La teoria dei gruppi

Alle basi della matematica moderna: i gruppi

Figura 1: ritratto di Évariste
Galois a 15 anni.

La teoria dei gruppi, di cui Évariste Galois è considerato il padre, nacque nel XIX secolo per lo studio delle equazioni polinomiali. Grazie ai lavori di Galois, Paolo Ruffini e Niels Henrik Abel dimostrarono il teorema di Abel-Ruffini, secondo cui non esistono soluzioni generali espresse tramite radicali di un'equazione polinomiale di grado maggiore o uguale a $5$.

Sommario

• Definizioni e proprietà
• Definizione
• Permutazioni e gruppo simmetrico
• Fondamenti di teoria dei gruppi
• Omomorfismo e isomorfismo
• Sottogruppo e generatore
• Classe laterale
• Sottogruppo normale
• Gruppo quoziente
• Gruppo ciclico
• Operazioni
• Prodotto diretto e semidiretto
• Prodotto libero
• Presentazione di un gruppo
• Gruppo libero
• Presentazione
• Riferimenti
• Immagini

Definizioni e proprietà

Definizione

Sia $G$ un insieme in cui sia definita un operazione binaria $\ast$. Se quest'operazione è una funzione associa a due elementi  $a,b\in G$ un elemento $a\ast b\in G$ per cui sono soddisfatte le seguenti proprietà [1]:

• Associatività: $\mathrm{\forall }a,b,c\in G(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$.
• Elemento neutro $n$: $\mathrm{\forall }a\in G\mathrm{\exists }!n\in G:a\ast n=n\ast a=a$. L'elemento neutro è unico. Infatti, siano $n$ e $m$ elementi neutri di $G$. Si ha $n=n\ast m=m$. A volte si indica l'elemento neutro con $1_G$
• Elemento inverso $a^{-1}$: $\mathrm{\forall }a\in G\mathrm{\exists }!a^{-1}\in G:a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=n$. Anche l'elemento inverso è unico per il gruppo. Infatti, dati due elementi neutri $a^{-1}$ e $b^{-1}$, grazie alla proprietà associativa si ha $a^{-1}=a^{-1}\ast n=a^{-1}\ast (a\ast b^{-1})=(a^{-1}\ast a)\ast b^{-1}=b^{-1}$.

$G$ si dice gruppo.

Esistono due tipi di notazione frequentemente usate.

• Nella notazione moltiplicativa il simbolo di operazione $\ast$ viene omesso, scrivendo $a\ast b$ semplicemente come $ab$. In tal caso si usa $1_G$ per indicare l'elemento neutro.
• Nella notazione additiva il simbolo di operazione $\ast$ viene indicato con il più $+$, scrivendo $a\ast b$ come $a+b$. In questa notazione si usa $0_G$ per indicare l'elemento neutro.

Se anche la proprietà commutativa $\mathrm{\forall }a,b\in Ga\ast n=n\ast a$ è rispettata, il gruppo si dice abeliano. La cardinalità $|G|$ del gruppo $G$ si chiama ordine del gruppo. In base all'ordine i gruppo si classificano in

• finito, se l'ordine è finito;
• infinito, se l'ordine è infinito.

Siano $a\in G$ e $z\in \mathbb{Z}$. Le potenze nel gruppo sono definite in modo ricorsivo come segue [1]:

• $a^0=n$
• $a^z=a\ast a^{z-1}={\left(a^{-1}\right)}^z$

Dato un luogo geometrico, le sue simmetrie formano un gruppo che rientra nell'insieme dei gruppi di simmetria [1]. Ad esempio, il gruppo di simmetria di un tetraedro ha 24 elementi.

Figura 2: le simmetrie di un tetraedro sono 24: l'identità, 11 rotazioni intorno ad un asse, 6 riflessioni rispetto ad un piano e 6 composizioni di rotazioni e riflessioni.

Le simmetrie di un quadrato formano un gruppo di 8 elementi:

Figura 3: le 8 simmetrie del quadrato.

Un altro esempio di gruppo sono le mosse del cubo di Rubik, chiamato gruppo del cubo di Rubik [1].

Permutazioni e gruppo simmetrico

Figura 4: permutazioni
delle lettere A, B e C.

Prendiamo l'insieme delle lettere $A=\{e,d,a,n,t\}$. Usante gli elementi di $A$ si può comporre la parola "tenda". Riorganizzando l'ordine delle lettere possiamo ottenere una seconda parola diversa: "Dante". In generale, dato un insieme $A$ di cardinalità $n$, si dice permutazione l'ordine in successione degli elementi di $A$. In termini matematici, la permutazione è una funzione biiettiva $p:A\to A$. Il numero delle permutazioni possibili di $A$ è pari a $n!$.

Dato un insieme $A$, il gruppo delle permutazioni degli elementi di $A$ si chiama gruppo simmetrico. Solitamente viene indicato con $S(A)$ o $\text{Sym}(A)$ [1]. Il più importante gruppo simmetrico è $S_n$, formato dalle permutazioni dei naturali $1,...,n$.

Ad esempio, sia $X=\{\text{A},\text{B},\text{C}\}$ l'insieme delle lettere A, B e C. Il gruppo simmetrico è 

$S(X)=\{\text{ABC},\text{BCA},\text{CAB},\text{ACB},\text{BAC},\text{CBA}\}$

I gruppi simmetrici di ordine maggiore di due non sono abeliani.

Fondamenti di teoria dei gruppi

Omomorfismo e isomorfismo

Dati due gruppi $(G,\ast )$ e $(H,\cdot )$, si definisce omomorfismo di tali gruppi la funzione $f:G\to H$ compatibile con le strutture di $G$ e $H$.

La condizione di compatibilità equivale a chiedere che valga la condizione 

$\mathrm{\forall }a,b\in Gf(a\ast b)=f(a)\cdot f(b)$

In particolare, se $f$ è un omomorfismo, allora

• $f(1_G)=1_H$
• $f(a^{-1})=(f(a){)}^{-1}$

Se l'omomorfismo $f$ è biiettivo, allora si definisce isomorfismo. Intuitivamente, due gruppi isomorfi si possono considerare due facce della stessa medaglia.

Sottogruppo e generatore

Sia $(G,\ast )$ un gruppo. Un sottoinsieme $W$ di $G$ che risulta essere un gruppo rispetto all'operazione  binaria ereditata da $G$ si dice sottogruppo, si indica come $(W,{\ast }_{|W\times W})$ e si scrive $W\le G$ (o $W<G$, se $W$ è strettamente contenuto in $G$). 

In particolare, $W$ è un sottogruppo se

1. $1_G\in W$;
2. $W$ è chiuso rispetto a $\ast$.

Ad esempio, i numeri interi divisibili per un naturale $n$ formano un sottogruppo di $\mathbb{Z}$, denotato con $n\mathbb{Z}$. 

Figura 5: sottogruppi del gruppo di simmetria del quadrato.

È possibile che un sottoinsieme $S$ di $G$ non sia un sottogruppo. $S$ in ogni caso è il generatore di un sottogruppo $K$ di $G$ formato da tutti i prodotti degli elementi $s\in S$ e degli inversi $s^{-1}$. Ad esempio $S=\{2\}$ genera $2\mathbb{Z}$, l'insieme dei numeri interi divisibili per $2$.

Ogni elemento $g$ di un gruppo moltiplicativo $G$ genera un sottogruppo $K=\{...,g^{-2},g^{-1},g^0=1_G,g^1,g^2,...\}$. L'ordine di $K$ è pari al minimo numero naturale $n\ne 0$ tale che $g^n=1_G$ ed è per definizione l'ordine dell'elemento $g$. È possibile che tale $n$ non esista, quindi $n=\mathrm{\infty }$. Se $G$ è un gruppo additivo, $n$ deve verificare la condizione $ng=0_G$.

Classe laterale

Dato un sottogruppo $K$ del gruppo $G$, si definiscono la

• classe laterale sinistra $gK=\{g\ast k:k\in K\}$
• classe laterale destra $Kg=\{k\ast g:k\in K\}$

Le classi laterali possono essere pensate come una traslazione di $K$ per un elemento $g\in G$ verso destra o sinistra e costituiscono una partizione di $G$. Due qualsiasi classi laterali sinistre (destre) $g_{1}K$ e $g_{2}K$ coincidono se e solo se $g_1^{-1}{g}_2\in K$ e hanno la stessa cardinalità. 

Sottogruppo normale

Se $G$ non è abeliano, è possibile che le classi laterali sinistre e destre non coincidano, ovvero è possibile che

$\mathrm{\exists }g\in G:gK\ne gK$

Se $gK=Kg$ per ogni elemento $g$ di $G$, $K$ si dice sottogruppo normale di $G$ e si scrive $K⊴G$.

$$K⊴G\iff \mathrm{\forall }g\in GgK=Kg$$

Se $K$ è un sottogruppo normale, allora non ha senso distinguere le classi laterali in destre e sinistre.

Se $G$ è abeliano, tutti i sottogruppi $K$ sono normali.

Dato un gruppo $G$, sono sottogruppi normali sé stesso e $\{n\}$, con $n$ l'elemento neutro di $G$. Quest'ultimo viene chiamato sottogruppo banale.

Se un gruppo $G$ non contiene sottogruppi normali a parte il sottogruppo banale e sé stesso, si dice gruppo semplice.

Gruppo quoziente

Sia $K$ un sottogruppo normale di $G$. Si definisce gruppo quoziente $G{/}_K$ l'insieme delle classi laterali

$$G{/}_K=\{gK:g\in G\}$$

dotato di un'operazione $\cdot$ ereditata dal gruppo $G$:

$$g_{1}K\cdot g_{2}K=(g_1\cdot g_2)K$$

Nota che 

• la funzione $f:G\to G{/}_K$ tale che $f(g)=gK$ è un omomorfismo.
• $nK=K$, dove $n$ è l'elemento neutro di $G$, è l'identità di $G{/}_K$.
• $g^{-1}K$, dove $g^{-1}$ è l'elemento inverso di $g\in G$, è l'inverso di $gK$.

Gruppo ciclico

Si dice ciclico il gruppo $C_n$ che è generato da un suo solo elemento $g$. Naturalmente, 

• se $g$ ha ordine finito $n$, allora $C_n=\{1_G,g^1,...,g^{n-1}\}$ ed è isomorfo a $\mathbb{Z}{/}_{n\mathbb{Z}}$.
• Se $g$ ha ordine $\mathrm{\infty }$, $C_{\mathrm{\infty }}$ è isomorfo a $\mathbb{Z}$.

Ad esempio, le radici seste dell'unità (ovvero i numeri complessi $z$ tali che $z^6=1$) formano un gruppo ciclico di ordine $6$.

Operazioni

Prodotto diretto e semidiretto

Si definisce prodotto diretto di $G$ e $H$ il prodotto cartesiano di questi due gruppi:

$$G\times H$$

• L'ordine di $G\times H$ è il prodotto degli ordini di $G$ e di $H$.
• Se $G$ e $H$ sono abeliani, $G\times H$ è abeliano. Ad esempio il gruppo di Klein $$\mathbb{Z}{/}_{2\mathbb{Z}}\times \mathbb{Z}{/}_{2\mathbb{Z}}$$ è abeliano di ordine 4 ed è il minore gruppo abeliano non ciclico. 

Il prodotto semidiretto generalizza il prodotto diretto: l'operazione di gruppo è definita diversamente, specificando quale omomorfismo $\psi$ la definisca. Ad esempio:

${\mathbb{Z}}_n{⋊}_{\psi }{\mathbb{Z}}_2$

Prodotto libero

Il prodotto libero di $G$ e $H$, denotato come

$$G\ast H$$

è composto da tutte le parole con lettere in $G$ e $H$ a meno di una semplice relazione di equivalenza che permette l'inserimento (o l'eliminazione) di sottoparole del tipo $u^{-1}u$ [1].

Presentazione di un gruppo

Parole

Sia $I$ un insieme. Per ogni elemento $(x,1)\in I\times \{-1,1\}$ è possibile definire un elemento $(x,-1)\in I\times \{-1,1\}$. Chiameremo questi elementi rispettivamente $x$ e $x^{-1}$. Si definisce parola un prodotto formale finito

$h_1{h}_2...h_n$

dove per ogni $j\in \{1,...,n\}$ si ha o $h_j=x$ o $h_j=x^{-1}$. Il prodotto formale di nessun fattore si chiama parola vuota. 

Due parole si dicono equivalenti se generano la stessa parola ridotta, ovvero una parola in cui non esistono elementi $x$ e $x^{-1}$ contigui. Per ottenere una parola ridotta da una parola basta sostituire gli elementi continui con la parola vuota. 

Per brevità di notazione si scrivono le parole

• $x^n=\underset{x\text{ compare }n\text{ volte}}{\underbrace{x...x}}$
• $x^{-n}=\underset{x^{-1}\text{ compare }n\text{ volte}}{\underbrace{x^{-1}...x^{-1}}}$

Gruppo libero

Ora, definiamo il prodotto tra due parole ridotte come la concatenazione delle due parole e la riduzione della parola ottenuta. L'insieme $⟨I⟩$ delle parole ridotte dotato di quest'operazione è definito gruppo libero sull'insieme $I$. Dalla definizione del prodotto segue che

• l'elemento neutro di un gruppo libero è la parola vuota;
• l'elemento inverso di una parola è ottenuta invertendo l'ordine dei fattori scambiati con $x^{-1}$ se sono $x$ e viceversa.

Presentazione

Siano $G$ un insieme, $⟨G⟩$ il gruppo libero e $S\subseteq ⟨G⟩$ un sottoinsieme del gruppo libero formato da parole di $G$. Il gruppo di presentazione $⟨G|S⟩$ è definito come il maggiore gruppo quoziente di $⟨G⟩$ tale che ogni parola di $R$ è identificata con l'unità.

• Gli elementi di $G$ sono detti generatori di $⟨G|S⟩$.
• Gli elementi di $S$ sono detti relatori di $⟨G|S⟩$.

Ogni gruppo ha una presentazione, che è finita se il gruppo è finito.

Riferimenti

[1] Gruppo (matematica) - Wikipedia

Immagini

Figura 1: autore sconosciuto - http://www.galois.ihp.fr/ressources/vie-et-oeuvre-de-galois/vie-galois/biographie/, pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=32365129.

Figura 2: di I, Cronholm144, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2295116.

Figure 3, 4 e 5: generate con Microsoft Paint.