Prodotto scalare, prodotto vettoriale e prodotti misti

I prodotti tra vettori

La prima difficoltà che hai incontrato alle superiori quando hai visto i vettori probabilmente sono le differenze notevoli che intercorrono tra questi e i cosiddetti scalari. Nel 99% dei casi, in fisica si indica per scalare un numero, sia esso reale, complesso, naturale, intero o altro. Precisamente, uno scalare è un elemento di un campo. Un vettore, invece, sempre nel 99% dei casi si può vedere come \(n\)-upla di scalari, detti coordinate del vettore. Più precisamente, un vettore è l'elemento di uno spazio vettoriale. Tra gli scalari, così come tra i vettori, sono definite delle operazioni, quali la somma e la sottrazione. Se vuoi approfondire la questione, ti consiglio di leggere questo post linkato. 

Dopo questo breve ripasso, in questo post vediamo nello specifico le operazioni di prodotto scalare, prodotto vettoriale e composizioni di queste due tra vettori.

Sommario

• Il prodotto scalare
• Definizione
• Il prodotto scalare euclideo
• Il prodotto vettoriale
• Definizione
• Le proprietà del prodotto vettoriale
• Immagini

Il prodotto scalare

Definizione

Il prodotto scalare è un'operazione tra due vettori \(\mathbf{v},\mathbf{u}\) di uno spazio vettoriale \(V\) su un campo \(\mathbb{K}\) che deve rispettare alcune proprietà per definirsi tale. Può essere vista come una funzione \( \langle \cdot , \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{R} \) tale che

1. è semidefinita positiva: $$ \forall \mathbf{v} \in V \setminus \{0\} \mspace{10mu} \langle \mathbf{v} , \mathbf{v} \rangle \gt 0 $$$$ \forall \mathbf{v} \in V \mspace{10mu} \langle \mathbf{v} , \mathbf{v} \rangle = 0 \Leftrightarrow \mathbf{v} = 0 $$
2. è simmetrica: $$ \forall \mathbf{v},\mathbf{u} \in V \mspace{10mu} \langle \mathbf{v} , \mathbf{u} \rangle =  \langle \mathbf{u} , \mathbf{v} \rangle $$
3. è lineare: $$ \forall \mathbf{v}, \mathbf{u}, \mathbf{w} \in V \mspace{10mu} \langle \mathbf{v} + \mathbf{w} , \mathbf{u} \rangle =  \langle \mathbf{v} , \mathbf{u} \rangle + \langle \mathbf{w} , \mathbf{u} \rangle $$$$ \forall \mathbf{v}, \mathbf{u} \in V \mspace{3mu} \forall \mu\in \mathbb{K} \mspace{10mu} \langle \mu \mathbf{v} , \mathbf{u} \rangle =  \mu \langle \mathbf{v} , \mathbf{u} \rangle $$

Grazie al prodotto scalare si può definire la norma nello spazio metrico \((V,\langle \cdot , \cdot \rangle )\), detta dedotta dal prodotto scalare e riconducibile alla "lunghezza" di un vettore \( \mathbf{v} \in (V,\langle \cdot , \cdot \rangle )\):

\( \quad \| \mathbf{v} \| = \sqrt{\langle \mathbf{v} , \mathbf{v} \rangle} \)

A questo punto possiamo definire l'angolo acuto \(\theta\) tra due vettori \( \mathbf{v}\) e \(\mathbf{u}\) come

\( \quad \theta = \arccos \left( \dfrac{\langle \mathbf{v} , \mathbf{u} \rangle}{\| \mathbf{v} \|\| \mathbf{u} \|} \right) \)

Da cui segue che due vettori \( \mathbf{v}\) e \(\mathbf{u}\) non nulli siano ortogonali se e solo se il loro prodotto scalare è nullo.

Se l'angolo acuto \(\theta\) tra i due vettori \( \mathbf{v}\) e \(\mathbf{u}\) e le norme di questi vettori sono noti, si può calcolare il prodotto scalare come

\( \quad \langle \mathbf{v} , \mathbf{u} \rangle = \| \mathbf{v} \|\| \mathbf{u} \| \cos (\theta) \)

Figura 1: prodotto scalare

Un'importante proprietà del prodotto scalare è la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:

\( \quad |\langle \mathbf{v} , \mathbf{u} \rangle| \leq \| \mathbf{v} \|\| \mathbf{u} \| \)

Il prodotto scalare euclideo

Il più ricorrente (e a mio parere il più importante) tra i prodotti scalari è il prodotto scalare euclideo. Questo permette di definire il concetto di ortogonalità, di distanza, di lunghezza e di angolo tra gli elementi di uno spazio euclideo \(\mathcal{E}\). Dati due vettori \(\mathbf{v},\mathbf{u}\) di \(\mathcal{E}\) e le coordinate \([\mathbf{v}]^{\mathcal{B}},[\mathbf{u}]^{\mathcal{B}}\) su una base ortonormale \(\mathcal{B}\) di \(\mathcal{E}\), il prodotto scalare euclideo \( \langle \cdot , \cdot \rangle : \mathcal{E} \times \mathcal{E} \rightarrow \mathbb{R} \) si definisce come

$$ \langle \mathbf{v} , \mathbf{u} \rangle = \left( [\mathbf{v}]^{\mathcal{B}} \right)^T [\mathbf{u}]^{\mathcal{B}} = \sum\limits_{i=1}^n [\mathbf{v}]^{\mathcal{B}}_i [\mathbf{u}]^{\mathcal{B}}_i $$

dove \(n = \dim \mathcal{E} \) e \( [\mathbf{v}]^{\mathcal{B}}_i, [\mathbf{u}]^{\mathcal{B}}_i \) sono le coordinate \(i\)-esime dei vettori \(\mathbf{v} \) e \( \mathbf{u}\) rispettivamente nella base \(\mathcal{B}\). In parole povere, il prodotto scalare è la somma dei prodotti delle rispettive coordinate dei vettori.

Il prodotto scalare euclideo segue la regola di Leibniz per le derivate:

\( \quad \dfrac{d}{dx} \langle \mathbf{v} , \mathbf{u} \rangle = \langle \dfrac{d}{dx} \mathbf{v} , \mathbf{u} \rangle + \langle \mathbf{v} , \dfrac{d}{dx} \mathbf{u} \rangle \)

Il prodotto vettoriale

Definizione

Il prodotto vettoriale è anch'essa un'operazione tra due vettori \(\mathbf{v},\mathbf{u}\), ma profondamente diversa dal prodotto scalare. Il prodotto vettoriale, definito solo per vettori di \(\mathbb{R}^3\), è quel vettore di \(\mathbb{R}^3\) tale che

$$ \mathbf{v} \times \mathbf{u} = \|\mathbf{v}\| \|\mathbf{u}\| \sin (\theta) \hat{\mathbf{n}} $$

dove

• \(\theta\) è l'angolo compreso tra i vettori \(\mathbf{v} \) e \( \mathbf{u}\) (definito tramite il prodotto scalare euclideo di \(\mathbb{R}^3\));
• \( \hat{\mathbf{n}}\) è un versore perpendicolare a entrambi i vettori \(\mathbf{v} \) e \( \mathbf{u}\) (anche stavolta la perpendicolarità è definita dal prodotto scalare).

Se sei stato attento, ti sarai accorto che il prodotto vettoriale così definito non è sufficiente. Infatti, esistono due possibili versori \(\hat{\mathbf{n}}\), entrambi perpendicolari a \(\mathbf{v} \) e \( \mathbf{u}\), giacenti sulla stessa direzione, ma di verso opposto. Convenzionalmente si sceglie il versore \(\hat{\mathbf{n}}\) tale da formare un terna destrorsa con \(\mathbf{v} \) e \( \mathbf{u}\). Un metodo rapido per trovare il verso corretto in tal senso di \(\hat{\mathbf{n}}\) è la regola della mano destra. Esistono diversi metodi. Quello che uso io è chiudere la mano destra dal vettore \(\mathbf{v}\) al vettore \(\mathbf{u}\): il pollice disteso ti darà direzione e verso del versore \(\hat{\mathbf{n}}\).

Figura 2: prodotto vettoriale.

Le proprietà del prodotto vettoriale

Scelta una base ortonormale \(\mathcal{B} = \{\hat{\mathbf{e}}_1,\hat{\mathbf{e}}_2,\hat{\mathbf{e}}_3\}\) di \(\mathbb{R}^3\) e date le coordinate \((v_1,v_2,v_3)\) e \((u_1,u_2,u_3)\) dei vettori \(\mathbf{v} \) e \( \mathbf{u}\) rispettivamente, il prodotto vettoriale può essere con abuso di notazione definito come

$$ \mathbf{v} \times \mathbf{u} = \det \left[ \begin{array}{ccc} \hat{\mathbf{e}}_1 & \hat{\mathbf{e}}_2 & \hat{\mathbf{e}}_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{array} \right] = \left ( v_2 u_3 - v_3 u_2 \right) \hat{\mathbf{e}}_1 + \left ( v_3 u_1 - v_1 u_3\right) \hat{\mathbf{e}}_2 + \left ( v_1 u_2 - v_2 u_1 \right) \hat{\mathbf{e}}_3 $$

La prima proprietà, immediatamente dimostrabile, è l'anticommutatività: 

$$ \mathbf{v} \times \mathbf{u} = - \mathbf{u} \times \mathbf{v} $$

Mentre il prodotto scalare è simmetrico, il prodotto vettoriale non lo è.

Altre proprietà importanti del prodotto vettoriale sono:

• la bilinearità: $$ (\mu \mathbf{v}) \times \mathbf{u} = \mathbf{v} \times (\mu \mathbf{u}) = \mu (\mathbf{v} \times  \mathbf{u }) $$dove \(\mu\) è uno scalare.$$ (\mathbf{v}  + \mathbf{u}) \times \mathbf{w} =  \mathbf{v} \times \mathbf{w} +  \mathbf{u} \times  \mathbf{w} $$$$  \mathbf{v} \times ( \mathbf{u} + \mathbf{w}) =  \mathbf{v} \times  \mathbf{u} + \mathbf{v} \times \mathbf{w}$$
• il prodotto vettoriale si annulla se e solo se i due vettori sono linearmente dipendenti: $$ \mathbf{v} \times \mathbf{u} = \mathbf{0} \Leftrightarrow \exists \mu \in \mathbb{R} : \mathbf{v}= \mu \mathbf{u} $$
• non è associativo: $$ (\mathbf{v} \times \mathbf{u}) \times \mathbf{w} \neq \mathbf{v} \times (\mathbf{u} \times \mathbf{w}) $$e per questo è importante specificare le parentesi in caso di doppio prodotto vettoriale.
• Identità di Jacobi: $$ (\mathbf{v} \times \mathbf{u}) \times \mathbf{w} + (\mathbf{w} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{u} + (\mathbf{u} \times \mathbf{w}) \times \mathbf{v} = \mathbf{0} $$
• identità tra i versori della base canonica: $$ \hat{\mathbf{e}}_1 \times \hat{\mathbf{e}}_2 = \hat{\mathbf{e}}_3$$$$ \hat{\mathbf{e}}_2 \times \hat{\mathbf{e}}_3 = \hat{\mathbf{e}}_1 $$$$ \hat{\mathbf{e}}_3 \times \hat{\mathbf{e}}_1 = \hat{\mathbf{e}}_2 $$

La derivata del prodotto vettoriale segue la regola di Leibniz:

\( \quad \dfrac{d}{dx} (\mathbf{v} \times \mathbf{u}) = \dfrac{d}{dx} \mathbf{v} \times \mathbf{u} + \mathbf{v} \times \dfrac{d}{dx} \mathbf{u} \)

Il prodotto misto

Naturalmente è possibile combinare i prodotti. Vediamo qui alcune combinazioni notevoli di prodotto scalare euclideo e prodotto vettoriale.

• permutazioni: $$ \langle \mathbf{w} , \mathbf{v} \times \mathbf{u} \rangle = \langle \mathbf{u} , \mathbf{w} \times \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{v} , \mathbf{u} \times \mathbf{w} \rangle $$tale combinazione è pari al volume del parallelepipedo che ha per spigoli i vettori \(\mathbf{u} , \mathbf{w}, \mathbf{v}\), quindi è sufficienti che due di questi vettori siano paralleli per annullare il prodotto.
• doppio prodotto vettoriale: $$ \mathbf{u} \times (\mathbf{w} \times \mathbf{v}) = \langle \mathbf{u} , \mathbf{v} \rangle \mathbf{w} - \langle \mathbf{u} , \mathbf{v} \rangle \mathbf{w}$$
• triplo prodotto vettoriale: $$ (\mathbf{v} \times \mathbf{u}) \times (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) = (\mathbf{v}\cdot (\mathbf{u} \times \mathbf{w}))\mathbf{v} $$
• prodotto scalare di prodotti vettoriali: $$ \langle \mathbf{v} \times \mathbf{u} , \mathbf{w} \times \mathbf{k} \rangle = \langle \mathbf{v} , \mathbf{w}\rangle \langle \mathbf{u} , \mathbf{k}\rangle-\langle\mathbf{v} , \mathbf{k}\rangle \langle \mathbf{u} , \mathbf{w} \rangle $$

Immagini

Figura 1: generato con Microsoft Paint.

Figura 2: di User:Acdx - opera propria, basata su Image:Crossproduct.png, Pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=4436304.