I numeri irrazionali e i numeri reali

I numeri reali, le operazioni con questi e le loro proprietà

Ricapitolando, abbiamo visto che i numeri naturali si definiscono con gli assiomi di Peano e servono a descrivere la realtà. I numeri interi sono un'estensione dei numeri naturali e sono utili per chiudere l'operazione della sottrazione e definire l'elemento opposto. I numeri razionali, ancora, permettono di eseguire divisioni che, altrimenti, non sarebbero possibili in \(\mathbb{Z}\) e permettono di definire l'elemento inverso. 

Tuttavia, i casi non sono ancora completi. Esistono alcuni numeri che non sono rappresentabili tramite frazioni: numeri che, insomma, non appartengono all'insieme dei razionali \(\mathbb{Q}\). Questi si definiscono numeri irrazionali. Esempi classici di numeri irrazionali sono i logaritmi, \(e\) e \(\sqrt{2}\).

L'unione dei numeri razionali e irrazionali forma l'insieme dei numeri reali, ovvero il primo insieme nel nostro percorso ad essere completo.

Se per caso te li fossi persi, ti metto qui i link per i post sui numeri naturali, interi e razionali.

Sommario

• Irrazionalità
• Definizione di irrazionalità
• Irrazionalità di \(\sqrt{2}\)
• Irrazionalità del logaritmo
• Rappresentazione decimale degli irrazionali
• Questioni aperte
• Proprietà
• I numeri reali
• L'insieme \(\mathbb{R}\)
• La completezza dei reali
• L'assioma di Archimede
• Le sezioni di Dedekind
• Operazioni
• Cardinalità
• Densità di \(\mathbb{Q}\) in \(\mathbb{R}\)
• Retta reale estesa
• Riderimenti
• Immagini

Irrazionalità

Definizione di irrazionalità

Si dice numero irrazionale un numero \(c\) che non è esprimibile come il rapporto di due interi \(a\) e \(b\). In termini matematici:

$$ c \in \mathbb{Q} \Leftrightarrow \nexists a,b \in \mathbb{Z}: c = \dfrac{a}{b} $$

Vediamo alcuni classici numeri irrazionali.

Irrazionalità di \(\sqrt{2}\)

L'irrazionalità di \(\sqrt{2}\) è stata dimostrata per assurdo da Archita, della scuola pitagorica [1]. Si supponga che esistano \(a,b \) interi coprimi (cioè, senza divisori in comune) tali che

\( \quad \sqrt{2} = \dfrac{a}{b} \)

Figura 1: busto di Archita.

Allora, si ha

\( \quad a^2 = 2b^2 \)

da cui segue che \(a^2\) si pari. Poiché, il quadrato di un pari è pari e il quadrato di un dispari è dispari, segue che \(a\) sia pari. Quindi, esiste \(k \in \mathbb{Z} \) tale che \(a=2k\) e \( a^2 = 4k^2 \). Allora:

\(\quad 2k^2 = b^2\)

Dunque, per lo stesso ragionamento, \(b\) è pari e condivide con \(a\) un fattore \(2\). Dal momento che l'ipotesi iniziale "\(a,b \) interi coprimi" proibisce che \(a\) e \(b\) abbiano fattori in comune, segue che 

\( \quad \nexists a,b \in \mathbb{Z}: \sqrt{2} = \dfrac{a}{b} \)

Per definizione \(\sqrt{2}\) è irrazionale.

Irrazionalità del logaritmo

Siano \(a\) e \(b\) interi tali che esista un primo \(p\) che divide \(a\), ma non \(b\). Si supponga che esistano \(n\) e \(d\) interi tali che \(\log_a b = n/d\). Per definizione di logaritmo si ha

\( \quad a^{\frac{n}{d}} = b\)

ovvero:

\( \quad a^n = b^d\)

Tuttavia, per ipotesi \(p\) divide \(a\), ma non \(b\). Quindi, \(p\) divide \(a^n\), ma non \(b^d\). Conseguentemente è impossibile che \(a^n\) sia uguale a \(b^d\). Ne concludiamo che \(\log_a b \) sia irrazionale:

\( \quad \nexists n,d \in \mathbb{Z}: \log_a b = \dfrac{n}{d} \)

Rappresentazione decimale degli irrazionali

Nella rappresentazione decimale di un numero irrazionale non si può individuare un periodo, ovvero una sequenza di numeri decimali che continua a ripetersi dopo il separatore decimale. Infatti, è possibile dimostrare che se esiste un periodo, allora il numero è razionale.

Questioni aperte

Figura 2: pi greco e
numero di Nepero.

È stato dimostrato che \(\pi\) (da Ferdinand von Lindemann nel 1882 [2]) e \(e\) (da Charles Hermite nel 1873 [3]) sono irrazionali. Tuttavia, non si sa se \(\pi + e\), \(\pi/e\) [4], \(2^e\), \(\pi^e\), \(\pi^\sqrt2\), \(\ln \pi\) e le costanti di Catalan e di Eulero-Mascheroni siano razionali o irrazionali [5][6].

Infatti, sia  

\( \quad (x-\pi)(x-e) = x^2 - ( e + \pi) x + \pi e = 0 \)

Le radici dell'equazione sono \(\pi\) e \(e\), che sono trascendenti. Se \(e + \pi\) e \(\pi e\) fossero entrambi razionali, allora le radici \(\pi\) e \(e\) sarebbero algebriche, affermazione che sappiamo essere falsa. Dunque, almeno uno tra \(e + \pi\) e \(\pi e\) dev'essere irrazionale, ma uno dei due potrebbe essere razionale. 

Proprietà

Siano \(x\) irrazionale e \(q\) razionale. Per i numeri irrazionali valgono le seguenti proprietà:

1. \(q x\) è irrazionale (tranne nel caso in cui \(q=0\)).
2. \(q + x\) è irrazionale. 

Si noti come caso particolare della proprietà 1. che \(x\) è irrazionale se e solo se \(-x\) è irrazionale.

Dimostrazione della proprietà 1.: se \(q x\) fosse razionale, esisterebbero \(a,b \in \mathbb{Q}\) tali che \( q x = a/b \), ovvero \(x = a/(qb)\), ma ciò sarebbe assurdo, poiché \(x\) è irrazionale per ipotesi.

Dimostrazione della proprietà 2.: se \(q + x\) fosse razionale, esisterebbero \(a,b \in \mathbb{Q}\) tali che \( q + x = a/b \), ovvero \(x = q - a/b = (qb-a)/b \), ma ciò sarebbe assurdo, poiché \(x\) è irrazionale per ipotesi.

Naturalmente, la somma di irrazionali può essere razionale. Ad esempio: \(\pi + (-\pi) = 0\).

I numeri reali

L'insieme \(\mathbb{R}\)

L'unione degli insiemi \(\mathbb{Q}\) dei numeri razionali e dei numeri irrazionali forma l'insieme dei numeri reali, indicato con la lettera \(\mathbb{R}\). Questo insieme rappresenta uno dei maggiori sviluppi della matematica del XIX secolo, perché

• \(\mathbb{R}\) è un campo, poiché sono valide le proprietà associativa, distributiva e commutativa tra i suoi elementi e per ogni elemento si possono definire gli elementi inverso e neutro per entrambe le operazioni di somma e prodotto.
• \(\mathbb{R}\) è ordinato, ovvero esiste una relazione d'ordine \(\leq\) tra i suoi elementi tale che
• \(\forall a \in \mathbb{R} \mspace{5mu} a \leq a \)
• \(\forall a,b \in \mathbb{R} \mspace{5mu} a \leq b \dot{\vee} b \leq a\)
• \(\forall a,b \in \mathbb{R} \mspace{5mu} a \leq b \wedge b \leq a \Leftrightarrow a = b\)
• \(\forall a,b,c \in \mathbb{R} \mspace{5mu} a \leq b \wedge b \leq c \Rightarrow a \leq c\)
• \(\mathbb{R}\) è completo: grazie all'assioma di Dedekind si dimostra che ogni successione di Cauchy è convergente.

I numeri reali sono univocamente determinati dalle tre proprietà appena elencate. In particolare, l'ultima proprietà distingue l'insieme \(\mathbb{R}\) dall'insieme \(\mathbb{Q}\) dei razionali. Vediamola meglio nel prossimo paragrafo.

La completezza dei reali

Ciò che distingue i reali dai razionali è proprio la presenza degli irrazionali. Questi numeri completano l'insieme dei numeri reali. Cosa significa? Prendiamo in considerazione una retta, ovvero un luogo geometrico formato da infiniti punti. A ogni punto della retta si può associare un unico numero reale, ossia esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti della retta e i reali. Questo risultato è reso possibile dall'assioma di Dedekind, detto anche assioma di completezza:

Assioma di Dedekind: ogni sottoinsieme \(S \subset \mathbb{R}\) non vuoto e superiormente limitato ha per estremo superiore un numero reale. 

$$ \forall S \subset \mathbb{R}, S \neq \emptyset : \sup S \in \mathbb{R} $$

Figura 3: Julius Wilhelm
Richard Dedekind.

Analogamente, l'assioma vale per ogni \(S\) sottoinsieme di \(\mathbb{R}\) non vuoto e inferiormente limitato. In tal caso l'assioma garantisce l'esistenza di un estremo inferiore. 

Vediamo, ora, in che modo l'assioma comporti la completezza di \(\mathbb{R}\). Sia \(\{r_n\}\) una successione di Cauchy a elementi reali e sia \(S\) l'insieme dei reali maggiori di \(r_n\) per un numero finito di \(n\). Dalla limitatezza di ogni successione di Cauchy segue che \(S\) sia non vuoto e superiormente limitato. Grazie all'assioma di Dedekind, dunque, \(S\) ammette un estremo superiore \(\sup S\). Per definizione di successione di Cauchy si ha

\( \quad \forall \varepsilon \lt 0 \mspace{5mu} \exists \overline{n}\in \mathbb{N} : \forall p,k \in \mathbb{N}, p,k \geq \overline{n} \Rightarrow | r_p - r_k | \lt \varepsilon \)

Intuitivamente, a un certo punto della successione la distanza tra gli elementi della successione diminuisce sempre di più. Ciò significa che, per ogni \(\varepsilon\) fissato, la successione assume valori compresi nell'intervallo \(I=(r_\overline{n}-\varepsilon, r_\overline{n}+\varepsilon)\) infinite volte e valori compresi nel complementare \(I^c\) finite volte. Allora, \(r_\overline{n}-\varepsilon \in S\) e \(r_\overline{n}+\varepsilon\) è maggiore o uguale di ogni elemento di \(S\), tra cui \(\sup S\). Conseguentemente, \(\sup S \in I\) e la distanza \(d(r_n, \sup S)\) tra un elemento \(r_n\) della successione e l'estremo superiore di \(S\) è tale che

\( \quad d(r_n, \sup S) \leq d(r_n, r_\overline{n}) + d(r_\overline{n}, \sup S) \leq 2 \varepsilon \)

Quindi, per definizione di limite la successione \(\{r_n\}\) converge a  \(\sup S\)

In conclusione, ogni successione di Cauchy in \(\mathbb{R}\) è convergente, da cui la completezza di \(\mathbb{R}\).

L'assioma di Dedekind può essere anche espresso in termini dell'elemento separatore: siano \(S,T \subset \mathbb{R} \) non vuoti tali che per ogni \(s \in S\) e \(t \in T\) si abbia \(s \leq t\). Esiste un reale \(r\), detto elemento separatore, tale che \(s \leq r \leq t\).

$$ \forall s \in S \mspace{5mu} \forall t \in T \mspace{5mu} \exists r\in\mathbb{R}: s \leq r \leq t $$

L'assioma di Archimede

Introduciamo qui l'assioma di Archimede:

Assioma di Archimede: per ogni \(x\) e \(y\) reali tali che \(x \leq y\) esiste un naturale \(n\) tale che \(nx \geq y\). 

$$ \forall x,y \in \mathbb{R}, x \leq y, \exists n \in \mathbb{N} : nx \geq y $$

Si chiama archimedeo ogni campo dotato di relazione d'ordine in cui l'assioma di Archimede sia valido. Potreste chiedervi perché stia introducendo solo adesso questo assioma. Naturalmente l'assioma non è valido solo su \(\mathbb{R}\), ma anche su \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\) e \(\mathbb{Q}\). Tuttavia, questi campi archimedei sono solo sottoinsiemi di \(\mathbb{R}\), che costituisce il maggiore campo archimedeo. Il matematico David Hilbert definiva \(\mathbb{R}\) come il campo archimedeo completo, proprio per questo motivo. In questo senso per Hilbert \(\mathbb{R}\) è completo.

Le sezioni di Dedekind

In matematica si chiama taglio iniziale di un insieme totalmente ordinato \((X,\lt)\) un sottoinsieme \(T\) i cui elementi sono definiti ricorsivamente come segue:

\( \quad t \in T \Rightarrow \forall x \in X (x \lt t \Rightarrow x \in T)\)

Si dice sezione di Dedekind nell'insieme totalmente ordinato \((X,\lt)\) una partizione \((A,B)\) di \(X\) tale che \(A\) è un taglio iniziale, detto taglio di Dedekind, senza massimo. 

Ad esempio, la partizione \(A,B\), dove 

• \(A = \{a \in \mathbb{Q}: a^2 \lt 2 \wedge a \leq 0\}\)
• \(B = \{b \in \mathbb{Q}: b^2 \geq 2 \wedge b \gt 0\}\)

è una sezione di Dedekind dei numeri razionali. 

Noti qualcosa? Esattamente: \(\sup A = \inf B = \sqrt 2\). \(\sqrt 2\) è l'elemento separatore di \(A\) e \(B\): esso definisce la sezione \((A,B)\) (ma si noti che non appartiene a \(B\), poiché non esiste \(b\in \mathbb{Q}\) tale che \(b^2 = 2\)). In questo senso le sezioni di Dedekind possono essere utilizzate per costruire i numeri reali. Ogni taglio di Dedekind \(A\) possiede un estremo superiore per l'assioma di Dedekind. Quindi, Dedekind definisce numero reale una sezione dell'insieme \(\mathbb{Q}\) e definisce \(\mathbb{R}\) come l'insieme delle sezioni di \(\mathbb{Q}\).

Ogni taglio di Dedekind \(A\) definisce automaticamente l'insieme \(B\), dunque ogni reale è rappresentato dal solo \(A\).

Operazioni

Grazie alle sezioni di Dedekind possiamo definire la somma e il prodotto tra reali.

Dati due numeri reali \(x\) e \(y\), rappresentati dalle sezioni di Dedekind \(A\) e \(B\), la somma \(x+y\) è rappresentata dalla sezione definita come

$$ A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\} $$

L'elemento neutro è la sezione \(A_0 = \{x \in \mathbb{Q} : x \lt 0 \}\).

Il prodotto \(xy\) è rappresentato dalla sezione definita come

$$ A\cdot B=\{ab:a\in A, a\gt0, b\in B, b\lt 0\} \cup \{ a \in \mathbb{Q} : a \lt 0\} $$

L'elemento neutro è la sezione \(A_1 = \{x \in \mathbb{Q} : x \lt 1 \}\).

Cardinalità

Cantor, grazie al procedimento diagonale, ha dimostrato la non numerabilità di \(\mathbb{R}\). Si può trovare una funzione iniettiva \(f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\), ma non suriettiva. Ciò significa che, pur essendo entrambi infiniti, l'infinito dei reali è "maggiore" dell'infinito dei naturali. 

La cardinalità di \(\mathbb{R}\) è \(2^{\aleph_0}\).

Densità di \(\mathbb{Q}\) in \(\mathbb{R}\)

Introduciamo qui la nozione di insieme denso: si dice denso un sottoinsieme \(S\subset X\) nello spazio topologico \(X\) se ogni elemento di \(X\) è un elemento di \(S\) o è un suo punto di accumulazione. 

Si dimostra che l'insieme dei razionali \(\mathbb{Q}\) è denso in \(\mathbb{R}\), ossia:

$$ \forall x,y \in \mathbb{R} \mspace{5mu} \exists q \in \mathbb{Q}  : x \lt q \lt y $$

Per dimostrarlo ci serviremo di tre casi:

• 1° caso: \(x\) e \(y\) di segno diverso: \( x \lt 0 \lt y\)
• 2° caso: \(x\) e \(y\) entrambi positivi: \( 0 \leq x \lt y\)
• 3° caso: \(x\) e \(y\) entrambi negativi: \(x \lt y \leq 0\)

Il 1° caso è immediatamente dimostrato: basta scegliere \(q = 0\).

Nel 2° caso scegliamo \(d \in \mathbb{N}\) tale che \(y-x \gt 1/d\). L'esistenza di un tale naturale \(d\) è garantita dal fatto che \(\sup \mathbb{N} = +\infty \). Sia \(M = \{ n \in \mathbb{N} : n/d \gt x \}\). \(M \subset \mathbb{N} \) e non è vuoto per l'assioma di Archimede, quindi esiste \(\min M\). Inoltre, poiché \(\min M \in M\) per definizione di minimo, dalla definizione dell'insieme \(M\) segue che \(\min M / n \gt a\). Ora, 

• Se \(\min M = 1\), si ha \( (\min M -1 )/n = 0 \leq a \).
• Se \(\min M \gt 1\) e se fosse \(\min M -1 )/n \gt a \), si avrebbe per definizione di \(M\) che \(\min M -1 \in M\) e, quindi, \(\min M -1 \geq \min M \), il che sarebbe assurdo.

Conseguentemente:

\( \quad \dfrac{\min M - 1}{n} \leq a \)

Allora:

\( \quad \dfrac{\min M}{n} = \dfrac{\min M - 1}{n} + \dfrac{1}{n} \lt x+y-x \lt y \)

e, scelto \(q = \min M/n\), si ha \(x \lt q \lt y\).

Nel 3° caso si dimostra analogamente al 2° caso, scegliendo \(q=-\min M/n\).

Densità di \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\) in \(\mathbb{R}\)

L'insieme dei numeri irrazionali si indica come differenza tra l'insieme dei reali e dei razionali: \(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\). Anche questo insieme è denso in \(\mathbb{R}\) e ciò è una conseguenza della densità di \(\mathbb{Q}\) in \(\mathbb{R}\), dimostrata sopra.

Per dimostrare la densità di \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) in \(\mathbb{R}\) bisogna dimostrare che in ogni intervallo \((x,y)\), con \(x \lt y\), esiste \(p \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \). Se \((x,y)\) è un intervallo di \(\mathbb{R}\), allora anche \((x+\sqrt2,y+\sqrt2)\). Dalla densità di \(\mathbb{Q}\) in \(\mathbb{R}\) segue che esista \(q \in \mathbb{Q}\) tale che \(q \in (x+\sqrt2,y+\sqrt2)\). Allora \(q-\sqrt2 \in (x,y)\) e \(q-\sqrt2 \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \), poiché \(\sqrt2\) è irrazionale (come dimostrato al paragrafo Irrazionalità di \(\sqrt2\) sopra) e la somma di un numero razionale con un irrazionale è irrazionale.

Retta reale estesa

\(-\infty\) e \(+\infty\) sono gli estremi inferiore e superiore di \(\mathbb{R}\) per definizione, ma non appartengono a esso. L'insieme reale esteso \(\overline{\mathbb{R}}\), o retta reale estesa, si definisce come l'insieme \(\mathbb{R}\) dotato anche degli infiniti tra i suoi elementi:

\( \quad \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\} \)

Alcune operazioni di \(\mathbb{R}\) si conservano in \(\overline{\mathbb{R}}\), ma non tutte, pertanto \(\overline{\mathbb{R}}\) non è un campo, né un gruppo. In particolare, per ogni \(x \in \mathbb{R}\), 

• \(x \pm \infty = \pm \infty\)
• se \(x \gt 0\): \(x \cdot (\pm\infty) = \pm \infty\)
• se \(x \lt 0\): \(x \cdot (\pm \infty) = \mp \infty\)
• \( + \infty + \infty = +\infty\)
• \(-\infty - \inf = -\infty\)
• \((\pm \infty)(\pm \infty)= + \infty\)
• \((\pm \infty)(\mp \infty) = -\infty\)

Non sono determinate le seguenti operazioni (per qualsiasi segno di \(\infty\)), chiamate forme indeterminate: \(\infty/\infty\), \(0 \cdot \infty\), \(1^\infty\), \(\infty-\infty\), \(\infty^0\).

Riferimenti

[1] Numero irrazionale - Wikipedia

[2] Pi greco - Wikipedia

[3] e (costante matematica) - Wikipedia

[4] e -- from Wolfram MathWorld

[5] Irrational number - Wikipedia

[6] Irrational Number -- from Wolfram MathWorld

Immagini

Figura 1: di Marie-Lan Nguyen - opera propria, pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=16922726.

Figura 2: creato con Microsoft Paint.

Figura 3: autore sconosciuto (Mondadori Publishers) - http://www.gettyimages.co.uk/detail/news-photo/portrait-of-the-german-mathematician-richard-dedekind-1900s-news-photo/141551154, pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=41284791.