I numeri irrazionali e i numeri reali

I numeri reali, le operazioni con questi e le loro proprietà

Ricapitolando, abbiamo visto che i numeri naturali si definiscono con gli assiomi di Peano e servono a descrivere la realtà. I numeri interi sono un'estensione dei numeri naturali e sono utili per chiudere l'operazione della sottrazione e definire l'elemento opposto. I numeri razionali, ancora, permettono di eseguire divisioni che, altrimenti, non sarebbero possibili in $\mathbb{Z}$ e permettono di definire l'elemento inverso. 

Tuttavia, i casi non sono ancora completi. Esistono alcuni numeri che non sono rappresentabili tramite frazioni: numeri che, insomma, non appartengono all'insieme dei razionali $\mathbb{Q}$. Questi si definiscono numeri irrazionali. Esempi classici di numeri irrazionali sono i logaritmi, $e$ e $\sqrt{2}$.

L'unione dei numeri razionali e irrazionali forma l'insieme dei numeri reali, ovvero il primo insieme nel nostro percorso ad essere completo.

Se per caso te li fossi persi, ti metto qui i link per i post sui numeri naturali, interi e razionali.

Sommario

• Irrazionalità
• Definizione di irrazionalità
• Irrazionalità di $\sqrt{2}$
• Irrazionalità del logaritmo
• Rappresentazione decimale degli irrazionali
• Questioni aperte
• Proprietà
• I numeri reali
• L'insieme $\mathbb{R}$
• La completezza dei reali
• L'assioma di Archimede
• Le sezioni di Dedekind
• Operazioni
• Cardinalità
• Densità di $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$
• Retta reale estesa
• Riderimenti
• Immagini

Irrazionalità

Definizione di irrazionalità

Si dice numero irrazionale un numero $c$ che non è esprimibile come il rapporto di due interi $a$ e $b$. In termini matematici:

$$c\in \mathbb{Q}\iff \nexists a,b\in \mathbb{Z}:c={\displaystyle \frac{a}{b}}$$

Vediamo alcuni classici numeri irrazionali.

Irrazionalità di $\sqrt{2}$

L'irrazionalità di $\sqrt{2}$ è stata dimostrata per assurdo da Archita, della scuola pitagorica [1]. Si supponga che esistano $a,b$ interi coprimi (cioè, senza divisori in comune) tali che

$\sqrt{2}={\displaystyle \frac{a}{b}}$

Figura 1: busto di Archita.

Allora, si ha

$a^2=2b^2$

da cui segue che $a^2$ si pari. Poiché, il quadrato di un pari è pari e il quadrato di un dispari è dispari, segue che $a$ sia pari. Quindi, esiste $k\in \mathbb{Z}$ tale che $a=2k$ e $a^2=4k^2$. Allora:

$2k^2=b^2$

Dunque, per lo stesso ragionamento, $b$ è pari e condivide con $a$ un fattore $2$. Dal momento che l'ipotesi iniziale "$a,b$ interi coprimi" proibisce che $a$ e $b$ abbiano fattori in comune, segue che 

$\nexists a,b\in \mathbb{Z}:\sqrt{2}={\displaystyle \frac{a}{b}}$

Per definizione $\sqrt{2}$ è irrazionale.

Irrazionalità del logaritmo

Siano $a$ e $b$ interi tali che esista un primo $p$ che divide $a$, ma non $b$. Si supponga che esistano $n$ e $d$ interi tali che ${\log }_{a}b=n/d$. Per definizione di logaritmo si ha

$a^{\frac{n}{d}}=b$

ovvero:

$a^n=b^d$

Tuttavia, per ipotesi $p$ divide $a$, ma non $b$. Quindi, $p$ divide $a^n$, ma non $b^d$. Conseguentemente è impossibile che $a^n$ sia uguale a $b^d$. Ne concludiamo che ${\log }_{a}b$ sia irrazionale:

$\nexists n,d\in \mathbb{Z}:{\log }_{a}b={\displaystyle \frac{n}{d}}$

Rappresentazione decimale degli irrazionali

Nella rappresentazione decimale di un numero irrazionale non si può individuare un periodo, ovvero una sequenza di numeri decimali che continua a ripetersi dopo il separatore decimale. Infatti, è possibile dimostrare che se esiste un periodo, allora il numero è razionale.

Questioni aperte

Figura 2: pi greco e
numero di Nepero.

È stato dimostrato che $\pi$ (da Ferdinand von Lindemann nel 1882 [2]) e $e$ (da Charles Hermite nel 1873 [3]) sono irrazionali. Tuttavia, non si sa se $\pi +e$, $\pi /e$ [4], $2^e$, ${\pi }^e$, ${\pi }^{\sqrt{2}}$, $\ln \pi$ e le costanti di Catalan e di Eulero-Mascheroni siano razionali o irrazionali [5][6].

Infatti, sia  

$(x-\pi )(x-e)=x^2-(e+\pi )x+\pi e=0$

Le radici dell'equazione sono $\pi$ e $e$, che sono trascendenti. Se $e+\pi$ e $\pi e$ fossero entrambi razionali, allora le radici $\pi$ e $e$ sarebbero algebriche, affermazione che sappiamo essere falsa. Dunque, almeno uno tra $e+\pi$ e $\pi e$ dev'essere irrazionale, ma uno dei due potrebbe essere razionale. 

Proprietà

Siano $x$ irrazionale e $q$ razionale. Per i numeri irrazionali valgono le seguenti proprietà:

1. $qx$ è irrazionale (tranne nel caso in cui $q=0$).
2. $q+x$ è irrazionale. 

Si noti come caso particolare della proprietà 1. che $x$ è irrazionale se e solo se $-x$ è irrazionale.

Dimostrazione della proprietà 1.: se $qx$ fosse razionale, esisterebbero $a,b\in \mathbb{Q}$ tali che $qx=a/b$, ovvero $x=a/(qb)$, ma ciò sarebbe assurdo, poiché $x$ è irrazionale per ipotesi.

Dimostrazione della proprietà 2.: se $q+x$ fosse razionale, esisterebbero $a,b\in \mathbb{Q}$ tali che $q+x=a/b$, ovvero $x=q-a/b=(qb-a)/b$, ma ciò sarebbe assurdo, poiché $x$ è irrazionale per ipotesi.

Naturalmente, la somma di irrazionali può essere razionale. Ad esempio: $\pi +(-\pi )=0$.

I numeri reali

L'insieme $\mathbb{R}$

L'unione degli insiemi $\mathbb{Q}$ dei numeri razionali e dei numeri irrazionali forma l'insieme dei numeri reali, indicato con la lettera $\mathbb{R}$. Questo insieme rappresenta uno dei maggiori sviluppi della matematica del XIX secolo, perché

• $\mathbb{R}$ è un campo, poiché sono valide le proprietà associativa, distributiva e commutativa tra i suoi elementi e per ogni elemento si possono definire gli elementi inverso e neutro per entrambe le operazioni di somma e prodotto.
• $\mathbb{R}$ è ordinato, ovvero esiste una relazione d'ordine $\le$ tra i suoi elementi tale che
• $\mathrm{\forall }a\in \mathbb{R}a\le a$
• $\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{R}a\le b\dot{\vee }b\le a$
• $\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{R}a\le b\wedge b\le a\iff a=b$
• $\mathrm{\forall }a,b,c\in \mathbb{R}a\le b\wedge b\le c\Rightarrow a\le c$
• $\mathbb{R}$ è completo: grazie all'assioma di Dedekind si dimostra che ogni successione di Cauchy è convergente.

I numeri reali sono univocamente determinati dalle tre proprietà appena elencate. In particolare, l'ultima proprietà distingue l'insieme $\mathbb{R}$ dall'insieme $\mathbb{Q}$ dei razionali. Vediamola meglio nel prossimo paragrafo.

La completezza dei reali

Ciò che distingue i reali dai razionali è proprio la presenza degli irrazionali. Questi numeri completano l'insieme dei numeri reali. Cosa significa? Prendiamo in considerazione una retta, ovvero un luogo geometrico formato da infiniti punti. A ogni punto della retta si può associare un unico numero reale, ossia esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti della retta e i reali. Questo risultato è reso possibile dall'assioma di Dedekind, detto anche assioma di completezza:

Assioma di Dedekind: ogni sottoinsieme $S\subset \mathbb{R}$ non vuoto e superiormente limitato ha per estremo superiore un numero reale. 

$$\mathrm{\forall }S\subset \mathbb{R},S\ne \mathrm{\varnothing }:supS\in \mathbb{R}$$

Figura 3: Julius Wilhelm
Richard Dedekind.

Analogamente, l'assioma vale per ogni $S$ sottoinsieme di $\mathbb{R}$ non vuoto e inferiormente limitato. In tal caso l'assioma garantisce l'esistenza di un estremo inferiore. 

Vediamo, ora, in che modo l'assioma comporti la completezza di $\mathbb{R}$. Sia $\{r_n\}$ una successione di Cauchy a elementi reali e sia $S$ l'insieme dei reali maggiori di $r_n$ per un numero finito di $n$. Dalla limitatezza di ogni successione di Cauchy segue che $S$ sia non vuoto e superiormente limitato. Grazie all'assioma di Dedekind, dunque, $S$ ammette un estremo superiore $supS$. Per definizione di successione di Cauchy si ha

$\mathrm{\forall }\epsilon <0\mathrm{\exists }\bar{n}\in \mathbb{N}:\mathrm{\forall }p,k\in \mathbb{N},p,k\ge \bar{n}\Rightarrow |r_p-r_k|<\epsilon$

Intuitivamente, a un certo punto della successione la distanza tra gli elementi della successione diminuisce sempre di più. Ciò significa che, per ogni $\epsilon$ fissato, la successione assume valori compresi nell'intervallo $I=(r_{\bar{n}}-\epsilon ,r_{\bar{n}}+\epsilon )$ infinite volte e valori compresi nel complementare $I^c$ finite volte. Allora, $r_{\bar{n}}-\epsilon \in S$ e $r_{\bar{n}}+\epsilon$ è maggiore o uguale di ogni elemento di $S$, tra cui $supS$. Conseguentemente, $supS\in I$ e la distanza $d(r_n,supS)$ tra un elemento $r_n$ della successione e l'estremo superiore di $S$ è tale che

$d(r_n,supS)\le d(r_n,r_{\bar{n}})+d(r_{\bar{n}},supS)\le 2\epsilon$

Quindi, per definizione di limite la successione $\{r_n\}$ converge a  $supS$

In conclusione, ogni successione di Cauchy in $\mathbb{R}$ è convergente, da cui la completezza di $\mathbb{R}$.

L'assioma di Dedekind può essere anche espresso in termini dell'elemento separatore: siano $S,T\subset \mathbb{R}$ non vuoti tali che per ogni $s\in S$ e $t\in T$ si abbia $s\le t$. Esiste un reale $r$, detto elemento separatore, tale che $s\le r\le t$.

$$\mathrm{\forall }s\in S\mathrm{\forall }t\in T\mathrm{\exists }r\in \mathbb{R}:s\le r\le t$$

L'assioma di Archimede

Introduciamo qui l'assioma di Archimede:

Assioma di Archimede: per ogni $x$ e $y$ reali tali che $x\le y$ esiste un naturale $n$ tale che $nx\ge y$. 

$$\mathrm{\forall }x,y\in \mathbb{R},x\le y,\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}:nx\ge y$$

Si chiama archimedeo ogni campo dotato di relazione d'ordine in cui l'assioma di Archimede sia valido. Potreste chiedervi perché stia introducendo solo adesso questo assioma. Naturalmente l'assioma non è valido solo su $\mathbb{R}$, ma anche su $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ e $\mathbb{Q}$. Tuttavia, questi campi archimedei sono solo sottoinsiemi di $\mathbb{R}$, che costituisce il maggiore campo archimedeo. Il matematico David Hilbert definiva $\mathbb{R}$ come il campo archimedeo completo, proprio per questo motivo. In questo senso per Hilbert $\mathbb{R}$ è completo.

Le sezioni di Dedekind

In matematica si chiama taglio iniziale di un insieme totalmente ordinato $(X,<)$ un sottoinsieme $T$ i cui elementi sono definiti ricorsivamente come segue:

$t\in T\Rightarrow \mathrm{\forall }x\in X(x<t\Rightarrow x\in T)$

Si dice sezione di Dedekind nell'insieme totalmente ordinato $(X,<)$ una partizione $(A,B)$ di $X$ tale che $A$ è un taglio iniziale, detto taglio di Dedekind, senza massimo. 

Ad esempio, la partizione $A,B$, dove 

• $A=\{a\in \mathbb{Q}:a^2<2\wedge a\le 0\}$
• $B=\{b\in \mathbb{Q}:b^2\ge 2\wedge b>0\}$

è una sezione di Dedekind dei numeri razionali. 

Noti qualcosa? Esattamente: $supA=infB=\sqrt{2}$. $\sqrt{2}$ è l'elemento separatore di $A$ e $B$: esso definisce la sezione $(A,B)$ (ma si noti che non appartiene a $B$, poiché non esiste $b\in \mathbb{Q}$ tale che $b^2=2$). In questo senso le sezioni di Dedekind possono essere utilizzate per costruire i numeri reali. Ogni taglio di Dedekind $A$ possiede un estremo superiore per l'assioma di Dedekind. Quindi, Dedekind definisce numero reale una sezione dell'insieme $\mathbb{Q}$ e definisce $\mathbb{R}$ come l'insieme delle sezioni di $\mathbb{Q}$.

Ogni taglio di Dedekind $A$ definisce automaticamente l'insieme $B$, dunque ogni reale è rappresentato dal solo $A$.

Operazioni

Grazie alle sezioni di Dedekind possiamo definire la somma e il prodotto tra reali.

Dati due numeri reali $x$ e $y$, rappresentati dalle sezioni di Dedekind $A$ e $B$, la somma $x+y$ è rappresentata dalla sezione definita come

$$A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}$$

L'elemento neutro è la sezione $A_0=\{x\in \mathbb{Q}:x<0\}$.

Il prodotto $xy$ è rappresentato dalla sezione definita come

$$A\cdot B=\{ab:a\in A,a>0,b\in B,b<0\}\cup \{a\in \mathbb{Q}:a<0\}$$

L'elemento neutro è la sezione $A_1=\{x\in \mathbb{Q}:x<1\}$.

Cardinalità

Cantor, grazie al procedimento diagonale, ha dimostrato la non numerabilità di $\mathbb{R}$. Si può trovare una funzione iniettiva $f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$, ma non suriettiva. Ciò significa che, pur essendo entrambi infiniti, l'infinito dei reali è "maggiore" dell'infinito dei naturali. 

La cardinalità di $\mathbb{R}$ è $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$.

Densità di $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$

Introduciamo qui la nozione di insieme denso: si dice denso un sottoinsieme $S\subset X$ nello spazio topologico $X$ se ogni elemento di $X$ è un elemento di $S$ o è un suo punto di accumulazione. 

Si dimostra che l'insieme dei razionali $\mathbb{Q}$ è denso in $\mathbb{R}$, ossia:

$$\mathrm{\forall }x,y\in \mathbb{R}\mathrm{\exists }q\in \mathbb{Q}:x<q<y$$

Per dimostrarlo ci serviremo di tre casi:

• 1° caso: $x$ e $y$ di segno diverso: $x<0<y$
• 2° caso: $x$ e $y$ entrambi positivi: $0\le x<y$
• 3° caso: $x$ e $y$ entrambi negativi: $x<y\le 0$

Il 1° caso è immediatamente dimostrato: basta scegliere $q=0$.

Nel 2° caso scegliamo $d\in \mathbb{N}$ tale che $y-x>1/d$. L'esistenza di un tale naturale $d$ è garantita dal fatto che $sup\mathbb{N}=+\mathrm{\infty }$. Sia $M=\{n\in \mathbb{N}:n/d>x\}$. $M\subset \mathbb{N}$ e non è vuoto per l'assioma di Archimede, quindi esiste $minM$. Inoltre, poiché $minM\in M$ per definizione di minimo, dalla definizione dell'insieme $M$ segue che $minM/n>a$. Ora, 

• Se $minM=1$, si ha $(minM-1)/n=0\le a$.
• Se $minM>1$ e se fosse $minM-1)/n>a$, si avrebbe per definizione di $M$ che $minM-1\in M$ e, quindi, $minM-1\ge minM$, il che sarebbe assurdo.

Conseguentemente:

${\displaystyle \frac{minM-1}{n}}\le a$

Allora:

${\displaystyle \frac{minM}{n}}={\displaystyle \frac{minM-1}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{n}}<x+y-x<y$

e, scelto $q=minM/n$, si ha $x<q<y$.

Nel 3° caso si dimostra analogamente al 2° caso, scegliendo $q=-minM/n$.

Densità di $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$

L'insieme dei numeri irrazionali si indica come differenza tra l'insieme dei reali e dei razionali: $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$. Anche questo insieme è denso in $\mathbb{R}$ e ciò è una conseguenza della densità di $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$, dimostrata sopra.

Per dimostrare la densità di $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$ bisogna dimostrare che in ogni intervallo $(x,y)$, con $x<y$, esiste $p\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$. Se $(x,y)$ è un intervallo di $\mathbb{R}$, allora anche $(x+\sqrt{2},y+\sqrt{2})$. Dalla densità di $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$ segue che esista $q\in \mathbb{Q}$ tale che $q\in (x+\sqrt{2},y+\sqrt{2})$. Allora $q-\sqrt{2}\in (x,y)$ e $q-\sqrt{2}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$, poiché $\sqrt{2}$ è irrazionale (come dimostrato al paragrafo Irrazionalità di $\sqrt{2}$ sopra) e la somma di un numero razionale con un irrazionale è irrazionale.

Retta reale estesa

$-\mathrm{\infty }$ e $+\mathrm{\infty }$ sono gli estremi inferiore e superiore di $\mathbb{R}$ per definizione, ma non appartengono a esso. L'insieme reale esteso $\bar{\mathbb{R}}$, o retta reale estesa, si definisce come l'insieme $\mathbb{R}$ dotato anche degli infiniti tra i suoi elementi:

$\bar{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$

Alcune operazioni di $\mathbb{R}$ si conservano in $\bar{\mathbb{R}}$, ma non tutte, pertanto $\bar{\mathbb{R}}$ non è un campo, né un gruppo. In particolare, per ogni $x\in \mathbb{R}$, 

• $x\pm \mathrm{\infty }=\pm \mathrm{\infty }$
• se $x>0$: $x\cdot (\pm \mathrm{\infty })=\pm \mathrm{\infty }$
• se $x<0$: $x\cdot (\pm \mathrm{\infty })=\mp \mathrm{\infty }$
• $+\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }=+\mathrm{\infty }$
• $-\mathrm{\infty }-inf=-\mathrm{\infty }$
• $(\pm \mathrm{\infty })(\pm \mathrm{\infty })=+\mathrm{\infty }$
• $(\pm \mathrm{\infty })(\mp \mathrm{\infty })=-\mathrm{\infty }$

Non sono determinate le seguenti operazioni (per qualsiasi segno di $\mathrm{\infty }$), chiamate forme indeterminate: $\mathrm{\infty }/\mathrm{\infty }$, $0\cdot \mathrm{\infty }$, $1^{\mathrm{\infty }}$, $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$, ${\mathrm{\infty }}^0$.

Riferimenti

[1] Numero irrazionale - Wikipedia

[2] Pi greco - Wikipedia

[3] e (costante matematica) - Wikipedia

[4] e -- from Wolfram MathWorld

[5] Irrational number - Wikipedia

[6] Irrational Number -- from Wolfram MathWorld

Immagini

Figura 1: di Marie-Lan Nguyen - opera propria, pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=16922726.

Figura 2: creato con Microsoft Paint.

Figura 3: autore sconosciuto (Mondadori Publishers) - http://www.gettyimages.co.uk/detail/news-photo/portrait-of-the-german-mathematician-richard-dedekind-1900s-news-photo/141551154, pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=41284791.