Strumenti di misura, incertezza di misura e propagazione degli errori

Qual è l'errore di misura?

La sensibilità dello strumento di misura o di chi effettua le misure influiscono anche pesantemente su queste. Dobbiamo, quindi, trovare un modo per definire l'affidabilità dei dati a disposizione. In questo post vedremo come esprimere tale affidabilità in fisica.

Indice dei contenuti

• Gli strumenti di misura
• L'incertezza
• Adeguatezza dello strumento
• Propagazione degli errori
• Riferimenti
• Fonte delle immagini

Gli strumenti di misura [ torna al menu ]

Uno strumento di misura si definisce come [1]:

Apparecchio per la determinazione quantitativa di grandezze fisiche. 

La prima classificazione degli strumenti di misura distingue tra

• strumento analogico, se la lettura della misura avviene attraverso una scala graduata;
• strumento digitale, se la lettura della misura avviene attraverso un display.

I parametri che caratterizzano uno strumento di misura sono [1]:

• il campo di misurazione: l'intervallo di valori che lo strumento può rilevare;
• il fondo-scala o portata: il valore massimo misurabile;
• la sensibilità: la minima variazione misurabile della grandezza;
• la finezza: la proprietà di non perturbare la grandezza misuranda.

Figura 1: righello.

Nella Figura 1 abbiamo un righello: uno strumento analogico per la misurazione della lunghezza. 

• Il suo campo di misurazione è \((0,30.0cm)\).
• La sua portata è \(30.0cm\).
• La sua sensibilità è \(1mm\).
• Si può considerare uno strumento fine fin tanto che nella misurazione non disturba la lunghezza che si vuol misurare.

L'incertezza [ torna al menu ]

Definizione

Quando si effettuano delle misure con gli appositi strumenti, queste non rappresentano mai il valore esatto che si intendeva misurare, a causa di perturbazioni della misura dovute direttamente allo strumento o al misuratore. 

La nozione di incertezza della misura è nota fin da prima del XX secolo. Tuttavia, la prima regolamentazione di questa è arrivata soltanto nel 1993 con la Guida all'espressione dell'Incertezza nella Misurazione (dall'inglese Guide to the expression of Uncertainty in Measurement), abbreviato in GUM. 

Nel VIM (Vocabolario Internazionale di Metrologia) l'incertezza è definita come:

parametro non negativo che caratterizza la dispersione dei valori che sono attribuiti a un misurando, sulla base delle informazioni utilizzate.

 Gli errori si classificano principalmente in

• errore sistematico, se è dovuto a un difetto dello strumento o del procedimento di misura. Gli errori sistematici causano un'interferenza sempre nello stesso senso, sia essa in eccesso o in difetto;
• errore accidentale o casuale, se è causato da eventi casuali. Ad esempio, dall'inesperienza o dai riflessi del misuratore o, ancora, dalla variazione della grandezza in esame. Gli errori accidentali causano un'interferenza che può essere sia in eccesso che in difetto.

Gli errori sistematici sono attenuabili o eliminabili grazie alla loro individuazione e alla calibrazione dello strumento. Invece, gli errori accidentali non sono eliminabili, ma si possono attenuare con l'effettuazione di molteplici misure.

Come esprimere una misura

Supponiamo di disporre di \(n\) misure \(x_1,x_2,...,x_{n-1},x_n\) rilevate con lo stesso strumento di sensibilità \(s\) e con lo stesso procedimento. Ogni misura ha la stessa importanza. Il perché di questa considerazione verrà spiegato successivamente.

Definiamo

• valore attendibile \(\overline{x}\) la media aritmetica $$ \overline{x}=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{x_i}$$
• errore assoluto \(e_x\) la semidispersione (ovvero, la semiampiezza dell'intervallo tra il minimo valore misurato e quello massimo): $$ e_x =  \dfrac{\max\limits_{i\in\{1,...,n\}}{x_i}-\min\limits_{i\in\{1,...,n\}}{x_i}}{2} $$
• incertezza \(\varepsilon_\text{a}\) l'errore assoluto, se risulta maggiore della sensibilità dello strumento, quest'ultima altrimenti: $$ \varepsilon_\text{a} =  \begin{cases} e_x \mspace{25 mu} \text{se} \mspace{5mu} e_x \ge s \\ s \mspace{25 mu} \text{se} \mspace{5mu} e_x \lt s  \end{cases} $$ Nota che se la misura è unica, allora l'incertezza è pari alla sensibilità.

La misura \(x\) della grandezza verrà espressa come

$$x=\overline{x}\pm \varepsilon_\text{a}$$

Bisogna tenere sempre a mente che

• l'incertezza dev'essere sempre arrotondata a una sola cifra significativa.
• il valore attendibile e l'incertezza devono avere lo stesso ordine di grandezza.

In certi casi ogni misura non ha la stessa importanza e a ognuna di essa può essere attribuito un certo peso \(\omega_i\). In questi casi invece della media aritmetica bisogna scegliere quale sarà il peso di ogni misura e scegliere come valore attendibile la media ponderata delle misure:

$$ \overline{x}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{\omega_i x_i}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{\omega_i}}$$

Nota che la media aritmetica è un caso particolare della media ponderata in cui tutte le misure hanno lo stesso peso \(\omega_1=...=\omega_n=1\).

Adeguatezza dello strumento [ torna al menu ]

In ingegneria e molte altre scienze è più significativo l'errore relativo, definito come il rapporto tra l'incertezza e il valore attendibile

$$ \varepsilon_\text{r} =  \dfrac{\varepsilon_\text{a}}{\overline{x}} $$

Una sensibilità \(s=1m\) di un telemetro laser è tanta o poca? Dipende dalla situazione: l'errore relativo dà una stima dell'adeguatezza dello strumento per l'effettuazione di una misura. Immagina di misurare col telemetro laser, la cui portata è \(400m\), l'altezza di un palazzo e la lunghezza di un'automobile. La lunghezza dell'auto risulta essere \(2 m\), mentre l'altezza del palazzo \(356m\). Nel primo caso l'errore relativo è ben

\(\quad \varepsilon_\text{r} =  \dfrac{1m}{2m} = 0,5\)

In altre parole, l'incertezza è pari al \(50\%\) della misura! Nel secondo caso, invece,

\(\quad \varepsilon_\text{r} =  \dfrac{1m}{356m} = 0,003\)

ossia, l'incertezza è pari soltanto allo \(0,3\%\) della misura. È evidente che la sensibilità sia insufficiente per misurare la lunghezza dell'auto, mentre lo strumento è sufficientemente adeguato per la misura dell'altezza del palazzo.

Propagazione degli errori [ torna al menu ]

Nella misura indiretta di una grandezza fisica si compiono operazioni con misure dirette, ognuna avente il proprio valore attendibile e la propria incertezza. Quali sono il valore attendibile e l'incertezza della misura indiretta? In sostanza: come si propagano gli errori nelle operazioni?

Somma, sottrazione e moltiplicazione per uno scalare

Nella somma di due misure \(x_1=\overline{x}_1 \pm \varepsilon_{\text{a},1}\) e \(x_2=\overline{x}_2 \pm \varepsilon_{\text{a},2}\) [2]

• il valore attendibile \(\overline{x}\) è la somma dei valori attendibili \(\overline{x}_1\) e \(\overline{x}_2\): $$\overline{x}=\overline{x}_1+\overline{x}_2$$
• l'incertezza \(\varepsilon_{\text{a}}\) è la somma delle incertezze \(\varepsilon_{\text{a},1}\) e \(\varepsilon_{\text{a},2}\): $$\varepsilon_{\text{a}}=\varepsilon_{\text{a},1}+\varepsilon_{\text{a},2}$$

Riassumendo:

$$x=x_1+x_2=\overline{x}_1+\overline{x}_2 \pm (\varepsilon_{\text{a},1}+\varepsilon_{\text{a},2})$$

Attenzione: nella differenza di due misure il valore attendibile è la differenza dei valori attendibili, ma l'incertezza resta la somma delle incertezze!

$$x=x_1-x_2=\overline{x}_1-\overline{x}_2 \pm (\varepsilon_{\text{a},1}+\varepsilon_{\text{a},2})$$

Segue immediatamente che nella moltiplicazione di una misura \(m=\overline{m} \pm \varepsilon_{\text{a},m}\) per uno scalare \(a\)

• il valore attendibile \(\overline{x}\) è il prodotto del valore attendibile \(\overline{m}\) con \(a\): $$\overline{x}=a\overline{m}$$
• l'incertezza \(\varepsilon_{\text{a}}\) è il prodotto dell'incertezza \(\varepsilon_{\text{a},m}\) e \(a\): $$\varepsilon_{\text{a}}=a\varepsilon_{\text{a},m}$$

Riassumendo:

$$x=am=a(\overline{m} \pm \varepsilon_{\text{a},m})=a\overline{m} \pm a\varepsilon_{\text{a},m}$$

Moltiplicazione tra misure

Nella moltiplicazione di due misure \(x_1=\overline{x}_1 \pm \varepsilon_{\text{a},1}\) e \(x_2=\overline{x}_2 \pm \varepsilon_{\text{a},2}\) [2]

• il valore attendibile \(\overline{x}\) è il prodotto dei valori attendibili \(\overline{x}_1\) e \(\overline{x}_2\): $$\overline{x}=\overline{x}_1 \overline{x}_2$$
• l'errore relativo \(\varepsilon_{\text{r}}\) è la somma degli errori relativi \(\varepsilon_{\text{r},1}\) e \(\varepsilon_{\text{r},2}\): $$\varepsilon_{\text{r}}=\varepsilon_{\text{r},1}+\varepsilon_{\text{r},2}=\dfrac{\varepsilon_{\text{a},1}}{\overline{x}_1}+\dfrac{\varepsilon_{\text{a},2}}{\overline{x}_2}$$

Calcolando gli errori relativi \(\varepsilon_{\text{r},1}\) e \(\varepsilon_{\text{r},2}\) delle misure \(x_1\) e \(x_2\) rispettivamente, si calcola l'errore relativo \(\varepsilon_{\text{r}}\) della moltiplicazione \(x=x_1 x_2\), quindi il suo errore assoluto \(\varepsilon_{\text{a}}=\varepsilon_{\text{r}} \overline{x}\).

Riassumendo:

$$x=x_1x_2=\overline{x}_1\overline{x}_2 \pm \left(\dfrac{\varepsilon_{\text{a},1}}{\overline{x}_1}+\dfrac{\varepsilon_{\text{a},2}}{\overline{x}_2}\right)\overline{x}_1\overline{x}_2$$

Riferimenti [ torna al menu ]

[1] struménto di misura nell'Enciclopedia Treccani

[2] James S. Walker, La realtà e i modelli della fisica, 2014, Pearson Italia, Milano - Torino

Fonte delle immagini [ torna al menu ]

Figura d'intestazione: Termometro a infrarossi, Editor di immagini online gratis per graphic design - Pixlr.com.

Figura 1: Di Luigi Chiesa, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=1137573.