I numeri algebrici e trascendenti

Irrazionalità e trascendenza

Non tutti sono a conoscenza della suddivisione dei numeri in algebrici e trascendenti. La distinzione  tra questi è più importante di quanto possa sembrare. Vediamo come si definiscono questi numeri.

Sommario

• I numeri algebrici
• Definizione
• Operazioni
• I numeri trascendenti
• Definizione e storia
• Operazioni
• Estensioni algebriche e trascendenti
• Riferimenti
• Immagini

I numeri algebrici

Definizione

Si definisce algebrico un numero complesso \(z\) che è la radice di un polinomio \(p(x)\) non nullo a coefficienti interi, ovvero se è la soluzione di almeno un'equazione polinomiale nella forma

$$ \sum\limits_{k=0}^n a_k x^k = 0 $$

dove i coefficienti \(a_0,...,a_n\) sono interi (o, equivalentemente, razionali) non tutti nulli e \(n \geq 1\). Si dice \(n\) il grado di algebricità di \(z\) se questo risolve un'equazione polinomiale di grado \(n\) e nessun'equazione di grado inferiore.

Figura 1: Numeri algebrici colorati per grado (blu = 4, ciano = 3, rosso = 2, verde = 1). Il cerchio dell'unità è nero.

Alcuni numeri algebrici notevoli:

• I numeri razionali sono algebrici di grado \(1\). Infatti, qualunque razionale si può per definizione scrivere come il rapporto \(a/b\) di due interi, quindi risolve l'equazione \(bx-a=0\).
• I radicali nella forma \(\sqrt[n]a\), dove \(a \in \mathbb{Q}\), se \(n\) è dispari, o \(a \in \mathbb{Q}^+ \cup \{0\}\), se \(n\) è pari, sono soluzione dell'equazione a coefficienti razionali \(x^n - a = 0\). Quindi, sono algebrici di grado \(n\).
• I numeri complessi \(z = a+ib\), con \(a\) e \(b\) razionali, sono algebrici di grado \(n \in \{1,2\}\) , poiché soluzioni dell'equazione \((x-z)(x-\overline{z}) = x^2 - 2ax + a^2+b^2 = 0\).

Operazioni

Siano \(z_1\) e \(z_2\) due numeri algebrici. 

• \(z_1 + z_2\) è algebrico.
• \(z_1 - z_2\) è algebrico
• \(z_1z_2\) è algebrico.
• \(z_1/z_2\) è algebrico (per \(z_2 \neq 0\)).

In gergo si dice che l'insieme dei numeri algebrici è algebricamente chiuso rispetto a queste operazioni e forma un campo, indicato col simbolo\( \mathbb{A}\). Ogni radice di un polinomio a coefficienti algebrici è algebrica. Cantor dimostrò nel 1874 che l'insieme \(\mathbb{A}\) è numerabile.

Inoltre, ricordo qui il teorema di Lindemann–Weierstrass nella riformulazione di Baker, il quale statuisce che se \(\alpha_1, ..., \alpha_n\) sono numeri algebrici distinti, allora gli esponenziali \(e^{\alpha_1}, ..., e^{\alpha_n}\) sono linermente indipendenti in \(\mathbb{A}\) [1].

I numeri trascendenti

Definizione e storia

Chiaramente, un numero \(z\) o risolve almeno un equazione polinomiale a coefficienti interi, o non ne risolve nessuna. In altre parole, \(z\) o è algebrico, o non lo è. Tutti i numeri non algebrici si dicono trascendenti. Nota che un numero trascendente è automaticamente irrazionale. L'esistenza di tali numeri fu dimostrata per la prima volta nel 1844 da Joseph Liouville con i cosiddetti numeri di Liouville [2]. Nel 1873 Charles Hermite dimostrò che \(e\) è trascendente e nel 1882 Ferdinand von Lindemann dimostrò la trascendenza di \(\pi\) grazie al lavoro di Hermite. Nel 1874 Cantor dimostrò la numerabilità di \(\mathbb{A}\), ma \(\mathbb{R}\) non è numerabile. Ciò implica che l'insieme dei trascendenti non è numerabile e che esistono infinite volte più numeri trascendenti che algebrici. Insomma: la trascendenza di un numero non è l'eccezione, ma la regolarità. 

La dimostrazione della trascendenza di \(\pi\) ha portato alla risoluzione di un antico problema: la quadratura del cerchio, ossia la costruzione di un quadrato con la stessa area di un dato cerchio. Ciò è impossibile, poiché tutti i numeri costruibili con riga e compasso sono algebrici.

Alcuni numeri trascendenti notevoli sono [2]:

• \(e^a\), con \(a \in \mathbb{A} \setminus \{0\} \) (conseguenza del teorema di Lindemann–Weierstrass).
• \(\pi\), dimostrato da von Lindemann.
• \(a^b\), con \(a \in \mathbb{A} \setminus \{0,1\} \) e \(b\) algebrico, ma non razionale, dimostrato nel teorema di Gel'fond. In particolare,
• la costante di Gel'fond \(e^\pi\) è trascendente, perché \(e^\pi = \left(e^{-\pi}\right)^{-1} = \left(i^{2i}\right)^{-1}\) e \(i^{2i}\) è trascendente.
• \(2^\sqrt2\) è trascendente.
• le funzioni trigonometriche \(\sin a\), \(\cos a\), \(\tan a\) e i loro reciproci \(\csc a\), \(\sec a\) e \(\cot a\), per \(a\) algebrico, come conseguenza del teorema di Lindemann–Weierstrass.
• \(\ln a\), con \(a\) razionale positivo diverso da \(1\), dimostrato dal teorema di Lindemann–Weierstrass.
• la costante di Chaitin \(\Omega\).
• la funzione zeta di Riemann \(\zeta (n)\), per \(n\) pari, poiché pari a un multiplo razionale di \(\pi\).

Operazioni

L'insieme dei numeri trascendenti non è chiuso rispetto alla somma e al prodotto, a differenza dei numeri algebrici. È semplice dimostrarlo con un contro esempio: \(\pi\) e \(\pi\) sono trascendenti, ma \(\pi+(-\pi)=0\) è algebrico. Allo stesso modo \(\pi/(-\pi) = -1\) è algebrico.

Estensioni algebriche e trascendenti

Sia \(\mathbb{K}\) un campo e sia \(\mathbb{L}\) un'estensione di \(\mathbb{K}\). In generale, un elemento \(a \in \mathbb{L}\) si dice algebrico su \(\mathbb{K}\) se è la radice di almeno un polinomio non nullo \(p\) a coefficienti in \(\mathbb{K}\).

\( \quad p(a) = 0, p \in \mathbb{K}_n[x] \)

Tra tutti i possibili polinomi \(p\) che si annullano in \(a\) ne esiste uno di grado minimo che è unico. Questo si chiama polinomio minimo di \(a\) su \(\mathbb{K}\).

Se tutti gli elementi di \(\mathbb{L}\) sono algebrici su \(\mathbb{K}\), l'estensione \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\) si dice algebrica, altrimenti trascendente.

Si dice algebricamente chiuso un campo che non ha estensioni algebriche oltre a sé stesso. Ne costituisce un esempio l'insieme dei complessi \(\mathbb{C}\). 

Vediamo alcune estensioni notevoli.

• L'estensione \(\mathbb{R}/\mathbb{Q}\) è trascendente. Segue subito dalla trascendenza di \(\pi\) su \(\mathbb{Q}\).
• L'estensione \(\mathbb{C}/\mathbb{R}\) è algebrica, dal momento che ogni complesso \(z\) è la soluzione di almeno un'equazione a coefficienti reali.
• L'estensione \(\mathbb{C}/\mathbb{Q}\) è trascendente, dal momento che ogni complesso \(z\) è la soluzione di almeno un'equazione a coefficienti razionali se e solo se le sue parti reale e immaginaria sono razionali. 
• L'estensione \(\mathbb{Q}(\sqrt2)/\mathbb{Q}\) è algebrica, poiché \(\sqrt2\) è la radice del polinomio \(p(x)=x^2-2\).

Riferimenti

[1] Lindemann–Weierstrass theorem - Wikipedia

[2] Numero trascendente - Wikipedia

Immagini

Figura 1: di Damian Silvestre - opera propria, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=22408462.