Funzioni matematiche

Cos'è una funzione?

Sicuramente avrai sentito parlare di funzioni alle superiori, ma sono un concetto che può sembrare difficile da comprendere per chi è alle prime armi. Cosa significa quella scritta $f(x)$? E quei simboli $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$? In questo post cercheremo di rispondere a queste domande!

Se ti sei perso il post sui fondamenti d'insiemistica si consiglio di leggerlo.

Sommario

• Definizioni
• Operazioni
• Estensione e restrizione
• Applicazioni
• Immagini

Definizioni

Siano $D$ e $C$ due insiemi qualsiasi. Una funzione $f$ (a volte chiamata applicazione) si definisce come una legge che associa ad ogni elemento $x$ di $D$ un elemento $y$ di $C$. Quest'associazione si scrive con la notazione

$$f:D\to C$$

o, equivalentemente,

$$x⟼f(x)$$

Figura 1: esempio di funzione. L'insieme blu si chiama dominio, quello viola codominio.

Figura 2: esempio di non funzione. La legge associa a $b$ due elementi, mentre per essere definita "funzione" deve assegnare una sola immagine a ogni elemento del dominio.

L'insieme $D$ si chiama dominio della funzione, a volte indicato con $\text{dom}(f)$, mentre $C$ codominio. Ora, dobbiamo definire questa legge. Per farlo, scriveremo $f$, seguito tra parentesi l'elemento $x$ del dominio $D$ a cui si associa un elemento $y$ di $C$:

$$f(x)=y$$

(leggi: "effe di x"). Ovviamente, $y$ sarà espresso in termini di $x$ e dev'essere univocamente determinato. $y$ si chiama immagine di $x$, mentre $x$ si chiama controimmagine di $y$. In termini matematici, si definisce controimmagine di $y\in C$ l'insieme

$$f^{-1}(y)=\{x\in D:f(x)=y\}$$

mentre l'insieme delle immagini di $x\in D$ si definisce immagine di $f$ e si scrive equivalentemente come $\text{Im}(f)$ o $f(D)$:

$$f(D)=\{y\in C|\mathrm{\exists }x\in D:y=f(x)\}$$

• Se $f(D)=C$, ovvero se tutti gli elementi $y$ di $C$ sono stati associati ad almeno un elemento $x$ del dominio $D$, la funzione si dice suriettiva. In linguaggio matematico si scrive $$f\text{ è suriettiva }\iff \mathrm{\forall }y\in C\mathrm{\exists }x\in D:f(x)=y$$
• Se a ogni elemento $x$ di $D$ è stato associato un diverso elemento $y$ di $C$, la funzione si dice iniettiva. $$f\text{ è iniettiva }\iff \mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in D:x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$ o, equivalentemente, $$f\text{ è iniettiva }\iff \mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in D:f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$$
• Se la funzione è sia iniettiva che suriettiva, si dice biiettiva.

Figura 3: funzione suriettiva.

Figura 4: funzione iniettiva.

Figura 5: funzione biiettiva.

È possibile che la funzione $f$ sia definita su un dominio $D$ che è il prodotto cartesiano di $n\in \mathbb{N}$ insiemi $X_1,...,X_n$. In tal caso, l'elemento $x\in D$ è una $n$-upla $(x_1,...,x_n)$ e $n$ sono le variabili indipendenti. Per $n\ge 2$ la funzione $f$ viene spesso (soprattutto in fisica) denominata campo e la controimmagine può essere indicata sia sottoforma di vettore, ovvero: $f(\mathbf{x})$, sia per elencazione delle componenti, ovvero: $f(x_1,...,x_n)$.

È anche possibile, analogamente, che il codominio $C$ sia il prodotto cartesiano di $m$ insiemi $Y_1,...,Y_m$. 

• per $m=1$ si parla di campo scalare. Un esempio di campo scalare è la funzione $p(\mathbf{x},t):{\mathcal{E}}_3\times I\to \mathbb{R}$ che associa ad ogni punto $\mathbf{x}=(x,y,z)$ dello spazio euclideo tridimensionale ${\mathcal{E}}_3$ in certo istante $t\in I\subseteq \mathbb{R}$ del tempo la pressione assoluta $p$ del sistema in quel punto.
• per $m\ge 2$ si parla di campo vettoriale. Ad esempio, il campo di accelerazione gravitazionale $\mathbf{g}:{\mathcal{E}}_3\to {\mathbb{R}}^3$ assegna ad ogni punto $\mathbf{x}$ dello spazio euclideo ${\mathcal{E}}_3$ l'accelerazione gravitazionale $\mathbf{g}$ in quel punto.

Un'altra notazione rilevante delle funzioni è quella infissa per le funzioni a due variabili:

$f(x,y)=xfy$

usata soprattutto per le operazioni algebriche. Ad esempio, le funzioni di somma, sottrazione, moltiplicazione e quoziente si scrivono con questa notazione:

• $+(x,y)=x+y$
• $-(x,y)=x-y$
• $\cdot (x,y)=x\cdot y$
• $÷(x,y)={\displaystyle \frac{x}{y}}$

Inoltre, se la funzione $f$ è

• $\mathrm{\forall }x\in \text{dom}(f)f(-x)=f(x)$, $f$ si dice pari.
• $\mathrm{\forall }x\in \text{dom}(f)f(-x)=-f(x)$, $f$ si dice dispari.

Ovviamente, una funzione potrebbe essere né pari, né dispari. Per le funzioni a singola variabile la prima condizione si traduce nella simmetria rispetto all'asse $y$, mentre la seconda condizione nella simmetria rispetto all'origine del sistema di riferimento.

Esempio di funzione pari:

e di funzione dispari:

Operazioni

Indichiamo con $\text{dom}(f)$ il dominio della funzione $f$ e con $\text{cod}(f)$ il suo codominio. Tra funzioni si possono definire le solite operazioni di somma, sottrazione, prodotto, quoziente e potenza 

• somma: $$\begin{array}{c}+(f,g):\text{dom}(f)\cap \text{dom}(g)\to \text{cod}(f)\cap \text{cod}(g),\\ +(f,g)=f(x)+g(x)\mathrm{\forall }x\in \text{dom}(f)\cap \text{dom}(g)\end{array}$$
• sottrazione: $$\begin{array}{c}-(f,g):\text{dom}(f)\cap \text{dom}(g)\to \text{cod}(f)\cap \text{cod}(g),\\ -(f,g)=f(x)-g(x)\mathrm{\forall }x\in \text{dom}(f)\cap \text{dom}(g)\end{array}$$
• prodotto: $$\begin{array}{c}\cdot (f,g):\text{dom}(f)\cap \text{dom}(g)\to \text{cod}(f)\cap \text{cod}(g),\\ \cdot (f,g)=f(x)g(x)\mathrm{\forall }x\in \text{dom}(f)\cap \text{dom}(g)\end{array}$$
• divisione: $$\begin{array}{c}÷(f,g):\text{dom}(f)\cap (\text{dom}(g)\setminus \{0\}\to \text{cod}(f)\cap \text{cod}(g)),\\ ÷(f,g)={\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}\mathrm{\forall }x\in \text{dom}(f)\cap \text{dom}(g)\setminus \{0\}\end{array}$$

Inoltre, esistono anche 

• la composizione: date due funzioni $f:D\to K,g:K\to C$ si definisce la funzione composta $g\circ f:D\to C$ come $$(g\circ f)(x)=g(f(x))$$
• la traslazione della funzione $f:D\to C$ di una costante $c$:
• verso destra: $h:\{x-c:x\in D\}\to K,h(x)=f(x-c)$
• verso sinistra: $h:\{x+c:x\in D\}\to K,h(x)=f(x+c)$
• verso l'alto: $h:D\to \{f(x)+c:f(x)\in K\},h(x)=f(x)+c$
• verso il basso: $h:D\to \{f(x)-c:f(x)\in K\},h(x)=f(x)-c$

Ad esempio, nella seguente immagine in rosso è riportato il grafico della funzione $f(x)=1/x$, mentre in blu il grafico della funzione $f(x-2)=1/(x-2)$, corrispondente alla funzione $f$ traslata verso destra di due unità.

Estensione e restrizione

Dati gli insiemi $V$ e $C$, un sottoinsieme $K\subset V$ e una funzione $f:K\to C$, la funzione $\tilde{f}:V\to C$ si dice estensione di $f$ all'insieme $V$ se $\tilde{f}\circ i=f$. $i:K\to C$, definita come $i(x)=x$, si chiama inclusione di $K$ in $V$.

Viceversa, $f$ è la restrizione di $\tilde{f}$ a $K$ e si scrive $\tilde{f}{|}_K$.

Applicazioni

Le funzioni sono strumenti matematici potenti e fondamentali in tutte le scienze esatte. Questi strumenti permettono di descrivere matematicamente il concetto di causa-effetto. Si può vedere la funzione come una macchina che, dato l'input $x$, elabora un output $y=f(x)$.

Figura 6: funzione $f(x)$ come macchina di elaborazione dell'input $x$.

In geometria analitica le funzioni $f:V\to V$ invertibili che conservano le proprietà geometriche di $V$ si chiamano trasformazioni.

In fisica le funzioni possono descrivere l'evoluzione nel tempo di una grandezza (e non solo). Ad esempio, la posizione $\overrightarrow{\mathbf{r}}:{\mathcal{E}}_3\times [t_0,t_1]\to {\mathcal{E}}_3$ del centro di massa di un corpo in caduta libera che parte da fermo e atterra all'istante $t_1\in \mathbb{R}$ è

$\overrightarrow{\mathbf{r}}(t)=\overrightarrow{\mathbf{r}}(t_0)+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathbf{g}}(t-t_0{)}^2$ 

$\overrightarrow{\mathbf{r}}(t)$ è dal punto di vista matematico è un punto dello spazio euclideo ${\mathcal{E}}_3$ dipendente dalla variabile $t\in [t_0,t_1]$, che rappresenta il tempo. $\overrightarrow{\mathbf{r}}(t_0)$ è la posizione iniziale del corpo, mentre $\overrightarrow{\mathbf{g}}$ è un campo vettoriale in ${\mathbb{R}}^3$ che si suppone costante.

Immagini

Figure 1, 2, 3, 4, 5, 6: generate con Microsoft Paint

Grafici: generati con Desmos | Elaboratore grafico