Moto rettilineo uniforme e moto parabolico

Quando la velocità o l'accelerazione sono costanti

In questo post andremo a vedere le leggi del moto di un punto materiale quando la velocità o l'accelerazione sono costanti. Per lo studio utilizzeremo le definizioni date nel post precedente.

Indice dei contenuti

• Il moto rettilineo uniforme
• Il moto parabolico o moto uniformemente accelerato
• Fonte delle immagini

Il moto rettilineo uniforme [ torna al menu ]

Si definisce moto rettilineo uniforme quello in cui la velocità è costante. Si può definire come la forma più semplice di moto, poiché avviene lungo una retta. Infatti, sia \(\mathcal{E}_3\) lo spazio euclideo a cui appartiene il punto \(P\). Supponiamo di conoscere la posizione \(\vec{\mathbf{r}}_0 \in \mathbb{R}^3\) del punto \(P\) al tempo iniziale \(t_0\). Sia \(\vec{\mathbf{v}}\) la velocità (non dipendente dal tempo \(t\)) e sia \(\vec{\mathbf{r}}\) la posizione del punto \(P\). La funzione \(\vec{\mathbf{r}}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^3\) sarà la soluzione del problema di Cauchy

$$\begin{cases} \dfrac{d\vec{\mathbf{r}}(t)}{dt} = \vec{\mathbf{v}}(t) \\ \vec{\mathbf{r}}(t_0)=\vec{\mathbf{r}}_0 \end{cases} $$

Integriamo tra il tempo iniziale \(t_0\) e un istante generico \(t\) del tempo. Dal teorema fondamentale del calcolo intergrale si ha $$ \vec{\mathbf{r}}(t) - \underbrace{\vec{\mathbf{r}}(t_0)}_{=\vec{\mathbf{r}}_0} = \int\limits_{t_0}^{t}{\dfrac{d\vec{\mathbf{r}}(t)}{dt}dt} = \int\limits_{t_0}^{t}{\vec{\mathbf{v}} dt} = \vec{\mathbf{v}}(t-t_0) $$ da cui si ricava la legge oraria del moto:$$ \vec{\mathbf{r}}(t) = \vec{\mathbf{r}}_0 + \vec{\mathbf{v}}(t-t_0) $$ corrispondente all'equazione parametrica di una retta passante per \(\vec{\mathbf{r}}_0\).

Abbiamo ricavato la legge oraria ipotizzando la conoscenza della posizione iniziale. Questa ipotesi si chiama condizione iniziale, ma, come spiegato nel post di sabato, la conoscenza di una posizione qualsiasi è sufficiente. In tal caso, l'ipotesi si chiamerebbe condizione al contorno.

Pertanto, sarà un moto unidimensionale e il sistema di riferimento necessita di una sola coordinata per descrivere ogni posizione del punto materiale. A mio avviso il sistema di riferimento più idoneo è un sistema cartesiano \(\{O,\hat{\mathbf{i}}\}\) a una coordinata \(x\) in cui l'origine \(O\in\mathcal{E}_3\) appartiene alla retta contenente la traiettoria e il versore \(\hat{\mathbf{i}}\) corrisponde al vettore velocità \(\vec{\mathbf{v}}\) normalizzato: \(\hat{\mathbf{i}}= \vec{\mathbf{v}}/|\vec{\mathbf{v}}|\). Indichiamo con \(v\) il modulo della velocità \(\vec{\mathbf{v}}\). In tal caso la legge oraria si riscrive come

\(\quad x(t) \hat{\mathbf{i}} = \underbrace{\vec{\mathbf{r}}_0}_{=\vec{\mathbf{r}}(t_0)=x(t_0) \hat{\mathbf{i}}} + v(t-t_0) \hat{\mathbf{i}} \)

quindi: $$ x(t) = x(t_0) + v(t-t_0) $$

Tracciando su un diagramma \(x-t\) la funzione \(x(t):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) si ottiene il grafico di una retta con termine noto la posizione iniziale \(x(t_0)\) e coefficiente angolare \(v\).

Figura 1: grafico della legge oraria per \(t_0=0\). Con \(|v|\) abbiamo indicato la parte numerica della velocità.

Il moto parabolico o moto uniformemente accelerato [ torna al menu ]

Si definisce moto rettilineo uniformemente accelerato quello in cui l'accelerazione è costante. Se l'accelerazione è costante si dimostra ancora che la traiettoria è curvilinea parabolica. Infatti, sia \(\mathcal{E}_3\) lo spazio euclideo a cui appartiene il punto \(P\). Supponiamo di conoscere la posizione \(\vec{\mathbf{r}}_0 \in \mathbb{R}^3\) e la velocità  \(\vec{\mathbf{v}}_0 \in \mathbb{R}^3\) del punto \(P\) al tempo iniziale \(t_0\). Sia \(\vec{\mathbf{a}}\) l'accelerazione (non dipendente dal tempo \(t\)) e sia \(\vec{\mathbf{r}}\) la posizione del punto \(P\). La funzione \(\vec{\mathbf{r}}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^3\) sarà la soluzione del problema di Cauchy

$$\begin{cases} \dfrac{d\vec{\mathbf{r}}^2(t)}{dt^2} = \vec{\mathbf{a}}(t) \\ \vec{\mathbf{v}}(t_0)=\vec{\mathbf{v}}_0  \\ \vec{\mathbf{r}}(t_0)=\vec{\mathbf{r}}_0 \end{cases} $$

Integriamo tra il tempo iniziale \(t_0\) e un istante generico \(t\) del tempo. Dal teorema fondamentale del calcolo intergrale si ha $$ \vec{\mathbf{v}}(t) - \underbrace{\vec{\mathbf{v}}(t_0)}_{=\vec{\mathbf{v}}_0} = \int\limits_{t_0}^{t}{\dfrac{d\vec{\mathbf{v}}(t)}{dt}dt} = \int\limits_{t_0}^{t}{\vec{\mathbf{a}} dt} = \vec{\mathbf{a}}(t-t_0) $$ da cui si ricava la legge oraria della velocità: $$ \vec{\mathbf{v}}(t) = \vec{\mathbf{v}}_0 + \vec{\mathbf{a}}(t-t_0) $$ Adesso, ricordando che la velocità è la derivata temporale della posizione, integriamo quest'ultima equazione tra \(t_0\) e \(t\): $$ \vec{\mathbf{r}}(t) - \underbrace{\vec{\mathbf{r}}(t_0)}_{=\vec{\mathbf{r}}_0} = \int\limits_{t_0}^{t}{\dfrac{d\vec{\mathbf{r}}(t)}{dt}dt} = \int\limits_{t_0}^{t}{\vec{\mathbf{v}}(t) dt} = \int\limits_{t_0}^{t}{(\vec{\mathbf{v}}_0 + \vec{\mathbf{a}}(t-t_0)) dt} =$$$$ \vec{\mathbf{v}}_0 (t-t_0) +  \dfrac{1}{2} \vec{\mathbf{a}}(t-t_0)^2 $$ da cui si ricava, infine, la legge oraria della posizione: $$ \vec{\mathbf{r}}(t) = \vec{\mathbf{r}}_0 + \vec{\mathbf{v}}_0 ( t-t_0) + \dfrac{1}{2} \vec{\mathbf{a}}(t-t_0)^2 $$ corrispondente all'equazione parametrica di una curva parabolica passante per \(\vec{\mathbf{r}}_0\). La parabola è una sezione conica, pertanto è contenuta su un piano. Ora, possiamo scomporre \(\vec{\mathbf{v}}_0\) come $$\vec{\mathbf{v}}_0 = v_{0,\parallel} \hat{\mathbf{i}} + v_{0,\perp} \hat{\mathbf{j}} $$ dove \(\hat{\mathbf{i}} = \vec{\mathbf{a}}/|\vec{\mathbf{a}}|\) è il vettore accelerazione normalizzato. Nota che i versori \(\hat{\mathbf{i}}\) e \(\hat{\mathbf{j}}\) costituiscono una base ortonormale del piano che contiene la traiettoria.

• \( v_{0,\parallel}=\vec{\mathbf{v}}_0 \cdot \hat{\mathbf{i}}\) rappresenta la componente parallela all'accelerazione della velocità iniziale \(\vec{\mathbf{v}}_0\).
• \(v_{0,\perp} \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{i}} \times (\vec{\mathbf{v}} \times \hat{\mathbf{i}}) \) rappresenta, invece la componente della velocità iniziale perpendicolare all'accelerazione.

Sia \(\{\hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}}\}\) una base ortonormale di \(\mathbb{R}^3\). La legge oraria della posizione diventa 

\(\quad \underbrace{r_i(t) \hat{\mathbf{i}} + r_j(t) \hat{\mathbf{j}} + r_k(t) \hat{\mathbf{k}}}_{=\vec{\mathbf{r}}(t)} = \)

\(\quad \underbrace{r_i(t_0) \hat{\mathbf{i}} + r_j(t_0) \hat{\mathbf{j}} + r_k(t_0) \hat{\mathbf{k}}}_{=\vec{\mathbf{r}}_0} + (v_{0,\parallel} \hat{\mathbf{i}} + v_{0,\perp} \hat{\mathbf{j}}) ( t-t_0) + \dfrac{1}{2} a (t-t_0)^2 \hat{\mathbf{i}} = \)

\(\quad \left(r_i(t_0) + v_{0,\parallel} (t-t_0) + \dfrac{1}{2} a (t-t_0)^2 \right) \hat{\mathbf{i}} + (  r_j(t_0) + v_{0,\perp} (t-t_0) ) \hat{\mathbf{j}} + r_k(t_0) \hat{\mathbf{k}} \)

Eguagliando le componenti dei vettori si ottengono tre leggi orarie per ogni coordinata:

\(\quad \begin{cases} r_i(t) = r_i(t_0) + v_{0,\parallel} (t-t_0) + \dfrac{1}{2} a (t-t_0)^2 \\ r_j(t) = r_j(t_0) + v_{0,\perp} (t-t_0) \\ r_k(t) = r_k(t_0) \end{cases}\)

Quindi, possiamo scomporre il moto come la somma di un moto rettilineo uniforme in direzione perpendicolare all'accelerazione e di un moto rettilineo uniformemente accelerato in direzione dell'accelerazione (la legge \(r_k(t) = r_k(t_0)\) ci dice semplicemente che la coordinata \(r_k\) è costante). Il caso più noto ed evidente di questa scomposizione è il moto di un proiettile, sul quale agisce l'accelerazione gravitazionale del pianeta.

Abbiamo ricavato la legge oraria ipotizzando la conoscenza della posizione e velocità al tempo \(t_0\). Queste ipotesi si chiamano condizioni iniziali, ma, anche in questo caso, la conoscenza di una posizione e di una velocità qualsiasi è sufficiente.

Ora, concentriamoci sulla legge oraria del moto uniformemente accelerato sulla direzione \(\hat{\mathbf{i}}\). Se la componente della velocità iniziale perpendicolare all'accelerazione è nulla (ovvero, se \(v_{0,\perp} = 0\)), il moto avviene su una retta. Anche questo moto è unidimensionale e il sistema di riferimento necessita di una sola coordinata per descrivere ogni posizione del punto materiale. Ancora, il sistema di riferimento più idoneo è il sistema cartesiano \(\{O,\hat{\mathbf{i}}\}\) a una coordinata \(x\) in cui l'origine \(O\in\mathcal{E}_3\) appartiene alla retta contenente la traiettoria e il versore \(\hat{\mathbf{i}}\) corrisponde al vettore accelerazione \(\vec{\mathbf{a}}\) normalizzato: \(\hat{\mathbf{i}}= \vec{\mathbf{a}}/|\vec{\mathbf{a}}|\). Indichiamo con \(a\) il modulo della velocità \(\vec{\mathbf{a}}\). In tal caso la legge oraria si riscrive come

\(\quad x(t) \hat{\mathbf{i}} = \underbrace{\vec{\mathbf{r}}_0}_{=\vec{\mathbf{r}}(t_0)=x(t_0) \hat{\mathbf{i}}} + \underbrace{\vec{\mathbf{v}}_0(t-t_0)}_{=v_0 (t-t_0) \hat{\mathbf{i}}}  + \dfrac{1}{2} a(t-t_0)^2 \hat{\mathbf{i}} \)

quindi: $$ x(t) = x(t_0) + v_0 (t-t_0) +\dfrac{1}{2}a(t-t_0)^2 $$

Tracciando su un diagramma \(x-t\) la funzione \(x(t):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) si ottiene il grafico di una parabola. La pendenza della retta in un punto della parabola rappresenta la velocità istantanea in quel punto.

Figura 2: grafico della legge oraria per lo spostamento \(x(t)\) in direzione dell'accelerazione.

Fonte delle immagini [ torna al menu ]

Figura d'intestazione: di Adbar - Opera propria, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=25225133.

Figure 1 e 2: creato con Microsoft OneNote.