I numeri razionali, le frazioni e la rappresentazione decimale

I numeri razionali, le operazioni con questi e le loro proprietà

I numeri razionali nascono come estensione dell'insieme dei numeri interi $\mathbb{Z}$ e il loro insieme si indica con la lettera $\mathbb{Q}$. Perché introdurre questi numeri? A cosa servono? Abbiamo visto che i naturali servono a contare e che l'insieme degli interi è chiuso rispetto alla sottrazione, in modo da poter calcolare, ad esempio, $3-4$. 

Il problema dell'insieme $\mathbb{Z}$ è che non è ancora chiuso rispetto alla divisione. Ad esempio, s'immagini di avere tre fette di torta uguali e di volerle dividere per due persone in parti uguali. Si può fare: basta dividere una fetta a metà, ma quanta torta hanno ricevuto le singole persone? Certo, la risposta è una fetta e mezza, ma questo numero non esiste negli interi. Ovvero:

$\nexists n\in \mathbb{Z}:n={\displaystyle \frac{3}{2}}$

ed è qui che entrano in gioco i numeri razionali. Se ancora non hai letto il post sui numeri interi, ti consiglio di farlo prima di cominciare questa lettura, per poter padroneggiare le operazioni con gli interi ;)

Sommario

• Definizione dell'insieme $\mathbb{Q}$
• Definizione formale
• Operazioni
• Rappresentazioni
• Frazioni
• Rappresentazione decimale
• Numerabilità
• Riferimenti
• Immagini

Definizione dell'insieme $\mathbb{Q}$

Definizione formale

Introduciamo la relazione $\sim$ definita come

$(a_1,b_1)\sim (a_2,b_2)\iff a_1{b}_2=b_1{a}_2$

, dove $(a_1,b_1),(a_2,b_2)\in {\mathbb{Z}}^2$. 

$\sim$ è una relazione di equivalenza. Infatti, è

• simmetrica: $(a_1,b_1)\sim (a_2,b_2)\iff (a_2,b_2)\sim (a_1,b_1)$
• riflessiva: $(a,b)\sim (a,b)$
• transitiva: $(a_1,b_1)\sim (a_2,b_2)\wedge (a_2,b_2)\sim (a_3,b_3)\iff (a_1,b_1)\sim (a_3,b_3)$

La transitività può essere un po' difficile da dimostrare. Si ha:

$(a_1,b_1)\sim (a_2,b_2)\wedge (a_2,b_2)\sim (a_3,b_3)\iff a_1{b}_2=b_1{a}_2\wedge a_2{b}_3=b_2{a}_3$$\iff a_1{b}_2{a}_2{b}_3=b_1{a}_2{b}_2{a}_3\iff a_1{b}_3=b_1{a}_3\iff (a_1,b_1)\sim (a_3,b_3)$

Ora, definiamo l'insieme $\mathbb{Q}$ dei razionali come l'insieme quoziente di ${\mathbb{Z}}^2$ rispetto alla relazione di equivalenza $\sim$:

$$\mathbb{Q}={\mathbb{Z}}^2/\sim$$

In tal modo, un numero razionale è rappresentato dalla classe di equivalenza $[(a,b)]$, ovvero ha più possibili rappresentazioni, dal momento che per ogni $k\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ si ha

$(a,b)\sim (ka,kb)$

per il secondo principio di equivalenza.

Operazioni

Ricordando le operazioni tra interi definite nel post dedicato, definiamo le seguenti operazioni tra i razionali, compatibili con la relazione di equivalenza $\sim$:

• somma: $(a_1,b_1)+(a_2,b_2)=(a_1{b}_2+b_1{a}_2,b_1{b}_2)$
• prodotto: $(a_1,b_1)\cdot (a_2,b_2)=(a_1{a}_2,b_1{b}_2)$

Con la notazione in frazioni, le precedenti operazioni diventano:

${\displaystyle \frac{a_1}{b_1}}+{\displaystyle \frac{a_2}{b_2}}={\displaystyle \frac{a_1{b}_2+b_1{a}_2}{b_1{b}_2}}$

${\displaystyle \frac{a_1}{b_1}}\cdot {\displaystyle \frac{a_2}{b_2}}={\displaystyle \frac{a_1{a}_2}{b_1{b}_2}}$

Si noti che lo $0$ e l'$1$ sono le classi di equivalenza rispettivamente $[(0,k)]$ e $[(k,k)]$, con $k\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$.

Sia $a/b=[(a,b)]\in \mathbb{Q}$. Con le operazioni così definite, $\mathbb{Z}$ ha

• elemento neutro della somma $0$: $${\displaystyle \frac{a}{b}}+0=[(a,b)+(0,d)]=[(ad+0,bd)]=[(a,b)]={\displaystyle \frac{a}{b}}$$
• elemento neutro del prodotto $1$: $${\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot 1=[(a,b)\cdot (d,d)]=[(ad,bd)]=[(a,b)]={\displaystyle \frac{a}{b}}$$
• elemento opposto $-{\displaystyle \frac{a}{b}}=[(-a,b)]$: $${\displaystyle \frac{a}{b}}+(-{\displaystyle \frac{a}{b}})=[(a,b)+(-a,b)]=[(-ab+ab,b^2)]=[(0,b^2)]=0$$ Si noti che $(-a,b)\sim (a,-b)$, quindi è indifferente che il segno negativo stia al numeratore o al denominatore e può essere portato semplicemente davanti al segno di frazione.
• elemento inverso ${\displaystyle \frac{b}{a}}$:  $${\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{b}{a}}=[(a,b)\cdot (b,a)]=[(ab,ab)]=1$$

Si noti che l'elemento inverso non esiste in $\mathbb{Z}$.

Inoltre, è facile dimostrare che valgono le proprietà 

• commutativa: $${\displaystyle \frac{a_1}{b_1}}+{\displaystyle \frac{a_2}{b_2}}={\displaystyle \frac{a_2}{b_2}}+{\displaystyle \frac{a_1}{b_1}}$$$${\displaystyle \frac{a_1}{b_1}}\cdot {\displaystyle \frac{a_2}{b_2}}={\displaystyle \frac{a_2}{b_2}}\cdot {\displaystyle \frac{a_1}{b_1}}$$
• associativa: $$({\displaystyle \frac{a_1}{b_1}}+{\displaystyle \frac{a_2}{b_2}})+{\displaystyle \frac{a_3}{b_3}}={\displaystyle \frac{a_1}{b_1}}+({\displaystyle \frac{a_2}{b_2}}+{\displaystyle \frac{a_3}{b_3}})$$$$({\displaystyle \frac{a_1}{b_1}}\cdot {\displaystyle \frac{a_2}{b_2}})\cdot {\displaystyle \frac{a_3}{b_3}}={\displaystyle \frac{a_1}{b_1}}\cdot ({\displaystyle \frac{a_2}{b_2}}\cdot {\displaystyle \frac{a_3}{b_3}})$$
• distributiva del prodotto rispetto alla somma: $$({\displaystyle \frac{a_1}{b_1}}+{\displaystyle \frac{a_2}{b_2}})\cdot {\displaystyle \frac{a_3}{b_3}}={\displaystyle \frac{a_1}{b_1}}\cdot {\displaystyle \frac{a_3}{b_3}}+{\displaystyle \frac{a_2}{b_2}}\cdot {\displaystyle \frac{a_3}{b_3}}$$

Rappresentazioni

Poiché esiste un isomorfismo che associa a ogni interno $z$ il suo opposto $-z$, ci concentriamo sulla rappresentazione dei razionali positivi. I razionali negativi si otterranno come opposto dei razionali positivi.

Frazioni

A questo punto il razionale $[(a,b)]$ viene semplicemente indicato con la notazione in frazione a cui siamo abituati:

$$[(n,d)]={\displaystyle \frac{n}{d}}$$

$n$ prende il nome di numeratore, mentre $d$ di denominatore. $n/d$ si legge come il nome cardinale del numero $n$ seguito dal nome ordinale del numero $d$. Ad esempio, 

• $1/3$ si legge "un terzo";
• $4/5$ si legge "quattro quinti";
• $7/21$ si legge "sette ventunesimi";
• etc.

Questa lettura deriva dal fatto che il significato matematico di $n/d$ rappresenta $n$ parti di $d$. Per intenderci meglio: ricordi il problema all'inizio delle tre fette di torta da dividere in due persone? Ogni persona riceve $3/2$, ovvero tre mezzi della quantità di torta iniziale.

Figura 1: le $3$ fette di torta vengono divise in $2$ parti uguali, ma la quantità totale resta $3$. Ogni parte contiene $3/2$ del totale.

Le frazioni positive si classificano in

• proprie, se il numeratore è minore del denominatore, ovvero se appartengono alla classe di equivalenza $[(n,d)]$ tale che $n<d$.
• improprie, se il numeratore è maggiore del denominatore, ovvero se appartengono alla classe di equivalenza $[(n,d)]$ tale che $n>d$. Tutte le frazioni improprie possono essere rappresentate come la somma tra un intero e una frazione propria. Infatti, grazie alla divisione di $n$ con resto $r$: $$n>d\Rightarrow \mathrm{\exists }q,r\in \mathbb{Z}:{\displaystyle \frac{n}{d}}={\displaystyle \frac{qd+r}{d}}=q+{\displaystyle \frac{r}{d}}$$ dove $r<d$. Per questo motivo si può omettere il segno "$+$" e scrivere semplicemente $q{\displaystyle \frac{r}{d}}$. Questa notazione si chiama frazione mista.
• apparente, se il numeratore è un multiplo del denominatore, ovvero se appartengono alla classe di equivalenza $[(n,d)]$ tale che $n=qd$, con $q\in \mathbb{Z}$. Si noti che tutti gli interi appartengono alla classe di equivalenza $[(qd,d)]$ e tutti i razionali appartenenti alla classe di equivalenza $[(qd,d)]$ sono interi, pertanto $$z\in \mathbb{Z}\iff z=[(qd,d)],q\in \mathbb{Z}$$. In questo senso $\mathbb{Z}$ è un sottoinsieme di $\mathbb{Q}$. In particolare, si ha $[(kd,d)]=q$. In parole povere: $n/d$ è una frazione apparente se e solo se la divisione con resto di $n$ per $d$ dà resto nullo ed è pari al quoziente $q$, che sarà un numero intero.

Le frazioni proprie sono strettamente minori di $1$, mentre le improprie sono strettamente maggiori di $1$. Le frazioni uguali a $1$ sono apparenti e il numeratore è uguale al denominatore.

Rappresentazione decimale

Esiste anche un'altra notazione: la rappresentazione decimale. Grazie alla rappresentazione mista, resta dimostrato che ogni numero razionale $a/b$ può essere rappresentato come la somma (o la differenza, nel caso di un razionale negativo) di una somma di $m$ razionali $r_1,...,r_m$ e di una serie di potenze del $10$ con coefficiente naturale $p$:

$${\displaystyle \frac{a}{b}}=\sum _{i=1}^m{r}_i+\sum _{i=m+1}^{\mathrm{\infty }}p\cdot {10}^{-ki}$$

$p$ si chiama periodo.

Ad esempio:

• ${\displaystyle \frac{3}{2}}=1{\displaystyle \frac{1}{2}}=1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+\sum _{i=2}^{n}0\cdot {10}^{-i}$
• ${\displaystyle \frac{5}{3}}=1{\displaystyle \frac{2}{3}}=1+\sum _{i=1}^{n}6\cdot {10}^{-i}$
• $1=1+\sum _{i=2}^{n}0\cdot {10}^{-i}$
• ${\displaystyle \frac{13}{11}}=1{\displaystyle \frac{2}{11}}=1+\sum _{i=1}^{n}18\cdot {10}^{-ki}$
• ${\displaystyle \frac{2452}{3}}=817{\displaystyle \frac{1}{3}}=817+\sum _{i=1}^{n}3\cdot {10}^{-i}$

Per semplificare la notazione, si scrive il numero $q$ della notazione mista, seguito dalla virgola $,$ e da una sequenza di naturali $b_0{b}_1{b}_2...$ che, dopo alcune cifre, cominciano a ripetersi nel periodo, che viene indicato con una linea.

Ad esempio:

• ${\displaystyle \frac{3}{2}}=1,5\bar{0}=1,50000...$
• ${\displaystyle \frac{5}{3}}=1,\bar{6}=1,6666...$
• $1=1,\bar{0}=1,0000...$
• ${\displaystyle \frac{13}{11}}=1,\overline{18}=1,18181818...$
• ${\displaystyle \frac{2452}{3}}=817,\bar{3}=817,3333...$

La virgola si chiama separatore decimale, il numero a sinistra della virgola parte intera, mentre la parte a destra si chiama parte decimale. La parte decimale si suddivide ancora in antiperiodo, ovvero la parte che non si ripete, e periodo, ossia la parte che si ripete e che viene indicata sotto la linea. Nella notazione anglosassone si usa il punto $.$ come separatore decimale.

Solitamente, se la parte periodica è $\bar{0}$, questa viene omessa.

Numerabilità

La numerabilità dell'insieme $\mathbb{Q}$ è stata dimostrata da Georg Cantor [1] utilizzando lo schema in Figura 2.

Figura 2: dimostrazione di Cantor della numerabilità di $\mathbb{Q}$. I razionali rossi non rappresentano nuovi numeri razionali rispetto a numeri comparsi in precedenza nel percorso.

Si assegna al razionale $0$ lo $0$ dei naturali. Successivamente, a ogni classe di equivalenza $[(a,b)]$ (e, quindi, a ogni razionale) può essere assegnato un naturale seguendo il percorso indicato dalle frecce. Dunque, l'insieme dei razionali positivi è infinito numerabile. Lo stesso procedimento può essere applicato ai razionali negativi, quindi anche questo insieme è infinito numerabile. Poiché $\mathbb{Q}$ è l'unione degli insiemi dei razionali positivi e di quelli negativi e poiché l'unione di insiemi infinito numerabili è infinito numerabile,  $\mathbb{Q}$ è infinito numerabile e la sua cardinalità è ${\mathrm{\aleph }}_0$.

È banale dimostrare che

• $sup\mathbb{Q}=+\mathrm{\infty }$
• $inf\mathbb{Q}=-\mathrm{\infty }$

Riferimenti

[1] Numero razionale - Wikipedia

Immagini

Figura 1: generato con Microsoft Paint.

Figura 2: di Cronholm144 - Opera propria, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2203732.