Prodotto scalare, prodotto vettoriale e prodotti misti

I prodotti tra vettori

La prima difficoltà che hai incontrato alle superiori quando hai visto i vettori probabilmente sono le differenze notevoli che intercorrono tra questi e i cosiddetti scalari. Nel 99% dei casi, in fisica si indica per scalare un numero, sia esso reale, complesso, naturale, intero o altro. Precisamente, uno scalare è un elemento di un campo. Un vettore, invece, sempre nel 99% dei casi si può vedere come $n$-upla di scalari, detti coordinate del vettore. Più precisamente, un vettore è l'elemento di uno spazio vettoriale. Tra gli scalari, così come tra i vettori, sono definite delle operazioni, quali la somma e la sottrazione. Se vuoi approfondire la questione, ti consiglio di leggere questo post linkato. 

Dopo questo breve ripasso, in questo post vediamo nello specifico le operazioni di prodotto scalare, prodotto vettoriale e composizioni di queste due tra vettori.

Sommario

• Il prodotto scalare
• Definizione
• Il prodotto scalare euclideo
• Il prodotto vettoriale
• Definizione
• Le proprietà del prodotto vettoriale
• Immagini

Il prodotto scalare

Definizione

Il prodotto scalare è un'operazione tra due vettori $\mathbf{v},\mathbf{u}$ di uno spazio vettoriale $V$ su un campo $\mathbb{K}$ che deve rispettare alcune proprietà per definirsi tale. Può essere vista come una funzione $⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to \mathbb{R}$ tale che

1. è semidefinita positiva: $$\mathrm{\forall }\mathbf{v}\in V\setminus \{0\}⟨\mathbf{v},\mathbf{v}⟩>0$$$$\mathrm{\forall }\mathbf{v}\in V⟨\mathbf{v},\mathbf{v}⟩=0\iff \mathbf{v}=0$$
2. è simmetrica: $$\mathrm{\forall }\mathbf{v},\mathbf{u}\in V⟨\mathbf{v},\mathbf{u}⟩=⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩$$
3. è lineare: $$\mathrm{\forall }\mathbf{v},\mathbf{u},\mathbf{w}\in V⟨\mathbf{v}+\mathbf{w},\mathbf{u}⟩=⟨\mathbf{v},\mathbf{u}⟩+⟨\mathbf{w},\mathbf{u}⟩$$$$\mathrm{\forall }\mathbf{v},\mathbf{u}\in V\mathrm{\forall }\mu \in \mathbb{K}⟨\mu \mathbf{v},\mathbf{u}⟩=\mu ⟨\mathbf{v},\mathbf{u}⟩$$

Grazie al prodotto scalare si può definire la norma nello spazio metrico $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$, detta dedotta dal prodotto scalare e riconducibile alla "lunghezza" di un vettore $\mathbf{v}\in (V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$:

$\Vert \mathbf{v}\Vert =\sqrt{⟨\mathbf{v},\mathbf{v}⟩}$

A questo punto possiamo definire l'angolo acuto $\theta$ tra due vettori $\mathbf{v}$ e $\mathbf{u}$ come

$\theta =\arccos \left({\displaystyle \frac{⟨\mathbf{v},\mathbf{u}⟩}{\Vert \mathbf{v}\Vert \Vert \mathbf{u}\Vert }}\right)$

Da cui segue che due vettori $\mathbf{v}$ e $\mathbf{u}$ non nulli siano ortogonali se e solo se il loro prodotto scalare è nullo.

Se l'angolo acuto $\theta$ tra i due vettori $\mathbf{v}$ e $\mathbf{u}$ e le norme di questi vettori sono noti, si può calcolare il prodotto scalare come

$⟨\mathbf{v},\mathbf{u}⟩=\Vert \mathbf{v}\Vert \Vert \mathbf{u}\Vert \cos (\theta )$

Figura 1: prodotto scalare

Un'importante proprietà del prodotto scalare è la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:

$|⟨\mathbf{v},\mathbf{u}⟩|\le \Vert \mathbf{v}\Vert \Vert \mathbf{u}\Vert$

Il prodotto scalare euclideo

Il più ricorrente (e a mio parere il più importante) tra i prodotti scalari è il prodotto scalare euclideo. Questo permette di definire il concetto di ortogonalità, di distanza, di lunghezza e di angolo tra gli elementi di uno spazio euclideo $\mathcal{E}$. Dati due vettori $\mathbf{v},\mathbf{u}$ di $\mathcal{E}$ e le coordinate $[\mathbf{v}{]}^{\mathcal{B}},[\mathbf{u}{]}^{\mathcal{B}}$ su una base ortonormale $\mathcal{B}$ di $\mathcal{E}$, il prodotto scalare euclideo $⟨\cdot ,\cdot ⟩:\mathcal{E}\times \mathcal{E}\to \mathbb{R}$ si definisce come

$$⟨\mathbf{v},\mathbf{u}⟩={([\mathbf{v}{]}^{\mathcal{B}})}^T[\mathbf{u}{]}^{\mathcal{B}}=\sum _{i=1}^n[\mathbf{v}{]}_i^{\mathcal{B}}[\mathbf{u}{]}_i^{\mathcal{B}}$$

dove $n=\dim \mathcal{E}$ e $[\mathbf{v}{]}_i^{\mathcal{B}},[\mathbf{u}{]}_i^{\mathcal{B}}$ sono le coordinate $i$-esime dei vettori $\mathbf{v}$ e $\mathbf{u}$ rispettivamente nella base $\mathcal{B}$. In parole povere, il prodotto scalare è la somma dei prodotti delle rispettive coordinate dei vettori.

Il prodotto scalare euclideo segue la regola di Leibniz per le derivate:

${\displaystyle \frac{d}{dx}}⟨\mathbf{v},\mathbf{u}⟩=⟨{\displaystyle \frac{d}{dx}}\mathbf{v},\mathbf{u}⟩+⟨\mathbf{v},{\displaystyle \frac{d}{dx}}\mathbf{u}⟩$

Il prodotto vettoriale

Definizione

Il prodotto vettoriale è anch'essa un'operazione tra due vettori $\mathbf{v},\mathbf{u}$, ma profondamente diversa dal prodotto scalare. Il prodotto vettoriale, definito solo per vettori di ${\mathbb{R}}^3$, è quel vettore di ${\mathbb{R}}^3$ tale che

$$\mathbf{v}\times \mathbf{u}=\Vert \mathbf{v}\Vert \Vert \mathbf{u}\Vert \sin (\theta )\hat{\mathbf{n}}$$

dove

• $\theta$ è l'angolo compreso tra i vettori $\mathbf{v}$ e $\mathbf{u}$ (definito tramite il prodotto scalare euclideo di ${\mathbb{R}}^3$);
• $\hat{\mathbf{n}}$ è un versore perpendicolare a entrambi i vettori $\mathbf{v}$ e $\mathbf{u}$ (anche stavolta la perpendicolarità è definita dal prodotto scalare).

Se sei stato attento, ti sarai accorto che il prodotto vettoriale così definito non è sufficiente. Infatti, esistono due possibili versori $\hat{\mathbf{n}}$, entrambi perpendicolari a $\mathbf{v}$ e $\mathbf{u}$, giacenti sulla stessa direzione, ma di verso opposto. Convenzionalmente si sceglie il versore $\hat{\mathbf{n}}$ tale da formare un terna destrorsa con $\mathbf{v}$ e $\mathbf{u}$. Un metodo rapido per trovare il verso corretto in tal senso di $\hat{\mathbf{n}}$ è la regola della mano destra. Esistono diversi metodi. Quello che uso io è chiudere la mano destra dal vettore $\mathbf{v}$ al vettore $\mathbf{u}$: il pollice disteso ti darà direzione e verso del versore $\hat{\mathbf{n}}$.

Figura 2: prodotto vettoriale.

Le proprietà del prodotto vettoriale

Scelta una base ortonormale $\mathcal{B}=\{{\hat{\mathbf{e}}}_1,{\hat{\mathbf{e}}}_2,{\hat{\mathbf{e}}}_3\}$ di ${\mathbb{R}}^3$ e date le coordinate $(v_1,v_2,v_3)$ e $(u_1,u_2,u_3)$ dei vettori $\mathbf{v}$ e $\mathbf{u}$ rispettivamente, il prodotto vettoriale può essere con abuso di notazione definito come

$$\mathbf{v}\times \mathbf{u}=det\left[\begin{array}{ccc}{\hat{\mathbf{e}}}_1& {\hat{\mathbf{e}}}_2& {\hat{\mathbf{e}}}_3\\ v_1& v_2& v_3\\ u_1& u_2& u_3\end{array}\right]=(v_2{u}_3-v_3{u}_2){\hat{\mathbf{e}}}_1+(v_3{u}_1-v_1{u}_3){\hat{\mathbf{e}}}_2+(v_1{u}_2-v_2{u}_1){\hat{\mathbf{e}}}_3$$

La prima proprietà, immediatamente dimostrabile, è l'anticommutatività: 

$$\mathbf{v}\times \mathbf{u}=-\mathbf{u}\times \mathbf{v}$$

Mentre il prodotto scalare è simmetrico, il prodotto vettoriale non lo è.

Altre proprietà importanti del prodotto vettoriale sono:

• la bilinearità: $$(\mu \mathbf{v})\times \mathbf{u}=\mathbf{v}\times (\mu \mathbf{u})=\mu (\mathbf{v}\times \mathbf{u})$$dove $\mu$ è uno scalare.$$(\mathbf{v}+\mathbf{u})\times \mathbf{w}=\mathbf{v}\times \mathbf{w}+\mathbf{u}\times \mathbf{w}$$$$\mathbf{v}\times (\mathbf{u}+\mathbf{w})=\mathbf{v}\times \mathbf{u}+\mathbf{v}\times \mathbf{w}$$
• il prodotto vettoriale si annulla se e solo se i due vettori sono linearmente dipendenti: $$\mathbf{v}\times \mathbf{u}=\mathbf{0}\iff \mathrm{\exists }\mu \in \mathbb{R}:\mathbf{v}=\mu \mathbf{u}$$
• non è associativo: $$(\mathbf{v}\times \mathbf{u})\times \mathbf{w}\ne \mathbf{v}\times (\mathbf{u}\times \mathbf{w})$$e per questo è importante specificare le parentesi in caso di doppio prodotto vettoriale.
• Identità di Jacobi: $$(\mathbf{v}\times \mathbf{u})\times \mathbf{w}+(\mathbf{w}\times \mathbf{v})\times \mathbf{u}+(\mathbf{u}\times \mathbf{w})\times \mathbf{v}=\mathbf{0}$$
• identità tra i versori della base canonica: $${\hat{\mathbf{e}}}_1\times {\hat{\mathbf{e}}}_2={\hat{\mathbf{e}}}_3$$$${\hat{\mathbf{e}}}_2\times {\hat{\mathbf{e}}}_3={\hat{\mathbf{e}}}_1$$$${\hat{\mathbf{e}}}_3\times {\hat{\mathbf{e}}}_1={\hat{\mathbf{e}}}_2$$

La derivata del prodotto vettoriale segue la regola di Leibniz:

${\displaystyle \frac{d}{dx}}(\mathbf{v}\times \mathbf{u})={\displaystyle \frac{d}{dx}}\mathbf{v}\times \mathbf{u}+\mathbf{v}\times {\displaystyle \frac{d}{dx}}\mathbf{u}$

Il prodotto misto

Naturalmente è possibile combinare i prodotti. Vediamo qui alcune combinazioni notevoli di prodotto scalare euclideo e prodotto vettoriale.

• permutazioni: $$⟨\mathbf{w},\mathbf{v}\times \mathbf{u}⟩=⟨\mathbf{u},\mathbf{w}\times \mathbf{v}⟩=⟨\mathbf{v},\mathbf{u}\times \mathbf{w}⟩$$tale combinazione è pari al volume del parallelepipedo che ha per spigoli i vettori $\mathbf{u},\mathbf{w},\mathbf{v}$, quindi è sufficienti che due di questi vettori siano paralleli per annullare il prodotto.
• doppio prodotto vettoriale: $$\mathbf{u}\times (\mathbf{w}\times \mathbf{v})=⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩\mathbf{w}-⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩\mathbf{w}$$
• triplo prodotto vettoriale: $$(\mathbf{v}\times \mathbf{u})\times (\mathbf{v}\times \mathbf{w})=(\mathbf{v}\cdot (\mathbf{u}\times \mathbf{w}))\mathbf{v}$$
• prodotto scalare di prodotti vettoriali: $$⟨\mathbf{v}\times \mathbf{u},\mathbf{w}\times \mathbf{k}⟩=⟨\mathbf{v},\mathbf{w}⟩⟨\mathbf{u},\mathbf{k}⟩-⟨\mathbf{v},\mathbf{k}⟩⟨\mathbf{u},\mathbf{w}⟩$$

Immagini

Figura 1: generato con Microsoft Paint.

Figura 2: di User:Acdx - opera propria, basata su Image:Crossproduct.png, Pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=4436304.