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Lo studio di funzione

Cos'è e a cosa serve lo studio di funzione?  Lo studio di funzione è un importante strumento dell'analisi matematica per poter comprendere al meglio le caratteristiche di una funzione. Ne discende che chiunque lavori nell'ambito delle scienze esatte deve padroneggiare l'abilità di studiare una funzione. In questo post vedremo come si fa uno studio di funzione, a una o più variabili, portando due esempi. Inoltre, vedremo in qual modo lo studio di una funzione possa essere applicato a un caso reale. Studio di funzione: come si fa? Lo studio di una funzione reale a variabili reali deve passare per i seguenti passi in modo ordinato: Dominio e l'immagine : ponendo le condizioni di esistenza della funzione f:DC si può comprendere quale sia il suo dominio naturale D. Inoltre, non meno importante è studiare quale sia l'immagine Im, che può darci utili informazioni. Simmetrie : cerchia...

Cambiamento di base

Qual è la relazione tra due basi dello stesso spazio vettoriale?

In un post precedente abbiamo parlato di spazi vettoriali, di basi e di dimensione. Abbiamo visto che un'insieme di vettori che formano una base permettono di individuare ogni vettore dello spazio con una combinazione lineare, ma la base non è unica. La domanda sorge spontanea: che relazione esiste tra una base e l'altra? Come faccio a cambiare la base dello spazio? Vediamolo.

Sommario

  • Introduzione al problema
  • Generalizzazione del problema
  • Proprietà della matrice di cambiamento di base
    • Relazione tra le basi
    • Matrice inversa
    • Orientamento della base
    • Permutazione dei vettori alla base
    • Conservazione del volume
  • Note
  • Immagini

Introduzione al problema

Vediamo di capire l'importanza di questo problema con un esempio pratico. Immagina un piano inclinato su cui si trova una pallina come in Figura 1. Tutti abbiamo la concezione naturale di "alto" e "basso", quindi possiamo decidere di costruire un sistema di riferimento cartesiano bidimensionale nella base B={ex,ey}, puntando il versore ey verso l'alto e il versore ex orizzontalmente verso il moto di rotolamento della pallina. È un sistema di riferimento certamente intuitivo con cui siamo familiari, ma l'equazione del moto in questo sistema si complica, poiché sarà bidimensionale. Se decidessimo, infatti, di porre la base come N={e1,e2}, con e1 parallelo al piano e concorde col moto della pallina e e2 normale al piano, il moto della pallina sarebbe unidimensionale (quindi più semplice da esprimere).

Figura 1

In conclusione, la scelta del sistema di riferimento influenza la complessità computazionale del problema. Che relazione c'è tra le basi B e N?

Figura 2

Prendiamo, ad esempio, il vettore posizione r della pallina nella base B:

r=xex+yey

con coordinate

[r]B=[xy]

nella base B.

Vogliamo esprimerla nella base N e lo facciamo iniziando a determinare la relazione tra i versori delle due basi. Se θ è l'inclinazione del piano, si ha

  • ex=cosθe1+sinθe2
  • ey=sinθe1+cosθe2

Allora la posizione della pallina nel nuovo sistema di coordinate è

r=x(cosθe1+sinθe2)+y(sinθe1+cosθe2)=(xcosθysinθ)e1+(xsinθ+ycosθ)e2

Quindi le coordinate della base N sono

[r]N=[xcosθysinθxsinθ+ycosθ]=[cosθsinθsinθcosθ][xy]

La matrice 

[R]BN=[cosθsinθsinθcosθ]

si chiama matrice di cambiamento di base dalla base B alla base N.

Generalizzazione del problema

Come avrai intuito dall'introduzione, il cambiamento di base avviene per trasformazione lineare delle coordinate. Dati uno spazio vettoriale V sul campo K, una base B={e1,e2,...,en} di V e un vettore rV

r=a1e1+a2e2+...+anen

Sappiamo che esiste un isomorfismo []B:VKn che associa al vettore r le proprie coordinate [r]BKn nella base B

[r]B=[a1a2an]

 Allo stesso modo, data un'altra base N={u1,u2,...,un} di V, esiste l'isomorfismo []N:VKn che associa al vettore r le proprie coordinate [r]NKn nella base N:

[r]N=[b1b2bn]

Data la matrice di cambiamento di base [R]BN dalla base B alla base N, la relazione tra i due sistemi di coordinate è la seguente:

(1)[r]N=[R]BN[r]B

Ovviamente, le basi B e N hanno la stessa dimensione n, quindi la matrice [R]BN è quadrata n×n.

Eureka! Se abbiamo la matrice [R]BN possiamo trasformare le coordinare di un qualsiasi vettore dalla base B a quella N, ma come si trova? Ottima domanda. I prossimi passaggi potrebbero essere spaventosi per chi li vede per la prima volta, ma calma e sangue freddo 😉, prenditi il tempo necessario per capirli. 

Le coordinate dell'i-esimo vettore ei nella base B sono

[ei]B=[0001i-esima coordinata00]

Per ogni i{1,...,n} il vettore ei ha nella base B tutte le coordinate nulle tranne l'i-esima, che vale 1. Dimostrarlo è banale e non ha bisogno di spiegazioni, ma rimarcarlo è importante per capire il prossimo passaggio.

Calcoliamo, ora, le coordinate dello stesso vettore nella base N con la formula (1) esplicitando le righe della matrice [R]BN:

[ei]N=[Row1([R]BN)Row2([R]BN)Rown([R]BN)][ei]B=[Row1([R]BN),[ei]BRow2([R]BN),[ei]BRown([R]BN),[ei]B]=[[[R]BN]1,i[[R]BN]2,i[[R]BN]n,i]=Coli([R]BN])

Ricordo che

  • Rowj([R]BN) è la j-esima riga della matrice [R]BN;
  • ,:Kn×KnK è il prodotto scalare euclideo su Kn;
  • [[R]BN]j,i è l'elemento (j,i) della matrice [R]BN;
  • Coli([R]BN]) è l'i-esima colonna della matrice [R]BN.

Cosa concludiamo dal calcolo appena fatto? Ne concludiamo che le colonne della matrice [R]BN, ovvero della matrice del cambiamento di base, sono costituite dalle coordinate dei vettori e1,...,en della base B nella base N a cui voglio passare.

[R]BN=[[e1]N[e2]N...[en]N]

Proprietà della matrice di cambiamento di base

Siano B e N due basi dello stesso spazio vettoriale V

Relazione tra le basi

La matrice di cambiamento della base [R]BN dev'essere tale che

[e1...en]=[u1...un][R]BN

Infatti, in tal modo si ha

r=[e1...en][r]B=[u1...un][R]BN[r]B=[u1...un][r]N

Nota che il cambiamento di base da B a sé stesso è rappresentato dalla matrice identità In:

[R]BB=In

In generale, date k basi B1,...,Bk, il cambiamento di base dalla base B1 a quella B2, da B2 a B3, da B3 a B4, ... da Bk1 a Bk equivale al cambiamento dalla base B1 alla base Bk

Indicando con una freccia il cambiamento di base, si ha:

(B1B2Bk)(B1Bk)

Penserai che sia un'ovvietà, ma quest'osservazione è molto potente. Infatti, il passaggio da una base B1 a quella Bk può essere piuttosto complicato se le basi sono molto diverse. Invece, è preferibile eseguire k1 passaggi più semplici per arrivare alla k-esima base. Come? La matrice di cambiamento dalla base B1 a quella Bk equivale a moltiplicare le matrici di cambiamento da una base all'altra:

[R]B1Bk=[R]Bk1Bk...[R]B2B3[R]B1B2

Ciò può essere dimostrato per induzione su k. Per k=1 e k=2 il teorema è banalmente dimostrato. Iniziamo la dimostrazione da k=3:

  • Per k=3 si ha [R]B1B3=[R]B2B3[R]B1B2. Infatti, date le basi B1={e1,...,en}, B2={u1,...,un} e B3={v1,...,vn} si ha [e1...en]=[u1...un][R]B1B2=[v1...vn][R]B2B3[R]B1B2Questo passo è importante per dimostrare il passo induttivo: ci dice che in generale, date tre basi, si può passare dalla prima alla seconda e dalla seconda alla terza direttamente passando dalla prima alla terza base moltiplicando le matrici di cambiamento di base (facendo attenzione all'ordine di moltiplicazione).
  • Ora, poniamo che sia vero per k e dimostriamo che ciò implica la verità per k+1: [R]B1Bk+1=passo precedente[R]BkBk+1[R]B1Bk=ipotesi induttiva[R]BkBk+1[R]Bk1Bk...[R]B2B3[R]B1B2
QED

Matrice inversa

Innanzitutto, notiamo che la matrice del cambiamento di base [R]BN non è singolare, ovvero il suo determinante è non nullo:

det[R]BN0

Infatti, se fosse singolare, la trasformazione non sarebbe invertibile, ma io devo sempre poter tornare alla "vecchia" base dalla nuova con un procedimento inverso.

In particolare, la matrice inversa di quella [R]BN del cambiamento dalla base B alla base N è la matrice [R]NB del cambiamento dalla base N alla base B:

([R]BN)1=[R]NB

Ciò è semplice da dimostrare. Basta osservare dall'equazione (1) che

[r]N=[R]BN[r]B[r]B=([R]BN)1[R]NB[r]N

Orientamento della base

Se det[R]BN>0 si dice che le basi B e N hanno lo stesso orientamento

Definire l'orientamento è importante in meccanica razionale. Un corpo, infatti, viene descritto in qualsiasi configurazione nello spazio attraverso una terna [1] che non può cambiare orientamento nello spaziotempo. La spiegazione del perché è molto semplice ed è sufficiente un esempio: come ben sai gli organi del corpo umano hanno un certo orientamento nello spazio che non è simmetrico rispetto ad alcun piano. Muoverti nello spazio equivale a una successione di trasformazioni [R]B(t0)B(t) dall'istante iniziale t0 a un generico istante t di tempo della base B all'istante t0 di riferimento. Se esistesse un istante t in cui det[R]B(t0)B(t)<0, il tuo corpo avrebbe cambiato orientamento, ovvero ti ritroveresti con gli organi invertiti rispetto alla loro posizione naturale e ciò ovviamente non è possibile. 

Permutazione dei vettori alla base

Sia B0 una base di n vettori. Chiamiamo una permutazione p dei vettori una successione di s scambi tra i vettori e chiamiamo Bp la nuova base ottenuta tramite gli scambi. Diciamo che la permutazione è 

  • pari, se il numero di scambi s è pari;
  • dispari, se il numero di scambi s è dispari.

Ad esempio, sia la base B0={e1,e2,e3}. Scambiando e1 e e3 si ottiene la base Bp={e3,e2,e1} e la permutazione è dispari, perché gli scambi totali realizzati sono 1. Scambiando ancora e2 e e1 si ottiene la base Bp={e3,e1,e2} e la permutazione diventa pari, perché ora gli scambi realizzati sono 2.

Teorema 1: data la base B0

  • una permutazione p pari dei suoi vettori genera una base Bp dello stesso orientamento. In particolare det[R]B0Bp=1.
  • Una permutazione p dispari, invece, genera una base Bp di orientamento opposto. In particolare det[R]B0Bp=1.

Ad esempio, 

  • {e1,e2,e3} ha lo stesso orientamento delle basi {e2,e3,e1} e {e3,e1,e2} e le matrici di cambiamento di base hanno determinante 1. Questo perché le basi sono ottenute con 2 permutazioni.
  • {e1,e2,e3} ha orientamento opposto rispetto alle basi {e1,e3,e2} e {e3,e2,e1} e le matrici di cambiamento di base hanno determinante 1. Questo perché le basi sono ottenute con 1 permutazione.

La dimostrazione è un po' lunga, continua a mantenere il sangue freddo! Se gli scambi sono 0, la permutazione produce una base identica a quella di partenza e la matrice di cambiamento di base è l'identità, il cui determinante è 1:

det[R]B0B0=detIn=1

Quindi, il Teorema 1 è dimostrato per 0 scambi. 

Se la base B0 è composta dai vettori e1,e2,...,ei1,ei,ei+1,...,ej1,ej,ej+1,...,en1,en, allora con lo scambio dell'i esimo vettore ei e del j-esimo vettore ej (con ij) si ottiene la base Bp={e1,e2,...,ei1,ej,ei+1,...,ej1,ei,ej+1,...,en1,en}, il che equivale a scambiare la i-esima colonna con la j-esima nella matrice [R]B0Bp per costruzione di quest'ultima.

Come ben ricorderai dalla teoria sul determinante, uno scambio delle colonne produce un determinante uguale in valore assoluto e cambiato nel segno, quindi:

det[R]B0Bp=detIn=1

e il Teorema 1 è dimostrato per 1 scambio. 

In generale, sempre per il criterio precedente, se avvengono s scambi il determinante cambia segno s volte, quindi 

  • se s è pari, il determinante di [R]B0Bp è esattamente pari a quello di [R]B0B0, ovvero a 1.
  • Se s è dispari, il determinante di [R]B0Bp è pari a quello di [R]B0B0 cambiato di segno, ossia a 1.

In formule:

det[R]B0Bp=(1)sdet[R]B0B0=(1)s

QED

Conservazione del volume

Come ancora ricorderai dalla teoria, il determinante di una matrice AKn×n rappresenta il volume n-dimensionale del parallelepipedo formato dalle colonne della matrice A.

Se |det[R]BN|=1, i volumi in generale rimangono inalterati nel cambiamento di base.

Per il Teorema 1 le permutazioni dei vettori della base conservano il volume degli oggetti geometrici nello spazio vettoriale.

Note

[1] In fisica si usa chiamare "terna" una base ortonormale composta da tre versori.

Immagini

Figure 1 e 2: generate con Microsoft OneNote. 

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