Come varia una funzione rispetto a una sua variabile?
Ad esempio, come varia la posizione rispetto al tempo? La pressione di un sistema nello spazio? A queste domande risponde la derivata, ovvero una funzione che "deriva" dalla funzione originaria, la quale deve rispettare delle condizioni dette "di derivabilità". In sostanza, la derivata è una funzione che misura il cambiamento di una funzione
Inizieremo definendo la derivata per una funzione a una variabile, per poi passare a più dimensioni. Questo post coprirà solo la punta dell'iceberg del calcolo differenziale, ma al contempo copre molti argomenti sempre più difficili da digerire, quindi preparati, sangue freddo e prenditi il tuo tempo.
In un prossimo post vedremo le regole di derivazione e le cosiddette derivate fondamentali, che permettono di determinare la derivata di una funzione velocemente, senza dover calcolare il limite della definizione.
Sommario
- La derivata di una funzione in
- La derivata di una funzione in
- La derivata di un campo scalare
- La derivata direzionale
- La derivata parziale e il gradiente
- La relazione tra derivata direzionale e derivate parziali
- La derivata di un campo vettoriale
- La matrice hessiana e il teorema di Schwarz
- Fonte delle immagini
La derivata di una funzione in
Sia
Il rapporto incrementale non è altro che un indice di quanto sia aumentata mediamente la funzione
Operativamente, il rapporto incrementale corrisponde al coefficiente angolare della retta passante per i punti
Figura 1: schema del rapporto incrementale. |
Ora possiamo progressivamente diminuire la lunghezza
Il rapporto incrementale per
o, ugualmente,
Attenzione! Non c'è una definizione migliore o più giusta tra le due appena proposte. Esse sono identiche! La seconda si può ottenere dalla prima sostituendo
La differenza tra il rapporto incrementale e la derivata è che il primo è la variazione media di
Se il limite esiste ed è finito, la funzione
Ad esempio, sia
mentre la sua derivata è
Grazie alla derivata si può definire l'approssimante lineare della funzione
Attenzione! La continuità non implica la derivabilità! Prendi come esempio la funzione
Tuttavia, non è derivabile in
Essendo i limiti destro e sinistro diversi, il limite per
La derivata di una funzione in
La derivata di un campo scalare
In più dimensioni il concetto di derivata diventa più difficile da definire. Introduciamo per prima la nozione di derivata direzionale, per poi vedere la derivata parziale come caso particolare di derivata direzionale.
La derivata direzionale
In
Questa derivata rappresenta il tasso di variazione della funzione
tra le derivate direzionali. Quindi il segno della derivata dipende dal verso scelto sulla direzione.
Nota anche che per
L'unica direzione selezionabile è quella corrispondente all'asse cartesiano delle ascisse, pertanto di omette la direzione. Proveremo a far qualcosa di simile anche in
Ad esempio, sia
Non ti preoccupare, non dovrai calcolare derivate con il limite. Il 99% delle volte si applicano delle regole di derivazione che vedremo in un prossimo post.
La derivata parziale e il gradiente
Chiaramente, si può scegliere anche come direzione quella lungo uno dei versori che definiscono la base del sistema di riferimento. Sia
In altri termini:
Nota che questa operazione equivale a calcolare la derivata come in una dimensione, considerando le altre variabili costanti.
![]() |
Figura 3: le derivate parziali rispetto a |
Il vettore
Si può dimostrare che il gradiente è perpendicolare al grafico di
L'approssimante lineare della funzione
L'equazione dell'approssimante lineare rappresenta l'iperpiano tangente al grafico di
La relazione tra derivata direzionale e derivate parziali
Esiste una relazione tra la derivata direzionale e le derivate parziali? Certo! Questa esiste mediante il gradiente e il prodotto scalare. Sia
Esprimendo il versore
Intuitivamente, la relazione è vera perché il prodotto scalare
Rigorosamente, la precedente relazione si dimostra con lo sviluppo della funzione
Allora, segue che
Adesso, perché
La derivata di un campo vettoriale
Ora, come definire la derivata direzionale (e, quindi, la derivata parziale) per un campo vettoriale? Proviamo a generalizzare quanto detto per i campi scalari. Sia
A questo punto definiamo la derivata direzionale di
Quindi, la derivata parziale rispetto alla
Possiamo definire un analogo del gradiente anche per il campo vettoriale. Si definisce matrice jacobiana o matrice di Jacobi del campo vettoriale
Nota: per
L'approssimante lineare del campo vettoriale
Mentre la relazione tra derivata direzionale e derivate parziali di un campo vettoriale è definita tramite la matrice jacobiana:
La matrice hessiana e il teorema di Schwarz
Torniamo ai campi scalari. Sia
Nota bene: la matrice hessiana è sempre quadrata. Inoltre, se le derivate seconde di
Grazie alla matrice hessiana si può definire l'approssimante di secondo ordine del campo scalare
Ottimo! Se sei arrivato fino all'ultimo senza impazzire, hai davvero il sangue freddo! Queste nozioni potrebbero sembrarti astratte per ora, ma hanno moltissime applicazioni in elettromagnetismo, in meccanica razionale e non solo.
Fonte delle immagini
Figure 1 e 2: generate con Microsoft OneNote.
Figura 3: di Pajs, pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=3254418.
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