Campi e spazi vettoriali

Alle basi della matematica 

La definizione dei campi e degli spazi vettoriali apre la strada a nuovi strumenti matematici in ogni scienza. I campi permettono la definizione dei polinomi, delle radici di questi e degli spazi vettoriali. Grazie agli spazi vettoriali si può facilmente modellizzare la realtà e non solo. Vediamo in questo post come si definiscono.

Sommario

• Campo
• Spazio vettoriale
• Definizione
• Combinazione lineare, base e dimensione di Hamel
• Sottospazio vettoriale e formula di Grassmann
• Spazio normato
• Spazio di Banach
• Spazio di Hilbert
• Spazio vettoriale topologico
• Spazi vettoriali notevoli
• Retta reale $\mathbb{R}$
• Numeri complessi $\mathbb{C}$
• Spazi ${\mathbb{K}}^n$
• Spazi ${\mathbb{K}}_n[x]$ dei polinomi
• Spazi ${\mathbb{K}}^{m\times n}$ delle matrici
• Spazi ${\mathcal{C}}^n$
• Spazi ${\mathbb{K}}^X$ delle funzioni
• Estensione di campo
• Riferimenti
• Immagini

Campo

Sia $\mathbb{K}$ un insieme in cui sono definite due operazioni binarie $+$ e $\ast$. $\mathbb{K}$ si definisce campo se

• $\mathbb{K}$ è un gruppo abeliano con elemento neutro $0$ rispetto all'operazione $+$;
• $\mathbb{K}\setminus \{0\}$ è un gruppo abeliano con elemento neutro $1$ rispetto all'operazione $\ast$;
• l'operazione $\ast$ è distributiva rispetto a $+$.

Chiamiamo $\ast$ moltiplicazione o prodotto e $+$ addizione o somma. 

Ad esempio, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ e $\mathbb{C}$ sono campi. $\mathbb{Z}$ non è un campo a causa della mancanza dell'elemento inverso per ogni $k\in \mathbb{Z}\setminus \{-1,1\}$. I quaternioni $\mathbb{H}$ non sono un campo perché la moltipliczione non è commutativa.

Un sottoinsieme $\mathbb{N}\subseteq \mathbb{K}$ chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto forma a sua volta un campo e si definisce sottocampo di $\mathbb{K}$. Viceversa, $\mathbb{K}$ si chiama estensione o ampliamento di $\mathbb{K}$ 

Spazio vettoriale

Definizione

Dopo aver definito i gruppi e i campi, passiamo alla formalizzazione del concetto di spazio vettoriale, uno strumento di cui faremo ampiamente uso nei post. Si dice spazio vettoriale una struttura algebrica composta da

• un campo $\mathbb{K}$, i cui elementi si chiamano scalari;
• un insieme $V$, i cui elementi si chiamano vettori e si distinguono dagli scalari mettendoli in grassetto o con una freccia sopra;
• un'operazione binaria, detta somma tra vettori, che rispetti determinate proprietà;
• un'altra operazione binaria, detta moltiplicazione per scalare, che rispetti determinate proprietà;

Figura 1: i vettori possono essere
rappresentati graficamente
tramite frecce.

Se il campo di $V$ sono i complessi $\mathbb{C}$, lo spazio vettoriale si definisce complesso, mentre se il campo sono i reali $\mathbb{R}$, $V$ si dice spazio vettoriale reale.

Vediamo quali sono queste operazioni.

• Si definisce la somma tra due vettori $\mathbf{u}$ e $\mathbf{v}$ di $V$ come il vettore $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ ancora appartenente a $V$.
• Si definisce la moltiplicazione di un vettore $\mathbf{u}$ di $V$ per uno scalare $a$ di $\mathbb{K}$ come il vettore $a\mathbf{u}$ ancora appartenente a $V$.

Vediamo, ora, quali sono le loro proprietà.

• $(V,+)$ è un gruppo abeliano, ovvero la somma tra vettori è
• dotata dell'elemento neutro, che chiameremo $\mathbf{0}$: $$\mathrm{\exists }\mathbf{0}\in V:\mathrm{\forall }\mathbf{u}\in V\mathbf{u}+\mathbf{0}=\mathbf{0}+\mathbf{u}=\mathbf{u}$$ 
• commutativa: $$\mathrm{\forall }\mathbf{u},\mathbf{v}\in V\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}$$
• associativa: $$\mathrm{\forall }\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{z}\in V(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{z}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{z})$$
• dotata dell'elemento opposto: $$\mathrm{\forall }\mathbf{u}\in V\mathrm{\exists }(-\mathbf{u})\in V\mathbf{u}+(-\mathbf{u})=(-\mathbf{u})+\mathbf{u}=\mathbf{0}$$
• Per quanto riguarda il prodotto per scalare, quest'operazione dev'essere
• distributiva rispetto alla somma di vettori: $$\mathrm{\forall }\mathbf{u},\mathbf{v}\in V\mathrm{\forall }a\in \mathbb{K}a(\mathbf{u}+\mathbf{v})=a\mathbf{u}+a\mathbf{v}$$
• pseudo-distributiva rispetto alla somma di scalari: $$\mathrm{\forall }\mathbf{u}\in V\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{K}(a+b)\mathbf{u}=a\mathbf{u}+b\mathbf{u}$$
• pseudo-associativa: $$\mathrm{\forall }\mathbf{u}\in V\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{K}(ab)\mathbf{u}=a(b\mathbf{u})$$
• dotata dell'elemento neutro $1$: $$\mathrm{\forall }\mathbf{u}\in V\mathrm{\exists }1\in \mathbb{K}1\mathbf{u}=\mathbf{u}1=\mathbf{u}$$

Siano $0$ l'elemento neutro dell'addizione tra scalari in $\mathbb{K}$ e $\mathbf{0}$ l'elemento neutro dell'addizione tra vettori in $V$. Si dimostra che

• $\mathrm{\forall }a\in \mathbb{K}\mathrm{\forall }\mathbf{u}\in Va\mathbf{0}=0\mathbf{u}=\mathbf{0}$
• $\mathrm{\forall }a\in \mathbb{K}\mathrm{\forall }\mathbf{u}\in V-a\mathbf{u}=a(-\mathbf{u})$

Combinazione lineare, base e dimensione di Hamel

Definite le operazioni di somma di vettori e prodotto per scalare sullo spazio vettoriale $V$, l'espressione

$$\sum _{i=1}^p{\alpha }_i{\mathbf{u}}_i$$

dove ${\alpha }_1,...,{\alpha }_p$ sono $p$ scalari del campo $\mathbb{K}$, si chiama combinazione lineare dei vettori ${\mathbf{u}}_1,...,{\mathbf{u}}_p\in V$. 

• Se l'unico modo per ottenere il vettore nullo attraverso una combinazione lineare dei vettori ${\mathbf{u}}_1,...,{\mathbf{u}}_p$ è porre i coefficienti ${\alpha }_1,...,{\alpha }_p$ tutti nulli, ovvero se $\sum _{i=1}^p{\alpha }_i{\mathbf{u}}_i=\mathbf{0}$ se e solo se ${\alpha }_1={\alpha }_2=...={\alpha }_p=0$, allora i vettori ${\mathbf{u}}_1,...,{\mathbf{u}}_p$ si dicono linearmente indipendenti.
• Altrimenti si dicono linearmente dipendenti.

è possibile trovare diverse combinazioni lineari di vettori linearmente indipendenti, ma esiste un numero naturale $n$ di vettori ${\mathbf{u}}_1,...,{\mathbf{u}}_n\in V$ tale che, aggiungendo un qualsiasi vettore ${\mathbf{u}}_{n+1}$ all'insieme $\{{\mathbf{u}}_1,...,{\mathbf{u}}_n\}$, i vettori ${\mathbf{u}}_1,...,{\mathbf{u}}_n,{\mathbf{u}}_{n+1}$ sono sempre linearmente dipendenti. In altre parole $n$ è il numero massimo di vettori linearmente indipendenti in $V$. In tal caso l'insieme di vettori $\mathcal{B}=\{{\mathbf{u}}_1,...,{\mathbf{u}}_n\}$ si dice base dello spazio vettoriale $V$ e si scrive

$$V=\text{span}({\mathbf{u}}_1,...,{\mathbf{u}}_n)$$

Ogni elemento $\mathbf{v}$ di $V$ può essere determinato tramite una combinazione lineare finita e univoca dei vettori della base, quindi si dice che i vettori ${\mathbf{u}}_1,...,{\mathbf{u}}_n$ generano $V$ e $V$ altro non è che l'insieme delle combinazioni lineari dei vettori della base. I coefficienti ${\alpha }_1,...,{\alpha }_n$ si chiamano coordinate di $\mathbf{v}$ nella base $\mathcal{B}$ e formano una $n$-upla appartenente a ${\mathbb{K}}^n$, pertanto $V$ è isomorfo a ${\mathbb{K}}^n$.

Naturalmente, non esiste un'unica base di $V$, ma tutti gli spazi vettoriali possiedono almeno una base. Tutte le basi di $V$ hanno la stessa cardinalità $n$, pertanto $n$ è una caratteristica di $V$ e si chiama dimensione di Hamel o, semplicemente, dimensione di $V$.

Sottospazio vettoriale e formula di Grassmann

Un sottoinsieme $W$ di uno spazio vettoriale $V$ che ne eredita la struttura algebrica di spazio vettoriale si dice sottospazio vettoriale di $V$. Essenzialmente, $W$ dev'essere chiuso rispetto alla somma di vettori e al prodotto per scalare e deve contenere gli elementi neutri di $V$.

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita e siano $U$ e $W$ due sottospazi vettoriali di $V$. Si definisce spazio somma lo spazio vettoriale

$$W+U:=\{\mathbf{w}+\mathbf{u}:\mathbf{w}\in W,\mathbf{u}\in U\}$$

La dimensione di questo sottospazio è

$$\dim (W+U)=\dim (W)+\dim (U)-\dim (W\cap U)$$

Quest'equazione è nota in letteratura come formula di Grassmann.

Se $W\cap U=\{\mathbf{0}\}$, gli spazi $W$ e $U$ si dicono in somma diretta e si scrive

$$W\oplus U$$

In generale, se $n$ sottospazi $W_1,...W_n$ si intersecano solo nel vettore nullo:

$\bigcap _{j=1}^n{W}_j=\{\mathbf{0}\}$

allora $W_1,...W_n$ si dicono in somma diretta e si scrive

$$\underset{j=1}{\overset{n}{⨁}}{W}_j$$

La dimensione di tale somma diretta è la somma delle dimensioni dei sottospazi $W_1,...W_n$:

$$\dim \underset{j=1}{\overset{n}{⨁}}{W}_j=\sum _{j=1}^n\dim W_j$$

come segue dalla fomula di Grassman.

Date le basi ${\mathcal{W}}_1,...,{\mathcal{W}}_n$ dei sottospazi $W_1,...W_n$, una base $\mathcal{B}$ dello spazio $\underset{j=1}{\overset{n}{⨁}}{W}_j$ è l'unione delle basi:

$$\mathcal{B}=\bigcup _{j=1}^n{\mathcal{W}}_j$$

Spazio normato

Sia $V$ uno spazio vettoriale definito sul campo $\mathbb{K}$ su cui si possa definire una norma, ovvero una funzione $\Vert \cdot \Vert :V\times V\to \mathbb{R}$ tale che rispetti la

• positività: $$\mathrm{\forall }\mathbf{u}\in V\Vert \mathbf{u}\Vert \ge 0\wedge (\Vert \mathbf{u}\Vert =0\iff \mathbf{u}=\mathbf{0})$$
• omogeneità: $$\mathrm{\forall }\mathbf{u}\in V\mathrm{\forall }a\in \mathbb{K}\Vert a\mathbf{u}\Vert =|a|\Vert \mathbf{u}\Vert$$
• disuguaglianza triangolare: $$\mathrm{\forall }\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in V\Vert \mathbf{u}+\mathbf{w}\Vert \le \Vert \mathbf{u}+\mathbf{v}\Vert +\Vert \mathbf{v}+\mathbf{w}\Vert$$

$V$ dotato della norma $\Vert \cdot \Vert$ si chiama spazio normato e si indica come la coppia $(V,\Vert \cdot \Vert )$.

Spazio di Banach

Uno spazio normato $(V,\Vert \cdot \Vert )$ è anche uno spazio metrico $(V,\rho )$, poiché dalla norma $\Vert \cdot \Vert$ si può sempre dedurre la metrica $\rho :V\times V\to \mathbb{R}$ definita come

$\rho (\mathbf{u},\mathbf{v})=\Vert \mathbf{u}-\mathbf{v}\Vert$.

Esercizio 1: sai dimostrare che $\rho$ definita come sopra è una metrica? Scrivilo nei commenti.

Se $V$ è uno spazio metrico completo sula metrica $\rho$, ovvero se tutte le successioni di Cauchy di elementi di $V$ sono convergenti a un elemento di $V$ nella metrica $\rho$, allora $V$ si dice spazio normato completo rispetto alla metrica dedotta o spazio di Banach.

In formule, data una qualsiasi successione $\{{\mathbf{u}}_k\}$ di vettori ${\mathbf{u}}_k\in V$ per ogni $k\in \mathbb{N}$, se

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta \in \mathbb{N}:\mathrm{\forall }n,m>\delta \Rightarrow \Vert \mathbf{u}-\mathbf{v}\Vert <\epsilon$

la successione si dice convergente. Se la successione converge a un elemento di $V$, allora $V$ è uno spazio di Banach.

Spazio di Hilbert

Uno spazio vettoriale complesso dotato di prodotto scalare hermitiano definito positivo o uno spazio vettoriale reale con prodotto scalare bilineare è detto spazio prehilbertiano. In generale uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ è uno spazio metrico con la norma dedotta definita come

$\Vert \mathbf{u}\Vert =\sqrt{⟨\mathbf{u},\mathbf{u}⟩}$

Esercizio 2: dimostra che $\Vert \cdot \Vert$ definita come sopra è una norma.

Se il prodotto scalare è completo rispetto alla metrica dedotta, $V$ si dice spazio di Hilbert.

Spazio vettoriale topologico

Sia $V$ uno spazio vettoriale. Una collezione $T$ di sottoinsiemi di $X$ tali che

• $\mathrm{\varnothing },X\in T$
• $\mathrm{\forall }{Z}_i\in T\bigcup _i{Z}_i\in T$
• $\mathrm{\forall }H,K\in TH\cap K\in T$

si dice topologia. La coppia $(X,T)$ si chiama spazio vettoriale topologico.

Spazi vettoriali notevoli

Vediamo in questo paragrafo i più importanti spazi vettoriali.

Retta reale $\mathbb{R}$

I numeri reali $\mathbb{R}$ sono uno spazio vettoriale di dimensione $1$. La base canonica di questo spazio è $\{1\}$.

Numeri complessi $\mathbb{C}$

I numeri complessi $\mathbb{C}$ sono uno spazio vettoriale reale di dimensione $2$. La base canonica di questo spazio reale è $\{1,i\}$.

Spazi ${\mathbb{K}}^n$

Dato il campo $\mathbb{K}$, il prodotto cartesiano ${\mathbb{K}}^n=\mathbb{K}\times ...\times \mathbb{K}$, composto dall'insieme delle $n$-uple $(x_1,...,x_n)$, con $x_1,...,x_n\in \mathbb{K}$, è un $\mathbb{K}$-spazio vettoriale di dimensione $n$. La base canonica di questo spazio è 

$\{{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,...,{\mathbf{e}}_n\}$

dove ${\mathbf{e}}_i$ ha tutte le coordinate nulle, tranne la $i$-esima, in cui è posto l'elemento neutro della moltiplicazione:

$\mathrm{\forall }i\in \{1,...,n\}{\mathbf{e}}_i=(0,0,...,0,\underset{\begin{array}{c}i\text{-esima}\\ \text{coordinata}\end{array}}{\underbrace{1}},0,...0,0)$

Di particolare importanza sono gli spazi vettoriali ${\mathbb{R}}^n$ e ${\mathbb{C}}^n$.

${\mathbb{K}}^n=\{(x_1,x_2,...,x_n):x_1,x_2,...,x_n\in \mathbb{K}\}$

Spazi ${\mathbb{K}}_n[x]$ dei polinomi

Dato un campo $\mathbb{K}$, l'insieme dei polinomi di grado $n$ a coefficienti in $\mathbb{K}$ forma un $\mathbb{K}$-spazio vettoriale, denotato con ${\mathbb{K}}_n[x]$ di dimensione $n+1$. La base canonica di questo spazio è composta da polinomi:

$\{1,x,x^2,...,x^{n-1},x^n\}$

Di particolare importanza sono gli spazi di polinomi a coefficienti interi ${\mathbb{Z}}_n[x]$, razionali ${\mathbb{Q}}_n[x]$ e reali ${\mathbb{R}}_n[x]$.

${\mathbb{K}}^n=\{a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_n{x}^n:a_0,a_1,a_2,...,a_{n-1},a_n\in \mathbb{K}\}$

Spazi ${\mathbb{K}}^{m\times n}$ delle matrici

Dato un campo $\mathbb{K}$, l'insieme ${\mathbb{K}}^{m\times n}$ delle matrici di $m$ righe e $n$ colonne a coefficienti in $\mathbb{K}$ forma un $\mathbb{K}$-spazio vettoriale di dimensione $mn$. La base canonica di questo spazio è composta da matrici:

$\{{\mathbf{e}}_{i,j}{\}}_{i,j\in \{1,..,m\}\times \{1,...,n\}}$

dove ${\mathbf{e}}_{i,j}$ ha tutti gli elementi nulli, tranne l'elemento in posizione $(i,j)$, in cui è posto l'elemento neutro $1$ della moltiplicazione.

Spazi ${\mathcal{C}}^n$

Lo spazio ${\mathcal{C}}^n$ delle funzioni $f:\mathbb{R}$ le cui prime $n$ derivate sono continue è un $\mathbb{R}$-spazio vettoriale.

Esercizio 3: dimostra che i precedenti insiemi sono spazi vettoriali.

Spazi ${\mathbb{K}}^X$ delle funzioni

Dato un campo $\mathbb{K}$, l'insieme ${\mathbb{K}}^X$ delle funzioni $f:X\to K$ forma un $\mathbb{K}$-spazio vettoriale, chiamato spazio funzionale o spazio di funzioni. Le funzioni $f$ sono i vettori e le operazioni sono così definite:

• somma di vettori: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$
• prodotto di scalare per vettore: $(af)(x)=af(x)$

La dimensione e la base canonica dipendono dal particolare spazio funzionale.

Gli spazi vettoriali che abbiamo visto sopra sono casi particolari di spazi funzionali ${\mathbb{K}}^X$:

• ${\mathbb{K}}^n$ per $X=\{1,...,n\}$
• ${\mathbb{K}}_n[x]$ per $X=\{1,...,n\}$
• ${\mathbb{K}}^{m\times n}$ per $X=\{1,...,m\}\times \{1,...,n\}$

Estensione di campo

Un'estensione $\mathbb{K}$ di un campo $\mathbb{N}$ è automaticamente uno spazio vettoriale su $\mathbb{N}$. La sua dimensione si indica come $[\mathbb{K}:\mathbb{N}]$. Dati tre campi $\mathbb{N}\subseteq \mathbb{K}\subseteq \mathbb{L}$ si ha

$$[\mathbb{N}:\mathbb{L}]=[\mathbb{N}:\mathbb{K}]\cdot [\mathbb{K}:\mathbb{L}]$$

Immagini

Figura 1: di Oleg Alexandrov - opera propria, pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2405629.