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Lo studio di funzione

Cos'è e a cosa serve lo studio di funzione?  Lo studio di funzione è un importante strumento dell'analisi matematica per poter comprendere al meglio le caratteristiche di una funzione. Ne discende che chiunque lavori nell'ambito delle scienze esatte deve padroneggiare l'abilità di studiare una funzione. In questo post vedremo come si fa uno studio di funzione, a una o più variabili, portando due esempi. Inoltre, vedremo in qual modo lo studio di una funzione possa essere applicato a un caso reale. Studio di funzione: come si fa? Lo studio di una funzione reale a variabili reali deve passare per i seguenti passi in modo ordinato: Dominio e l'immagine : ponendo le condizioni di esistenza della funzione f:DC si può comprendere quale sia il suo dominio naturale D. Inoltre, non meno importante è studiare quale sia l'immagine Im, che può darci utili informazioni. Simmetrie : cerchia...

Le regole di derivazione

Calcolare velocemente una derivata: le regole di derivazione

Nel precedente post abbiamo visto come sono definite le derivate e gli elementi del calcolo differenziale che ne seguono: le derivate direzionali, il gradiente, la matrice jacobiana e la matrice hessiana. Se te lo sei perso, eccoti il link! Ti consiglio di darci una letta prima di affrontare questo post ;)

In questo post vedremo come poter calcolare le derivate di una funzione rapidamente, senza dover passare per il calcolo del limite che compare della definizione di derivata. Inizieremo di nuovo dalle derivate in R per poi passare alla generalizzazione in Rn.

Sommario

  • Le regole di derivazione in R
    • La derivata di operazioni con funzioni 
    • La regola della catena
    • Dimostrazioni
  • Le regole di derivazione in Rn
    • Le regole per campi scalari
    • La regola della catena

Le regole di derivazione in R

La derivata di operazioni con funzioni 

Sia DR un insieme aperto e siano f:DR e g:DR derivabili in D. A volte utilizzerò la notazione f per indicare la derivata di f.

La derivata della somma di due funzioni è pari alla somma delle derivate delle funzioni:

ddx(f(x)+g(x))=df(x)dx+dg(x)dx

La derivata del prodotto di due funzioni è pari alla somma dei prodotti tra la derivata di una funzione e l'altra funzione:

ddx(f(x)g(x))=df(x)dxg(x)+f(x)dg(x)dx

La derivata di una funzione reciproca:

ddx(1g(x))=dg(x)dx1g2(x)

La derivata del rapporto di due funzioni è pari al rapporto tra la differenza dei prodotti tra la derivata di una funzione e l'altra funzione e il quadrato della funzione al denominatore:

ddx(f(x)g(x))=(df(x)dxg(x)f(x)dg(x)dx)1g2(x)

La derivata della funzione inversa f1 è pari all'inverso della derivata f:

ddyf1(y)=(df(x)dx)1

dove y=f(x) e x=f1(y). Questa equazione è conosciuta anche come teorema di derivazione della funzione inversa. Attenzione: dev'essere df(x)/dx0!

La derivata di una potenza:

ddxfg(x)(x)=fg(x)(x)(dg(x)dxln(f(x))+g(x)f(x)df(x)dx)

La regola della catena

E se avessi bisogno di calcolare la derivata di una funzione composta? Siano AD, DR e siano f:DR e g:AD derivabili in D. La derivata di una funzione composta gf è pari al prodotto delle derivate di g rispetto a f e di f rispetto alla sua variabile x.

dg(f(x))dx=dg(f(x))df(x)df(x)dx

Dimostrazioni

Per i più curiosi, ecco qui le dimostrazioni.

La derivata della somma di due funzioni:

ddx(f(x)+g(x))=limh0f(x+h)+g(x+h)(f(x)+g(x))h=limh0f(x+h)f(x)h+limh0g(x+h)g(x)h=df(x)dx+dg(x)dx

La derivata del prodotto di due funzioni:

ddx(f(x)g(x))=limh0f(x+h)g(x+h)f(x)g(x)h=limh0f(x+h)g(x+h)f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)f(x)g(x)h=(limh0f(x+h))(limh0g(x+h)g(x)h)+limh0f(x+h)f(x)hg(x)=df(x)dxg(x)+f(x)dg(x)dx

Nota bene: la formula precedente è valida se e solo se f (o g) è continua in x, condizione garantita dalla continuità della funzione.

La derivata della funzione reciproca:

ddx1g(x)=limh01g(x+h)1g(x)h=limh0g(x)g(x+h)g(x+h)g(x)h=limh0g(x+h)g(x)hlimh01g(x+h)g(x)=dg(x)dx1g2(x)

Anche questa formula è valida se e solo se g è continua in x.

La derivata del rapporto di due funzioni si dimostra sfruttando la derivata del prodotto di funzioni e della funzione reciproca:

ddxf(x)g(x)=f(x)ddx1g(x)+1g(x)df(x)dx=f(x)(dg(x)dx1g2(x))+1g(x)df(x)dx=(df(x)dxg(x)f(x)dg(x)dx)1g2(x)

Il teorema di derivazione della funzione inversa:

ddxf1(y)=limh0f1(y+h)f1(y)h=limh0hf(x+h)f(x)=(df(x)dx)1

Per la derivata di una potenza ci serviamo della derivata del logaritmo naturale e della derivata del prodotto di due funzioni. Poniamo h(x)=fg(x)(x). Si ha:

dh(x)dx1h(x)=ddxln(h(x))=ddx(g(x)ln(f(x)))=dg(x)dxln(f(x))+g(x)ddxln(f(x))=dg(x)dxln(f(x))+g(x)f(x)df(x)dx

da cui segue che

dh(x)dx=ddxfg(x)(x)=fg(x)(x)(dg(x)dxln(f(x))+g(x)f(x)df(x)dx)

Le regole di derivazione in Rn

Le regole di derivazione in più dimensioni sono molto analoghe a quelle viste in precedenza per una dimensione.

Le regole per campi scalari

Sia DRn un insieme aperto e siano f:DR e g:DR derivabili in D

Gradiente della somma di campi scalari:

(f(x)+g(x))=f(x)+g(x)

Gradiente del prodotto di campi scalari:

(f(x)g(x))=f(x)g(x)+g(x)f(x)

Gradiente del rapporto di campi scalari (con g(x)0):

(f(x)g(x))=f(x)g(x)g(x)f(x)g2(x)

La regola della catena

Siano f:DRm, con DRn un insieme aperto, differenziabile in xD e g:BD, con BRp un insieme aperto, differenziabile in uB, con x=g(u). La funzione composta fg:BRm è differenziabile in u con la seguente regola della catena:

J(fg)(u)=Jf(x)Jg(u)

Nota che  Jf(x) è una matrice m×n e Jg(u) una matrice n×p.

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