Le regole di derivazione

Calcolare velocemente una derivata: le regole di derivazione

Nel precedente post abbiamo visto come sono definite le derivate e gli elementi del calcolo differenziale che ne seguono: le derivate direzionali, il gradiente, la matrice jacobiana e la matrice hessiana. Se te lo sei perso, eccoti il link! Ti consiglio di darci una letta prima di affrontare questo post ;)

In questo post vedremo come poter calcolare le derivate di una funzione rapidamente, senza dover passare per il calcolo del limite che compare della definizione di derivata. Inizieremo di nuovo dalle derivate in \(\mathbb{R}\) per poi passare alla generalizzazione in \(\mathbb{R}^n\).

Sommario

• Le regole di derivazione in \(\mathbb{R}\)
• La derivata di operazioni con funzioni 
• La regola della catena
• Dimostrazioni
• Le regole di derivazione in \(\mathbb{R}^n\)
• Le regole per campi scalari
• La regola della catena

Le regole di derivazione in \(\mathbb{R}\)

La derivata di operazioni con funzioni 

Sia \(D \subseteq \mathbb{R}\) un insieme aperto e siano \(f:D \rightarrow \mathbb{R}\) e \(g:D \rightarrow \mathbb{R}\) derivabili in \(D\). A volte utilizzerò la notazione \(f'\) per indicare la derivata di \(f\).

La derivata della somma di due funzioni è pari alla somma delle derivate delle funzioni:

$$ \dfrac{d}{dx} (f(x)+g(x)) = \dfrac{df(x)}{dx} + \dfrac{dg(x)}{dx} $$

La derivata del prodotto di due funzioni è pari alla somma dei prodotti tra la derivata di una funzione e l'altra funzione:

$$ \dfrac{d}{dx} (f(x)g(x)) = \dfrac{df(x)}{dx} g(x) + f(x) \dfrac{dg(x)}{dx} $$

La derivata di una funzione reciproca:

$$ \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{1}{g(x)}\right) = - \dfrac{dg(x)}{dx} \dfrac{1}{g^2(x)} $$

La derivata del rapporto di due funzioni è pari al rapporto tra la differenza dei prodotti tra la derivata di una funzione e l'altra funzione e il quadrato della funzione al denominatore:

$$ \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \left( \dfrac{df(x)}{dx} g(x) - f(x) \dfrac{dg(x)}{dx} \right) \dfrac{1}{g^2(x)} $$

La derivata della funzione inversa \(f^{-1}\) è pari all'inverso della derivata \(f'\):

$$ \dfrac{d}{dy} f^{-1}(y) = \left(\dfrac{df(x)}{dx}\right)^{-1} $$

dove \(y=f(x)\) e \(x=f^{-1} (y)\). Questa equazione è conosciuta anche come teorema di derivazione della funzione inversa. Attenzione: dev'essere \(df(x)/dx \neq 0\)!

La derivata di una potenza:

$$ \dfrac{d}{dx} f^{g(x)}(x) = f^{g(x)}(x) \left(\dfrac{dg(x)}{dx} \ln(f(x)) + \dfrac{g(x)}{f(x)} \dfrac{df(x)}{dx} \right) $$

La regola della catena

E se avessi bisogno di calcolare la derivata di una funzione composta? Siano \(A \subseteq D\), \(D \subseteq \mathbb{R}\) e siano \(f:D \rightarrow \mathbb{R}\) e \(g:A \rightarrow D\) derivabili in \(D\). La derivata di una funzione composta \(g \circ f\) è pari al prodotto delle derivate di \(g\) rispetto a \(f\) e di \(f\) rispetto alla sua variabile \(x\).

$$ \dfrac{dg(f(x))}{dx} = \dfrac{dg(f(x))}{df(x)} \dfrac{df(x)}{dx} $$

Dimostrazioni

Per i più curiosi, ecco qui le dimostrazioni.

La derivata della somma di due funzioni:

\( \quad \dfrac{d}{dx} (f(x)+g(x)) = \)\( \quad  \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\dfrac{f(x+h)+g(x+h)-(f(x)+g(x))}{h}}= \)\( \quad  \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\dfrac{f(x+h) - f(x) }{h}} + \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\dfrac{g(x+h) - g(x) }{h}} = \)\( \quad  \dfrac{df(x)}{dx} + \dfrac{dg(x)}{dx} \)

La derivata del prodotto di due funzioni:

\( \quad \dfrac{d}{dx} (f(x)g(x)) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\dfrac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}=  \)\(\quad \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\dfrac{f(x+h)g(x+h) - f(x+h)g(x) +f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}} =  \)\(\quad \left(\lim\limits_{h \rightarrow 0}{f(x+h) }\right) \left( \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\dfrac{g(x+h) - g(x) }{h}} \right) + \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\dfrac{f(x+h)-f(x) }{h}} g(x) =  \)\(\quad \dfrac{df(x)}{dx} g(x) + f(x) \dfrac{dg(x)}{dx} \)

Nota bene: la formula precedente è valida se e solo se \(f\) (o \(g\)) è continua in \(x\), condizione garantita dalla continuità della funzione.

La derivata della funzione reciproca:

\(\quad \dfrac{d}{dx} \dfrac{1}{g(x)} = \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\dfrac{\dfrac{1}{g(x+h)}-\dfrac{1}{g(x)}}{h}} = \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\dfrac{\dfrac{g(x) - g(x+h) }{g(x+h)g(x)} }{h}} = \)\(\quad -  \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\dfrac{g(x+h) - g(x) }{ h}} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\dfrac{1}{g(x+h)g(x)}} = \)\(\quad - \dfrac{dg(x)}{dx} \dfrac{1}{g^2(x)} \)

Anche questa formula è valida se e solo se \(g\) è continua in \(x\).

La derivata del rapporto di due funzioni si dimostra sfruttando la derivata del prodotto di funzioni e della funzione reciproca:

\(\quad \dfrac{d}{dx} \dfrac{f(x)}{g(x)} = f(x) \dfrac{d}{dx} \dfrac{1}{g(x)} + \dfrac{1}{g(x)} \dfrac{df(x)}{dx} = \)\(\quad f(x) \left(- \dfrac{dg(x)}{dx} \dfrac{1}{g^2(x)} \right) + \dfrac{1}{g(x)} \dfrac{df(x)}{dx} = \)\(\quad \left( \dfrac{df(x)}{dx} g(x) - f(x) \dfrac{dg(x)}{dx} \right) \dfrac{1}{g^2(x)} \)

Il teorema di derivazione della funzione inversa:

$$ \dfrac{d}{dx} f^{-1}(y) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\dfrac{f^{-1}(y+h)-f^{-1}(y)}{h}} = \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\dfrac{h}{f(x+h)-f^(x)}} = \left(\dfrac{df(x)}{dx}\right)^{-1} $$

Per la derivata di una potenza ci serviamo della derivata del logaritmo naturale e della derivata del prodotto di due funzioni. Poniamo \(h(x) = f^{g(x)}(x)\). Si ha:

\(\quad \dfrac{dh(x)}{dx} \dfrac{1}{h(x)} = \dfrac{d}{dx} \ln{\left( h(x) \right)} = \dfrac{d}{dx} \left( g(x) \ln{( f(x) )} \right) = \)\(\quad \dfrac{dg(x)}{dx} \ln{( f(x) )} + g(x) \dfrac{d}{dx} \ln{( f(x) )} = \dfrac{dg(x)}{dx} \ln{( f(x) )} + \dfrac{g(x)}{f(x)} \dfrac{df(x)}{dx} \)

da cui segue che

\(\quad \dfrac{dh(x)}{dx} = \dfrac{d}{dx} f^{g(x)}(x) = f^{g(x)}(x) \left( \dfrac{dg(x)}{dx} \ln{( f(x) )} + \dfrac{g(x)}{f(x)} \dfrac{df(x)}{dx} \right) \)

Le regole di derivazione in \(\mathbb{R}^n\)

Le regole di derivazione in più dimensioni sono molto analoghe a quelle viste in precedenza per una dimensione.

Le regole per campi scalari

Sia \(D \subseteq \mathbb{R}^n\) un insieme aperto e siano \(f:D \rightarrow \mathbb{R}\) e \(g:D \rightarrow \mathbb{R}\) derivabili in \(D\). 

Gradiente della somma di campi scalari:

$$ \nabla (f(\mathbf{x})+g(\mathbf{x})) = \nabla f (\mathbf{x}) + \nabla g (\mathbf{x}) $$

Gradiente del prodotto di campi scalari:

$$ \nabla (f(\mathbf{x})g(\mathbf{x}))= \nabla f (\mathbf{x}) g (\mathbf{x}) + \nabla g (\mathbf{x}) f(\mathbf{x}) $$

Gradiente del rapporto di campi scalari (con \(g(\mathbf{x}) \neq 0\)):

$$ \nabla \left(\dfrac{f(\mathbf{x})}{g(\mathbf{x})} \right) = \dfrac{\nabla f (\mathbf{x}) g (\mathbf{x}) - \nabla g (\mathbf{x}) f(\mathbf{x})}{g^2 (\mathbf{x})} $$

La regola della catena

Siano \(f:D \rightarrow \mathbb{R}^m\), con \(D \subseteq \mathbb{R}^n\) un insieme aperto, differenziabile in \(\mathbf{x} \in D\) e \(g: B \rightarrow D\), con \(B \subseteq \mathbb{R}^p\) un insieme aperto, differenziabile in \(\mathbf{u} \in B\), con \(\underline{x} = g (\mathbf{u})\). La funzione composta \(f \circ g: B \rightarrow \mathbb{R}^m\) è differenziabile in \(\mathbf{u}\) con la seguente regola della catena:

$$ \mathrm{J}(f\circ g)(\mathbf{u}) = \mathrm{J}f(\mathbf{x}) \mathrm{J}g(\mathbf{u}) $$

Nota che  \(\mathrm{J}f(\mathbf{x})\) è una matrice \(m\times n\) e \(\mathrm{J}g(\mathbf{u})  \) una matrice \(n \times p\).