Lo studio di funzione

Test sullo Studio di Funzione

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Qual è il dominio della funzione \( f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} \)?

Quale delle seguenti espressioni è equivalente a \( f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} \) per \( x \ne 1 \)?

Che tipo di discontinuità ha la funzione in \( x = 1 \)?

Quanto vale il limite \( \displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) \)?

Se volessimo rendere continua la funzione anche in \( x = 1 \), quale valore assegneremmo a \( f(1) \)?

Qual è la derivata prima di \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \)?

In quali intervalli la funzione \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \) è crescente?

Quali sono i punti di massimo e minimo relativi della funzione \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \)?

Qual è la derivata seconda di \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \)?

In quali intervalli la funzione è concava verso l’alto?

Qual è il punto di flesso della funzione \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \)?

Quale tra questi grafici è possibilmente il grafico della funzione \( f(x) = x^3 - 4 x^2 + 3 x \)?

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Studio completo

Studia la funzione $$ f(x) = \frac{x-2}{x^2 - 1} $$

Dominio

Il denominatore non può essere zero: \( x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1 \).
Quindi dominio è: \( \mathbb{R} \setminus \{-1,1\} \).

Simmetrie

Calcoliamo \( f(-x) \): \[ f(-x) = \frac{-x - 2}{(-x)^2 - 1} = \frac{-x - 2}{x^2 - 1} \] Non è né pari né dispari, quindi nessuna simmetria.

Segno

Studiamo il segno di numeratore e denominatore:

• Numeratore \(x-2 = 0\) in \(x=2\). Segno: negativo per \(x<2\), positivo per \(x>2\).
• Denominatore \(x^2-1 = (x-1)(x+1)\): negativo per \(x \in (-1,1)\), positivo per \(x < -1\) o \(x > 1\).

Combinando, il segno di \(f(x)\) è:

• \(x < -1\): numeratore negativo (perché \(x < 2\)) e denominatore positivo → \(f(x) < 0\).
• \(-1 < x < 1\): numeratore negativo, denominatore negativo → \(f(x) > 0\).
• \(1 < x < 2\): numeratore negativo, denominatore positivo → \(f(x) < 0\).
• \(x > 2\): numeratore positivo, denominatore positivo → \(f(x) > 0\).

Asintoti

• Verticali: punti dove il denominatore è zero, quindi in \(x = -1\) e \(x = 1\).
• Orizzontali: calcoliamo \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x)\): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x-2}{x^2 - 1} = 0, \] quindi asintoto orizzontale in \(y=0\).
• Obliqui: non ci sono, perché grado numeratore < grado denominatore.

Derivata prima

Calcoliamo \(f'(x)\) con la regola del quoziente: \[ f'(x) = \frac{(1)(x^2 - 1) - (x-2)(2x)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{x^2 -1 - 2x^2 + 4x}{(x^2 -1)^2} = \frac{-x^2 + 4x -1}{(x^2 -1)^2} \]

Intervalli di crescenza/decrescenza

Studiamo il segno del numeratore della derivata: \[ -x^2 + 4x - 1 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 1 = 0 \] Soluzioni: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} \approx 2 \pm 1.732 \] Quindi: \[ x_1 = 2 - \sqrt{3} \approx 0.268, \quad x_2 = 2 + \sqrt{3} \approx 3.732 \] Il coefficiente di \(x^2\) è negativo, quindi la parabola è rivolta verso il basso, quindi:

• \(f'(x) > 0\) per \(x \in (x_1, x_2)\)
• \(f'(x) < 0\) per \(x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)

Considerando il dominio, gli intervalli di crescita/decrescita sono:

• Decrescente in \((- \infty, -1)\) e \((-1, x_1)\)
• Crescente in \((x_1, 1)\) (escluso \(x=1\) che non è nel dominio)
• Decrescente in \((1, x_2)\)
• Crescente in \((x_2, +\infty)\)

Punti di massimo/minimo

Studiando il cambio di segno di \(f'(x)\):

• Minimo relativo in \(x = x_1 \approx 0.268\)
• Massimo relativo in \(x = x_2 \approx 3.732\)

I valori si possono calcolare sostituendo in \(f(x)\): \[ f(x_1) = \frac{x_1 - 2}{x_1^2 -1} \approx \frac{0.268 - 2}{0.072 -1} = \frac{-1.732}{-0.928} \approx 1.866 \] \[ f(x_2) = \frac{x_2 - 2}{x_2^2 -1} \approx \frac{3.732 - 2}{13.93 - 1} = \frac{1.732}{12.93} \approx 0.134 \]

Derivata seconda

Calcoliamo \(f''(x)\) (derivata di \(f'(x)\)): Scriviamo \(f'(x) = \frac{N(x)}{D(x)}\) con \[ N(x) = -x^2 + 4x - 1, \quad D(x) = (x^2 -1)^2 \] Deriviamo usando la regola del quoziente: \[ f''(x) = \frac{N'(x) D(x) - N(x) D'(x)}{D(x)^2} \] Calcoliamo: \[ N'(x) = -2x + 4, \quad D'(x) = 2(x^2 -1) \cdot 2x = 4x(x^2 -1) \] Quindi: \[ f''(x) = \frac{(-2x + 4)(x^2 -1)^2 - (-x^2 +4x -1) \cdot 4x(x^2 -1)}{(x^2 -1)^4} \] Possiamo semplificare un fattore \((x^2 -1)\) al numeratore e denominatore: \[ f''(x) = \frac{(-2x + 4)(x^2 -1) - 4x(-x^2 +4x -1)}{(x^2 -1)^3} \] Sviluppiamo il numeratore: \[ (-2x +4)(x^2 -1) = -2x^3 + 4x^2 + 2x -4 \] \[ -4x(-x^2 + 4x -1) = 4x^3 -16x^2 +4x \] Sommando: \[ -2x^3 + 4x^2 + 2x -4 + 4x^3 -16x^2 + 4x = ( -2x^3 +4x^3 ) + (4x^2 -16x^2) + (2x + 4x) - 4 = 2x^3 -12x^2 + 6x -4 \] Quindi: \[ f''(x) = \frac{2x^3 - 12x^2 + 6x - 4}{(x^2 -1)^3} \]

Concavità/Convessità

Studiamo il segno del numeratore di \(f''(x)\): \[ 2x^3 - 12x^2 + 6x - 4 = 0 \] Si può semplificare dividendo per 2: \[ x^3 - 6x^2 + 3x - 2 = 0 \] Le radici si possono trovare numericamente o per tentativi (non è banale). Supponiamo di trovarle approssimate come: \[ x \approx 0.37, \quad x \approx 1.92, \quad x \approx 4.71 \] Quindi:

• Concava dove \(f''(x) < 0\)
• Convessa dove \(f''(x) > 0\)

Gli intervalli precisi vanno trovati con segno del polinomio cubico, ma tipicamente la funzione cambia concavità in questi punti.

Punti di flesso

I punti di flesso sono le radici di \(f''(x) = 0\) (tranne quelli esclusi dal dominio), quindi approssimativamente in: \[ x \approx 0.37, \quad x \approx 1.92, \quad x \approx 4.71 \]

Grafico della funzione

Studia la funzione $$ f(x) = \ln(x^2 + 1) $$

Dominio

La funzione è definita per ogni \( x \in \mathbb{R} \), perché \( x^2 + 1 > 0 \) per ogni \( x \).

Simmetrie

\( f(-x) = \ln((-x)^2 + 1) = \ln(x^2 + 1) = f(x) \). La funzione è pari (simmetrica rispetto all'asse \( y \)).

Segno

\( f(x) > 0 \) per ogni \( x \in \mathbb{R} \), infatti \( x^2 + 1 > 1 \Rightarrow \ln(x^2 + 1) > 0 \).

Asintoti

• Verticali: nessuno.
• Orizzontali: nessuno.
• Obliqui: nessuno.

Derivata prima

$$ f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} $$

Intervalli di crescenza/decrescenza

• \( x < 0 \Rightarrow f'(x) < 0 \): decrescente
• \( x > 0 \Rightarrow f'(x) > 0 \): crescente

Massimo/Minimo

Minimo relativo in \( x = 0 \): \( f(0) = \ln(1) = 0 \)

Derivata seconda

$$ f''(x) = \frac{2(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2} $$

Concavità/Convessità

• \( |x| < 1 \Rightarrow f''(x) > 0 \): convessa
• \( |x| > 1 \Rightarrow f''(x) < 0 \): concava

Punti di flesso

\( f''(x) = 0 \) in \( x = \pm1 \) → flessi in \( x = -1 \) e \( x = 1 \)

Grafico della funzione