Campi e spazi vettoriali

Alle basi della matematica 

La definizione dei campi e degli spazi vettoriali apre la strada a nuovi strumenti matematici in ogni scienza. I campi permettono la definizione dei polinomi, delle radici di questi e degli spazi vettoriali. Grazie agli spazi vettoriali si può facilmente modellizzare la realtà e non solo. Vediamo in questo post come si definiscono.

Sommario

• Campo
• Spazio vettoriale
• Definizione
• Combinazione lineare, base e dimensione di Hamel
• Sottospazio vettoriale e formula di Grassmann
• Spazio normato
• Spazio di Banach
• Spazio di Hilbert
• Spazio vettoriale topologico
• Spazi vettoriali notevoli
• Retta reale \(\mathbb{R}\)
• Numeri complessi \(\mathbb{C}\)
• Spazi \(\mathbb{K}^n\)
• Spazi \(\mathbb{K}_n[x]\) dei polinomi
• Spazi \(\mathbb{K}^{m\times n}\) delle matrici
• Spazi \(\mathcal{C}^{n}\)
• Spazi \(\mathbb{K}^{X}\) delle funzioni
• Estensione di campo
• Riferimenti
• Immagini

Campo

Sia \(\mathbb{K}\) un insieme in cui sono definite due operazioni binarie \(+\) e \(*\). \(\mathbb{K}\) si definisce campo se

• \(\mathbb{K}\) è un gruppo abeliano con elemento neutro \(0\) rispetto all'operazione \(+\);
• \(\mathbb{K} \setminus \{0\} \) è un gruppo abeliano con elemento neutro \(1\) rispetto all'operazione \(*\);
• l'operazione \(*\) è distributiva rispetto a \(+\).

Chiamiamo \(*\) moltiplicazione o prodotto e \(+\) addizione o somma. 

Ad esempio, \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\) e \(\mathbb{C}\) sono campi. \(\mathbb{Z}\) non è un campo a causa della mancanza dell'elemento inverso per ogni \(k \in \mathbb{Z} \setminus \{-1,1\}\). I quaternioni \(\mathbb{H}\) non sono un campo perché la moltipliczione non è commutativa.

Un sottoinsieme \(\mathbb{N} \subseteq \mathbb{K}\) chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto forma a sua volta un campo e si definisce sottocampo di \(\mathbb{K}\). Viceversa, \(\mathbb{K}\) si chiama estensione o ampliamento di \(\mathbb{K}\) 

Spazio vettoriale

Definizione

Dopo aver definito i gruppi e i campi, passiamo alla formalizzazione del concetto di spazio vettoriale, uno strumento di cui faremo ampiamente uso nei post. Si dice spazio vettoriale una struttura algebrica composta da

• un campo \(\mathbb{K}\), i cui elementi si chiamano scalari;
• un insieme \(V\), i cui elementi si chiamano vettori e si distinguono dagli scalari mettendoli in grassetto o con una freccia sopra;
• un'operazione binaria, detta somma tra vettori, che rispetti determinate proprietà;
• un'altra operazione binaria, detta moltiplicazione per scalare, che rispetti determinate proprietà;

Figura 1: i vettori possono essere
rappresentati graficamente
tramite frecce.

Se il campo di \(V\) sono i complessi \(\mathbb{C}\), lo spazio vettoriale si definisce complesso, mentre se il campo sono i reali \(\mathbb{R}\), \(V\) si dice spazio vettoriale reale.

Vediamo quali sono queste operazioni.

• Si definisce la somma tra due vettori \(\mathbf{u}\) e \(\mathbf{v}\) di \(V\) come il vettore \(\mathbf{u} + \mathbf{v}\) ancora appartenente a \(V\).
• Si definisce la moltiplicazione di un vettore \(\mathbf{u}\) di \(V\) per uno scalare \(a\) di \(\mathbb{K}\) come il vettore \(a\mathbf{u}\) ancora appartenente a \(V\).

Vediamo, ora, quali sono le loro proprietà.

• \((V,+)\) è un gruppo abeliano, ovvero la somma tra vettori è
• dotata dell'elemento neutro, che chiameremo \(\mathbf{0}\): $$ \exists \mathbf{0} \in V: \forall \mathbf{u}\in V \mspace{5mu} \mathbf{u}+\mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{u} = \mathbf{u} $$ 
• commutativa: $$ \forall \mathbf{u},\mathbf{v}\in V \mspace{5mu} \mathbf{u}+\mathbf{v} = \mathbf{v} +\mathbf{u} $$
• associativa: $$ \forall \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{z} \in V \mspace{5mu} (\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{z} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{z}) $$
• dotata dell'elemento opposto: $$ \forall \mathbf{u}\in V  \mspace{3mu} \exists (-\mathbf{u})\in V \mspace{5mu} \mathbf{u}+(-\mathbf{u}) = (-\mathbf{u}) +\mathbf{u} = \mathbf{0} $$
• Per quanto riguarda il prodotto per scalare, quest'operazione dev'essere
• distributiva rispetto alla somma di vettori: $$ \forall \mathbf{u},\mathbf{v} \in V \mspace{3mu} \forall a \in \mathbb{K} \mspace{5mu} a(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = a\mathbf{u} + a\mathbf{v} $$
• pseudo-distributiva rispetto alla somma di scalari: $$ \forall \mathbf{u} \in V \mspace{3mu} \forall a,b \in \mathbb{K} \mspace{5mu} (a+b)\mathbf{u}= a\mathbf{u} + b\mathbf{u} $$
• pseudo-associativa: $$ \forall \mathbf{u} \in V \mspace{3mu} \forall a,b \in \mathbb{K} \mspace{5mu} (ab)\mathbf{u}= a(b\mathbf{u}) $$
• dotata dell'elemento neutro \(1\): $$ \forall \mathbf{u} \in V \mspace{3mu} \exists 1 \in \mathbb{K} \mspace{5mu} 1\mathbf{u}= \mathbf{u}1 = \mathbf{u} $$

Siano \(0\) l'elemento neutro dell'addizione tra scalari in \(\mathbb{K}\) e \(\mathbf{0}\) l'elemento neutro dell'addizione tra vettori in \(V\). Si dimostra che

• \( \quad \forall a \in \mathbb{K} \mspace{3mu} \forall \mathbf{u} \in V \mspace{5mu} a\mathbf{0}=0\mathbf{u}=\mathbf{0} \)
• \( \quad \forall a \in \mathbb{K} \mspace{3mu} \forall \mathbf{u} \in V \mspace{5mu} -a\mathbf{u}=a(-\mathbf{u}) \)

Combinazione lineare, base e dimensione di Hamel

Definite le operazioni di somma di vettori e prodotto per scalare sullo spazio vettoriale \(V\), l'espressione

$$ \sum\limits_{i=1}^p \alpha_i \mathbf{u}_i $$

dove \(\alpha_1,...,\alpha_p\) sono \(p\) scalari del campo \(\mathbb{K}\), si chiama combinazione lineare dei vettori \(\mathbf{u}_1,...,\mathbf{u}_p \in V\). 

• Se l'unico modo per ottenere il vettore nullo attraverso una combinazione lineare dei vettori \(\mathbf{u}_1,...,\mathbf{u}_p\) è porre i coefficienti \(\alpha_1,...,\alpha_p\) tutti nulli, ovvero se \( \sum_{i=1}^p \alpha_i \mathbf{u}_i = \mathbf{0} \) se e solo se \(\alpha_1=\alpha_2=...=\alpha_p=0\), allora i vettori \(\mathbf{u}_1,...,\mathbf{u}_p\) si dicono linearmente indipendenti.
• Altrimenti si dicono linearmente dipendenti.

è possibile trovare diverse combinazioni lineari di vettori linearmente indipendenti, ma esiste un numero naturale \(n\) di vettori \(\mathbf{u}_1,...,\mathbf{u}_n \in V\) tale che, aggiungendo un qualsiasi vettore \(\mathbf{u}_{n+1}\) all'insieme \(\{\mathbf{u}_1,...,\mathbf{u}_n\}\), i vettori \(\mathbf{u}_1,...,\mathbf{u}_n,\mathbf{u}_{n+1}\) sono sempre linearmente dipendenti. In altre parole \(n\) è il numero massimo di vettori linearmente indipendenti in \(V\). In tal caso l'insieme di vettori \( \mathcal{B} = \{\mathbf{u}_1,...,\mathbf{u}_n\}\) si dice base dello spazio vettoriale \(V\) e si scrive

$$ V=\text{span}(\mathbf{u}_1,...,\mathbf{u}_n) $$

Ogni elemento \(\mathbf{v}\) di \(V\) può essere determinato tramite una combinazione lineare finita e univoca dei vettori della base, quindi si dice che i vettori \(\mathbf{u}_1,...,\mathbf{u}_n\) generano \(V\) e \(V\) altro non è che l'insieme delle combinazioni lineari dei vettori della base. I coefficienti \(\alpha_1,...,\alpha_n\) si chiamano coordinate di \(\mathbf{v}\) nella base \(\mathcal{B}\) e formano una \(n\)-upla appartenente a \(\mathbb{K}^n\), pertanto \(V\) è isomorfo a \(\mathbb{K}^n\).

Naturalmente, non esiste un'unica base di \(V\), ma tutti gli spazi vettoriali possiedono almeno una base. Tutte le basi di \(V\) hanno la stessa cardinalità \(n\), pertanto \(n\) è una caratteristica di \(V\) e si chiama dimensione di Hamel o, semplicemente, dimensione di \(V\).

Sottospazio vettoriale e formula di Grassmann

Un sottoinsieme \(W\) di uno spazio vettoriale \(V\) che ne eredita la struttura algebrica di spazio vettoriale si dice sottospazio vettoriale di \(V\). Essenzialmente, \(W\) dev'essere chiuso rispetto alla somma di vettori e al prodotto per scalare e deve contenere gli elementi neutri di \(V\).

Sia \(V\) uno spazio vettoriale di dimensione finita e siano \(U\) e \(W\) due sottospazi vettoriali di \(V\). Si definisce spazio somma lo spazio vettoriale

$$ W+U := \{ \mathbf{w} + \mathbf{u} : \mathbf{w} \in W, \mathbf{u} \in U \} $$

La dimensione di questo sottospazio è

$$ \dim(W+U) = \dim(W) + \dim(U) - \dim(W \cap U) $$

Quest'equazione è nota in letteratura come formula di Grassmann.

Se \(W \cap U = \{\mathbf{0}\}\), gli spazi \(W\) e \(U\) si dicono in somma diretta e si scrive

$$ W \oplus U $$

In generale, se \(n\) sottospazi \(W_1,...W_n\) si intersecano solo nel vettore nullo:

\( \quad \bigcap\limits_{j=1}^n W_j = \{\mathbf{0}\} \)

allora \(W_1,...W_n\) si dicono in somma diretta e si scrive

$$ \bigoplus\limits_{j=1}^n W_j $$

La dimensione di tale somma diretta è la somma delle dimensioni dei sottospazi \(W_1,...W_n\):

$$ \dim \bigoplus\limits_{j=1}^n W_j = \sum\limits_{j=1}^n \dim W_j $$

come segue dalla fomula di Grassman.

Date le basi \(\mathcal{W}_1, ..., \mathcal{W}_n\) dei sottospazi \(W_1,...W_n\), una base \(\mathcal{B}\) dello spazio \( \bigoplus_{j=1}^n W_j \) è l'unione delle basi:

$$ \mathcal{B} = \bigcup\limits_{j=1}^n \mathcal{W}_j $$

Spazio normato

Sia \(V\) uno spazio vettoriale definito sul campo \(\mathbb{K}\) su cui si possa definire una norma, ovvero una funzione \(\| \cdot \|:V \times V \rightarrow \mathbb{R} \) tale che rispetti la

• positività: $$ \forall \mathbf{u} \in V \mspace{5mu} \|\mathbf{u}\| \geq 0 \wedge (\|\mathbf{u}\| = 0 \Leftrightarrow \mathbf{u} = \mathbf{0} )$$
• omogeneità: $$ \forall \mathbf{u} \in V \mspace{3mu} \forall a \in \mathbb{K} \mspace{5mu} \|a\mathbf{u}\| = |a| \|\mathbf{u}\| $$
• disuguaglianza triangolare: $$ \forall \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V \|\mathbf{u} + \mathbf{w}\| \leq \| \mathbf{u} + \mathbf{v}\| + \|\mathbf{v} + \mathbf{w} \| $$

\(V\) dotato della norma \(\|\cdot\|\) si chiama spazio normato e si indica come la coppia \((V,\|\cdot\|)\).

Spazio di Banach

Uno spazio normato \((V,\|\cdot\|)\) è anche uno spazio metrico \((V,\rho)\), poiché dalla norma \(\|\cdot\|\) si può sempre dedurre la metrica \(\rho: V \times V \rightarrow \mathbb{R}\) definita come

\( \quad \rho(\mathbf{u},\mathbf{v}) = \|\mathbf{u} - \mathbf{v}\| \).

Esercizio 1: sai dimostrare che \(\rho\) definita come sopra è una metrica? Scrivilo nei commenti.

Se \(V\) è uno spazio metrico completo sula metrica \(\rho\), ovvero se tutte le successioni di Cauchy di elementi di \(V\) sono convergenti a un elemento di \(V\) nella metrica \(\rho\), allora \(V\) si dice spazio normato completo rispetto alla metrica dedotta o spazio di Banach.

In formule, data una qualsiasi successione \(\{\mathbf{u}_k\}\) di vettori \(\mathbf{u}_k \in V\) per ogni \(k \in \mathbb{N}\), se

\( \quad \forall \varepsilon \gt 0 \mspace{3mu} \exists \delta \in \mathbb{N} : \forall n,m \gt \delta \Rightarrow \|\mathbf{u} - \mathbf{v}\| \lt \varepsilon \)

la successione si dice convergente. Se la successione converge a un elemento di \(V\), allora \(V\) è uno spazio di Banach.

Spazio di Hilbert

Uno spazio vettoriale complesso dotato di prodotto scalare hermitiano definito positivo o uno spazio vettoriale reale con prodotto scalare bilineare è detto spazio prehilbertiano. In generale uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare \(\langle \cdot , \cdot \rangle \) è uno spazio metrico con la norma dedotta definita come

\( \quad \| \mathbf{u} \| =  \sqrt{\langle \mathbf{u} , \mathbf{u} \rangle }\)

Esercizio 2: dimostra che \(\| \cdot \|\) definita come sopra è una norma.

Se il prodotto scalare è completo rispetto alla metrica dedotta, \(V\) si dice spazio di Hilbert.

Spazio vettoriale topologico

Sia \(V\) uno spazio vettoriale. Una collezione \(T\) di sottoinsiemi di \(X\) tali che

• \(\emptyset,X \in T\)
• \( \forall Z_i \in T \mspace{7mu} \bigcup_i Z_i \in T\)
• \(\forall H,K \in T \mspace{7mu} H \cap K \in T \)

si dice topologia. La coppia \((X,T)\) si chiama spazio vettoriale topologico.

Spazi vettoriali notevoli

Vediamo in questo paragrafo i più importanti spazi vettoriali.

Retta reale \(\mathbb{R}\)

I numeri reali \(\mathbb{R}\) sono uno spazio vettoriale di dimensione \(1\). La base canonica di questo spazio è \(\{1\}\).

Numeri complessi \(\mathbb{C}\)

I numeri complessi \(\mathbb{C}\) sono uno spazio vettoriale reale di dimensione \(2\). La base canonica di questo spazio reale è \(\{1,i\}\).

Spazi \(\mathbb{K}^n\)

Dato il campo \(\mathbb{K}\), il prodotto cartesiano \(\mathbb{K}^n = \mathbb{K} \times ... \times \mathbb{K}\), composto dall'insieme delle \(n\)-uple \((x_1,...,x_n)\), con \(x_1,...,x_n \in \mathbb{K}\), è un \(\mathbb{K}\)-spazio vettoriale di dimensione \(n\). La base canonica di questo spazio è 

\( \quad \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,...,\mathbf{e}_n\}\)

dove \(\mathbf{e}_i\) ha tutte le coordinate nulle, tranne la \(i\)-esima, in cui è posto l'elemento neutro della moltiplicazione:

\( \quad \forall i \in \{1,...,n\} \mspace{7mu} \mathbf{e}_i = (0,0,...,0,\underbrace{1}_{\begin{array}{c} i \text{-esima} \\ \text{coordinata} \end{array}},0,...0,0) \)

Di particolare importanza sono gli spazi vettoriali \(\mathbb{R}^n\) e \(\mathbb{C}^n\).

\( \quad \mathbb{K}^n = \{(x_1,x_2,...,x_n):x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{K}\} \)

Spazi \(\mathbb{K}_n[x]\) dei polinomi

Dato un campo \(\mathbb{K}\), l'insieme dei polinomi di grado \(n\) a coefficienti in \(\mathbb{K}\) forma un \(\mathbb{K}\)-spazio vettoriale, denotato con \(\mathbb{K}_n[x]\) di dimensione \(n+1\). La base canonica di questo spazio è composta da polinomi:

\( \quad \{1,x,x^2,...,x^{n-1},x^n\}\)

Di particolare importanza sono gli spazi di polinomi a coefficienti interi \(\mathbb{Z}_n[x]\), razionali \(\mathbb{Q}_n[x]\) e reali \(\mathbb{R}_n[x]\).

\( \quad \mathbb{K}^n = \{a_0+a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_{n-1} x^{n-1} + a_n x^n : a_0,a_1,a_2,...,a_{n-1},a_n \in \mathbb{K}\} \)

Spazi \(\mathbb{K}^{m\times n}\) delle matrici

Dato un campo \(\mathbb{K}\), l'insieme \(\mathbb{K}^{m\times n}\) delle matrici di \(m\) righe e \(n\) colonne a coefficienti in \(\mathbb{K}\) forma un \(\mathbb{K}\)-spazio vettoriale di dimensione \(mn\). La base canonica di questo spazio è composta da matrici:

\( \quad \{\mathbf{e}_{i,j}\}_{i,j \in \{1,..,m\} \times \{1,...,n\}} \)

dove \(\mathbf{e}_{i,j}\) ha tutti gli elementi nulli, tranne l'elemento in posizione \((i,j)\), in cui è posto l'elemento neutro \(1\) della moltiplicazione.

Spazi \(\mathcal{C}^{n}\)

Lo spazio \(\mathcal{C}^{n}\) delle funzioni \(f:\mathbb{R}\) le cui prime \(n\) derivate sono continue è un \(\mathbb{R}\)-spazio vettoriale.

Esercizio 3: dimostra che i precedenti insiemi sono spazi vettoriali.

Spazi \(\mathbb{K}^{X}\) delle funzioni

Dato un campo \(\mathbb{K}\), l'insieme \(\mathbb{K}^{X}\) delle funzioni \(f:X \rightarrow K\) forma un \(\mathbb{K}\)-spazio vettoriale, chiamato spazio funzionale o spazio di funzioni. Le funzioni \(f\) sono i vettori e le operazioni sono così definite:

• somma di vettori: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)
• prodotto di scalare per vettore: \((af)(x)=af(x)\)

La dimensione e la base canonica dipendono dal particolare spazio funzionale.

Gli spazi vettoriali che abbiamo visto sopra sono casi particolari di spazi funzionali \(\mathbb{K}^X\):

• \(\mathbb{K}^n\) per \(X=\{1,...,n\}\)
• \(\mathbb{K}_n[x]\) per \(X=\{1,...,n\}\)
• \(\mathbb{K}^{m \times n}\) per \(X=\{1,...,m\} \times \{1,...,n\}\)

Estensione di campo

Un'estensione \(\mathbb{K}\) di un campo \(\mathbb{N}\) è automaticamente uno spazio vettoriale su \(\mathbb{N}\). La sua dimensione si indica come \([\mathbb{K}:\mathbb{N}]\). Dati tre campi \(\mathbb{N} \subseteq \mathbb{K} \subseteq \mathbb{L} \) si ha

$$ [\mathbb{N}:\mathbb{L}] = [\mathbb{N}:\mathbb{K}]\cdot [\mathbb{K}:\mathbb{L}] $$

Immagini

Figura 1: di Oleg Alexandrov - opera propria, pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2405629.