La somma e la riduzione teosofiche

La somma teosofica e la riduzione teosofica

Corre l'anno 1786, siamo a Braunschweig, una città nel ducato di Brunswick-Lüneburg (oggi Bassa-Sassonia, in Germania). Un bambino di 9 anni, figlio unico di una famiglia tedesca di bassa estrazione sociale, si è recato a scuola per seguire le lezioni del giorno. 

Figura 1: la casa in cui nacque Gauss

La classe è irrequieta e l'insegnante di matematica assegna agli studenti un esercizio per calmarli: calcolare la somma dei primi 100 numeri. Il ragazzo si mette al lavoro e dà il risultato quasi immediatamente, sorprendendo il docente, J.G. Büttner, e il suo assistente, Martin Bartels [1]. Quel bambino si chiama Johann Friedrich Carl Gauss ed è destinato a diventare uno tra i più influenti matematici della modernità.

Figura 2: ritratto di Gauss.

I dettagli dell'aneddoto cambiano in funzione della fonte. Esistono diverse versioni dei fatti. Incerto è anche il metodo utilizzato dal giovane Gauss per giungere al risultato. Probabilmente egli prima dispose in riga i numeri da 1 a 100, poi posizionò nella riga sottostante i corrispondenti numeri in ordine invertito: da 100 a 1; quindi, notò che la somma dei numeri situati in una stessa colonna è sempre 101.

$$\begin{array}{cccccc}& 1& 2& ...& 99& 100\\ +& 100& 99& ...& 2& 1\\ & 101& 101& ...& 101& 101\end{array}$$

Sommando tutti i numeri da $1$ a $100$ due volte si ottiene 100 volte $101$:

$2\cdot (1+2+...+99+100)=1+2+...+99+100+1+2+...+99+100=$$\underset{=101}{\underbrace{(1+100)}}+\underset{=101}{\underbrace{(2+99)}}+...+\underset{=101}{\underbrace{(99+2)}}+\underset{=101}{\underbrace{(100+1)}}=100\cdot 101=10100$

Quindi, la somma di tutti i numeri da $1$ a $100$ doveva essere la metà di $10100$:

$1+2+...+99+100={\displaystyle \frac{2\cdot (1+2+...+99+100)}{2}}={\displaystyle \frac{10100}{2}}=5050$

Indice dei contenuti

• Sommare i primi $n$ numeri naturali
• La somma teosofica
• La riduzione teosofica
• Definizione e proprietà
• La riduzione teosofica in numerologia
• Riferimenti
• Fonte delle immagini

Sommare i primi $n$ numeri naturali [ torna al menu ]

Si può generalizzare il processo che genialmente ha scoperto Gauss? Supponiamo di voler sommare i primi $n$ numeri naturali, escludendo $0$.

$\sum _{a=1}^{n}a$

Come Gauss poniamo i numeri da $1$ a $n$ sulla prima riga di una tabella, i numeri da $n$ a $1$ sulla seconda riga e sommiamo le colonne:

$$\begin{array}{cccccc}& 1& 2& ...& n-1& n\\ +& n& n-1& ...& 2& 1\\ & n+1& n+1& ...& n+1& n+1\end{array}$$

Il risultato che si ottiene per ogni somma è $n+1$. A questo punto, possiamo calcolare il doppio della somma dei numeri da $1$ a $n$, che sarà pari a $n$ volte $n+1$:

$2\sum _{a=1}^{n}a=n(n+1)$

In conclusione segue che la somma dei primi $n$ numeri naturali (non nulli) sia pari a

$$\sum _{a=1}^{n}a={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$$

Quest'equazione può essere verificata anche per induzione su $n$.

1. Dimostriamo che $P(1)$ è vera. $$P(1):\sum _{a=1}^{1}a=1={\displaystyle \frac{1(1+1)}{2}}$$
2. Dimostriamo che $P(n)\Rightarrow P(n+1)$. $$P(n+1):\sum _{a=0}^{n+1}a=\sum _{a=0}^{n}a+n+1={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}+n+1=$$$${\displaystyle \frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}}={\displaystyle \frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}}$$

La somma teosofica [ torna al menu ]

Figura 3: busto di Pitagora

In numerologia, dato un numero naturale $n$, la sua somma $S(n)$

$S(n)=\sum _{a=1}^{n}a$

con tutti i numeri naturali che lo precedono si chiama somma teosofica [3]. Il risultato della somma è quello scoperto da Gauss e dimostrato nel capitolo precedente. Gauss, ad esempio, calcolò la somma teosofica di $100$:

$S(100)=\sum _{a=1}^{100}a={\displaystyle \frac{100(100+1)}{2}}=5050$

Una particolarità della somma teosofica è che, nota la somma teosofica $S(n)$ di $n$, la somma teosofica $S(n+1)$ di $n+1$ è $S(n)+n+1$. Infatti:

$S(n+1)=\sum _{a=1}^{n+1}a=\underset{=S(n)}{\underbrace{\sum _{a=1}^{n}a}}+n+1=S(n)+n+1$

Utilizzando l'esempio precedente, la somma teosofica di $101$ è

$S(101)=S(100)+101=5151$

Figura 4: Pitagora nell'affresco Scuola di
Atene di Raffaello Sanzio, 1509-1511.

La prima somma teosofica risale storicamente a Pitagora, il fondatore di una delle più importanti scuole di pensiero dell'umanità: la Scuola pitagorica. La tetrattide (dal greco τετρακτύς), anche nominata sacra decade, è la somma teosofica del numero $4$, il cui risultato è $10$:

 $S(4)=\sum _{a=1}^{4}a=$$1+2+3+4=10$

Tale somma rappresenta la particolarità della tetrattide: il numero $10$ può essere ottenuto disponendo in successione i numeri $1$, $2$, $3$ e $4$, ottenendo un triangolo equilatero, come in Figura d'intestazione. Per questo motivo la tetrattide era ritenuta sacra dai pitagorici, tanto da prestar giuramento su di essa. [2]

La riduzione teosofica [ torna al menu ]

Definizione e proprietà [ torna al menu ]

La riduzione teosofica, invece, consiste nel sommare iterativamente le cifre di un numero naturale fino a ottenere un numero a un'unica cifra, anch'esso naturale. [3] Ad esempio, la riduzione teosofica $R(4532)$ di $4532$ è $5$.

$R(4532)=5$

Si ottiene iniziando a sommare le cifre che lo compongono: $4+5+3+2=$$14$. Ora, iteriamo il processo col numero ottenuto: $1+4=5$. Abbiamo ottenuto un numero a una cifra e continuare il processo non avrebbe senso. Giungiamo alla conclusione che $5$ sia la riduzione teosofica di $4532$.

Si noti che per qualsiasi numero $n$ la sua riduzione teosofica $R(n)$ è sempre un numero naturale compreso tra $0$ e $9$. In particolare, $0$ è l'unico naturale con riduzione teosofica nulla. In termini matematici:

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}R(n)\in \{0,1,...,9\}\wedge (R(n)=0\iff n=0)$

È intuitivo capirne il motivo, ma ecco la dimostrazione. Ogni numero naturale $n_1$ in base $10$ è composto dall'accostamento di $m_1\in \mathbb{N}$ cifre $a_{m_1},a_{m_1-1},...,$$a_2,a_1$ che rappresentano le unità, le decine, le centinaia, etc., con $m_1\ne 0$. 

$n_1=a_{m_1}{a}_{m_1-1}...a_2{a}_1$

Ogni cifra $a_i$ è a sua volta un numero naturale compreso tra $0$ e $9$. La prima iterazione della riduzione teosofica su $n_1$ (ovvero, la prima somma delle sue cifre) è pari a un altro numero naturale, anch'esso composto da un certo numero $m_2\in \mathbb{N}$ di cifre $b_{m_2},b_{m_2-1},...,b_2,b_1$, con $m_2\ne 0$, ognuna compresa tra $0$ e $9$:

$\sum _{i=1}^{m_1}{a}_i=n_2=b_{m_2}{b}_{m_2-1}...b_2{b}_1$

Alla $j$-esima iterazione otterremo

$\sum _{i=1}^{m_j}{a}_i=n_{j+1}=b_{m_{j+1}}{b}_{m_{j+1}-1}...b_2{b}_1$

dove $n_j=a_{m_j}{a}_{m_j-1}...a_2{a}_1$ è il $j$-esimo numero ottenuto, su cui va applicata la $j$-esima iterazione.

Quindi, indichiamo con $n_{j+1}$ il numero ottenuto alla $j$-esima iterazione sommando le cifre di $n_j$. Per ogni passo $j$ il numero $n_{j+1}$ è minore o uguale del suo precedente $n_j$ ed è uguale se e solo se $n_j$ è composto da una sola cifra, ovvero se $n_j$ è la riduzione teosofica di $n_1$, da cui siamo partiti.

$\mathrm{\forall }j\in \mathbb{N}{n}_j\ge n_{j+1}\wedge (n_j=n_{j+1}\iff n_j=R(n_1))$

Questo perché:

• se $n_j$ ha più di una cifra (cioè, $m_j\ne 1$): $n_j=a_{m_j}{a}_{m_j-1}...a_2{a}_1=\sum _{i=1}^{m_j}{a}_i\cdot {10}^{i-1}>\sum _{i=1}^{m_j}{a}_i=n_{j+1}$;
• se $n_j$ ha solo una cifra (cioè, $m_j=1$): $n_j=a_1=\sum _{i=1}^1{a}_i=n_{j+1}$ e, pertanto, $n_j=R(n_1)$.

Dunque, la funzione $n_j⟼m_j$ che associa a ogni $j$-esimo numero ottenuto $n_j$ il suo numero di cifre $m_j$ è decrescente. È possibile che $n_{j+1}$ abbia lo stesso numero di cifre del numero $n_j$ da cui discende. Ad esempio, se $n_j=73$, si ha $n_{j+1}=10$. Quindi, $\{m_j{\}}_{m_j\in \mathbb{N}}$ non è una successione strettamente decrescente.

Ora, ci si chiede se esista un numero $n_p$ tale che per ogni $k>p$ il numero $n_k$, ottenuto dalla somma delle cifre di $n_{k-1}$, ha lo stesso numero $m_k$ di cifre di $n_p$. In breve: è possibile che a un certo punto il numero di cifre dei numeri ottenuti sia costante?

Due numeri naturali $a$ e $b$ hanno lo stesso numero di cifre se e solo se hanno lo stesso ordine di grandezza. Se un tale numero $n_p$ esiste, dev'essere

$\mathrm{\forall }k>p{n}_k=\sum _{i=1}^{m_{k-1}}{a}_i\ge {10}^{m_p-1}$

Essendo $n_k\in \mathbb{N}$ e $n_k>n_{k+1}$ per ogni $k>p$, è impossibile che la somma $\sum _{i=1}^{m_{k-1}}{a}_i$ si mantenga al di sopra di (o al massimo pari a) ${10}^{m_p-1}$, a meno che $m_p=1$.

Pertanto, è nella successione $\{m_j\}$ individuabile una sottosuccessione $\{{\mu }_j\}$ formata da elementi di $\{m_j\}$ tali che $\{{\mu }_j\}$ è strettamente decrescente.

Poiché il dominio della funzione $n_j⟼{\mu }_j$ è chiuso e limitato (dal momento che $n_j\in \{R(n_1),...,n_1\}$ per ogni $j\in \mathbb{N}$) e $\{{\mu }_j\}$ è una successione strettamente decrescente, per il teorema di Weierstrass $n_j⟼{\mu }_j$ converge. La successione convergerà al suo minimo, pari a ${10}^{m_p-1}$ per $m_p=1$, ossia $1$.

In conclusione, la successione $\{n_j\}$, anch'essa strettamente decrescente per valori $n_j$ minori della riduzione teosofica e definita su un insieme $\{R(n_1),...,n_1\}$ chiuso e limitato, converge al valore della riduzione teosofica $R(n_1)$, che abbiamo dimostrato avere una sola cifra.

Resta da dimostrare che $(R(n)=0\iff n=0)$. Si supponga di essere arrivati all'ultima iterazione prima di ottenere $R(n)$. Essa sarà una somma del tipo

$R(n)=\sum _{i=1}^m{a}_i$

dove $m$ è il numero di cifre $a_m,...,a_1$ che compongono il naturale ottenuto nella penultima iterazione. Essendo $a_m,...,a_1\in \mathbb{N}$, la somma $\sum _{i=1}^m{a}_i$ è nulla se e solo se tutti gli addendi sono nulli, ovvero se e solo se $n=0$.

La riduzione teosofica in numerologia [ torna al menu ]

Abbiamo visto che qualsiasi numero naturale $n$, escluso $0$, ha riduzione teosofica $R(n)$ compresa tra $1$ e $9$. Ora, osserva nella tabella sottostante la somma teosofica dei numeri da $1$ a $9$ e, poi, la riduzione teosofica delle corrispettive somme teosofiche.

$$\begin{array}{ccc}\text{Numero}& \text{Somma teosofica}& \text{Riduzione teosofica}\\ 1& 1& 1\\ 2& 3& 3\\ 3& 6& 6\\ 4& 10& 1\\ 5& 15& 6\\ 6& 21& 3\\ 7& 28& 1\\ 8& 36& 9\\ 9& 45& 9\end{array}$$

Noti qualcosa? Le riduzioni teosofiche sono sempre $1$, $3$, $6$ o $9$, ossia un multiplo di $3$ (ovviamente minore di $10$). In particolare, le tre triplicità 

$1$ $3$ $6$ – $1$ $6$ $3$ – $1$ $9$ $9$,

che costituiscono la sequenza delle riduzioni teosofiche, sono denominate enneade, in riferimento a un gruppo di nove divinità della mitologia egizia venerate a Eliopoli. 

Figura 5: l'Enneade della mitologia egizia. Dettaglio di una parte del Papiro di Ani, British Museum.

Se si continua a ridurre teosoficamente i numeri maggiori di $9$, l'enneade continua a ripetersi invariata. Pertanto, ogni numero naturale può essere ricondotto a uno dei quattro numeri dell'enneade secondo un preciso ordine. Conseguentemente, i filosofi dell'antichità pensavano che ogni fenomeno della realtà potesse essere ricondotto a questa sequenza di nove numeri.

Riferimenti [ torna al menu ]

[1] Carl Friedrich Gauss - Wikipedia. (14 luglio 2021). Wikipedia, L'enciclopedia libera. Tratto il 23 ottobre 2021, 12:40.

[2] Tetraktys - Wikipedia. (21 febbraio 2021). Wikipedia, L'enciclopedia libera. Tratto il 23 ottobre 2021, 13:19.

[3] Somma teosofica - Wikipedia. (16 febbraio 2020). Wikipedia, L'enciclopedia libera. Tratto il 23 ottobre 2021, 18:54.

Fonte delle immagini [ torna al menu ]

Figura d'intestazione: Di User:Jossifresco - Hemenway, Priya – Divine Proportion pp.63, Sterling Publishing, ISBN 1-4027-3522-7, Pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=1074994.

Figura 1: Pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=633180.

Figura 2: Di Gottlieb Biermann - Gauß-Gesellschaft Göttingen e.V. (Foto: A. Wittmann)., Pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=57629.

Figura 3: Di Sailko - Opera propria, CC BY 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=30964930.

Figura 4: Di Raphael - Detail from File:La scuola di Atene.jpg, Pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=43409589.

Figura 5: Di Buchsweiler - Opera propria, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=19491543.