Moto rettilineo uniforme e moto parabolico

Quando la velocità o l'accelerazione sono costanti

In questo post andremo a vedere le leggi del moto di un punto materiale quando la velocità o l'accelerazione sono costanti. Per lo studio utilizzeremo le definizioni date nel post precedente.

Indice dei contenuti

• Il moto rettilineo uniforme
• Il moto parabolico o moto uniformemente accelerato
• Fonte delle immagini

Il moto rettilineo uniforme [ torna al menu ]

Si definisce moto rettilineo uniforme quello in cui la velocità è costante. Si può definire come la forma più semplice di moto, poiché avviene lungo una retta. Infatti, sia ${\mathcal{E}}_3$ lo spazio euclideo a cui appartiene il punto $P$. Supponiamo di conoscere la posizione ${\overrightarrow{\mathbf{r}}}_0\in {\mathbb{R}}^3$ del punto $P$ al tempo iniziale $t_0$. Sia $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ la velocità (non dipendente dal tempo $t$) e sia $\overrightarrow{\mathbf{r}}$ la posizione del punto $P$. La funzione $\overrightarrow{\mathbf{r}}:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^3$ sarà la soluzione del problema di Cauchy

$$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{d\overrightarrow{\mathbf{r}}(t)}{dt}}=\overrightarrow{\mathbf{v}}(t)\\ \overrightarrow{\mathbf{r}}(t_0)={\overrightarrow{\mathbf{r}}}_0\end{array}$$

Integriamo tra il tempo iniziale $t_0$ e un istante generico $t$ del tempo. Dal teorema fondamentale del calcolo intergrale si ha $$\overrightarrow{\mathbf{r}}(t)-\underset{={\overrightarrow{\mathbf{r}}}_0}{\underbrace{\overrightarrow{\mathbf{r}}(t_0)}}=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{\displaystyle \frac{d\overrightarrow{\mathbf{r}}(t)}{dt}}dt=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\overrightarrow{\mathbf{v}}dt=\overrightarrow{\mathbf{v}}(t-t_0)$$ da cui si ricava la legge oraria del moto:$$\overrightarrow{\mathbf{r}}(t)={\overrightarrow{\mathbf{r}}}_0+\overrightarrow{\mathbf{v}}(t-t_0)$$ corrispondente all'equazione parametrica di una retta passante per ${\overrightarrow{\mathbf{r}}}_0$.

Abbiamo ricavato la legge oraria ipotizzando la conoscenza della posizione iniziale. Questa ipotesi si chiama condizione iniziale, ma, come spiegato nel post di sabato, la conoscenza di una posizione qualsiasi è sufficiente. In tal caso, l'ipotesi si chiamerebbe condizione al contorno.

Pertanto, sarà un moto unidimensionale e il sistema di riferimento necessita di una sola coordinata per descrivere ogni posizione del punto materiale. A mio avviso il sistema di riferimento più idoneo è un sistema cartesiano $\{O,\hat{\mathbf{i}}\}$ a una coordinata $x$ in cui l'origine $O\in {\mathcal{E}}_3$ appartiene alla retta contenente la traiettoria e il versore $\hat{\mathbf{i}}$ corrisponde al vettore velocità $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ normalizzato: $\hat{\mathbf{i}}=\overrightarrow{\mathbf{v}}/|\overrightarrow{\mathbf{v}}|$. Indichiamo con $v$ il modulo della velocità $\overrightarrow{\mathbf{v}}$. In tal caso la legge oraria si riscrive come

$x(t)\hat{\mathbf{i}}=\underset{=\overrightarrow{\mathbf{r}}(t_0)=x(t_0)\hat{\mathbf{i}}}{\underbrace{{\overrightarrow{\mathbf{r}}}_0}}+v(t-t_0)\hat{\mathbf{i}}$

quindi: $$x(t)=x(t_0)+v(t-t_0)$$

Tracciando su un diagramma $x-t$ la funzione $x(t):\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ si ottiene il grafico di una retta con termine noto la posizione iniziale $x(t_0)$ e coefficiente angolare $v$.

Figura 1: grafico della legge oraria per $t_0=0$. Con $|v|$ abbiamo indicato la parte numerica della velocità.

Il moto parabolico o moto uniformemente accelerato [ torna al menu ]

Si definisce moto rettilineo uniformemente accelerato quello in cui l'accelerazione è costante. Se l'accelerazione è costante si dimostra ancora che la traiettoria è curvilinea parabolica. Infatti, sia ${\mathcal{E}}_3$ lo spazio euclideo a cui appartiene il punto $P$. Supponiamo di conoscere la posizione ${\overrightarrow{\mathbf{r}}}_0\in {\mathbb{R}}^3$ e la velocità  ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_0\in {\mathbb{R}}^3$ del punto $P$ al tempo iniziale $t_0$. Sia $\overrightarrow{\mathbf{a}}$ l'accelerazione (non dipendente dal tempo $t$) e sia $\overrightarrow{\mathbf{r}}$ la posizione del punto $P$. La funzione $\overrightarrow{\mathbf{r}}:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^3$ sarà la soluzione del problema di Cauchy

$$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{d{\overrightarrow{\mathbf{r}}}^2(t)}{d{t}^2}}=\overrightarrow{\mathbf{a}}(t)\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}(t_0)={\overrightarrow{\mathbf{v}}}_0\\ \overrightarrow{\mathbf{r}}(t_0)={\overrightarrow{\mathbf{r}}}_0\end{array}$$

Integriamo tra il tempo iniziale $t_0$ e un istante generico $t$ del tempo. Dal teorema fondamentale del calcolo intergrale si ha $$\overrightarrow{\mathbf{v}}(t)-\underset{={\overrightarrow{\mathbf{v}}}_0}{\underbrace{\overrightarrow{\mathbf{v}}(t_0)}}=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{\displaystyle \frac{d\overrightarrow{\mathbf{v}}(t)}{dt}}dt=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\overrightarrow{\mathbf{a}}dt=\overrightarrow{\mathbf{a}}(t-t_0)$$ da cui si ricava la legge oraria della velocità: $$\overrightarrow{\mathbf{v}}(t)={\overrightarrow{\mathbf{v}}}_0+\overrightarrow{\mathbf{a}}(t-t_0)$$ Adesso, ricordando che la velocità è la derivata temporale della posizione, integriamo quest'ultima equazione tra $t_0$ e $t$: $$\overrightarrow{\mathbf{r}}(t)-\underset{={\overrightarrow{\mathbf{r}}}_0}{\underbrace{\overrightarrow{\mathbf{r}}(t_0)}}=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{\displaystyle \frac{d\overrightarrow{\mathbf{r}}(t)}{dt}}dt=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\overrightarrow{\mathbf{v}}(t)dt=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}({\overrightarrow{\mathbf{v}}}_0+\overrightarrow{\mathbf{a}}(t-t_0))dt=$$$${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_0(t-t_0)+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathbf{a}}(t-t_0{)}^2$$ da cui si ricava, infine, la legge oraria della posizione: $$\overrightarrow{\mathbf{r}}(t)={\overrightarrow{\mathbf{r}}}_0+{\overrightarrow{\mathbf{v}}}_0(t-t_0)+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathbf{a}}(t-t_0{)}^2$$ corrispondente all'equazione parametrica di una curva parabolica passante per ${\overrightarrow{\mathbf{r}}}_0$. La parabola è una sezione conica, pertanto è contenuta su un piano. Ora, possiamo scomporre ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_0$ come $${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_0=v_{0,\parallel }\hat{\mathbf{i}}+v_{0,\perp }\hat{\mathbf{j}}$$ dove $\hat{\mathbf{i}}=\overrightarrow{\mathbf{a}}/|\overrightarrow{\mathbf{a}}|$ è il vettore accelerazione normalizzato. Nota che i versori $\hat{\mathbf{i}}$ e $\hat{\mathbf{j}}$ costituiscono una base ortonormale del piano che contiene la traiettoria.

• $v_{0,\parallel }={\overrightarrow{\mathbf{v}}}_0\cdot \hat{\mathbf{i}}$ rappresenta la componente parallela all'accelerazione della velocità iniziale ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_0$.
• $v_{0,\perp }\hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{i}}\times (\overrightarrow{\mathbf{v}}\times \hat{\mathbf{i}})$ rappresenta, invece la componente della velocità iniziale perpendicolare all'accelerazione.

Sia $\{\hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}}\}$ una base ortonormale di ${\mathbb{R}}^3$. La legge oraria della posizione diventa 

$\underset{=\overrightarrow{\mathbf{r}}(t)}{\underbrace{r_i(t)\hat{\mathbf{i}}+r_j(t)\hat{\mathbf{j}}+r_k(t)\hat{\mathbf{k}}}}=$

$\underset{={\overrightarrow{\mathbf{r}}}_0}{\underbrace{r_i(t_0)\hat{\mathbf{i}}+r_j(t_0)\hat{\mathbf{j}}+r_k(t_0)\hat{\mathbf{k}}}}+(v_{0,\parallel }\hat{\mathbf{i}}+v_{0,\perp }\hat{\mathbf{j}})(t-t_0)+{\displaystyle \frac{1}{2}}a(t-t_0{)}^2\hat{\mathbf{i}}=$

$(r_i(t_0)+v_{0,\parallel }(t-t_0)+{\displaystyle \frac{1}{2}}a(t-t_0{)}^2)\hat{\mathbf{i}}+(r_j(t_0)+v_{0,\perp }(t-t_0))\hat{\mathbf{j}}+r_k(t_0)\hat{\mathbf{k}}$

Eguagliando le componenti dei vettori si ottengono tre leggi orarie per ogni coordinata:

$\{\begin{array}{l}{r}_i(t)=r_i(t_0)+v_{0,\parallel }(t-t_0)+{\displaystyle \frac{1}{2}}a(t-t_0{)}^2\\ r_j(t)=r_j(t_0)+v_{0,\perp }(t-t_0)\\ r_k(t)=r_k(t_0)\end{array}$

Quindi, possiamo scomporre il moto come la somma di un moto rettilineo uniforme in direzione perpendicolare all'accelerazione e di un moto rettilineo uniformemente accelerato in direzione dell'accelerazione (la legge $r_k(t)=r_k(t_0)$ ci dice semplicemente che la coordinata $r_k$ è costante). Il caso più noto ed evidente di questa scomposizione è il moto di un proiettile, sul quale agisce l'accelerazione gravitazionale del pianeta.

Abbiamo ricavato la legge oraria ipotizzando la conoscenza della posizione e velocità al tempo $t_0$. Queste ipotesi si chiamano condizioni iniziali, ma, anche in questo caso, la conoscenza di una posizione e di una velocità qualsiasi è sufficiente.

Ora, concentriamoci sulla legge oraria del moto uniformemente accelerato sulla direzione $\hat{\mathbf{i}}$. Se la componente della velocità iniziale perpendicolare all'accelerazione è nulla (ovvero, se $v_{0,\perp }=0$), il moto avviene su una retta. Anche questo moto è unidimensionale e il sistema di riferimento necessita di una sola coordinata per descrivere ogni posizione del punto materiale. Ancora, il sistema di riferimento più idoneo è il sistema cartesiano $\{O,\hat{\mathbf{i}}\}$ a una coordinata $x$ in cui l'origine $O\in {\mathcal{E}}_3$ appartiene alla retta contenente la traiettoria e il versore $\hat{\mathbf{i}}$ corrisponde al vettore accelerazione $\overrightarrow{\mathbf{a}}$ normalizzato: $\hat{\mathbf{i}}=\overrightarrow{\mathbf{a}}/|\overrightarrow{\mathbf{a}}|$. Indichiamo con $a$ il modulo della velocità $\overrightarrow{\mathbf{a}}$. In tal caso la legge oraria si riscrive come

$x(t)\hat{\mathbf{i}}=\underset{=\overrightarrow{\mathbf{r}}(t_0)=x(t_0)\hat{\mathbf{i}}}{\underbrace{{\overrightarrow{\mathbf{r}}}_0}}+\underset{=v_0(t-t_0)\hat{\mathbf{i}}}{\underbrace{{\overrightarrow{\mathbf{v}}}_0(t-t_0)}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}a(t-t_0{)}^2\hat{\mathbf{i}}$

quindi: $$x(t)=x(t_0)+v_0(t-t_0)+{\displaystyle \frac{1}{2}}a(t-t_0{)}^2$$

Tracciando su un diagramma $x-t$ la funzione $x(t):\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ si ottiene il grafico di una parabola. La pendenza della retta in un punto della parabola rappresenta la velocità istantanea in quel punto.

Figura 2: grafico della legge oraria per lo spostamento $x(t)$ in direzione dell'accelerazione.

Fonte delle immagini [ torna al menu ]

Figura d'intestazione: di Adbar - Opera propria, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=25225133.

Figure 1 e 2: creato con Microsoft OneNote.