Cos'è e a cosa serve lo studio di funzione? Lo studio di funzione è un importante strumento dell'analisi matematica per poter comprendere al meglio le caratteristiche di una funzione. Ne discende che chiunque lavori nell'ambito delle scienze esatte deve padroneggiare l'abilità di studiare una funzione. In questo post vedremo come si fa uno studio di funzione, a una o più variabili, portando due esempi. Inoltre, vedremo in qual modo lo studio di una funzione possa essere applicato a un caso reale. Studio di funzione: come si fa? Lo studio di una funzione reale a variabili reali deve passare per i seguenti passi in modo ordinato: Dominio e l'immagine : ponendo le condizioni di esistenza della funzione \(f:D \rightarrow C\) si può comprendere quale sia il suo dominio naturale \(D\). Inoltre, non meno importante è studiare quale sia l'immagine \(\text{Im}\), che può darci utili informazioni. Simmetrie : cerchia
C'è una regolarità nella distribuzione dei numeri primi?
Il 23 novembre 2021 la SISSA (Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati) con sede a Trieste rilascia un comunicato stampa: Giuseppe Mussardo, professore di Fisica Teorica dell'istituto triestino, e Andrè Leclair della Cornell University, Stati Uniti, hanno pubblicato sulla rivista Journal of Statistical Mechanics (JSTAT) la loro ricerca, secondo cui si possa concludere che una dimostrazione della congettura di Riemann attraverso le leggi della meccanica statistica è molto probabile. Vediamo di cosa si tratta e perché è una scoperta importante!
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La congettura di Riemann e i tentativi di dimostrazione [ torna al menu ]
In matematica si definisce congettura (dal lat. coniectura, der. di coniectus, part. pass. di conicĕre «gettare; congetturare») una supposizione fondata su indizi o apparenze probabili [1]. Se una congettura viene dimostrata, allora può ricevere il titolo di teorema.
L'istituto matematico Clay ha posto in evidenza all'attenzione degli scienziati del mondo sette congetture (i cosiddetti problemi del Millennio) che, se dimostrate, avrebbero profonde conseguenze nella nostra società. Al momento solo una delle sette congetture è stata dimostrata. Uno di questi sette problemi è proprio la congettura di Riemann.
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Figura 1: capitolo VII dell'articolo Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gebegenen Grösse di Riemann. |
L'ipotesi del matematico tedesco Bernhard Riemann, pubblicata nell'articolo Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gebegenen Grösse (in italiano: Sul numero di numeri primi al di sotto di una certa grandezza) nel 1859, mostrò una relazione tra gli zeri di una funzione e la distribuzione dei numeri primi. Una congettura sulla posizione degli zeri implicherebbe che i numeri primi sono distribuiti con una certa regolarità.
La famosa funzione precedentemente citata è conosciuta come la funzione zeta di Riemann e nasce dal prolungamento analitico della serie di Dirichlet:
$$\zeta (s) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{n^s}}$$
dove con \(s\) si indica un numero complesso.
Un primo risultato sulla correlazione tra la funzione zeta e i numeri primi fu raggiunto da Eulero, il quale dimostrò nel 1737 che per ogni reale \(x\) maggiore di \(1\) vale la sua formula prodotto:
\(\quad \zeta(x)=\prod\limits_{p \mspace{3mu} \text{primo}}^{\infty}{\dfrac{1}{1-p^{-x}}}\)
La funzione \(\zeta\) presenta zeri sulla retta reale nei numeri relativi pari, detti zeri banali, mentre tutti gli altri zeri sono distribuiti simmetricamente rispetto alla retta di equazione \(\Re (s) = 1/2\), detta per questo motivo retta critica. Tali zeri sono, inoltre, contenuti sulla parte di piano \(0 \lt \Re (s) \lt 1\), chiamata striscia critica.
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| Figura 2: Parte reale (in rosso) e immaginaria (in blu) dei valori assunti dalla funzione zeta lungo la linea critica \(\Re (s) = 1/2\). Si possono notare i primi zeri non banali in \(\Im (s)=\pm 14.135,\pm 21.022,\pm25.011\). |
L'ipotesi di Riemann, anche conosciuta come "congettura di Riemann", è una congettura sulla distribuzione degli zeri non banali della funzione zeta di Riemann ed è così formulata [2]:
La parte reale di ogni radice non banale è 1/2.
Lo stesso Riemann non diede mai una dimostrazione alla sua congettura, nonostante nel 1932 Carl Ludwig Siegel dimostrò che Riemann aveva elaborato alcuni metodi per lo studio della posizione degli zeri della sua funzione zeta. Il matematico tedesco diede una stima del numero di zeri \(s_0\) con \(\Re (s_0) \in [0,1]\) e \(\Im (s_0) \in [-T,T]\) e affermò che la frazione di tali zeri che giace sulla retta critica tende a \(1\) per \(T\) tendente all'infinito. In altre parole, la metà degli zeri di \(\zeta\) che si trovano nella striscia critica sono posizionati sulla retta critica.
Il problema rimase irrisolto per diversi decenni. Nel 1992, il matematico de Branges, già conosciuto per la sua dimostrazione della congettura di Bieberbach, pubblicò sul suo sito una dimostrazione basata sull'analisi funzionale, ma otto anni dopo Brian Conrey e Xian-Jin Li dimostrarono l'inesattezza della dimostrazione di de Branges portando alcuni controesempi [2].
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| Figura 3: Louis de Branges de Bourcia, (Parigi, 21 agosto 1932) è un matematico statunitense naturalizzato francese che tentò la dimostrazione della congettura di Riemann nel 1992. |
La ricerca di Mussardo e Leclair [ torna al menu ]
Che la matematica fornisca alla fisica il linguaggio giusto per formulare le leggi del mondo naturale è un po' nella logica delle cose. Che sia la fisica a fornire la soluzione per una questione matematica aperta da moltissimo tempo è invece una cosa alquanto insolita.
Questo è quanto si legge nel comunicato stampa della SISSA. I professori di fisica Mussardo e Leclair si sono serviti delle leggi della meccanica statistica per mostrare che si può giungere alla soluzione della congettura di Riemann. Il comunicato continua: "Secondo Mussardo e LeClair, l’elegante e inaspettata spiegazione dell’allineamento degli zeri lungo l’asse ½ della funzione di Riemann – così come di una classe infinita di funzioni simili, le cosiddette funzioni di Dirichlet – è dovuta all’esistenza di un sorprendente moto browniano nascosto dietro tutte queste infinite funzioni."
Il moto browniano, scoperto nei primi dell'Ottocento dal botanico scozzese Robert Brown e modellizzato per la prima volta dal famoso Albert Einstein nel 1905, è il nome con cui comunemente si indica il moto caotico delle molecole di un sistema gassoso. In questo moto gli atomi si sparpagliano nello spazio in funzione del tempo come la radice quadrata, ovvero una potenza a esponente \(1/2\).
Afferma Mussardo [3]:
La nostra ipotesi sulla natura browniana della congettura di Riemann, supportata da una nostra serie di risultati di natura probabilistica in Teoria dei Numeri, è stata accompagnata da una possente analisi statistica estremamente precisa lunga l’infinita sequenza dei numeri primi, un vero e proprio tour de force di analisi dati, che ci ha impegnati per circa tre anni.
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| Figura 4: esempio della traiettoria del moto browniano di una particella. |
Le conseguenze [ torna al menu ]
La scoperta di Mussardo e Leclair potrebbe avere profonde conseguenza nella sicurezza informatica. È noto a tutti che l'informatica faccia largo uso della matematica. Oggigiorno la crittografia utilizza spesso come chiavi di sicurezza numeri interi la cui fattorizzazione in numeri primi non è calcolabile in tempi accettabili. La scoperta di una regolarità nella distribuzione dei numeri primi ridurrebbe drasticamente il tempo necessario per il calcolo della fattorizzazione, rendendo non più sicure tali password. Si renderebbe, pertanto, necessario cambiare il metodo di crittazione. Attualmente, un metodo di crittografia alternativo si basa sulle funzioni ellittiche modulari, ma anche queste potrebbero essere governate da una congettura: l'ipotesi di Birch e Swinnerton-Dyer. La crittografia quantistica al momento sembra inattaccabile. La prima rete a crittografia quantistica (il DARPA Quantum Network) è stata realizzata già nel 2004.
Riferimenti [ torna al menu ]
[1] congettura in Vocabolario - Treccani.
[2] Ipotesi di Riemann. (18 ottobre 2021). Wikipedia, L'enciclopedia libera. Tratto il 23 novembre 2021, 20:46 da https://it.wikipedia.org/wiki/Ipotesi_di_Riemann.
[3] SISSA comunicato stampa Mussardo_0.pdf.
Fonte delle immagini [ torna al menu ]
Figura d'intestazione: Bernhard Riemann, di http://www.sil.si.edu/digitalcollections/hst/scientific-identity/explore.htm in accordo a Wikipedia Germania, pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=27383.
Figura 1: File:Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse.pdf - Wikipedia
Figura 2: di Slonzor - opera propria. Realizzato con Mathematica usando il seguente codice: Show[Plot[{Re[Zeta[1/2+I x]], Im[Zeta[1/2+I x]]}, {x,-30, 30},AxesLabel->{"x"} , PlotStyle->{Red, Blue}, Ticks->{Table[4x-28,{x,0,14}]}, ImageSize->{800,600}],Graphics[Text[Style[\[DoubleStruckCapitalR][\[Zeta][ I x + "1/2"]],14,Red ,Background ->White],{-22,2.6} ]],Graphics[Text[Style[\[GothicCapitalI][\[Zeta][ I x + "1/2"]],14,Blue ,Background ->White],{-14,2.6} ]]]. Pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=5240444.
Figura 3: di Purdue University Math Department - http://www.math.purdue.edu/~branges/site, pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=14948693.
Figura 4: di PAR - Opera propria, pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=9569957.
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