Cos'è e a cosa serve lo studio di funzione? Lo studio di funzione è un importante strumento dell'analisi matematica per poter comprendere al meglio le caratteristiche di una funzione. Ne discende che chiunque lavori nell'ambito delle scienze esatte deve padroneggiare l'abilità di studiare una funzione. In questo post vedremo come si fa uno studio di funzione, a una o più variabili, portando due esempi. Inoltre, vedremo in qual modo lo studio di una funzione possa essere applicato a un caso reale. Studio di funzione: come si fa? Lo studio di una funzione reale a variabili reali deve passare per i seguenti passi in modo ordinato: Dominio e l'immagine : ponendo le condizioni di esistenza della funzione \(f:D \rightarrow C\) si può comprendere quale sia il suo dominio naturale \(D\). Inoltre, non meno importante è studiare quale sia l'immagine \(\text{Im}\), che può darci utili informazioni. Simmetrie : cerchia
Cos'è una funzione?
Sicuramente avrai sentito parlare di funzioni alle superiori, ma sono un concetto che può sembrare difficile da comprendere per chi è alle prime armi. Cosa significa quella scritta \(f(x)\)? E quei simboli \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)? In questo post cercheremo di rispondere a queste domande!
Se ti sei perso il post sui fondamenti d'insiemistica si consiglio di leggerlo.
Sommario
- Definizioni
- Operazioni
- Estensione e restrizione
- Applicazioni
- Immagini
Definizioni
Siano \(D\) e \(C\) due insiemi qualsiasi. Una funzione \(f\) (a volte chiamata applicazione) si definisce come una legge che associa ad ogni elemento \(x\) di \(D\) un elemento \(y\) di \(C\). Quest'associazione si scrive con la notazione$$ f: D \rightarrow C $$
o, equivalentemente,
$$ x \longmapsto f(x) $$
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| Figura 1: esempio di funzione. L'insieme blu si chiama dominio, quello viola codominio. |
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| Figura 2: esempio di non funzione. La legge associa a \(b\) due elementi, mentre per essere definita "funzione" deve assegnare una sola immagine a ogni elemento del dominio. |
$$ f(x)=y $$
(leggi: "effe di x"). Ovviamente, \(y\) sarà espresso in termini di \(x\) e dev'essere univocamente determinato. \(y\) si chiama immagine di \(x\), mentre \(x\) si chiama controimmagine di \(y\). In termini matematici, si definisce controimmagine di \(y \in C\) l'insieme
$$ f^{-1}(y) = \{x \in D: f(x) = y\} $$
mentre l'insieme delle immagini di \(x \in D \) si definisce immagine di \(f\) e si scrive equivalentemente come \(\text{Im}(f)\) o \(f(D)\):
$$ f(D) = \{y \in C|\exists x\in D: y=f(x)\} $$
- Se \(f(D) = C\), ovvero se tutti gli elementi \(y\) di \(C\) sono stati associati ad almeno un elemento \(x\) del dominio \(D\), la funzione si dice suriettiva. In linguaggio matematico si scrive $$ f \text{ è suriettiva } \Leftrightarrow \forall y\in C \mspace{3mu} \exists x \in D : f(x) = y $$
- Se a ogni elemento \(x\) di \(D\) è stato associato un diverso elemento \(y\) di \(C\), la funzione si dice iniettiva. $$ f \text{ è iniettiva } \Leftrightarrow \forall x_1,x_2\in D: x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2) $$ o, equivalentemente, $$ f \text{ è iniettiva } \Leftrightarrow \forall x_1,x_2\in D: f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 $$
- Se la funzione è sia iniettiva che suriettiva, si dice biiettiva.
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| Figura 3: funzione suriettiva. |
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| Figura 4: funzione iniettiva. |
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| Figura 5: funzione biiettiva. |
È possibile che la funzione \(f\) sia definita su un dominio \(D\) che è il prodotto cartesiano di \(n \in \mathbb{N}\) insiemi \(X_1, ..., X_n\). In tal caso, l'elemento \(x \in D\) è una \(n\)-upla \((x_1,...,x_n)\) e \(n\) sono le variabili indipendenti. Per \(n \geq 2\) la funzione \(f\) viene spesso (soprattutto in fisica) denominata campo e la controimmagine può essere indicata sia sottoforma di vettore, ovvero: \(f( \mathbf{x})\), sia per elencazione delle componenti, ovvero: \(f(x_1,...,x_n)\).
È anche possibile, analogamente, che il codominio \(C\) sia il prodotto cartesiano di \(m\) insiemi \(Y_1,...,Y_m\).
- per \(m = 1\) si parla di campo scalare. Un esempio di campo scalare è la funzione \(p(\mathbf{x},t): \mathcal{E}_3 \times I \rightarrow \mathbb{R}\) che associa ad ogni punto \(\mathbf{x} = (x,y,z)\) dello spazio euclideo tridimensionale \(\mathcal{E}_3\) in certo istante \(t \in I \subseteq \mathbb{R}\) del tempo la pressione assoluta \(p\) del sistema in quel punto.
- per \(m \geq 2\) si parla di campo vettoriale. Ad esempio, il campo di accelerazione gravitazionale \(\mathbf{g}:\mathcal{E}_3 \rightarrow \mathbb{R}^3\) assegna ad ogni punto \(\mathbf{x}\) dello spazio euclideo \(\mathcal{E}_3\) l'accelerazione gravitazionale \(\mathbf{g}\) in quel punto.
Un'altra notazione rilevante delle funzioni è quella infissa per le funzioni a due variabili:
\( \quad f(x,y) = xfy\)
usata soprattutto per le operazioni algebriche. Ad esempio, le funzioni di somma, sottrazione, moltiplicazione e quoziente si scrivono con questa notazione:
- \(+(x,y)=x+y\)
- \(-(x,y)=x-y\)
- \(\cdot (x,y)=x \cdot y\)
- \(\div (x,y)= \dfrac x y\)
Inoltre, se la funzione \(f\) è
- \(\forall x \in \text{dom}(f) \mspace{7mu} f(-x)=f(x)\), \(f\) si dice pari.
- \(\forall x \in \text{dom}(f) \mspace{7mu} f(-x)=-f(x)\), \(f\) si dice dispari.
Ovviamente, una funzione potrebbe essere né pari, né dispari. Per le funzioni a singola variabile la prima condizione si traduce nella simmetria rispetto all'asse \(y\), mentre la seconda condizione nella simmetria rispetto all'origine del sistema di riferimento.
Esempio di funzione pari:
e di funzione dispari:
Operazioni
Indichiamo con \(\text{dom}(f)\) il dominio della funzione \(f\) e con \(\text{cod}(f)\) il suo codominio. Tra funzioni si possono definire le solite operazioni di somma, sottrazione, prodotto, quoziente e potenza
- somma: $$ \begin{array}{c} +(f,g): \text{dom}(f) \cap \text{dom}(g) \rightarrow \text{cod}(f) \cap \text{cod}(g) , \\ +(f,g) = f(x) + g(x) \mspace{7mu} \forall x \in \text{dom}(f) \cap \text{dom}(g) \end{array} $$
- sottrazione: $$ \begin{array}{c} -(f,g): \text{dom}(f) \cap \text{dom}(g) \rightarrow \text{cod}(f) \cap \text{cod}(g), \\ -(f,g) = f(x) - g(x) \mspace{7mu} \forall x \in \text{dom}(f) \cap \text{dom}(g) \end{array} $$
- prodotto: $$ \begin{array}{c} \cdot (f,g): \text{dom}(f) \cap \text{dom}(g) \rightarrow \text{cod}(f) \cap \text{cod}(g) , \\ \cdot (f,g) = f(x) g(x) \mspace{7mu} \forall x \in \text{dom}(f) \cap \text{dom}(g) \end{array} $$
- divisione: $$ \begin{array}{c} \div (f,g): \text{dom}(f) \cap \left( \text{dom}(g) \setminus \{0\} \rightarrow \text{cod}(f) \cap \text{cod}(g) \right) , \\ \div (f,g) = \dfrac{f(x)}{g(x)} \mspace{7mu} \forall x \in \text{dom}(f) \cap \text{dom}(g)\setminus \{0\} \end{array}$$
Inoltre, esistono anche
- la composizione: date due funzioni \( f:D\rightarrow K, g:K \rightarrow C\) si definisce la funzione composta \( g \circ f : D \rightarrow C\) come $$ (g \circ f)(x) = g \left( f(x) \right) $$
- la traslazione della funzione \(f: D \rightarrow C\) di una costante \(c\):
- verso destra: \(h: \{x-c : x \in D \} \rightarrow K, h(x) = f(x-c)\)
- verso sinistra: \(h: \{x+c : x \in D \} \rightarrow K, h(x) = f(x+c)\)
- verso l'alto: \(h: D \rightarrow \{f(x)+c : f(x) \in K \}, h(x) = f(x)+c\)
- verso il basso: \(h: D \rightarrow \{f(x)-c : f(x) \in K \}, h(x) = f(x)-c\)
Ad esempio, nella seguente immagine in rosso è riportato il grafico della funzione \(f(x) = 1/x\), mentre in blu il grafico della funzione \(f(x-2) = 1/(x-2)\), corrispondente alla funzione \(f\) traslata verso destra di due unità.
Estensione e restrizione
Dati gli insiemi \(V\) e \(C\), un sottoinsieme \(K \subset V\) e una funzione \(f:K \rightarrow C\), la funzione \(\tilde{f} : V \rightarrow C\) si dice estensione di \(f\) all'insieme \(V\) se \(\tilde{f} \circ i = f\). \(i: K \rightarrow C\), definita come \(i(x)=x\), si chiama inclusione di \(K\) in \(V\).
Viceversa, \(f\) è la restrizione di \(\tilde{f}\) a \(K\) e si scrive \(\tilde{f}\big|_K\).
Applicazioni
Le funzioni sono strumenti matematici potenti e fondamentali in tutte le scienze esatte. Questi strumenti permettono di descrivere matematicamente il concetto di causa-effetto. Si può vedere la funzione come una macchina che, dato l'input \(x\), elabora un output \(y=f(x)\).
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| Figura 6: funzione \(f(x)\) come macchina di elaborazione dell'input \(x\). |
In geometria analitica le funzioni \(f:V \rightarrow V\) invertibili che conservano le proprietà geometriche di \(V\) si chiamano trasformazioni.
In fisica le funzioni possono descrivere l'evoluzione nel tempo di una grandezza (e non solo). Ad esempio, la posizione \(\vec{\mathbf{r}}: \mathcal{E}_3 \times [t_0,t_1] \rightarrow \mathcal{E}_3\) del centro di massa di un corpo in caduta libera che parte da fermo e atterra all'istante \(t_1 \in \mathbb{R}\) è
\( \quad \vec{\mathbf{r}}(t) = \vec{\mathbf{r}}(t_0) + \dfrac 1 2 \vec{\mathbf{g}}(t-t_0)^2 \)
\(\vec{\mathbf{r}}(t)\) è dal punto di vista matematico è un punto dello spazio euclideo \(\mathcal{E}_3\) dipendente dalla variabile \(t \in [t_0,t_1]\), che rappresenta il tempo. \(\vec{\mathbf{r}}(t_0)\) è la posizione iniziale del corpo, mentre \(\vec{\mathbf{g}}\) è un campo vettoriale in \(\mathbb{R}^3\) che si suppone costante.
Immagini
Figure 1, 2, 3, 4, 5, 6: generate con Microsoft Paint
Grafici: generati con Desmos | Elaboratore grafico
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