Cambiamento di base

Qual è la relazione tra due basi dello stesso spazio vettoriale?

In un post precedente abbiamo parlato di spazi vettoriali, di basi e di dimensione. Abbiamo visto che un'insieme di vettori che formano una base permettono di individuare ogni vettore dello spazio con una combinazione lineare, ma la base non è unica. La domanda sorge spontanea: che relazione esiste tra una base e l'altra? Come faccio a cambiare la base dello spazio? Vediamolo.

Sommario

Introduzione al problema
Generalizzazione del problema
Proprietà della matrice di cambiamento di base

Relazione tra le basi
Matrice inversa
Orientamento della base
Permutazione dei vettori alla base
Conservazione del volume

Note
Immagini

Introduzione al problema

Vediamo di capire l'importanza di questo problema con un esempio pratico. Immagina un piano inclinato su cui si trova una pallina come in Figura 1. Tutti abbiamo la concezione naturale di "alto" e "basso", quindi possiamo decidere di costruire un sistema di riferimento cartesiano bidimensionale nella base $ \mathcal{B} = \{\mathbf{e}_x, \mathbf{e}_y\}$, puntando il versore $\mathbf{e}_y$ verso l'alto e il versore $\mathbf{e}_x$ orizzontalmente verso il moto di rotolamento della pallina. È un sistema di riferimento certamente intuitivo con cui siamo familiari, ma l'equazione del moto in questo sistema si complica, poiché sarà bidimensionale. Se decidessimo, infatti, di porre la base come $\mathcal{N} = \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\}$, con $\mathbf{e}_1$ parallelo al piano e concorde col moto della pallina e $\mathbf{e}_2$ normale al piano, il moto della pallina sarebbe unidimensionale (quindi più semplice da esprimere).

Figura 1

In conclusione, la scelta del sistema di riferimento influenza la complessità computazionale del problema. Che relazione c'è tra le basi $\mathcal{B}$ e $\mathcal{N}$?

Figura 2

Prendiamo, ad esempio, il vettore posizione $\mathbf{r}$ della pallina nella base $\mathcal{B}$:

$ \quad \mathbf{r} = x \mathbf{e}_x + y \mathbf{e}_y $

con coordinate

$ \quad [\mathbf{r}]^{\mathcal{B}} = \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] $

nella base $\mathcal{B}$.

Vogliamo esprimerla nella base $\mathcal{N}$ e lo facciamo iniziando a determinare la relazione tra i versori delle due basi. Se $\theta$ è l'inclinazione del piano, si ha

$\mathbf{e}_x = \cos \theta \mspace{3mu} \mathbf{e}_1 + \sin \theta \mspace{3mu} \mathbf{e}_2 $
$\mathbf{e}_y = - \sin \theta \mspace{3mu} \mathbf{e}_1 + \cos \theta \mspace{3mu} \mathbf{e}_2 $

Allora la posizione della pallina nel nuovo sistema di coordinate è

$ \quad \mathbf{r} = x (\cos \theta \mspace{3mu} \mathbf{e}_1 + \sin \theta \mspace{3mu} \mathbf{e}_2 ) + y (- \sin \theta \mspace{3mu} \mathbf{e}_1 + \cos \theta \mspace{3mu} \mathbf{e}_2 ) $$\quad = (x \cos \theta - y \sin \theta ) \mathbf{e}_1 + ( x \sin \theta + y \cos \theta ) \mathbf{e}_2 $

Quindi le coordinate della base $\mathcal{N}$ sono

$ \quad [\mathbf{r}]^{\mathcal{N}} = \left[ \begin{array}{c} x \cos \theta - y \sin \theta \\ x \sin \theta + y \cos \theta \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] $

La matrice

$ \quad [R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}} = \left[ \begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right] $

si chiama matrice di cambiamento di base dalla base $\mathcal{B}$ alla base $\mathcal{N}$.

Generalizzazione del problema

Come avrai intuito dall'introduzione, il cambiamento di base avviene per trasformazione lineare delle coordinate. Dati uno spazio vettoriale $V$ sul campo $\mathbb{K}$, una base $\mathcal{B} = \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,...,\mathbf{e}_n\}$ di $V$ e un vettore $\mathbf{r} \in V$

$ \quad \mathbf{r} = a_1 \mathbf{e}_1+a_2 \mathbf{e}_2+...+a_n \mathbf{e}_n $

Sappiamo che esiste un isomorfismo $[ \cdot ]^{\mathcal{B}} : V \rightarrow \mathbb{K}^n$ che associa al vettore $\mathbf{r}$ le proprie coordinate $[\mathbf{r}]^\mathcal{B} \in \mathbb{K}^n$ nella base $\mathcal{B}$.

$ \quad [\mathbf{r}]^\mathcal{B} = \left[ \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array} \right] $

Allo stesso modo, data un'altra base $\mathcal{N} = \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,...,\mathbf{u}_n\}$ di $V$, esiste l'isomorfismo $[ \cdot ]^{\mathcal{N}} : V \rightarrow \mathbb{K}^n$ che associa al vettore $\mathbf{r}$ le proprie coordinate $[\mathbf{r}]^\mathcal{N} \in \mathbb{K}^n$ nella base $\mathcal{N}$:

$ \quad [\mathbf{r}]^\mathcal{N} = \left[ \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array} \right] $

Data la matrice di cambiamento di base $[R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}} $ dalla base $\mathcal{B}$ alla base $\mathcal{N}$, la relazione tra i due sistemi di coordinate è la seguente:

$$ [\mathbf{r}]^\mathcal{N} = [R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}} [\mathbf{r}]^\mathcal{B} \tag{1}\label{eq1} $$

Ovviamente, le basi $\mathcal{B}$ e $\mathcal{N}$ hanno la stessa dimensione $n$, quindi la matrice $[R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}} $ è quadrata $n \times n$.

Eureka! Se abbiamo la matrice $[R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}} $ possiamo trasformare le coordinare di un qualsiasi vettore dalla base $\mathcal{B}$ a quella $\mathcal{N}$, ma come si trova? Ottima domanda. I prossimi passaggi potrebbero essere spaventosi per chi li vede per la prima volta, ma calma e sangue freddo 😉, prenditi il tempo necessario per capirli.

Le coordinate dell'$i$-esimo vettore $\mathbf{e}_i$ nella base $\mathcal{B}$ sono

$ \quad [\mathbf{e}_i]^\mathcal{B} = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\0 \\ \underbrace{1}_{i\text{-esima coordinata}} \\0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right] $

Per ogni $i \in \{1,...,n\}$ il vettore $\mathbf{e}_i$ ha nella base $\mathcal{B}$ tutte le coordinate nulle tranne l'$i$-esima, che vale $1$. Dimostrarlo è banale e non ha bisogno di spiegazioni, ma rimarcarlo è importante per capire il prossimo passaggio.

Calcoliamo, ora, le coordinate dello stesso vettore nella base $\mathcal{N}$ con la formula $\eqref{eq1}$ esplicitando le righe della matrice $[R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}}$:

$ \quad \begin{array}{rl} [\mathbf{e}_i]^\mathcal{N} & = \left[ \begin{array}{c} \text{Row}_1 \left([R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}}\right) \\ \text{Row}_2 \left([R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}}\right) \\ \vdots \\ \text{Row}_n \left([R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}}\right) \end{array} \right] [\mathbf{e}_i]^\mathcal{B} = \left[ \begin{array}{c} \langle \text{Row}_1 \left([R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}}\right), [\mathbf{e}_i]^\mathcal{B} \rangle \\ \langle \text{Row}_2 \left([R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}}\right), [\mathbf{e}_i]^\mathcal{B} \rangle \\ \vdots \\ \langle \text{Row}_n \left([R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}}\right), [\mathbf{e}_i]^\mathcal{B} \rangle \end{array} \right] \\ & = \left[ \begin{array}{c} \left[[R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}}\right]_{1,i} \\ \left[[R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}}\right]_{2,i} \\ \vdots \\ \left[ [R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}} \right]_{n,i} \end{array} \right] = \text{Col}_i \left([R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}}] \right) \end{array} $

Ricordo che

$\text{Row}_j \left([R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}}\right)$ è la $j$-esima riga della matrice $[R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}}$;
$\langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb{K}^n \times \mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}$ è il prodotto scalare euclideo su $\mathbb{K}^n$;
$\left[ [R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}} \right]_{j,i}$ è l'elemento $(j,i)$ della matrice $[R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}}$;
$\text{Col}_i \left([R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}}] \right)$ è l'$i$-esima colonna della matrice $[R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}}$.

Cosa concludiamo dal calcolo appena fatto? Ne concludiamo che le colonne della matrice $[R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}}$, ovvero della matrice del cambiamento di base, sono costituite dalle coordinate dei vettori $\mathbf{e}_1,...,\mathbf{e}_n$ della base $\mathcal{B}$ nella base $\mathcal{N}$ a cui voglio passare.

$$ [R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}} = \left[ \begin{array}{cccc} [\mathbf{e}_1]^\mathcal{N} & [\mathbf{e}_2]^\mathcal{N} & ... & [\mathbf{e}_n]^\mathcal{N} \end{array} \right] $$

Proprietà della matrice di cambiamento di base

Siano $\mathcal{B}$ e $\mathcal{N}$ due basi dello stesso spazio vettoriale $V$.

Relazione tra le basi

La matrice di cambiamento della base $[R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}}$ dev'essere tale che

$$ \left[ \begin{array}{ccc} \mathbf{e}_1 & ... & \mathbf{e}_n \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} \mathbf{u}_1 & ... & \mathbf{u}_n \end{array} \right] [R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}} $$

Infatti, in tal modo si ha

$ \quad \mathbf{r} = \left[ \begin{array}{ccc} \mathbf{e}_1 & ... & \mathbf{e}_n \end{array} \right] [\mathbf{r}]^\mathcal{B} = \left[ \begin{array}{ccc} \mathbf{u}_1 & ... & \mathbf{u}_n \end{array} \right] [R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}} [\mathbf{r}]^\mathcal{B} = \left[ \begin{array}{ccc} \mathbf{u}_1 & ... & \mathbf{u}_n \end{array} \right] [\mathbf{r}]^\mathcal{N} $

Nota che il cambiamento di base da $\mathcal{B}$ a sé stesso è rappresentato dalla matrice identità $I_n$:

$$ [R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}} = I_n $$

In generale, date $k$ basi $\mathcal{B}_1,...,\mathcal{B}_k$, il cambiamento di base dalla base $\mathcal{B}_1$ a quella $\mathcal{B}_2$, da $\mathcal{B}_2$ a $\mathcal{B}_3$, da $\mathcal{B}_3$ a $\mathcal{B}_4$, ... da $\mathcal{B}_{k-1}$ a $\mathcal{B}_k$ equivale al cambiamento dalla base $\mathcal{B}_1$ alla base $\mathcal{B}_k$.

Indicando con una freccia il cambiamento di base, si ha:

$ \quad \left( \mathcal{B}_1 \longrightarrow \mathcal{B}_2 \longrightarrow \dotsb \longrightarrow \mathcal{B}_k \right) \equiv \left( \mathcal{B}_1 \longrightarrow \mathcal{B}_k \right) $

Penserai che sia un'ovvietà, ma quest'osservazione è molto potente. Infatti, il passaggio da una base $\mathcal{B}_1$ a quella $\mathcal{B}_k$ può essere piuttosto complicato se le basi sono molto diverse. Invece, è preferibile eseguire $k-1$ passaggi più semplici per arrivare alla $k$-esima base. Come? La matrice di cambiamento dalla base $\mathcal{B}_1$ a quella $\mathcal{B}_k$ equivale a moltiplicare le matrici di cambiamento da una base all'altra:

$$ [R]_{\mathcal{B}_1}^{\mathcal{B}_k} = [R]_{\mathcal{B}_{k-1}}^{\mathcal{B}_k}... [R]_{\mathcal{B}_2}^{\mathcal{B}_3}[R]_{\mathcal{B}_1}^{\mathcal{B}_2}$$

Ciò può essere dimostrato per induzione su $k$. Per $k=1$ e $k=2$ il teorema è banalmente dimostrato. Iniziamo la dimostrazione da $k=3$:

Per $k=3$ si ha $[R]_{\mathcal{B}_1}^{\mathcal{B}_3} = [R]_{\mathcal{B}_2}^{\mathcal{B}_3}[R]_{\mathcal{B}_1}^{\mathcal{B}_2}$. Infatti, date le basi $\mathcal{B}_1=\{\mathbf{e}_1, ..., \mathbf{e}_n\}$, $\mathcal{B}_2=\{\mathbf{u}_1, ..., \mathbf{u}_n\}$ e $\mathcal{B}_3=\{\mathbf{v}_1, ..., \mathbf{v}_n\}$ si ha $$ \begin{array}{rl} \left[ \begin{array}{ccc} \mathbf{e}_1 & ... & \mathbf{e}_n \end{array} \right] & = \left[ \begin{array}{ccc} \mathbf{u}_1 & ... & \mathbf{u}_n \end{array} \right] [R]_{\mathcal{B}_1}^{\mathcal{B}_2} \\ & = \left[ \begin{array}{ccc} \mathbf{v}_1 & ... & \mathbf{v}_n \end{array} \right] [R]_{\mathcal{B}_2}^{\mathcal{B}_3}[R]_{\mathcal{B}_1}^{\mathcal{B}_2} \end{array} $$Questo passo è importante per dimostrare il passo induttivo: ci dice che in generale, date tre basi, si può passare dalla prima alla seconda e dalla seconda alla terza direttamente passando dalla prima alla terza base moltiplicando le matrici di cambiamento di base (facendo attenzione all'ordine di moltiplicazione).
Ora, poniamo che sia vero per $k$ e dimostriamo che ciò implica la verità per $k+1$: $$ \begin{array}{rl} [R]_{\mathcal{B}_1}^{\mathcal{B}_{k+1}} & \underbrace{=}_{\text{passo precedente}} [R]_{\mathcal{B}_k}^{\mathcal{B}_{k+1}} [R]_{\mathcal{B}_1}^{\mathcal{B}_k} \\ & \underbrace{=}_{\text{ipotesi induttiva}} [R]_{\mathcal{B}_k}^{\mathcal{B}_{k+1}} [R]_{\mathcal{B}_{k-1}}^{\mathcal{B}_k}... [R]_{\mathcal{B}_2}^{\mathcal{B}_3}[R]_{\mathcal{B}_1}^{\mathcal{B}_2} \end{array} $$

QED

Matrice inversa

Innanzitutto, notiamo che la matrice del cambiamento di base $[R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}}$ non è singolare, ovvero il suo determinante è non nullo:

$$ \det [R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}} \neq 0 $$

Infatti, se fosse singolare, la trasformazione non sarebbe invertibile, ma io devo sempre poter tornare alla "vecchia" base dalla nuova con un procedimento inverso.

In particolare, la matrice inversa di quella $[R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}}$ del cambiamento dalla base $\mathcal{B}$ alla base $\mathcal{N}$ è la matrice $[R]_{\mathcal{N}}^{\mathcal{B}}$ del cambiamento dalla base $\mathcal{N}$ alla base $\mathcal{B}$:

$$ \left( [R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}} \right)^{-1} = [R]_{\mathcal{N}}^{\mathcal{B}} $$

Ciò è semplice da dimostrare. Basta osservare dall'equazione $\eqref{eq1}$ che

$ \quad [\mathbf{r}]^\mathcal{N} = [R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}} [\mathbf{r}]^\mathcal{B} \Leftrightarrow [\mathbf{r}]^\mathcal{B} = \underbrace{\left( [R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}} \right)^{-1}}_{[R]_{\mathcal{N}}^{\mathcal{B}}} [\mathbf{r}]^\mathcal{N} $

Orientamento della base

Se $\det [R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}} \gt 0 $ si dice che le basi $\mathcal{B}$ e $\mathcal{N}$ hanno lo stesso orientamento.

Definire l'orientamento è importante in meccanica razionale. Un corpo, infatti, viene descritto in qualsiasi configurazione nello spazio attraverso una terna [1] che non può cambiare orientamento nello spaziotempo. La spiegazione del perché è molto semplice ed è sufficiente un esempio: come ben sai gli organi del corpo umano hanno un certo orientamento nello spazio che non è simmetrico rispetto ad alcun piano. Muoverti nello spazio equivale a una successione di trasformazioni $[R]_{\mathcal{B}(t_0)}^{\mathcal{B}(t)}$ dall'istante iniziale $t_0$ a un generico istante $t$ di tempo della base $\mathcal{B}$ all'istante $t_0$ di riferimento. Se esistesse un istante $t$ in cui $\det [R]_{\mathcal{B}(t_0)}^{\mathcal{B}(t)} \lt 0 $, il tuo corpo avrebbe cambiato orientamento, ovvero ti ritroveresti con gli organi invertiti rispetto alla loro posizione naturale e ciò ovviamente non è possibile.

Permutazione dei vettori alla base

Sia $\mathcal{B}_0$ una base di $n$ vettori. Chiamiamo una permutazione $p$ dei vettori una successione di $s$ scambi tra i vettori e chiamiamo $\mathcal{B}_p$ la nuova base ottenuta tramite gli scambi. Diciamo che la permutazione è

pari, se il numero di scambi $s$ è pari;
dispari, se il numero di scambi $s$ è dispari.

Ad esempio, sia la base $\mathcal{B}_0 = \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\}$. Scambiando $\mathbf{e}_1$ e $\mathbf{e}_3$ si ottiene la base $\mathcal{B}_p = \{\mathbf{e}_3,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_1\}$ e la permutazione è dispari, perché gli scambi totali realizzati sono $1$. Scambiando ancora $\mathbf{e}_2$ e $\mathbf{e}_1$ si ottiene la base $\mathcal{B}_p = \{\mathbf{e}_3,\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\}$ e la permutazione diventa pari, perché ora gli scambi realizzati sono $2$.

Teorema 1: data la base $\mathcal{B}_0$,

una permutazione $p$ pari dei suoi vettori genera una base $\mathcal{B}_p$ dello stesso orientamento. In particolare $\det [R]_{\mathcal{B}_0}^{\mathcal{B}_p} = 1$.
Una permutazione $p$ dispari, invece, genera una base $\mathcal{B}_p$ di orientamento opposto. In particolare $\det [R]_{\mathcal{B}_0}^{\mathcal{B}_p} = -1$.

Ad esempio,

$\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\}$ ha lo stesso orientamento delle basi $\{\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3,\mathbf{e}_1\}$ e $\{\mathbf{e}_3,\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\}$ e le matrici di cambiamento di base hanno determinante $1$. Questo perché le basi sono ottenute con $2$ permutazioni.
$\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\}$ ha orientamento opposto rispetto alle basi $\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_3,\mathbf{e}_2\}$ e $\{\mathbf{e}_3,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_1\}$ e le matrici di cambiamento di base hanno determinante $-1$. Questo perché le basi sono ottenute con $1$ permutazione.

La dimostrazione è un po' lunga, continua a mantenere il sangue freddo! Se gli scambi sono $0$, la permutazione produce una base identica a quella di partenza e la matrice di cambiamento di base è l'identità, il cui determinante è $1$:

$ \quad \det [R]_{\mathcal{B}_0}^{\mathcal{B}_0} = \det I_n = 1$

Quindi, il Teorema 1 è dimostrato per $0$ scambi.

Se la base $\mathcal{B}_0$ è composta dai vettori $\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,...,$$\mathbf{e}_{i-1}, \mathbf{e}_i,\mathbf{e}_{i+1},$$...,\mathbf{e}_{j-1},\mathbf{e}_j,\mathbf{e}_{j+1},$$...,\mathbf{e}_{n-1},\mathbf{e}_n$, allora con lo scambio dell'$i$ esimo vettore $\mathbf{e}_i$ e del $j$-esimo vettore $\mathbf{e}_j$ (con $i\neq j$) si ottiene la base $\mathcal{B}_p = \{ \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,...,$$\mathbf{e}_{i-1}, \mathbf{e}_j,\mathbf{e}_{i+1},$$...,\mathbf{e}_{j-1},\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_{j+1},$$...,\mathbf{e}_{n-1},\mathbf{e}_n \}$, il che equivale a scambiare la $i$-esima colonna con la $j$-esima nella matrice $[R]_{\mathcal{B}_0}^{\mathcal{B}_p}$ per costruzione di quest'ultima.

Come ben ricorderai dalla teoria sul determinante, uno scambio delle colonne produce un determinante uguale in valore assoluto e cambiato nel segno, quindi:

$ \quad \det [R]_{\mathcal{B}_0}^{\mathcal{B}_p} = - \det I_n = - 1$

e il Teorema 1 è dimostrato per $1$ scambio.

In generale, sempre per il criterio precedente, se avvengono $s$ scambi il determinante cambia segno $s$ volte, quindi

se $s$ è pari, il determinante di $[R]_{\mathcal{B}_0}^{\mathcal{B}_p}$ è esattamente pari a quello di $[R]_{\mathcal{B}_0}^{\mathcal{B}_0}$, ovvero a $1$.
Se $s$ è dispari, il determinante di $[R]_{\mathcal{B}_0}^{\mathcal{B}_p}$ è pari a quello di $[R]_{\mathcal{B}_0}^{\mathcal{B}_0}$ cambiato di segno, ossia a $-1$.

In formule:

$ \quad \det [R]_{\mathcal{B}_0}^{\mathcal{B}_p} = (-1)^{s} \det [R]_{\mathcal{B}_0}^{\mathcal{B}_0} = (-1)^{s} $

QED

Conservazione del volume

Come ancora ricorderai dalla teoria, il determinante di una matrice $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ rappresenta il volume $n$-dimensionale del parallelepipedo formato dalle colonne della matrice $A$.

Se $ \left| \det [R]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{N}} \right| = 1 $, i volumi in generale rimangono inalterati nel cambiamento di base.

Per il Teorema 1 le permutazioni dei vettori della base conservano il volume degli oggetti geometrici nello spazio vettoriale.

Note

[1] In fisica si usa chiamare "terna" una base ortonormale composta da tre versori.

Immagini

Figure 1 e 2: generate con Microsoft OneNote.

Matesica

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