Cos'è e a cosa serve lo studio di funzione? Lo studio di funzione è un importante strumento dell'analisi matematica per poter comprendere al meglio le caratteristiche di una funzione. Ne discende che chiunque lavori nell'ambito delle scienze esatte deve padroneggiare l'abilità di studiare una funzione. In questo post vedremo come si fa uno studio di funzione, a una o più variabili, portando due esempi. Inoltre, vedremo in qual modo lo studio di una funzione possa essere applicato a un caso reale. Studio di funzione: come si fa? Lo studio di una funzione reale a variabili reali deve passare per i seguenti passi in modo ordinato: Dominio e l'immagine : ponendo le condizioni di esistenza della funzione \(f:D \rightarrow C\) si può comprendere quale sia il suo dominio naturale \(D\). Inoltre, non meno importante è studiare quale sia l'immagine \(\text{Im}\), che può darci utili informazioni. Simmetrie : cerchia
La somma teosofica e la riduzione teosofica
Corre l'anno 1786, siamo a Braunschweig, una città nel ducato di Brunswick-Lüneburg (oggi Bassa-Sassonia, in Germania). Un bambino di 9 anni, figlio unico di una famiglia tedesca di bassa estrazione sociale, si è recato a scuola per seguire le lezioni del giorno.
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| Figura 1: la casa in cui nacque Gauss |
La classe è irrequieta e l'insegnante di matematica assegna agli studenti un esercizio per calmarli: calcolare la somma dei primi 100 numeri. Il ragazzo si mette al lavoro e dà il risultato quasi immediatamente, sorprendendo il docente, J.G. Büttner, e il suo assistente, Martin Bartels [1]. Quel bambino si chiama Johann Friedrich Carl Gauss ed è destinato a diventare uno tra i più influenti matematici della modernità.
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Figura 2: ritratto di Gauss.
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$$\begin{array}{cccccc} & 1 & 2 & ... & 99 & 100 \\ + & 100 & 99 & ... & 2 & 1 \\ \hline & 101 & 101 & ... & 101 & 101 \end{array}$$
Sommando tutti i numeri da \(1\) a \(100\) due volte si ottiene 100 volte \(101\):
\(\quad 2\cdot (1+2+...+99+100) = 1+2+...+99+100+1+2+...+99+100=\)\(\quad \underbrace{(1+100)}_{=101}+\underbrace{(2+99)}_{=101}+...+\underbrace{(99+2)}_{=101}+\underbrace{(100+1)}_{=101}=100\cdot 101=10100\)
Quindi, la somma di tutti i numeri da \(1\) a \(100\) doveva essere la metà di \(10100\):
\(\quad 1+2+...+99+100 = \dfrac{2\cdot (1+2+...+99+100)}{2} = \dfrac{10100}{2}=5050\)
Indice dei contenuti
Sommare i primi \(n\) numeri naturali [ torna al menu ]
Si può generalizzare il processo che genialmente ha scoperto Gauss? Supponiamo di voler sommare i primi \(n\) numeri naturali, escludendo \(0\).
\(\quad\sum\limits_{a=1}^{n} a\)
Come Gauss poniamo i numeri da \(1\) a \(n\) sulla prima riga di una tabella, i numeri da \(n\) a \(1\) sulla seconda riga e sommiamo le colonne:
$$\begin{array}{cccccc} & 1 & 2 & ... & n-1 & n \\ + & n & n-1 & ... & 2 & 1 \\ \hline & n+1 & n+1 & ... & n+1 & n+1 \end{array}$$
Il risultato che si ottiene per ogni somma è \(n+1\). A questo punto, possiamo calcolare il doppio della somma dei numeri da \(1\) a \(n\), che sarà pari a \(n\) volte \(n+1\):
\(\quad2 \sum\limits_{a=1}^{n} a = n (n+1)\)
In conclusione segue che la somma dei primi \(n\) numeri naturali (non nulli) sia pari a
$$\sum\limits_{a=1}^{n} a = \dfrac{n (n+1)}{2}$$
Quest'equazione può essere verificata anche per induzione su \(n\).
- Dimostriamo che \(P(1)\) è vera. $$P(1)\colon \sum\limits_{a=1}^{1} a = 1 = \dfrac{1 (1+1)}{2} $$
- Dimostriamo che \(P(n) \Rightarrow P(n+1) \). $$P(n+1) \colon \sum\limits_{a=0}^{n+1} a = \sum\limits_{a=0}^{n} a + n + 1 = \dfrac{n (n+1)}{2} + n + 1 =$$$$ \dfrac{n (n+1) + 2(n+1)}{2} = \dfrac{(n + 1) ((n+1)+1) }{2} $$
La somma teosofica [ torna al menu ]
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| Figura 3: busto di Pitagora |
\(\quad S(n) = \sum\limits_{a=1}^{n} a\)
con tutti i numeri naturali che lo precedono si chiama somma teosofica [3]. Il risultato della somma è quello scoperto da Gauss e dimostrato nel capitolo precedente. Gauss, ad esempio, calcolò la somma teosofica di \(100\):
\(\quad S(100) = \sum\limits_{a=1}^{100} a = \dfrac{100(100+1)}{2}=5050 \)
Una particolarità della somma teosofica è che, nota la somma teosofica \(S(n)\) di \(n\), la somma teosofica \(S(n+1)\) di \(n+1\) è \(S(n)+n+1\). Infatti:
\( \quad S(n+1) = \sum\limits_{a=1}^{n+1} a = \underbrace{\sum\limits_{a=1}^{n} a}_{=S(n)} + n +1 = S(n) + n + 1 \)
Utilizzando l'esempio precedente, la somma teosofica di \(101\) è
\(\quad S(101) = S(100) + 101 = 5151 \)
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Figura 4: Pitagora nell'affresco Scuola di Atene di Raffaello Sanzio, 1509-1511. |
La prima somma teosofica risale storicamente a Pitagora, il fondatore di una delle più importanti scuole di pensiero dell'umanità: la Scuola pitagorica. La tetrattide (dal greco τετρακτύς), anche nominata sacra decade, è la somma teosofica del numero \(4\), il cui risultato è \(10\):
\(\quad S(4) = \sum\limits_{a=1}^{4} a =\)\( 1+2+3+4 = 10 \)
Tale somma rappresenta la particolarità della tetrattide: il numero \(10\) può essere ottenuto disponendo in successione i numeri \(1\), \(2\), \(3\) e \(4\), ottenendo un triangolo equilatero, come in Figura d'intestazione. Per questo motivo la tetrattide era ritenuta sacra dai pitagorici, tanto da prestar giuramento su di essa. [2]
La riduzione teosofica [ torna al menu ]
Definizione e proprietà [ torna al menu ]
La riduzione teosofica, invece, consiste nel sommare iterativamente le cifre di un numero naturale fino a ottenere un numero a un'unica cifra, anch'esso naturale. [3] Ad esempio, la riduzione teosofica \(R(4532)\) di \(4532\) è \(5\).
\(\quad R(4532) = 5\)
Si ottiene iniziando a sommare le cifre che lo compongono: \(4+5+3+2=\)\(14\). Ora, iteriamo il processo col numero ottenuto: \(1+4=5\). Abbiamo ottenuto un numero a una cifra e continuare il processo non avrebbe senso. Giungiamo alla conclusione che \(5\) sia la riduzione teosofica di \(4532\).
Si noti che per qualsiasi numero \(n\) la sua riduzione teosofica \(R(n)\) è sempre un numero naturale compreso tra \(0\) e \(9\). In particolare, \(0\) è l'unico naturale con riduzione teosofica nulla. In termini matematici:
\(\quad \forall n \in\mathbb{N} \quad R(n) \in \{0,1,...,9\} \wedge \left(R(n)=0 \Leftrightarrow n=0\right)\)
È intuitivo capirne il motivo, ma ecco la dimostrazione. Ogni numero naturale \(n_1\) in base \(10\) è composto dall'accostamento di \(m_1 \in \mathbb{N}\) cifre \(a_{m_1},a_{{m_1}-1}, ... ,\)\( a_2,a_1 \) che rappresentano le unità, le decine, le centinaia, etc., con \(m_1 \neq 0\).
\(\quad n_1=a_{m_1}a_{{m_1}-1}...a_2a_1\)
Ogni cifra \(a_i\) è a sua volta un numero naturale compreso tra \(0\) e \(9\). La prima iterazione della riduzione teosofica su \(n_1\) (ovvero, la prima somma delle sue cifre) è pari a un altro numero naturale, anch'esso composto da un certo numero \(m_2 \in\mathbb{N} \) di cifre \(b_{m_2},b_{{m_2}-1}, ... , b_2, b_1 \), con \(m_2 \neq 0 \), ognuna compresa tra \(0\) e \(9\):
\(\quad \sum\limits_{i=1}^{m_1} a_i = n_2 =b_{m_2}b_{{m_2}-1} ... b_2b_1 \)
Alla \(j\)-esima iterazione otterremo
\(\quad \sum\limits_{i=1}^{m_j} a_i = n_{j+1} = b_{m_{j+1}}b_{{m_{j+1}}-1}...b_2b_1 \)
dove \(n_j=a_{m_j}a_{{m_j}-1}...a_2a_1\) è il \(j\)-esimo numero ottenuto, su cui va applicata la \(j\)-esima iterazione.
Quindi, indichiamo con \(n_{j+1}\) il numero ottenuto alla \(j\)-esima iterazione sommando le cifre di \(n_j\). Per ogni passo \(j\) il numero \(n_{j+1}\) è minore o uguale del suo precedente \(n_j\) ed è uguale se e solo se \(n_j\) è composto da una sola cifra, ovvero se \(n_j\) è la riduzione teosofica di \(n_1\), da cui siamo partiti.
\(\quad \forall j \in \mathbb{N} \quad n_j \ge n_{j+1} \wedge ( n_j = n_{j+1} \Leftrightarrow n_j = R(n_1) )\)
Questo perché:
- se \(n_j\) ha più di una cifra (cioè, \(m_j \neq 1 \)): \(n_j = a_{m_j}a_{{m_j}-1}...a_2a_1 = \sum\limits_{i=1}^{m_j} a_i\cdot 10^{i-1} \gt \sum\limits_{i=1}^{m_j} a_i = n_{j+1} \);
- se \(n_j\) ha solo una cifra (cioè, \(m_j = 1 \)): \(n_j = a_1 = \sum\limits_{i=1}^{1} a_i = n_{j+1} \) e, pertanto, \(n_j = R(n_1)\).
Dunque, la funzione \(n_j \longmapsto m_j\) che associa a ogni \(j\)-esimo numero ottenuto \(n_j \) il suo numero di cifre \(m_j\) è decrescente. È possibile che \(n_{j+1} \) abbia lo stesso numero di cifre del numero \(n_j \) da cui discende. Ad esempio, se \(n_j = 73 \), si ha \(n_{j+1} =10 \). Quindi, \(\{m_j\}_{m_j \in\mathbb{N}}\) non è una successione strettamente decrescente.
Ora, ci si chiede se esista un numero \(n_p\) tale che per ogni \(k \gt p\) il numero \(n_k\), ottenuto dalla somma delle cifre di \(n_{k-1}\), ha lo stesso numero \(m_k\) di cifre di \(n_p\). In breve: è possibile che a un certo punto il numero di cifre dei numeri ottenuti sia costante?
Due numeri naturali \(a\) e \(b\) hanno lo stesso numero di cifre se e solo se hanno lo stesso ordine di grandezza. Se un tale numero \(n_p\) esiste, dev'essere
\(\quad \forall k \gt p \quad n_{k} = \sum\limits_{i=1}^{m_{k-1}} a_i \ge 10^{m_p-1}\)
Essendo \(n_k \in \mathbb{N}\) e \(n_k \gt n_{k+1}\) per ogni \(k \gt p\), è impossibile che la somma \(\sum_{i=1}^{m_{k-1}} a_i\) si mantenga al di sopra di (o al massimo pari a) \(10^{m_p-1}\), a meno che \(m_p=1\).
Pertanto, è nella successione \(\{m_j\}\) individuabile una sottosuccessione \(\{\mu_j\}\) formata da elementi di \(\{m_j\}\) tali che \(\{\mu_j\}\) è strettamente decrescente.
Poiché il dominio della funzione \(n_j \longmapsto \mu_j\) è chiuso e limitato (dal momento che \(n_j\in \{R(n_1),...,n_1\}\) per ogni \(j\in\mathbb{N}\)) e \(\{\mu_j\}\) è una successione strettamente decrescente, per il teorema di Weierstrass \(n_j \longmapsto \mu_j\) converge. La successione convergerà al suo minimo, pari a \(10^{m_p-1}\) per \(m_p=1\), ossia \(1\).
In conclusione, la successione \(\{n_j\}\), anch'essa strettamente decrescente per valori \(n_j\) minori della riduzione teosofica e definita su un insieme \(\{R(n_1),...,n_1\}\) chiuso e limitato, converge al valore della riduzione teosofica \(R(n_1)\), che abbiamo dimostrato avere una sola cifra.
Resta da dimostrare che \(\left(R(n)=0 \Leftrightarrow n=0\right)\). Si supponga di essere arrivati all'ultima iterazione prima di ottenere \(R(n)\). Essa sarà una somma del tipo
\(\quad R(n) = \sum\limits_{i=1}^{m} a_i \)
dove \(m\) è il numero di cifre \(a_m,...,a_1\) che compongono il naturale ottenuto nella penultima iterazione. Essendo \(a_m,...,a_1 \in \mathbb{N}\), la somma \(\sum_{i=1}^{m} a_i\) è nulla se e solo se tutti gli addendi sono nulli, ovvero se e solo se \(n=0\).
La riduzione teosofica in numerologia [ torna al menu ]
Abbiamo visto che qualsiasi numero naturale \(n\), escluso \(0\), ha riduzione teosofica \(R(n)\) compresa tra \(1\) e \(9\). Ora, osserva nella tabella sottostante la somma teosofica dei numeri da \(1\) a \(9\) e, poi, la riduzione teosofica delle corrispettive somme teosofiche.
$$\begin{array}{ccc} \text{Numero} & \text{Somma teosofica} & \text{Riduzione teosofica} \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 3 \\ 3 & 6 & 6 \\ 4 & 10 & 1 \\ 5 & 15 & 6 \\ 6 & 21 & 3 \\ 7 & 28 & 1 \\ 8 & 36 & 9 \\ 9 & 45 & 9 \end{array}$$
Noti qualcosa? Le riduzioni teosofiche sono sempre \(1\), \(3\), \(6\) o \(9\), ossia un multiplo di \(3\) (ovviamente minore di \(10\)). In particolare, le tre triplicità
\(\quad 1\) \(3\) \(6\) – \(1\) \(6\) \(3\) – \(1\) \(9\) \(9\),
che costituiscono la sequenza delle riduzioni teosofiche, sono denominate enneade, in riferimento a un gruppo di nove divinità della mitologia egizia venerate a Eliopoli.
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| Figura 5: l'Enneade della mitologia egizia. Dettaglio di una parte del Papiro di Ani, British Museum. |
Se si continua a ridurre teosoficamente i numeri maggiori di \(9\), l'enneade continua a ripetersi invariata. Pertanto, ogni numero naturale può essere ricondotto a uno dei quattro numeri dell'enneade secondo un preciso ordine. Conseguentemente, i filosofi dell'antichità pensavano che ogni fenomeno della realtà potesse essere ricondotto a questa sequenza di nove numeri.
Riferimenti [ torna al menu ]
[1] Carl Friedrich Gauss - Wikipedia. (14 luglio 2021). Wikipedia, L'enciclopedia libera. Tratto il 23 ottobre 2021, 12:40.
[2] Tetraktys - Wikipedia. (21 febbraio 2021). Wikipedia, L'enciclopedia libera. Tratto il 23 ottobre 2021, 13:19.
[3] Somma teosofica - Wikipedia. (16 febbraio 2020). Wikipedia, L'enciclopedia libera. Tratto il 23 ottobre 2021, 18:54.
Fonte delle immagini [ torna al menu ]
Figura d'intestazione: Di User:Jossifresco - Hemenway, Priya – Divine Proportion pp.63, Sterling Publishing, ISBN 1-4027-3522-7, Pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=1074994.
Figura 1: Pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=633180.
Figura 2: Di Gottlieb Biermann - Gauß-Gesellschaft Göttingen e.V. (Foto: A. Wittmann)., Pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=57629.
Figura 3: Di Sailko - Opera propria, CC BY 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=30964930.
Figura 4: Di Raphael - Detail from File:La scuola di Atene.jpg, Pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=43409589.
Figura 5: Di Buchsweiler - Opera propria, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=19491543.
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