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Lo studio di funzione

Cos'è e a cosa serve lo studio di funzione?  Lo studio di funzione è un importante strumento dell'analisi matematica per poter comprendere al meglio le caratteristiche di una funzione. Ne discende che chiunque lavori nell'ambito delle scienze esatte deve padroneggiare l'abilità di studiare una funzione. In questo post vedremo come si fa uno studio di funzione, a una o più variabili, portando due esempi. Inoltre, vedremo in qual modo lo studio di una funzione possa essere applicato a un caso reale. Studio di funzione: come si fa? Lo studio di una funzione reale a variabili reali deve passare per i seguenti passi in modo ordinato: Dominio e l'immagine : ponendo le condizioni di esistenza della funzione f:DC si può comprendere quale sia il suo dominio naturale D. Inoltre, non meno importante è studiare quale sia l'immagine Im, che può darci utili informazioni. Simmetrie : cerchia...

Il ciclo Sabathé

Generalizzare i cicli Otto e Diesel 

I rinomati cicli Otto e Diesel utilizzati dai motori a combustione interna per convertire l'energia chimica contenuta in una miscela infiammabile in energia meccanica sono casi particolari del ciclo Sabathé. In questo post analizzeremo il ciclo Sabathé ideale, soffermandoci ai cicli reali in un altro post.

Figura 1: motore a combustione interna ad accensione comandata.

Il ciclo Sabathé           [ torna al menu ]

Il ciclo Sabathé ideale è costituito dalle seguenti trasformazioni termodinamiche di un gas ideale (indichiamo con i numeri gli stati termodinamici del gas in ordine crescente corrispondente all'ordine temporale):

  • 1 - 2: compressione adiabatica: il gas viene compresso senza scambiare calore con l'ambiente, aumentandone la densità e la pressione.
  • 2 - 3: combustione isocora: la miscela viene infiammata, comburendo a volume costante. La combustione porta a un rapido innalzamento della pressione. Nel ciclo ideale si suppone che questa trasformazione sia istantanea.
  • 3 - 4: combustione isobara: la combustione procede in questa fase a pressione costante.
  • 4 - 5: espansione adiabatica: dopo la combustione il pistone arretra, espandendo la miscela combusta. Nel ciclo ideale questa trasformazione si suppone adiabatica.
  • 5 - 1: trasformazione isocora: la valvola di scarico si apre, portando a un abbassamento rapido della pressione. Nel ciclo ideale tale abbassamento si suppone istantaneo.

Definiti vi e pi il volume specifico e la pressione allo stato i, per analizzare un ciclo Sabathé si utilizzano tipicamente i seguenti parametri:

  • rapporto di compressione volumetrico:ρv=v1v2
  • rapporto di combustione isocora:τ=p3p2
  • rapporto di combustione isobara:σ=v4v3

Riportiamo ora un grafico delle trasformazioni sul piano pressione-volume di un possibile ciclo Sabathé con aria, partendo dallo stato 1 a condizioni termodinamiche ambientali di 20°C e pressione 1.01325bar, supponendo che la combustione porti la temperatura nello stato 4 a 1500°C, con ρv=10 e σ=1.7.

In rosso sono riportate le fasi di assorbimento del calore, mentre in blu le fasi di cessione del calore. In verde: l'area del ciclo, pari al lavoro generato.

Calcolo del rendimento           [ torna al menu ]

Il rendimento del ciclo ideale vale

ηid=1+QQ+=1+q51q23+q34=1+cv(T1T5)cv(T3T2)+cp(T4T3)=1T1(T5T11)T2(T3T21)+kT3(T4T31)=1T1T2T5T11T3T21+kT3T2(T4T31)

dove sono indicati con Q e Q+ il calore ceduto e assorbito dal gas.

Ora, alcune osservazioni:

  • La trasformazione 1-2 è isoentropica, dunque la grandezza Tvk1 si conserva:T1v1k1=T2v2k1Segue cheT1T2=(v2v1)k1=1ρvk1
  • La trasformazione 2-3 è isocora, dunque v1=v2. Le equazioni di questi due stati sonop2v2=RT1p3v3=RT3Rapportando i membri delle due equazioni R e i volumi si cancellano, portando all'uguaglianzaT3T2=p3p2=τ
  • La trasformazione 3-4 è isobara, dunque p3=p4. Analogamente a quanto fatto al punto precedente si dimostra che:T4T3=v4v3=σ
  • La trasformazione 5-1 è isocora, dunque v1=v5. Dalle equazioni di stato si dimostra che(1)T5T1=p5p1Ricordando che le trasformazioni 1 - 2 e 4 - 5 sono isoentropiche:T4p41kk=T5p51kkT1p11kk=T2p21kkdunque:T5T1(p5p1)1kk=T4T2(p4p2)1kkRicordando che p3=p4 e la (1) si ottiene:(T5T1)1k=T3T2T4T3(p3p2)1kk=τστ1kk=τ1kσrisultando, infine, inT5T1=τσk

Alla luce di queste considerazioni si ottiene l'espressione finale rendimento del ciclo:

ηid=11ρvk1τσk1τ1+kτ(σ1)

Si nota che ηid aumenta all'aumentare del rapporto di compressione ρv. Dal punto di vista ingegneristico non è possibile aumentare questo parametro oltre il valore 10÷12 nei motori ad accensione comandata, per evitare la detonazione nella camera di combustione, un fenomeno dannoso per il motore. Questo limite è superato soltanto con l'adozione di un ciclo ad accensione spontanea.

I rendimenti di un motore a combustione interna sono nella realtà bassi relativamente ad altre macchine: ηid appartiene all'intervallo (0.28,0.40). Il rendimento del ciclo reale, inoltre, è ancora minore a causa delle differenze, che non dipendono dalla macchina, con le ipotesi del ciclo ideale. 

Relazione con i cicli Otto e Diesel           [ torna al menu ]

I cicli Otto e Diesel sono dei casi particolari di ciclo Sabathé. 

Il ciclo Otto si ottiene da un ciclo Sabathé con σ=1, ottenendo il rendimento

ηid, Otto=11ρvk1

Il ciclo Diesel si ottiene da un ciclo Sabathé con τ=1, ottenendo il rendimento

ηid, Diesel=11ρvk1σk1k(σ1)

Entrambi i cicli reali Otto e Diesel approssimano il ciclo Sabathé, il primo con una marcata trasformazione isocora e il secondo con una marcata trasformazione isobara per le fasi di combustione. 

Fonti delle immagini           [ torna al menu ]

Figura 1: di Alex France from England - Rotax FR 125 Senior Max Engine, CC BY-SA 2.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=10498894.

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