Qual è la relazione tra due basi dello stesso spazio vettoriale?
In un post precedente abbiamo parlato di spazi vettoriali, di basi e di dimensione. Abbiamo visto che un'insieme di vettori che formano una base permettono di individuare ogni vettore dello spazio con una combinazione lineare, ma la base non è unica. La domanda sorge spontanea: che relazione esiste tra una base e l'altra? Come faccio a cambiare la base dello spazio? Vediamolo.
Sommario
- Introduzione al problema
- Generalizzazione del problema
- Proprietà della matrice di cambiamento di base
- Relazione tra le basi
- Matrice inversa
- Orientamento della base
- Permutazione dei vettori alla base
- Conservazione del volume
- Note
- Immagini
Introduzione al problema
Vediamo di capire l'importanza di questo problema con un esempio pratico. Immagina un piano inclinato su cui si trova una pallina come in Figura 1. Tutti abbiamo la concezione naturale di "alto" e "basso", quindi possiamo decidere di costruire un sistema di riferimento cartesiano bidimensionale nella base
Figura 1 |
In conclusione, la scelta del sistema di riferimento influenza la complessità computazionale del problema. Che relazione c'è tra le basi
Figura 2 |
Prendiamo, ad esempio, il vettore posizione
con coordinate
nella base
Vogliamo esprimerla nella base
Allora la posizione della pallina nel nuovo sistema di coordinate è
Quindi le coordinate della base
La matrice
si chiama matrice di cambiamento di base dalla base
Generalizzazione del problema
Come avrai intuito dall'introduzione, il cambiamento di base avviene per trasformazione lineare delle coordinate. Dati uno spazio vettoriale
Sappiamo che esiste un isomorfismo
Allo stesso modo, data un'altra base
Data la matrice di cambiamento di base
Ovviamente, le basi
Eureka! Se abbiamo la matrice
Le coordinate dell'
Per ogni
Calcoliamo, ora, le coordinate dello stesso vettore nella base
Ricordo che
è la -esima riga della matrice ; è il prodotto scalare euclideo su ; è l'elemento della matrice ; è l' -esima colonna della matrice .
Cosa concludiamo dal calcolo appena fatto? Ne concludiamo che le colonne della matrice
Proprietà della matrice di cambiamento di base
Siano
Relazione tra le basi
La matrice di cambiamento della base
Infatti, in tal modo si ha
Nota che il cambiamento di base da
In generale, date
Indicando con una freccia il cambiamento di base, si ha:
Penserai che sia un'ovvietà, ma quest'osservazione è molto potente. Infatti, il passaggio da una base
Ciò può essere dimostrato per induzione su
- Per
si ha . Infatti, date le basi , e si ha Questo passo è importante per dimostrare il passo induttivo: ci dice che in generale, date tre basi, si può passare dalla prima alla seconda e dalla seconda alla terza direttamente passando dalla prima alla terza base moltiplicando le matrici di cambiamento di base (facendo attenzione all'ordine di moltiplicazione). - Ora, poniamo che sia vero per
e dimostriamo che ciò implica la verità per :
Matrice inversa
Innanzitutto, notiamo che la matrice del cambiamento di base
Infatti, se fosse singolare, la trasformazione non sarebbe invertibile, ma io devo sempre poter tornare alla "vecchia" base dalla nuova con un procedimento inverso.
In particolare, la matrice inversa di quella
Ciò è semplice da dimostrare. Basta osservare dall'equazione
Orientamento della base
Se
Definire l'orientamento è importante in meccanica razionale. Un corpo, infatti, viene descritto in qualsiasi configurazione nello spazio attraverso una terna [1] che non può cambiare orientamento nello spaziotempo. La spiegazione del perché è molto semplice ed è sufficiente un esempio: come ben sai gli organi del corpo umano hanno un certo orientamento nello spazio che non è simmetrico rispetto ad alcun piano. Muoverti nello spazio equivale a una successione di trasformazioni
Permutazione dei vettori alla base
Sia
- pari, se il numero di scambi
è pari; - dispari, se il numero di scambi
è dispari.
Ad esempio, sia la base
Teorema 1: data la base
- una permutazione
pari dei suoi vettori genera una base dello stesso orientamento. In particolare . - Una permutazione
dispari, invece, genera una base di orientamento opposto. In particolare .
Ad esempio,
ha lo stesso orientamento delle basi e e le matrici di cambiamento di base hanno determinante . Questo perché le basi sono ottenute con permutazioni. ha orientamento opposto rispetto alle basi e e le matrici di cambiamento di base hanno determinante . Questo perché le basi sono ottenute con permutazione.
La dimostrazione è un po' lunga, continua a mantenere il sangue freddo! Se gli scambi sono
Quindi, il Teorema 1 è dimostrato per
Se la base
Come ben ricorderai dalla teoria sul determinante, uno scambio delle colonne produce un determinante uguale in valore assoluto e cambiato nel segno, quindi:
e il Teorema 1 è dimostrato per
In generale, sempre per il criterio precedente, se avvengono
- se
è pari, il determinante di è esattamente pari a quello di , ovvero a . - Se
è dispari, il determinante di è pari a quello di cambiato di segno, ossia a .
In formule:
QED
Conservazione del volume
Come ancora ricorderai dalla teoria, il determinante di una matrice
Se
Per il Teorema 1 le permutazioni dei vettori della base conservano il volume degli oggetti geometrici nello spazio vettoriale.
Note
[1] In fisica si usa chiamare "terna" una base ortonormale composta da tre versori.
Immagini
Figure 1 e 2: generate con Microsoft OneNote.
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