I numeri algebrici e trascendenti

Irrazionalità e trascendenza

Non tutti sono a conoscenza della suddivisione dei numeri in algebrici e trascendenti. La distinzione  tra questi è più importante di quanto possa sembrare. Vediamo come si definiscono questi numeri.

Sommario

• I numeri algebrici
• Definizione
• Operazioni
• I numeri trascendenti
• Definizione e storia
• Operazioni
• Estensioni algebriche e trascendenti
• Riferimenti
• Immagini

I numeri algebrici

Definizione

Si definisce algebrico un numero complesso $z$ che è la radice di un polinomio $p(x)$ non nullo a coefficienti interi, ovvero se è la soluzione di almeno un'equazione polinomiale nella forma

$$\sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k=0$$

dove i coefficienti $a_0,...,a_n$ sono interi (o, equivalentemente, razionali) non tutti nulli e $n\ge 1$. Si dice $n$ il grado di algebricità di $z$ se questo risolve un'equazione polinomiale di grado $n$ e nessun'equazione di grado inferiore.

Figura 1: Numeri algebrici colorati per grado (blu = 4, ciano = 3, rosso = 2, verde = 1). Il cerchio dell'unità è nero.

Alcuni numeri algebrici notevoli:

• I numeri razionali sono algebrici di grado $1$. Infatti, qualunque razionale si può per definizione scrivere come il rapporto $a/b$ di due interi, quindi risolve l'equazione $bx-a=0$.
• I radicali nella forma $\sqrt[n]{a}$, dove $a\in \mathbb{Q}$, se $n$ è dispari, o $a\in {\mathbb{Q}}^{+}\cup \{0\}$, se $n$ è pari, sono soluzione dell'equazione a coefficienti razionali $x^n-a=0$. Quindi, sono algebrici di grado $n$.
• I numeri complessi $z=a+ib$, con $a$ e $b$ razionali, sono algebrici di grado $n\in \{1,2\}$ , poiché soluzioni dell'equazione $(x-z)(x-\bar{z})=x^2-2ax+a^2+b^2=0$.

Operazioni

Siano $z_1$ e $z_2$ due numeri algebrici. 

• $z_1+z_2$ è algebrico.
• $z_1-z_2$ è algebrico
• $z_1{z}_2$ è algebrico.
• $z_1/z_2$ è algebrico (per $z_2\ne 0$).

In gergo si dice che l'insieme dei numeri algebrici è algebricamente chiuso rispetto a queste operazioni e forma un campo, indicato col simbolo$\mathbb{A}$. Ogni radice di un polinomio a coefficienti algebrici è algebrica. Cantor dimostrò nel 1874 che l'insieme $\mathbb{A}$ è numerabile.

Inoltre, ricordo qui il teorema di Lindemann–Weierstrass nella riformulazione di Baker, il quale statuisce che se ${\alpha }_1,...,{\alpha }_n$ sono numeri algebrici distinti, allora gli esponenziali $e^{{\alpha }_1},...,e^{{\alpha }_n}$ sono linermente indipendenti in $\mathbb{A}$ [1].

I numeri trascendenti

Definizione e storia

Chiaramente, un numero $z$ o risolve almeno un equazione polinomiale a coefficienti interi, o non ne risolve nessuna. In altre parole, $z$ o è algebrico, o non lo è. Tutti i numeri non algebrici si dicono trascendenti. Nota che un numero trascendente è automaticamente irrazionale. L'esistenza di tali numeri fu dimostrata per la prima volta nel 1844 da Joseph Liouville con i cosiddetti numeri di Liouville [2]. Nel 1873 Charles Hermite dimostrò che $e$ è trascendente e nel 1882 Ferdinand von Lindemann dimostrò la trascendenza di $\pi$ grazie al lavoro di Hermite. Nel 1874 Cantor dimostrò la numerabilità di $\mathbb{A}$, ma $\mathbb{R}$ non è numerabile. Ciò implica che l'insieme dei trascendenti non è numerabile e che esistono infinite volte più numeri trascendenti che algebrici. Insomma: la trascendenza di un numero non è l'eccezione, ma la regolarità. 

La dimostrazione della trascendenza di $\pi$ ha portato alla risoluzione di un antico problema: la quadratura del cerchio, ossia la costruzione di un quadrato con la stessa area di un dato cerchio. Ciò è impossibile, poiché tutti i numeri costruibili con riga e compasso sono algebrici.

Alcuni numeri trascendenti notevoli sono [2]:

• $e^a$, con $a\in \mathbb{A}\setminus \{0\}$ (conseguenza del teorema di Lindemann–Weierstrass).
• $\pi$, dimostrato da von Lindemann.
• $a^b$, con $a\in \mathbb{A}\setminus \{0,1\}$ e $b$ algebrico, ma non razionale, dimostrato nel teorema di Gel'fond. In particolare,
• la costante di Gel'fond $e^{\pi }$ è trascendente, perché $e^{\pi }={\left(e^{-\pi }\right)}^{-1}={\left(i^{2i}\right)}^{-1}$ e $i^{2i}$ è trascendente.
• $2^{\sqrt{2}}$ è trascendente.
• le funzioni trigonometriche $\sin a$, $\cos a$, $\tan a$ e i loro reciproci $\csc a$, $\sec a$ e $\cot a$, per $a$ algebrico, come conseguenza del teorema di Lindemann–Weierstrass.
• $\ln a$, con $a$ razionale positivo diverso da $1$, dimostrato dal teorema di Lindemann–Weierstrass.
• la costante di Chaitin $\mathrm{\Omega }$.
• la funzione zeta di Riemann $\zeta (n)$, per $n$ pari, poiché pari a un multiplo razionale di $\pi$.

Operazioni

L'insieme dei numeri trascendenti non è chiuso rispetto alla somma e al prodotto, a differenza dei numeri algebrici. È semplice dimostrarlo con un contro esempio: $\pi$ e $\pi$ sono trascendenti, ma $\pi +(-\pi )=0$ è algebrico. Allo stesso modo $\pi /(-\pi )=-1$ è algebrico.

Estensioni algebriche e trascendenti

Sia $\mathbb{K}$ un campo e sia $\mathbb{L}$ un'estensione di $\mathbb{K}$. In generale, un elemento $a\in \mathbb{L}$ si dice algebrico su $\mathbb{K}$ se è la radice di almeno un polinomio non nullo $p$ a coefficienti in $\mathbb{K}$.

$p(a)=0,p\in {\mathbb{K}}_n[x]$

Tra tutti i possibili polinomi $p$ che si annullano in $a$ ne esiste uno di grado minimo che è unico. Questo si chiama polinomio minimo di $a$ su $\mathbb{K}$.

Se tutti gli elementi di $\mathbb{L}$ sono algebrici su $\mathbb{K}$, l'estensione $\mathbb{L}/\mathbb{K}$ si dice algebrica, altrimenti trascendente.

Si dice algebricamente chiuso un campo che non ha estensioni algebriche oltre a sé stesso. Ne costituisce un esempio l'insieme dei complessi $\mathbb{C}$. 

Vediamo alcune estensioni notevoli.

• L'estensione $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ è trascendente. Segue subito dalla trascendenza di $\pi$ su $\mathbb{Q}$.
• L'estensione $\mathbb{C}/\mathbb{R}$ è algebrica, dal momento che ogni complesso $z$ è la soluzione di almeno un'equazione a coefficienti reali.
• L'estensione $\mathbb{C}/\mathbb{Q}$ è trascendente, dal momento che ogni complesso $z$ è la soluzione di almeno un'equazione a coefficienti razionali se e solo se le sue parti reale e immaginaria sono razionali. 
• L'estensione $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ è algebrica, poiché $\sqrt{2}$ è la radice del polinomio $p(x)=x^2-2$.

Riferimenti

[1] Lindemann–Weierstrass theorem - Wikipedia

[2] Numero trascendente - Wikipedia

Immagini

Figura 1: di Damian Silvestre - opera propria, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=22408462.