Grandezza fisica vs unità di misura

Qual è la differenza tra grandezza fisica e unità di misura?

Tutti sappiamo cosa sono un metro, un litro, un'atmosfera e un secondo, ma saresti capace di darne una definizione? Qual è la differenza tra un'atmosfera e un bar? E che differenza c'è tra la grandezza fisica e l'unità di misura?

Indice dei contenuti

• Le grandezze fisiche
• Le unità di misura
• Conversioni tra unità di misura
• I prefissi delle unità di misura nel S.I.
• Riferimenti
• Fonte delle immagini

Le grandezze fisiche [ torna al menu ]

Si definisce grandezza fisica qualsiasi proprietà della materia, di un fenomeno o dello spazio-tempo a cui può essere attribuita una misura, composta da un numero e un riferimento. Ad esempio, la lunghezza di un'asse è una grandezza fisica, mentre il gusto di una fragola non lo è. 

Esistono vari modi per classificare le grandezze fisiche, qui vedremo le più importanti. Generalmente si distinguono in:

• grandezze fisiche scalari, se la sola misura è sufficiente a descriverle;
• grandezze fisiche vettoriali, se è necessario attribuir loro anche una direzione e un verso.

Ad esempio, sono scalari la temperatura, la massa e la lunghezza, mentre sono vettori la velocità, il campo elettrico e la forza.

Esse si distinguono anche in

• grandezze fisiche intensive, se non dipendono dalla quantità di materia nel sistema;
• grandezze fisiche estensive, se dipendono dalla quantità di materia nel sistema.

Un'importantissima classificazione è quella tra

• grandezze fisiche fondamentali, se derivano da misure dirette;
• grandezze fisiche derivate, se discendono dalle misure fondamentali.

La scelta delle grandezze fisiche fondamentali sta alla base dell'analisi dimensionale. Infatti, scelte \(n\) grandezze fisiche fondamentali, ogni grandezza fisica derivata è definita dal prodotto di potenze delle grandezze fondamentali:

$$[G]=[\alpha_1^{\gamma_1}][\alpha_2^{\gamma_2}]...[\alpha_{n-1}^{\gamma_{n-1}}][\alpha_n^{\gamma_n}]$$

dove 

• \(\alpha_1,...,\alpha_n\) sono le grandezze fondamentali del sistema;
• \([G]\) si chiama dimensione della grandezza fisica \(G\);
• \(\gamma_1,...,\gamma_n\in \mathbb{Z}\) sono gli esponenti delle potenze.

Ad esempio, la dimensione dell'accelerazione è il rapporto di una lunghezza e di un tempo al quadrato:

\(\quad [a]=[L][T^{-2}]\)

In tal modo, date due grandezze fisiche \([G_1]\) e \([G_2]\), l'analisi dimensionale di una grandezza fisica che deriva da un operazione effettuata tra le due grandezze fisiche avviene tra operazioni effettuate tra le potenze delle grandezze fondamentali che le compongono.

Il prodotto (e, quindi, la divisione) tra grandezze fisiche è sempre possibile ed è definito nel seguente modo:

\(\quad [G_1][G_2]=([\alpha_1^{\gamma_1}][\alpha_2^{\gamma_2}]...[\alpha_{n-1}^{\gamma_{n-1}}][\alpha_n^{\gamma_n}])([\alpha_1^{\kappa_1}][\alpha_2^{\kappa_2}]...[\alpha_{n-1}^{\kappa_{n-1}}][\alpha_n^{\kappa_n}])=\)\(\quad [\alpha_1^{\gamma_1+\kappa_1}][\alpha_2^{\gamma_2+\kappa_2}]...[\alpha_{n-1}^{\gamma_{n-1}+\kappa_{n-1}}][\alpha_n^{\gamma_n+\kappa_n}]\)

secondo le proprietà delle potenze. Nota bene: le grandezze fisiche \([G_1]\) e \([G_2]\) sono diverse, ma ciò che le distingue sono solo gli esponenti \(\gamma_1,...,\gamma_n\) e \(\kappa_1,...,\kappa_n\)! Le grandezze fondamentali \(\alpha_1,...,\alpha_n\) sono le stesse.

A titolo di esempio, la dimensione di una forza è il prodotto di una massa per un'accelerazione, in accordo col secondo principio della dinamica:

\(\quad [F]=[m][a]=[M][L][T^{-2}]\)

La somma (e, quindi, la sottrazione) tra grandezze fisiche, invece, è possibile se e solo se queste possiedono le stesse dimensioni. La dimensione della somma è pari alle dimensioni degli addendi:

\(\quad [G_1+G_2]=[G_1]=[G_2]\)

È possibile definire equazioni del tipo

\(\quad [G_1]=[G_2]\)

in cui l'obiettivo è determinare gli esponenti che rendono vera l'uguaglianza. Una tale equazione si chiama equazione dimensionale. Per esempio, l'equazione

\(\quad [M][L^{-3}]=[M^{\gamma_M}][L^{\gamma_L}][T^{\gamma_T}]\)

è verificata per \(\gamma_M=1\), \(\gamma_L=-3\) e \(\gamma_T=0\).

Le unità di misura [ torna al menu ]

Hai presente quando a scuola, dopo aver comunicato al professore di fisica il risultato dell'esercizio, questo ti chiedeva: "cosa? mele? pere?"?

Abbiamo detto precedentemente che per la misura di una grandezza fisica abbiamo bisogno di un numero e di un riferimento. Il riferimento è fondamentale: permette di confrontare le grandezze fisiche di uguale dimensione.

In ogni sistema di misura, una volta scelti i campioni di riferimento delle dimensioni fondamentali, la misura di ogni grandezza fisica \(G\) viene espressa come il prodotto tra il numero \(g\) che la quantifica e le unità di misura in cui è espressa la sua dimensione \([G]\):

\(\quad G=g[G]\)

La differenza tra unità di misura e grandezza fisica sta tutta qui: l'unità di misura è il riferimento in cui è misurata una grandezza fisica (attento a non confonderti!)

Ad esempio, se scegliessimo di esprimere tutte le lunghezze in riferimento alla penna sul tuo tavolo,  la penna sarebbe il campione di riferimento e potremmo misurare la lunghezza \(\ell\) del tavolo come cinque volte la penna:

\(\quad \ell = 5 \text{penna} \)

In ambito scientifico è necessario comunicare i dati che si sono registrati, per esempio, negli esperimenti. Quando un ingegnere a Roma deve comprare una certa quantità di metallo in Germania, ha bisogno di un'unità di misura che sia un chiaro riferimento per entrambe le parti. Le penne nel mondo hanno lunghezze diverse l'una dall'altra, quindi la tua penna è sufficiente per te a confrontare lunghezze diverse, ma non costituisce un'unità di misura adeguata come riferimento per altre persone. Per questo motivo, esistono diversi sistemi di unità di misura, nati da accordi nazionali o internazionali.

Quello che vedi in Figura d'intestazione è un campione di chilogrammo di massa standard, conservato dal National Institute of Standards and Technology, USA. Si tratta di uno dei due che servono come standard ufficiale per definire tutte le unità di peso e massa negli Stati Uniti. È un cilindro levigato composto di una lega 90% platino - 10% iridio. Il diametro e l'altezza misurano 39 mm (corrispondenti a 1,5 pollici). È una delle 40 copie del prototipo internazionale del chilogrammo conservato presso l'Ufficio Internazionale dei Pesi e delle Misure (Bureau International des Poids et Measures) a Sèvres, in Francia, che furono presentate nel 1884 a diverse nazioni come standard nazionali di riferimento. Questa copia, denominata K4, è uno standard di confronto secondario, mentre la sua gemella, la copia K20, è lo standard primario. Nel 1884, differisce in massa dal chilogrammo prototipo di circa 75 microgrammi.

Figura 1: nel logo del S.I. sono indicate le unità di misura delle grandezze fondamentali e le costanti fisiche tramite cui sono state definite.

Storicamente, l'accordo internazionale più importante è il sistema internazionale di unità di misura (in francese: Système international d'unités), abbreviato nella sigla S.I. A partire dal 2018 le unità di misura delle grandezze fondamentali sono state definite in funzione delle costanti fisiche. In tal modo, il riferimento è internazionalmente riconosciuto, a differenza della penna sul tuo tavolo. Esse sono riassunte nella seguente tabella:

$$\begin{array}{ccccc} \text{Grandezza} & \text{Simbolo}& \text{Nome} & \text{Simbolo} & \text{Costante fisica} \\ \text{fisica} & \text{dimensionale}& \text{dell'unità} & \text{dell'unità} & \text{utilizzata} \\ \text{fondamentale} & & \text{di misura} & \text{di misura} & \text{per la definizione} \\ \hline \text{massa} & [M] & \text{chilogrammo} & kg & h \\ \text{lunghezza} & [L] & \text{metro} & m & c \\ \text{tempo} & [T] & \text{secondo} & s & \Delta \nu \\ \text{intensità di corrente} & [I] & \text{ampere} & A & e \\ \text{temperatura} & [\Theta] & \text{kelvin} & K & k \\ \text{quantità di materia} & [N] & \text{mole} & mol & N_A \end{array}$$

Le costanti fisiche utilizzate sono

• \(h\): la costante di Planck;
• \(c\): la velocità della luce;
• \(\Delta \nu\): la durata di 9 192 631 770 periodi della radiazione corrispondente alla transizione tra due livelli iperfini, da (F=4, MF=0) a (F=3, MF=0), dello stato fondamentale dell'atomo di cesio-133 [1];
• \(e\): la carica elementare;
• \(k\): la costante di Boltzmann;
• \(N_A\): la costante di Avogadro.

Altri sistemi di misura sono:

• le unità di misura di Planck;
• il sistema consuetudinario statunitense;
• il sistema imperiale britannico;
• le unità di misura CGS (Centimetro-Grammo-Secondo).

Esistono anche sistemi locali attualmente in uso o obsoleti, quali

• le unità di misura cinesi;
• le unità di misura giapponesi;
• le unità di misura norvegesi;
• le unità di misura turche tradizionali. [2]

Unità di misura notevoli, non appartenenti al S.I., ma ampiamente usate sono

• l'ångström \(Å\), equivalente a \(10^{-10} m\), utilizzato per le misurazioni atomiche;
• la caloria \(cal\), equivalente a \(4,184 J\), utilizzata spesso per misurare l'apporto energetico degli alimenti;
• il British Thermal Unit \(BTU\), equivalente a \(1055,056J\), utilizzato nei paesi anglosassoni;
• l'atmosfera \(atm\), equivalente a \(101325Pa\), utilizzato per misurare la pressione in ambito non formale;
• il bar \(bar\), equivalente a \(10^5Pa\), anch'esso utilizzato per la pressione;
• il pollice \(in\), equivalente a \(0,0254 m\), utilizzato principalmente nei paesi anglosassoni e in informatica;
• il miglio, equivalente a circa \(1609,34 m\), utilizzato anch'esso nei paesi anglosassoni;
• il piede \(ft\), equivalente a \(0,3048 m\), utilizzato nei paesi anglosassoni;
• il millimetro di mercurio \(mmHg\) o \(torr\), equivalente a \(133,322Pa\);
• la wattora \(Wh\), equivalente a \(3600J\), utilizzato soprattutto in elettrotecnica;
• l'ampere-ora \(Ah\), equivalente a \(3600C\), utilizzato anch'essa soprattutto in elettrotecnica;
• la libbra \(lb\), equivalente a circa \(0,4536 kg\), utilizzato nei paesi anglosassoni;
• il grado Celsius \(\text{°C}\), equivalente a \(1 K\) (attenzione, però, alla conversione tra Celsius e kelvin!) e ampiamente usato in Europa. La conversione tra gradi Celsius e kelvin è una questione delicata e a volte difficile da comprendere, quindi presta attenzione. L'ampiezza dell'intervallo tra un grado Celsius e il successivo è equivalente a quella tra un kelvin e il successivo, quindi la differenza di temperatura tra due gradi Celsius è uguale alla differenza di temperatura tra due kelvin: \( \Delta \Theta_{\text{°C}}=\Delta \Theta_K\). Tuttavia, i kelvin sono equivalenti a una scala Celsius traslata di 273,15 gradi secondo l'equazione \( \Theta_K = \Theta_{\text{°C}} + 273,15 K \), dove \(\Theta_K\) è la temperatura in kelvin e \(\Theta_{\text{°C}}\) è la temperatura in gradi Celsius.
• il grado Fahrenheit \(\text{°F}\), equivalente a \(9/5 K \approx 0,555 K\) (attenzione, però, alla conversione tra Fahrenheit e kelvin!) e ampiamente usato nei paesi anglosassoni. Anche la conversione tra gradi Fahrenheit e kelvin non è banale. L'ampiezza dell'intervallo tra un kelvin e il successivo è equivalente a \(1,8\) volte quella tra un kelvin e il successivo, quindi la differenza di temperatura tra due gradi Fahrenheit consecutivi è uguale a \(1,8 \text{°F}\). Tuttavia, la conversione da gradi Fahrenheit a kelvin avviene secondo l'equazione \(\Theta_K = (\Theta_{\text{°F}} + 459,67 K)/1,8\), dove \(\Theta_K\) è la temperatura in kelvin e \(\Theta_{\text{°F}}\) è la temperatura in gradi Fahrenheit.

Figura 2: scale Celsius, Fahrenheit e kelvin a confronto.

Il cavallo vapore è un'unità di misura particolare. Viene usato consuetudinariamente per la misurazione della potenza di una macchina, ma la sua definizione storicamente è travagliata.

• Il cavallo vapore europeo \(CV\) è stato definito dal DIN (dal tedesco Deutsches Institut für Normung), l'Istituto tedesco di standardizzazione, come la potenza necessaria per sollevare \(75 kg_f\) (chilogrammi forza) alla velocità di \(1 m/s\): \(1CV=75 kg_fms^{-1}\approx 735,5 W\).
• Il cavallo vapore britannico \(hp\) (dall'inglese horsepower) è stato definito da James Watt come la potenza necessaria per sollevare \(33000 lb_f\) (libbre forza) alla velocità di \(1 ft/min\): \(1hp=33000 lb_f ft min^{-1}\approx 755,5 W\). Una nuova valutazione in funzione dei criteri europei ha ridefinito il cavallo vapore britannico come \(1 hp=76 kg_fms^{-1}\approx 745,3 W\). Ora, la conversione tra cavalli vapore europei e britannici non è banale. Siano \(P_{\alpha}\) una potenza espressa nell'unità di misura \(\alpha\). Si ha: \(P_{hp}=(1 hp/745,3 W)P_{W}=(1 hp/745,3 W)(735,5 W/1CV)P_{CV}=\)\((735,5 hp/745,3 CV)P_{CV}=(0,987 hp/CV)P_{CV}\).

Conversioni tra unità di misura [ torna al menu ]

Immagina questa situazione: sei un pilota e stai entrando nei cieli statunitensi. La torre di controllo ti ordina di mantenere la quota di volo a 33000 piedi, ma il computer di bordo misura la quota in metri. Qual è la quota da inserire nel programma di pilota automatico? Le conversioni tra unità di misura risolvono questo problema: servono a passare da un sistema di misura all'altro. 

Per effettuare tale passaggio bisogna conoscere la legge di conversione. Spesso la legge è lineare. Ad esempio, la conversione tra piedi e metri è l'equazione di una retta passante per l'origine (\(0 m\) corrisponde a \(0 ft\)). Sapendo che \(1 m\) equivale a \(3,281 ft\), possiamo scrivere la proporzione

\(\quad 1 m : 3,281 ft = x : 33000 ft\), 

ottenendo la misura in metri di 32810 piedi:

\(\quad x = \dfrac{1 m}{3,281 ft} \cdot 33000 ft =  0,305 \dfrac{m}{ft} \cdot 33000 ft  = 10058 m\)

Il coefficiente si chiama \(0,305 \frac{m}{ft}\) fattore di conversione. 

Ancora, la conversione tra gradi Celsius e kelvin è lineare. 

\(\quad \Theta_K = \Theta_{\text{°C}} + 273,15 K\)

dove con \(\Theta_K\) si indica la temperatura in kelvin e con \(\Theta_{\text{°C}}\) la temperatura in gradi Celsius. Si tratta di una retta con termine noto pari a \(273,15 K\). 

Per conversioni più complesse, bisogna ricordare che le misure sono date dal prodotto tra numero e unità di misura, quindi quest'ultime devono essere trattate come "variabili", con un certo abuso di terminologia. Per esempio, voglio convertire \( 50 km/h\) in \(m/s\):

\(\quad 50 \dfrac{km}{h} = 50 \dfrac{1000 m}{60 min} = 50 \dfrac{1000 m}{60 \cdot 60 s}  = \dfrac{50 \cdot 1000 }{60 \cdot 60} \dfrac{m}{s} = 14 \dfrac{m}{s} \) 

Nel calcolo sopra non ho fatto altro che sostituire alle unità di misura che voglio cambiare il corrispettivo valore nelle unità di misura che mi interessano. 

Figura 3: confronto tra unità di misura del peso e della lunghezza del S.I., del sistema imperiale britannico e del sistema consuetudinario statunitense.

I prefissi delle unità di misura nel S.I. [ torna al menu ]

Nel sistema internazionale si preferisce utilizzare dei prefissi per le unità di misura, in modo da alleggerire la notazione scientifica. Ogni prefisso l'ordine di grandezza della misura. Segue una tabella dei prefissi utilizzati:

$$\begin{array}{ccc} \text{Prefisso} & \text{Simbolo} & \text{Ordine di grandezza} \\ \hline \text{yotta} & Y & 10^{24} \\ \text{zetta} & Z & 10^{21} \\ \text{exa} & E & 10^{18} \\ \text{peta} & P & 10^{15} \\ \text{tera} & T & 10^{12} \\ \text{giga} & G & 10^9 \\ \text{mega} & M & 10^6 \\ \text{chilo} & k & 10^3 \\ \text{etto} & h & 10^2 \\ \text{deca} & da & 10 \\ \text{deci} & d & 10^{-1} \\ \text{centi} & c & 10^{-2} \\ \text{milli} & m & 10^{-3} \\ \text{micro} & \mu & 10^{-6} \\ \text{nano} & n & 10^{-9} \\ \text{pico} & p & 10^{-12} \\ \text{femto} & f & 10^{-15} \\ \text{atto} & a & 10^{-18} \\ \text{zepto} & z & 10^{-21} \\ \text{yocto} & y & 10^{-24} \end{array}$$

Ad esempio, quando si legge \(15 km\), \(2 mbar\), \(1 Gbit\), significano rispettivamente \(15000 m\), \(0,002 bar\), \(1000000000 bit\). Infatti, si ha

• \(15 km=15\cdot 10^3 m=1,5\cdot 10^4 m\);
• \(2 mbar=2 \cdot 10^{-3} bar\);
• \(1 Gbit = 1\cdot 10^9 bit = 10^9 bit \).

Noti un certo schema? Gli esponenti dell'ordine di grandezza hanno un salto di tre unità l'uno dall'altro, tranne che per i prefissi tra milli e chilo. Il motivo è più chiaro se si guarda all'etimologia delle parole. Infatti:

• yocta deriva dal greco ὀκτώ (okto), e significa "otto". Il suo ordine di grandezza è \(10^{24}=1000^8\);
• zetta deriva dal greco ζῆτα (zeta), e significa "sette". Il suo ordine di grandezza è \(10^{21}=1000^7\);
• exa deriva dal greco ἕξ (hex), e significa "sei". Il suo ordine di grandezza è \(10^{18}=1000^6\);
• peta deriva dal greco πέντε (pente), e significa "sei". Il suo ordine di grandezza è \(10^{15}=1000^5\);
• tera deriva dal greco τετρά (tetra), e significa "quartina". Il suo ordine di grandezza è \(10^{12}=1000^4\).

Da questo punto di vista appare chiaro il motivo delle scelte dei nomi dei prefissi.

Per quanto riguarda i prefissi minori:

• giga: dal greco γίγας, gigas, «gigante».
• mega: dal greco μέγας, megas, «grande».
• chilo: dal greco χίλιοι, chilioi, «mille».
• etto: dal greco ἑκατόν, hekaton, «cento».
• deca: dal greco δέκα deka, «dieci».
• deci: dal latino decimus, «decimo».
• centi: dal latino centus, «cento».
• milli; dal latino mille, «mille».
• micro: dal greco μικρός, mikros, «piccolo».
• nano: dal greco νᾶνος, nanos, «nano». [3]

Riferimenti [ torna al menu ]

[1] Bureau International des Poids et Mesures (BIPM), consultato il 24/10/2021 alle ore 16:23. https://www.bipm.org/en/home.

[2] Unità di misura - Wikipedia (23 ottobre 2021). Wikipedia, L'enciclopedia libera. Tratto il 25 ottobre 2021, 16:20.

[3] Prefissi del Sistema internazionale di unità di misura - Wikipedia (19 ottobre 2021). Wikipedia, L'enciclopedia libera. Tratto il 25 ottobre 2021, 16:21.

Fonte delle immagini [ torna al menu ]

Figura d'intestazione: autore sconosciuto - National Geographic magazine, Vol. 27, No.1 (January 1915), p. 154 in Google Books. Foto accreditata al US National Bureau of Standards, ora National Institute of Standards and Technology (NIST). Pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=13346824.

Figura 1: DiBIPM - International Bureau of Weights and Measures (w:BIPM), https://www.bipm.org/en/si-download-area/graphics-files.html#, pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=109624286.

Figura 2: creato con Microsoft Paint.

Figura 3: Di Uranther - Opera propria, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=19433538.