Il ciclo Sabathé

Generalizzare i cicli Otto e Diesel 

I rinomati cicli Otto e Diesel utilizzati dai motori a combustione interna per convertire l'energia chimica contenuta in una miscela infiammabile in energia meccanica sono casi particolari del ciclo Sabathé. In questo post analizzeremo il ciclo Sabathé ideale, soffermandoci ai cicli reali in un altro post.

Figura 1: motore a combustione interna ad accensione comandata.

Indice dei contenuti

• Il ciclo Sabathé
• Calcolo del rendimento
• Relazione con i cicli Otto e Diesel
• Fonti delle immagini

Il ciclo Sabathé           [ torna al menu ]

Il ciclo Sabathé ideale è costituito dalle seguenti trasformazioni termodinamiche di un gas ideale (indichiamo con i numeri gli stati termodinamici del gas in ordine crescente corrispondente all'ordine temporale):

• \(1\) - \(2\): compressione adiabatica: il gas viene compresso senza scambiare calore con l'ambiente, aumentandone la densità e la pressione.
• \(2\) - \(3\): combustione isocora: la miscela viene infiammata, comburendo a volume costante. La combustione porta a un rapido innalzamento della pressione. Nel ciclo ideale si suppone che questa trasformazione sia istantanea.
• \(3\) - \(4\): combustione isobara: la combustione procede in questa fase a pressione costante.
• \(4\) - \(5\): espansione adiabatica: dopo la combustione il pistone arretra, espandendo la miscela combusta. Nel ciclo ideale questa trasformazione si suppone adiabatica.
• \(5\) - \(1\): trasformazione isocora: la valvola di scarico si apre, portando a un abbassamento rapido della pressione. Nel ciclo ideale tale abbassamento si suppone istantaneo.

Definiti \(v_i\) e \(p_i\) il volume specifico e la pressione allo stato \(i\), per analizzare un ciclo Sabathé si utilizzano tipicamente i seguenti parametri:

• rapporto di compressione volumetrico:$$ \rho_v = \dfrac{v_1}{v_2} $$
• rapporto di combustione isocora:$$ \tau = \dfrac{p_3}{p_2} $$
• rapporto di combustione isobara:$$ \sigma = \dfrac{v_4}{v_3} $$

Riportiamo ora un grafico delle trasformazioni sul piano pressione-volume di un possibile ciclo Sabathé con aria, partendo dallo stato \(1\) a condizioni termodinamiche ambientali di \(20 \text{°C}\) e pressione \(1.01325 \mspace{3mu} bar\), supponendo che la combustione porti la temperatura nello stato \(4\) a \(1500 \text{°C}\), con \(\rho_v = 10\) e \(\sigma = 1.7\).

In rosso sono riportate le fasi di assorbimento del calore, mentre in blu le fasi di cessione del calore. In verde: l'area del ciclo, pari al lavoro generato.

Calcolo del rendimento           [ torna al menu ]

Il rendimento del ciclo ideale vale

$$ \begin{array}{rl} \eta_{\text{id}} & = 1 + \dfrac{Q^-}{Q^+} \\ & = 1 + \dfrac{q_{51}}{q_{23} + q_{34}} \\ & = 1 + \dfrac{c_v(T_1-T_5)}{c_v(T_3-T_2) + c_p(T_4-T_3)} \\ & = 1 - \dfrac{T_1 \left( \dfrac{T_5}{T_1}-1 \right)}{T_2 \left( \dfrac{T_3}{T_2}-1 \right) + k T_3 \left( \dfrac{T_4}{T_3}-1 \right)} \\ & = 1 - \dfrac{T_1 }{T_2} \dfrac{ \dfrac{T_5}{T_1}-1 }{ \dfrac{T_3}{T_2}-1 + k \dfrac{T_3}{T_2} \left( \dfrac{T_4}{T_3}-1 \right)} \end{array} $$

dove sono indicati con \(Q^-\) e \(Q^+\) il calore ceduto e assorbito dal gas.

Ora, alcune osservazioni:

• La trasformazione \(1\)-\(2\) è isoentropica, dunque la grandezza \(Tv^{k-1}\) si conserva:$$T_1v_1^{k-1} = T_2v_2^{k-1}$$Segue che$$\dfrac{T_1}{T_2} = \left(\dfrac{v_2}{v_1}\right)^{k-1} = \dfrac{1}{\rho_v^{k-1}} $$
• La trasformazione \(2\)-\(3\) è isocora, dunque \(v_1=v_2\). Le equazioni di questi due stati sono$$ p_2 v_2 = R T_1$$$$p_3v_3=RT_3$$Rapportando i membri delle due equazioni \(R\) e i volumi si cancellano, portando all'uguaglianza$$\dfrac{T_3}{T_2}=\dfrac{p_3}{p_2}=\tau $$
• La trasformazione \(3\)-\(4\) è isobara, dunque \(p_3=p_4\). Analogamente a quanto fatto al punto precedente si dimostra che:$$\dfrac{T_4}{T_3}=\dfrac{v_4}{v_3}=\sigma $$
• La trasformazione \(5\)-\(1\) è isocora, dunque \(v_1=v_5\). Dalle equazioni di stato si dimostra che$$\dfrac{T_5}{T_1}=\dfrac{p_5}{p_1} \label{eq1} \tag{1}$$Ricordando che le trasformazioni \(1\) - \(2\) e \(4\) - \(5\) sono isoentropiche:$$ T_4 p_4^{\frac{1-k}{k}} = T_5 p_5^{\frac{1-k}{k}} $$$$ T_1 p_1^{\frac{1-k}{k}} = T_2 p_2^{\frac{1-k}{k}} $$dunque:$$ \dfrac{T_5}{T_1} \left(\dfrac{p_5}{p_1}\right)^{\frac{1-k}{k}} = \dfrac{T_4}{T_2} \left(\dfrac{p_4}{p_2}\right)^{\frac{1-k}{k}} $$Ricordando che \(p_3 = p_4\) e la \(\eqref{eq1}\) si ottiene:$$ \left(\dfrac{T_5}{T_1}\right)^{\frac{1}{k}} = \dfrac{T_3}{T_2} \dfrac{T_4}{T_3} \left(\dfrac{p_3}{p_2}\right)^{\frac{1-k}{k}} = \tau \sigma \tau^{\frac{1-k}{k}} = \tau^{\frac{1}{k}} \sigma  $$risultando, infine, in$$ \dfrac{T_5}{T_1} = \tau \sigma ^k $$

Alla luce di queste considerazioni si ottiene l'espressione finale rendimento del ciclo:

$$ \eta_{\text{id}} = 1 -\dfrac{1}{\rho_v^{k-1}} \dfrac{ \tau \sigma ^k-1 }{ \tau-1 + k \tau \left( \sigma -1 \right)} $$

Si nota che \(\eta_{\text{id}}\) aumenta all'aumentare del rapporto di compressione \(\rho_v\). Dal punto di vista ingegneristico non è possibile aumentare questo parametro oltre il valore \(10÷12\) nei motori ad accensione comandata, per evitare la detonazione nella camera di combustione, un fenomeno dannoso per il motore. Questo limite è superato soltanto con l'adozione di un ciclo ad accensione spontanea.

I rendimenti di un motore a combustione interna sono nella realtà bassi relativamente ad altre macchine: \(\eta_{\text{id}} \) appartiene all'intervallo \((0.28,0.40)\). Il rendimento del ciclo reale, inoltre, è ancora minore a causa delle differenze, che non dipendono dalla macchina, con le ipotesi del ciclo ideale. 

Relazione con i cicli Otto e Diesel           [ torna al menu ]

I cicli Otto e Diesel sono dei casi particolari di ciclo Sabathé. 

Il ciclo Otto si ottiene da un ciclo Sabathé con \(\sigma = 1\), ottenendo il rendimento

$$ \eta_{\text{id, Otto}} = 1 -\dfrac{1}{\rho_v^{k-1}} $$

Il ciclo Diesel si ottiene da un ciclo Sabathé con \(\tau = 1\), ottenendo il rendimento

$$ \eta_{\text{id, Diesel}} = 1 -\dfrac{1}{\rho_v^{k-1}} \dfrac{ \sigma ^k-1 }{ k \left( \sigma -1 \right)} $$

Entrambi i cicli reali Otto e Diesel approssimano il ciclo Sabathé, il primo con una marcata trasformazione isocora e il secondo con una marcata trasformazione isobara per le fasi di combustione. 

Fonti delle immagini           [ torna al menu ]

Figura 1: di Alex France from England - Rotax FR 125 Senior Max Engine, CC BY-SA 2.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=10498894.