Cos'è e a cosa serve lo studio di funzione? Lo studio di funzione è un importante strumento dell'analisi matematica per poter comprendere al meglio le caratteristiche di una funzione. Ne discende che chiunque lavori nell'ambito delle scienze esatte deve padroneggiare l'abilità di studiare una funzione. In questo post vedremo come si fa uno studio di funzione, a una o più variabili, portando due esempi. Inoltre, vedremo in qual modo lo studio di una funzione possa essere applicato a un caso reale. Studio di funzione: come si fa? Lo studio di una funzione reale a variabili reali deve passare per i seguenti passi in modo ordinato: Dominio e l'immagine : ponendo le condizioni di esistenza della funzione \(f:D \rightarrow C\) si può comprendere quale sia il suo dominio naturale \(D\). Inoltre, non meno importante è studiare quale sia l'immagine \(\text{Im}\), che può darci utili informazioni. Simmetrie : cerchia
Perché devo studiare matematica?
Quante volte ci si è chiesti: "perché devo conoscere l'equazione di una retta passante per due punti?", o "a cosa mi serve studiare le radici di un polinomio di secondo grado", per non parlare dell'equazione di un'ellisse! A cosa servono nella vita quotidiana tutte queste conoscenze? Basta fare un giro sul web per trovare...
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Figura 1: "Io: come trovo un lavoro? Come pago le tasse? Come compro una casa?" "Scuola: beh, in realtà ..." |
Cerchiamo di dare delle risposte.
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Perché studiare la matematica? [ torna al menu ]
Ti sei è mai chiesto perché la matematica venga insegnata ai bambini fin dalle elementari? Perché le persone dovrebbero imparare a contare, sommare, dividere, moltiplicare e dovrebbero studiare nozioni più complicate, come i prodotti notevoli, sin dai primi anni di vita? Per citare Galileo Galilei:
La mathematica è l'alfabeto in cui Dio à scritto l'Universo.
La matematica è ovunque nel mondo circostante. Dalla chimica, alla fisica, alla sezione aurea, un particolare rapporto geometrico ricorrente in natura.
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| Figura 2: il Nautilus Pompilius è un particolare mollusco la cui conchiglia è un esempio di spirale aurea, ossia una spirale il cui fattore di accrescimento è pari alla sezione aurea. |
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| Figura 3: esemplare di Nautilus Pompilius conservato al Fernbank Museum of Natural History, Atlanta, Georgia, USA. |
Quando conti i chilometri percorsi, misuri la pasta da cuocere, calcoli la somma di denaro che devi a un amico stai facendo matematica. Certamente si tratta di matematica basilare, ma si possono trovare facilmente esempi di matematica più complessa. Immagina questa situazione: il proprietario di un'azienda agricola ha speso 15.456€ per produrre una tonnellata di pomodori in 6 mesi, di cui 9.500€ sono il costo iniziale (strumenti, macchine e terreni), mentre la spesa restante è dovuta alla coltivazione dei pomodori. Quanto deve guadagnare al mese per poter recuperare la spesa in certo numero di mesi da decidere?
Vediamo la risoluzione. Le funzioni sono lo strumento ideale per giungere alla soluzione. Il tempo \(t\) costituirà la variabile, mentre definiamo
- \(c:\left[ 0 ,+\infty\right)\rightarrow \mathbb{R}\) la funzione della spesa;
- \(g:\left[ 0 ,+\infty\right)\rightarrow \mathbb{R}\) la funzione del guadagno.
Supponiamo che la spesa e il guadagno crescano in modo costante. In termini
matematici si scrive
\( \quad \dfrac{dc(t)}{dt}=k_1 \) e \( \dfrac{dg(t)}{dt}=k_2 \)
dove \(k_1\) e \(k_2\) sono due costanti reali. Le due condizioni sopraccitate sono equazioni differenziali di primo ordine con soluzione
\( \quad c(t) = k_1 t + \gamma_1 \) e \( g(t) = k_2 t + \gamma_2 \)
Abbiamo, quindi, determinato la forma delle funzioni \(c(t)\) e \(g(t)\). Le due funzioni ottenute sono due rette con coefficienti angoli \(k_1,k_2\) e termini noti \(\gamma_1,\gamma_2\).
La spesa iniziale è 9.500€, pertanto si pone
\(\quad c(0) = \gamma_1 = 9.500 \text{€}\)
\(\quad c(0) = \gamma_1 = 9.500\text{€}\)
mentre il guadagno iniziale è nullo:
\(\quad g(0) = \gamma_2 = 0\)
Restano da determinare \(k_1\) e \(k_2\). Sappiamo che in 6 mesi il costo di una tonnellata è stato 15.456€, dunque si ha
\(\quad c(6 \text{ mesi})=k_1 (6 \text{ mesi}) + 9.500\text{€} = 15.456\text{€}\)
Si tratta di un'equazione di primo grado da cui si determina \(k_1\):
\(\quad k_1 = \dfrac{15.456\text{€}-9.500\text{€}}{6 \text{ mesi}} = 992,67 \frac{\text{€}}{\text{mese}} \)
Per determinare \(k_2\) vogliamo che la funzione del guadagno sia uguale a quella dei costi. Ciò significa calcolare l'intersezione delle rette \(c(t)\) e \(g(t)\):
\(\quad \begin{cases}y = 992,67 \frac{\text{€}}{\text{mese}} t + 9.500\text{€} \\ y = k_2 t \end{cases}\)
con soluzione
\(\quad k_2 = 992,67 \frac{\text{€}}{\text{mese}} + \dfrac{9.500\text{€}}{t} \)
Cosa rappresenta questo coefficiente \(k_2\) che abbiamo appena trovato? Rappresenta la velocità con cui il proprietario dell'azienda dovrà guadagnare per raggiungere l'obiettivo prefissato ed è una funzione del tempo \(t\). Maggiore è il tempo \(t\) che vuole impiegare per recuperare i costi e minore sarà la velocità \(k_2 (t)\) con cui dovrà guadagnare. Ad esempio, se i costi devono essere recuperati in un mese (\(t=1 \text{mese}\)), il proprietario dell'azienda dovrà guadagnare a una velocità di
\(\quad k_2 (1 \text{ mese})=992,67 \frac{\text{€}}{\text{mese}} + \dfrac{9.500\text{€}}{1 \text{ mese}} = 10.492,67 \frac{\text{€}}{\text{mese}}\)
Nota anche che un tempo \(t\) teoricamente infinito, si ottiene \(k_2 = 992,67 \frac{\text{€}}{\text{mese}}\):
\(\quad \lim\limits_{t \rightarrow +\infty} {k_2 (t)}=992,67 \frac{\text{€}}{\text{mese}} + 0 = 992,67 \frac{\text{€}}{\text{mese}}\)
Quindi, il proprietario dovrà guadagnare più di almeno 992,67 € al mese per poter recuperare i costi!
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| Figura 4: nel grafico osserviamo la funzione dei costi \(c(t)\) in blu e la funzione del guadagno \(g(t)\) avendo scelto una velocità \(k_2 (t)\) tale da recuperare i costi in \(t=1 \text{mese}\). |
In un solo esempio abbiamo tirato in ballo
- le funzioni;
- l'equazione della retta;
- l'intersezione tra rette;
- i numeri reali;
- le equazioni di primo grado;
- le equazioni differenziali di primo ordine;
- i limiti.
Tuttavia, la questione è molto più profonda del mero pragmatismo. È vero che la matematica è fondamentale nella fisica, nell'informatica, nella chimica e nella medicina, senza le quali l'evoluzione umana si sarebbe fermata al neolitico, ma è anche vero che la matematica è utilizzata in scienze come la filosofia, la psicologia e la storia.
I risvolti filosofici della matematica e della logica sono notevoli. Basti pensare al sillogismo, inventato da Aristotele, o ai teoremi di incompletezza di Gödel, che riuscì a dimostrare come la non contraddittorietà di un sistema formale logicamente coerente non può essere dimostrata all'interno del sistema logico stesso.
La psicologia si fonda sugli esperimenti e sull'analisi dei dati. Un importante ruolo ha giocato la statistica e lo studio delle funzioni in quest'ambito.
In archeologia il metodo del carbonio-14, che si basa su un'equazione differenziale, ha permesso di datare i reperti rinvenuti nei siti di scavo.
Anche nozioni come i numeri complessi, all'apparenza inapplicabili all'esperienza reale, trovano applicazioni. Essi permettono, ad esempio, di descrivere il comportamento dei circuiti RLC.
Per finire, vediamo come l'ignoranza della matematica possa costare 16.000$ 😂
Nel video si vede un concorrente del famoso gioco televisivo Who Wants to Be a Millionaire? a cui viene chiesta la seguente domanda dal valore di 16.000$:
"Quali di questi numeri quadrati è anche la somma di due numeri quadrati minori?"
Le possibili risposte sono:
- \(16\)
- \(25\)
- \(36\)
- \(49\)
Il concorrente non ricorda cosa sia un numero quadrato e chiede aiuto al
pubblico, la maggior parte del quale gli suggerisce "\(16\)" come risposta
corretta.
In matematica si definisce numero quadrato un numero intero (ovvero, non decimale) che può essere espresso come il quadrato di un altro numero intero. In linguaggio matematico:
\(\quad a\in \mathbb{Z} \text{ è un numero quadrato} \Leftrightarrow \exists b \in \mathbb{Z} \colon a = b^2\)
Il concorrente avrebbe dovuto cercare per ogni possibile risposta \(r\) due numeri quadrati \(q_1\) e \(q_2\) tali che
\(\quad r=q_1+q_2\)
Adesso, essendo \(r\), \(q_1\) e \(q_2\) tre numeri quadrati, per definizione di numero quadrato esistono tre numeri interi \(a\), \(b\) e \(c\) tali che
- \(r=c^2\)
- \(q_1=a^2\)
- \(q_2=b^2\)
Dunque, l'equazione diventa
\(\quad c^2=a^2+b^2\)
Vi ricorda qualcosa? Esatto! Il teorema di Pitagora. In particolare, \(a\), \(b\) e \(c\) devono formare una terna pitagorica. La risposta col numero maggiore è \(49=7^2\), quindi l'unica terna pitagorica \((a,b,c)\) che è possibile formare con \(c \leq 7 \) è \((3,4,5)\). Si conclude che la risposta corretta è \(25=5^2\).
Fonte delle immagini [ torna al menu ]
Figura d'intestazione: Editor di foto: Pixlr E - strumento gratuito per editing di immagini
Figura 1: https://ahseeit.com/?qa=171280/they-taught-us-how-to-pay-taxes-and-get-a-job-meme
Figura 2: Di Florian Elias Rieser - Opera propria, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=35527056
Figura 3: Di Daderot - Opera propria, CC0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=31734614
Figura 4: generato con Calcolatrice, autore: Microsoft Corporation, versione 10.2103.8.0
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