La teoria dei gruppi

Alle basi della matematica moderna: i gruppi

Figura 1: ritratto di Évariste
Galois a 15 anni.

La teoria dei gruppi, di cui Évariste Galois è considerato il padre, nacque nel XIX secolo per lo studio delle equazioni polinomiali. Grazie ai lavori di Galois, Paolo Ruffini e Niels Henrik Abel dimostrarono il teorema di Abel-Ruffini, secondo cui non esistono soluzioni generali espresse tramite radicali di un'equazione polinomiale di grado maggiore o uguale a \(5\).

Sommario

• Definizioni e proprietà
• Definizione
• Permutazioni e gruppo simmetrico
• Fondamenti di teoria dei gruppi
• Omomorfismo e isomorfismo
• Sottogruppo e generatore
• Classe laterale
• Sottogruppo normale
• Gruppo quoziente
• Gruppo ciclico
• Operazioni
• Prodotto diretto e semidiretto
• Prodotto libero
• Presentazione di un gruppo
• Gruppo libero
• Presentazione
• Riferimenti
• Immagini

Definizioni e proprietà

Definizione

Sia \(G\) un insieme in cui sia definita un operazione binaria \(*\). Se quest'operazione è una funzione associa a due elementi  \(a,b \in G\) un elemento \(a*b \in G\) per cui sono soddisfatte le seguenti proprietà [1]:

• Associatività: \(\forall a,b,c \in G \mspace{5mu} (a*b)*c=a*(b*c)\).
• Elemento neutro \(n\): \(\forall a \in G \mspace{3mu} \exists! n\in G: a*n=n*a = a \). L'elemento neutro è unico. Infatti, siano \(n\) e \(m\) elementi neutri di \(G\). Si ha \(n = n*m = m\). A volte si indica l'elemento neutro con \(1_G\)
• Elemento inverso \(a^{-1}\): \(\forall a \in G \mspace{3mu} \exists! a^{-1}\in G: a*a^{-1}=a^{-1}*a = n \). Anche l'elemento inverso è unico per il gruppo. Infatti, dati due elementi neutri \(a^{-1}\) e \(b^{-1}\), grazie alla proprietà associativa si ha \(a^{-1} = a^{-1}*n=a^{-1}*(a*b^{-1})=(a^{-1}*a)*b^{-1}=b^{-1}\).

\(G\) si dice gruppo.

Esistono due tipi di notazione frequentemente usate.

• Nella notazione moltiplicativa il simbolo di operazione \(*\) viene omesso, scrivendo \(a*b\) semplicemente come \(ab\). In tal caso si usa \(1_G\) per indicare l'elemento neutro.
• Nella notazione additiva il simbolo di operazione \(*\) viene indicato con il più \(+\), scrivendo \(a*b\) come \(a+b\). In questa notazione si usa \(0_G\) per indicare l'elemento neutro.

Se anche la proprietà commutativa \(\forall a,b \in G \mspace{5mu} a*n=n*a \) è rispettata, il gruppo si dice abeliano. La cardinalità \(|G|\) del gruppo \(G\) si chiama ordine del gruppo. In base all'ordine i gruppo si classificano in

• finito, se l'ordine è finito;
• infinito, se l'ordine è infinito.

Siano \(a\in G\) e \(z \in \mathbb{Z}\). Le potenze nel gruppo sono definite in modo ricorsivo come segue [1]:

• \(a^0 = n\)
• \(a^z=a*a^{z-1} = \left(a^{-1}\right)^z\)

Dato un luogo geometrico, le sue simmetrie formano un gruppo che rientra nell'insieme dei gruppi di simmetria [1]. Ad esempio, il gruppo di simmetria di un tetraedro ha 24 elementi.

Figura 2: le simmetrie di un tetraedro sono 24: l'identità, 11 rotazioni intorno ad un asse, 6 riflessioni rispetto ad un piano e 6 composizioni di rotazioni e riflessioni.

Le simmetrie di un quadrato formano un gruppo di 8 elementi:

Figura 3: le 8 simmetrie del quadrato.

Un altro esempio di gruppo sono le mosse del cubo di Rubik, chiamato gruppo del cubo di Rubik [1].

Permutazioni e gruppo simmetrico

Figura 4: permutazioni
delle lettere A, B e C.

Prendiamo l'insieme delle lettere \(A = \{e,d,a,n,t\}\). Usante gli elementi di \(A\) si può comporre la parola "tenda". Riorganizzando l'ordine delle lettere possiamo ottenere una seconda parola diversa: "Dante". In generale, dato un insieme \(A\) di cardinalità \(n\), si dice permutazione l'ordine in successione degli elementi di \(A\). In termini matematici, la permutazione è una funzione biiettiva \(p:A \rightarrow A\). Il numero delle permutazioni possibili di \(A\) è pari a \(n!\).

Dato un insieme \(A\), il gruppo delle permutazioni degli elementi di \(A\) si chiama gruppo simmetrico. Solitamente viene indicato con \(S(A)\) o \(\text{Sym}(A)\) [1]. Il più importante gruppo simmetrico è \(S_n\), formato dalle permutazioni dei naturali \(1,...,n\).

Ad esempio, sia \(X = \{\text{A},\text{B},\text{C}\}\) l'insieme delle lettere A, B e C. Il gruppo simmetrico è 

\( \quad S(X)=\{\text{ABC}, \text{BCA}, \text{CAB}, \text{ACB}, \text{BAC}, \text{CBA}\}\)

I gruppi simmetrici di ordine maggiore di due non sono abeliani.

Fondamenti di teoria dei gruppi

Omomorfismo e isomorfismo

Dati due gruppi \((G,*)\) e \((H,\cdot)\), si definisce omomorfismo di tali gruppi la funzione \(f:G \rightarrow H\) compatibile con le strutture di \(G\) e \(H\).

La condizione di compatibilità equivale a chiedere che valga la condizione 

\( \quad \forall a,b \in G \mspace{5mu} f(a*b) = f(a) \cdot f(b)\)

In particolare, se \(f\) è un omomorfismo, allora

• \(f(1_G) = 1_H\)
• \(f(a^{-1})= (f(a))^{-1}\)

Se l'omomorfismo \(f\) è biiettivo, allora si definisce isomorfismo. Intuitivamente, due gruppi isomorfi si possono considerare due facce della stessa medaglia.

Sottogruppo e generatore

Sia \((G,*)\) un gruppo. Un sottoinsieme \(W\) di \(G\) che risulta essere un gruppo rispetto all'operazione  binaria ereditata da \(G\) si dice sottogruppo, si indica come \(\left(W, \ast_{|W \times W}\right)\) e si scrive \(W \leq G\) (o \(W \lt G\), se \(W\) è strettamente contenuto in \(G\)). 

In particolare, \(W\) è un sottogruppo se

1. \(1_G \in W\);
2. \(W\) è chiuso rispetto a \(*\).

Ad esempio, i numeri interi divisibili per un naturale \(n\) formano un sottogruppo di \(\mathbb{Z}\), denotato con \(n\mathbb{Z}\). 

Figura 5: sottogruppi del gruppo di simmetria del quadrato.

È possibile che un sottoinsieme \(S\) di \(G\) non sia un sottogruppo. \(S\) in ogni caso è il generatore di un sottogruppo \(K\) di \(G\) formato da tutti i prodotti degli elementi \(s \in S\) e degli inversi \(s^{-1}\). Ad esempio \(S = \{2\}\) genera \(2\mathbb{Z}\), l'insieme dei numeri interi divisibili per \(2\).

Ogni elemento \(g\) di un gruppo moltiplicativo \(G\) genera un sottogruppo \( K = \{...,g^{-2},g^{-1},g^0=1_G,g^1,g^2,...\}\). L'ordine di \(K\) è pari al minimo numero naturale \(n \neq 0\) tale che \(g^n = 1_G\) ed è per definizione l'ordine dell'elemento \(g\). È possibile che tale \(n\) non esista, quindi \(n = \infty\). Se \(G\) è un gruppo additivo, \(n\) deve verificare la condizione \(ng = 0_G\).

Classe laterale

Dato un sottogruppo \(K\) del gruppo \(G\), si definiscono la

• classe laterale sinistra \(gK = \{g*k : k \in K \} \)
• classe laterale destra \(Kg = \{k*g : k \in K \} \)

Le classi laterali possono essere pensate come una traslazione di \(K\) per un elemento \(g \in G\) verso destra o sinistra e costituiscono una partizione di \(G\). Due qualsiasi classi laterali sinistre (destre) \(g_1K\) e \(g_2 K\) coincidono se e solo se \(g_1^{-1}g_2 \in K\) e hanno la stessa cardinalità. 

Sottogruppo normale

Se \(G\) non è abeliano, è possibile che le classi laterali sinistre e destre non coincidano, ovvero è possibile che

\( \quad \exists g \in G: gK \neq gK \)

Se \(gK=Kg\) per ogni elemento \(g\) di \(G\), \(K\) si dice sottogruppo normale di \(G\) e si scrive \(K \trianglelefteq G\).

$$ K \trianglelefteq G \Leftrightarrow \forall g\in G \mspace{5mu} gK=Kg $$

Se \(K\) è un sottogruppo normale, allora non ha senso distinguere le classi laterali in destre e sinistre.

Se \(G\) è abeliano, tutti i sottogruppi \(K\) sono normali.

Dato un gruppo \(G\), sono sottogruppi normali sé stesso e \(\{n\}\), con \(n\) l'elemento neutro di \(G\). Quest'ultimo viene chiamato sottogruppo banale.

Se un gruppo \(G\) non contiene sottogruppi normali a parte il sottogruppo banale e sé stesso, si dice gruppo semplice.

Gruppo quoziente

Sia \(K\) un sottogruppo normale di \(G\). Si definisce gruppo quoziente \(G/_K\) l'insieme delle classi laterali

$$ G/_K = \{gK : g\in G\} $$

dotato di un'operazione \(\cdot\) ereditata dal gruppo \(G\):

$$ g_1K \cdot g_2 K = (g_1 \cdot g_2)K $$

Nota che 

• la funzione \(f: G \rightarrow G/_K\) tale che \(f(g)=gK\) è un omomorfismo.
• \(nK=K\), dove \(n\) è l'elemento neutro di \(G\), è l'identità di \(G/_K\).
• \(g^{-1}K\), dove \(g^{-1}\) è l'elemento inverso di \(g \in G\), è l'inverso di \(gK\).

Gruppo ciclico

Si dice ciclico il gruppo \(C_n\) che è generato da un suo solo elemento \(g\). Naturalmente, 

• se \(g\) ha ordine finito \(n\), allora \(C_n = \{1_G,g^1,...,g^{n-1}\}\) ed è isomorfo a \(\mathbb{Z}/_{n\mathbb{Z}}\).
• Se \(g\) ha ordine \(\infty\), \(C_\infty\) è isomorfo a \(\mathbb{Z}\).

Ad esempio, le radici seste dell'unità (ovvero i numeri complessi \(z\) tali che \(z^6 = 1\)) formano un gruppo ciclico di ordine \(6\).

Operazioni

Prodotto diretto e semidiretto

Si definisce prodotto diretto di \(G\) e \(H\) il prodotto cartesiano di questi due gruppi:

$$ G \times H $$

• L'ordine di \(G \times H\) è il prodotto degli ordini di \(G\) e di \(H\).
• Se \(G\) e \(H\) sono abeliani, \(G \times H\) è abeliano. Ad esempio il gruppo di Klein $$ \mathbb{Z}/_{2\mathbb{Z}} \times \mathbb{Z}/_{2\mathbb{Z}} $$ è abeliano di ordine 4 ed è il minore gruppo abeliano non ciclico. 

Il prodotto semidiretto generalizza il prodotto diretto: l'operazione di gruppo è definita diversamente, specificando quale omomorfismo \(\psi\) la definisca. Ad esempio:

\( \quad \mathbb{Z}_n  \rtimes_\psi \mathbb{Z}_2 \)

Prodotto libero

Il prodotto libero di \(G\) e \(H\), denotato come

$$ G * H $$

è composto da tutte le parole con lettere in \(G\) e \(H\) a meno di una semplice relazione di equivalenza che permette l'inserimento (o l'eliminazione) di sottoparole del tipo \(u^{-1}u\) [1].

Presentazione di un gruppo

Parole

Sia \(I\) un insieme. Per ogni elemento \((x,1) \in I \times \{-1,1\}\) è possibile definire un elemento \((x,-1) \in I \times \{-1,1\}\). Chiameremo questi elementi rispettivamente \(x\) e \(x^{-1}\). Si definisce parola un prodotto formale finito

\( \quad h_1h_2...h_n\)

dove per ogni \(j \in \{1,...,n\}\) si ha o \(h_j=x\) o \(h_j = x^{-1}\). Il prodotto formale di nessun fattore si chiama parola vuota. 

Due parole si dicono equivalenti se generano la stessa parola ridotta, ovvero una parola in cui non esistono elementi \(x\) e \(x^{-1}\) contigui. Per ottenere una parola ridotta da una parola basta sostituire gli elementi continui con la parola vuota. 

Per brevità di notazione si scrivono le parole

• \(x^n = \underbrace{x...x}_{x\text{ compare } n \text{ volte}}\)
• \(x^{-n} = \underbrace{x^{-1}...x^{-1}}_{x^{-1}\text{ compare } n \text{ volte}}\)

Gruppo libero

Ora, definiamo il prodotto tra due parole ridotte come la concatenazione delle due parole e la riduzione della parola ottenuta. L'insieme \(\langle I \rangle\) delle parole ridotte dotato di quest'operazione è definito gruppo libero sull'insieme \(I\). Dalla definizione del prodotto segue che

• l'elemento neutro di un gruppo libero è la parola vuota;
• l'elemento inverso di una parola è ottenuta invertendo l'ordine dei fattori scambiati con \(x^{-1}\) se sono \(x\) e viceversa.

Presentazione

Siano \(G\) un insieme, \(\langle G \rangle\) il gruppo libero e \(S \subseteq \langle G \rangle\) un sottoinsieme del gruppo libero formato da parole di \(G\). Il gruppo di presentazione \( \langle G | S \rangle \) è definito come il maggiore gruppo quoziente di \(\langle G \rangle\) tale che ogni parola di \(R\) è identificata con l'unità.

• Gli elementi di \(G\) sono detti generatori di \( \langle G | S \rangle \).
• Gli elementi di \(S\) sono detti relatori di \( \langle G | S \rangle \).

Ogni gruppo ha una presentazione, che è finita se il gruppo è finito.

Riferimenti

[1] Gruppo (matematica) - Wikipedia

Immagini

Figura 1: autore sconosciuto - http://www.galois.ihp.fr/ressources/vie-et-oeuvre-de-galois/vie-galois/biographie/, pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=32365129.

Figura 2: di I, Cronholm144, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2295116.

Figure 3, 4 e 5: generate con Microsoft Paint.