2)\sim (a_3,b_3)$$\iff a_1+b_2=a_2+b_1\wedge a_2+b_3=a_3+b_2$$\iff a_1+b_2+a_2+b_3=a_2+b_1+a_3+b_2$$\iff a_1+b_3=a_3+b_1$$\iff (a_1,b_1)\sim (a_3,b_3)$

Definiamo l'insieme degli interi come l'insieme quoziente $\mathbb{Z}={\mathbb{N}}^2/\sim$. 

Ogni classe di equivalenza $[(a,b)]$ contiene un solo elemento nella forma $(a_0,b_0)$ con $a_0=0$ o $b_0=0$, quindi possiamo definire la notazione a cui siamo abituati:

• $a=[(a,0)]$
• $-a=[(0,a)]$
• $0=[(0,0)]$

Nota che 

$(a,b)\sim (a-b,0)$

, perché, come da definizione di $\sim$, si ha $a+0=a-b+b$. Quindi $a-b=[(a,b)]$.

Poiché esiste un isomorfismo che associa ad ogni intero $[(a,0)]$ il naturale $a$, si dice che $\mathbb{N}$ è un sottoinsieme di $\mathbb{Z}$.

$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$

In particolare, si definisce l'insieme degli interi strettamente positivi ${\mathbb{Z}}^{+}=\mathbb{N}$, mentre l'insieme degli interi strettamente negativi si indica come ${\mathbb{Z}}^{-}=\mathbb{Z}\setminus \mathbb{N}$.

Operazioni aritmetiche

Le operazioni di somma $+$ e prodotto $\cdot$ vengono così definite:

• $(a_1,b_1)+(a_2,b_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2)$
• $(a_1,b_1)\cdot (a_2,b_2)=(a_1{a}_2+b_1{b}_2,a_1{b}_2+a_2{b}_1)$

Le operazioni così definite rispettano la relazione di equivalenza e si traducono nelle operazioni a cui siamo soliti. Vediamo alcuni esempi:

$a+(-b)=[(a,0)+(0,b)]=[(a,b)]=a-b$

$(-a)+b=[(0,a)+(b,0)]=[(b,a)]=b-a$

$a\cdot (-b)=[(a,0)\cdot (0,b)]=[(0,ab)]=-ab$

Proprietà

Proprietà algebriche

$\mathbb{Z}$ è chiuso rispetto alla somma e al prodotto. Inoltre, a differenza dei naturali, è chiuso anche rispetto alla sottrazione. Tuttavia, non è chiuso rispetto alla divisione, per cui sarà necessario introdurre l'insieme dei numeri razionali $\mathbb{Q}$, di cui ci occuperemo prossimamente. Analogamente a quanto fatto per i naturali è possibile dimostrare la validità delle seguenti proprietà per la somma

• associatività: $(a+b)+c=a+(b+c)$
• commutatività: $a+b=b+a$
• elemento neutro: $a+0=a$

Inoltre, negli interi possiamo definire

• l'elemento opposto: $a+(-a)=0$

Per la moltiplicazione si dimostrano le seguenti proprietà:

• associatività: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
• commutatività: $a\cdot b=b\cdot a$
• elemento neutro: $a\cdot 1=a$

Inoltre, vale la proprietà distributiva:

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

Si noti che l'elemento opposto non esiste in $\mathbb{N}$.

In particolare, $\mathbb{Z}$ è un gruppo ciclico, poiché ogni $n\in \mathbb{Z}$ è ottenibile dalla somma di $1$ o $-1$ per $n$ volte, ed è un monoide commutativo con l'operazione prodotto.  

Cardinalità dell'insieme

Si consideri la funzione $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{N}$ definita come

$f(x)=\{\begin{array}{ll}2|x|,& \text{se }x<0\\ 0,& \text{se }x=0\\ 2x-1,& \text{se }x>0\end{array}$

La funzione è biiettiva, quindi $\mathbb{Z}$ ha la stessa cardinalità ${\mathrm{\aleph }}_0$ (aleph-zero) di $\mathbb{N}$.

Ordinamento

$\mathbb{Z}$ è un insieme totalmente ordinato senza massimo e minimo:

$\cdots <-2<-1<0<1<2<\cdots$

Da questo ordinamento segue che si possa definire 

• positivo un numero $a$, se $a\ge 0$;
• negativo un numero $a$, se $a\le 0$;
• strettamente positivo un numero $a$, se $a>0$;
• strettamente negativo un numero $a$, se $a<0$.

Secondo questa definizione, $0$ è sia positivo che negativo.

È semplice dimostrare che $\mathbb{Z}$ è superiormente illimitato. È un corollario del fatto che, $\mathbb{N}={\mathbb{Z}}^{+}\cup \{0\}$ e che $sup\mathbb{N}=\mathrm{\infty }$. Tuttavia, $\mathbb{Z}$ è anche inferiormente illimitato. Quindi, chiamiamo $+\mathrm{\infty }$ il numero tale che 

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z}+\mathrm{\infty }>n$ 

e introduciamo $-\mathrm{\infty }$ come il numero tale che 

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z}-\mathrm{\infty }<n$ 

Riferimenti

Numero intero - Wikipedia

Fonte delle immagini

Figura d'intestazione: opera dell'autore del post.