Le matrici
Nel post sugli spazi vettoriali abbiamo citato un particolare spazio vettoriale:
In questo post esploreremo la teoria sul calcolo matriciale. Se non l'hai ancora fatto, ti consiglio di dare una letta al post sui campi e sugli spazi vettoriali.
Sommario
- Cos'è una matrice?
- Operazioni con le matrici
- Somma
- Moltiplicazione per elemento
- Moltiplicazione tra matrici
- Somma diretta
- Spazio delle matrici
Cos'è una matrice?
Intuitivamente abbiamo tutti in mente cosa significhi "matrice". Al suono di questa parola pensiamo subito a un reticolo. Ebbene, in matematica la matrice è molto somigliante a una tabella in cui sono disposti oggetti matematici su
Dato un insieme
Questa funzione associa a una coppia di numeri naturali
La matrice
Alcune definizioni utili:
- Una matrice può essere considerata come un insieme di vettori colonna. La colonna
-esima si indica con e la matrice si può scrivere come Analogamente se ne può indicare l' -esima riga con e scrivere la matrice come - Un vettore è considerabile come una matrice
. Nel linguaggio delle matrici, una matrice si chiama vettore colonna o matrice colonna mentre una matrice si chiama vettore riga o matrice riga. - Gli elementi
formano la diagonale principale.
Per esempio, in questa matrice
D'ora in avanti studieremo le matrici i cui elementi appartengono a un gruppo
Operazioni con le matrici
Vediamo subito le operazioni definite con le matrici.
Trasposizione
Dato l'insieme
tale che, data la matrice
In parole povere, le posizioni di riga e colonna vengono invertite per ogni elemento.
Ad esempio:
Somma
Dato un gruppo additivo
Attenzione! Perché la somma sia definita, le matrici
L'elemento neutro è la matrice nulla
Se il gruppo è abeliano, allora la somma è commutativa:
Se il gruppo è associativo, allora anche la somma delle matrici è associativa:
La differenza tra le matrici
Un esempio con matrici in
Moltiplicazione per elemento
Dati un gruppo moltiplicativo
Analogamente si può definire la matrice
L'elemento neutro è
Se il gruppo è abeliano, allora il prodotto è commutativo:
Se il gruppo è associativo, allora il prodotto è pseudoassociativo:
Se il gruppo è distributivo, allora il prodotto è pseudodistributivo:
Un esempio con matrici in
Moltiplicazione tra matrici
Dati un anello
Attenzione! Perché il prodotto sia definito,
L'operazione
È possibile definire la potenza
L'elemento neutro è la matrice identità
La moltiplicazione per la matrice nulla restituisce la matrice nulla:
In generale la moltiplicazione tra matrici
- non è commutativa:
- è distributiva:
- è associativa:
Un esempio con matrici in
Somma diretta
Come esiste una somma diretta per gli spazi vettoriali, possiamo definire una somma diretta anche per le matrici. Sia
La somma diretta
Attenzione! La matrice sopra può non essere quadrata. Le sue dimensioni sono
In generale la somma diretta di
Spazio delle matrici
Come già affermato nell'introduzione, le matrici di
Esercizio 1: riesci a dimostrarlo?
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