Il problema di Fermi e l'equazione di Drake

Quanti accordatori di pianoforte ci sono a Chicago?

Quanti pesci ci sono nel mondo? Quante civiltà intelligenti ci sono nella galassia? Siamo nel deserto di Jornada del Muerto, Nuovo Messico. È il 16 luglio 1945. Il fisico italiano Enrico Fermi, insieme al team del progetto Manhattan, aspetta ansiosamente i risultati di una ricerca che avrebbe inevitabilmente lasciato un segno nella storia umana. Per anni si è ipotizzata l'idea di una bomba che riesca a distruggere città intere, ma nessuno ne conosce la vera potenza. Il fisico ungherese Edward Teller sostiene che l'esplosione possa persino incendiare l'atmosfera. Sono le 5:29:45 (ora locale). All'orizzonte un'esplosione libera l'energia pari a quella di 20000 tonnellate di tritolo. Il cielo diviene rosso. Il fisico statunitense Robert Oppenheimer, alla vista di tanta potenza, commenta [1]:

Sono diventato Morte, il distruttore di mondi.

Figura 1: nella foto si vede chiaramente l'onda d'urto della bomba a 25 ms dall'esplosione.

Fermi, di cui già era nota l'abilità di stimare dati in modo sorprendentemente accurato, immediatamente dopo l'esplosione riesce a dare un valore indicativo della potenza basandosi sulla distanza percorsa da alcuni pezzi di carta caduti sulla sua mano.

Indice dei contenuti

• Il metodo Fermi
• L'equazione di Drake
• Riferimenti
• Fonte delle immagini

Il metodo Fermi [ torna al menu ]

Il metodo Fermi consiste nella risoluzione di problemi, detti di Fermi, grazie a stime e approssimazioni che si basano sui dati che sono in possesso. Per esempio, la stima dell'energia liberata dalla prima bomba atomica fu possibile grazie all'energia cinetica che l'onda d'urto aveva impresso a quei pezzi di carta che caddero sulla mano del fisico italiano. 

Un classico problema che Fermi proponeva ai suoi studenti era

Quanti accordatori di pianoforte ci sono a Chicago?

Dare una risposta accurata è molto difficile. Bisognerebbe contare gli accordatori di pianoforte in una città che nel 1940 contava 3 620 962 abitanti [2], senza considerare che il numero esatto è una funzione del tempo. Un approccio alla soluzione di questo tipo è chiaramente dispendioso e complicato. 

Invece, Fermi proponeva una soluzione approssimativa e stimata sulla base dei dati in possesso. Un accordatore di pianoforte lavora 8 ore al giorno per 5 giorni alla settimana. Inoltre, supponendo che si prenda un totale di 2 mesi di ferie, lavora per 10 mesi all'anno. Supponiamo che riesca ad accordare un pianoforte in due ore. Possiamo stimare un pianoforte ogni 10 case. Dunque, per conoscere il numero di pianoforti ci serve il numero di case. Approssimiamo a 2,5 il nucleo abitativo medio per casa. Ora, stimiamo che un pianoforte abbia bisogno di un'accordatura all'anno. Riassumendo le nostre ipotesi:

• Ci sono 4 000 000 di abitanti a Chicago.
• Ci sono 2,5 abitanti per casa.
• C'è un pianoforte ogni 10 case.
• Ogni pianoforte viene accordato una volta all'anno.
• Un accordatore lavora 8 ore al giorno per 5 giorni a settimana per 10 mesi l'anno.
• Un accordatura necessita di 2 ore di lavoro.

Sotto le nostre ipotesi, il numero di case \(n\) a Chicago è

\(\quad n=4\cdot10^6 \text{ab} \cdot \dfrac{1 \text{casa}}{2,5 \text{ab}} = 1,6 \cdot 10^6 \text{casa}\)

Il numero \(p\) di pianoforti a Chicago è

\(\quad p= n \cdot \dfrac{1 \text{pianoforte}}{10 \text{casa}} = 1,6 \cdot 10^5 \text{pianoforte} \)

Il numero di accordature all'anno \(m\) a Chicago, dunque, è

\(\quad m= p \cdot \dfrac{1 \text{accordatura}}{ \text{pianoforte} \cdot \text{anno}} = 1,6 \cdot 10^5 \dfrac{\text{accordatura}}{ \text{anno}}  \)

Ciò significa che le ore \(k\) di lavoro necessarie per accordare i pianoforti sono:

\(\quad k=m\cdot 2 \dfrac{h}{\text{accordatura}}=3,2 \cdot 10^5 \dfrac{h}{ \text{anno}}\)

Le ore \(l\) di lavoro all'anno per un accordatore di pianoforti sono

\(\quad l= 8 \dfrac{h}{\text{die}}\cdot 5 \dfrac{\text{die}}{\text{settimana}} \cdot 4 \dfrac{\text{settimane}}{\text{mese}}\cdot 10 \dfrac{\text{mese}}{\text{anno}}=1600 \dfrac{h}{\text{anno}}\)

Considerando che tutti i pianoforti vengano accordati ogni anno, si conclude che il numero \(a\) di accordatori a Chicago si può stimare in

\(\quad a= \dfrac{k}{l}=200 \)

Il numero ottenuto, ovviamente, non è preciso. Tuttavia, è verosimile, poiché deriva da ipotesi verosimili. Il metodo Fermi è un modo rapido per verificare

• di quali dati necessitiamo;
• se l'analisi dimensionale sia corretta;
• se il risultato sia plausibile.

Inoltre, com'è possibile notare, è utile nella stima di dati che, altrimenti, sarebbero difficilmente conoscibili. Pertanto, è applicabile non solo in fisica, ma in tutti gli ambiti scientifici e nella quotidianità.

L'equazione di Drake [ torna al menu ]

Un esempio molto simile a un problema di Fermi è la famosa equazione di Drake. Questa formula stima il numero di civiltà extraterrestri esistenti in grado di comunicare nella nostra galassia. Venne formulata nel 1961 dall'astronomo e astrofisico statunitense Frank Drake, 

L'Accademia nazionale delle scienze statunitense invitò Drake a partecipare ad un incontro sul tema della rilevazione di possibili intelligenze extraterrestri. Drake spiegò l'origine dell'equazione:

"Pianificando l'incontro, mi resi conto con qualche giorno d'anticipo che avevamo bisogno di un programma. E così mi scrissi tutte le cose che avevamo bisogno di sapere per capire quanto difficile si sarebbe rivelato entrare in contatto con delle forme di vita extraterrestri. E guardando quell'elenco diventò piuttosto evidente che moltiplicando tutti quei fattori si otteneva un numero, \(N\), che è il numero di civiltà rilevabili nella nostra galassia. Questo, ovviamente, mirando alla ricerca radio, e non alla ricerca di esseri primordiali o primitivi."

L'equazione è la seguente:

\(\quad N=R^{*}f_pn_ef_lf_if_cL\)

Si tratta del prodotto di sette fattori, ognuno rappresentante una probabilità.

• \(N\) è il numero di civiltà extraterrestri nella Via Lattea sufficientemente avanzate per poter stabilire un contatto.
• \(R^{*}\) è il tasso medio annuo di formazione di nuove stelle nella Via Lattea;
• \(f_p\) è la frazione di stelle che possiedono pianeti;
• \(n_e\) è il numero medio di pianeti per sistema planetario in grado di ospitare forme di vita;
• \(f_l\) è la frazione dei pianeti \(n_e\) su cui si è effettivamente sviluppata una forma di vita;
• \(f_i\) è la frazione dei pianeti \(f_l\) su cui la forma di vita è considerabile "intelligente";
• \(f_c\) è la frazione dei pianeti \(f_i\) su cui la forma di vita è sufficientemente evoluta da poter comunicare con gli umani;
• \(L\) è la durata media di tali civiltà intelligenti.

Drake calcolò, secondo i dati dell'epoca, \(N=10\), ossia \(10\) civiltà extraterrestri in grado di comunicare con gli umani.

Proviamo a calcolare il numero con i dati a disposizione oggi.

• \(R^{*}=7 \dfrac{\text{stella}}{\text{anno}}\) [3];
• \(f_p = 0,34\): grazie alla missione Kepler si è potuto stimare che il 34% dei sistemi solari possa ospitare almeno un pianeta [4]. Tuttavia, il dato potrebbe essere molto più alto, poiché non tutti i pianeti a lunga distanza sono rilevabili dai telescopi spaziali;
• \(n_e = 3\). Un pianeta per essere definito abitabile necessita di particolari condizioni. Ogni sistema stellare presenza una zona dello spazio chiamata "fascia abitabile", in cui un pianeta ha buone probabilità di essere simile alla Terra. Secondo uno studio dell'Università della California Riverside, potrebbero esserci fino a 7 pianeti abitabili per sistema solare. L'astrobiologo Stephen Kane aveva studiato il sistema solare Trappist-1, in cui sono stati individuati tre pianeti nella fascia abitabile [5]. Considerando che anche i satelliti dei pianeti potrebbero essere abitabili, \(n_e = 3\) è una stima ragionevolmente cauta;
• \(f_l = 0,13\). Uno studio condotto da Charles H. Lineweaver e Tamara M. Davis (dell'Università del Nuovo Galles del Sud e dell'Australian Centre for Astrobiology) nel 2002 ha ipotizzato che il numero statistico di pianeti potenzialmente abitati è superiore a \(0,13\) sui pianeti più vecchi di un miliardo di anni, basandosi sulla rapidità con cui la civiltà umana si è sviluppata.
• \(f_i = 10^{-4}\). Questo dato è molto dibattuto e impossibile da misurare rigorosamente. Esistono fonti ottimiste, secondo cui la formazione di vita intelligente è inevitabile, e fonti pessimiste, come il biologo Ernst Mayr, il quale evidenzia come delle miliardi di specie esistite sulla Terra solo una è considerabile intelligente. Nella nostra stima considereremo che una specie su 10 000 diventa intelligente;
• \(f_c = 0,1\) Anche questo dato è discutibile. Nella nostra analisi considereremo che 1 specie su 10 intelligenti sia potenzialmente in grado di comunicare con noi;
• \(L = 10^5 \text{anno}\). L'astrobiologo David Grinspoon, ha suggerito che se una civiltà riesce a raggiungere un grado di sviluppo sufficiente, questa può sopravvivere a qualsiasi minaccia alla sua sopravvivenza [6]. In tal caso \(L\) tenderebbe a infinito. Se ci basiamo sulla storia della specie umana, possiamo ragionevolmente proporre un valore di 100 000 anni.

Con questi dati, si ottengono

\(\quad N = 7 \dfrac{\text{stella}}{\text{anno}} \cdot 0,34 \dfrac{\text{stella con pianeti}}{\text{stella}} \cdot 3 \dfrac{\text{pianeti}}{\text{stella con pianeti}}  \cdot \)\(\quad 0,13 \dfrac{\text{pianeti con vita}}{\text{pianeti}} \cdot 10^{-4} \dfrac{\text{pianeti con vita intelligente}}{\text{pianeti con vita }} \cdot \)\(\quad 0,1 \dfrac{\text{pianeti con vita intelligente e comunicante}}{\text{pianeti con vita intelligente}} \cdot 10^5 \text{anno} =\)\(\quad 0,93 \text{ pianeti con vita intelligente e comunicante}\)

Bisogna dire, però, che la stima varia considerevolmente in funzione dei parametri scelti, quindi si hanno valori che spaziano tra \(10^{-7}\), per le stime più pessimistiche, e \(6\cdot 10^5\), per le stime più ottimistiche.

A riguardo il paradosso di Fermi si chiede:

Se nell'universo esiste un gran numero di civiltà aliene, perché la loro presenza non si è mai manifestata?

E secondo te?

Riferimenti [ torna al menu ]

[1] Robert Oppenheimer - Wikipedia. (4 agosto 2021). Wikipedia, L'enciclopedia libera. Tratto il 26 ottobre 2021, 14:11.

[2] Chicago - Wikipedia. (20 ottobre 2021). Wikipedia, L'enciclopedia libera. Tratto il 26 ottobre 2021, 14:20.

[3] Christopher Wanjek, Milky Way Churns Out Seven New Stars Per Year, Scientists Say, Goddard Space Flight Center, NASA (08-05-2008)

[4] William J. Borucki, David G. Koch; Gibor Basri; Natalie Batalha; Timothy M. Brown e altri, Characteristics of planetary candidates observed by Kepler, II: Analysis of the first four months of data.

[5] Spazio, possibili sistemi stellari con 7 pianeti abitabili - La Stampa.

[6] David Grinspoon, Lonely Planets – The Natural Philosophy of Alien Life, 2004.

Fonte delle immagini [ torna al menu ]

Figura d'intestazione: Enrico Fermi. Di Department of Energy. Office of Public Affairs; l'opera multimediale è disponibile nel catalogo della National Archives and Records Administration con codice di identificazione ARC (National Archives Identifier) 558578. Pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=156854.

Figura 1: cortesia del US Govt. Defense Threat Reduction Agency - http://www.atomicarchive.com/Photos/Trinity/image8.shtml. Pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=64193.