Matesica

Cos'è il determinante? Tutto ciò che devi sapere "determinante", molte volte avrai sentito e visto questa parola nei corsi di geometria analitica, di meccanica razionale, di analisi, etc. Saresti in grado di spiegare di che si tratta? Se la risposta è "no", allora sei nel post giusto! Il determinante è una parte molto importante della matematica e se ne fa largo uso nella maggior parte delle scienze matematiche. Conoscere la sua definizione e le sue proprietà deve far parte del bagaglio culturale di qualsiasi studente di ingegneria, matematica o fisica. Nonostante la lunghezza di questo post, che si prefigge l'obiettivo di essere un mega-riassunto, alcune dimostrazioni sono tralasciate e, se sei interessato a conoscerle, potrai trovarle nei prossimi post, in cui tratterò gli argomenti in dettaglio. Sommario Definizione Significato geometrico Definizione per assiomi Determinante di una matrice \(2 \times 2\) Definizione costruttiva - la formula di Leibniz Det

La formula di De Moivre Figura 1: ritratto di Abraham de Moivre. La formula di De Moivre , in onore al matematico francese Abraham de Moivre, permette di calcolare agilmente la potenza \(n\)-esima di un numero complesso \(z\). Sebbene sia facilmente derivabile dalla formula di Eulero, storicamente fu scoperta per prima e per questo motivo ne daremo una dimostrazione per induzione.  Sommario La formula Dimostrazione Trovare le radici di \(z\) Formula generale Radici dell'unità La formula Sia \(z = r( \cos \phi + i \sin \phi)\) un numero complesso di modulo \(r\) e anomalia \(\phi\). La potenza \(n\)-esima di \(z\) è $$ z^n = r^n (\cos (n\phi) + i \sin (n \phi)) $$ Nota che se volessimo calcolare la potenza in coordinate cartesiane \((x+iy)^n\) dovremmo usare il teorema binomiale, complicando notevolmente i calcoli. Dimostrazione Dimostriamola per induzione su \(n \in \mathbb{N}\). Per \(n = 0\) la formula è verificata: \( \quad z^0 = r^0(\cos (0\phi) + i \sin (0 \phi) = 1\) Ora, su

Tutto ciò che devi sapere sui numeri complessi Finora abbiamo introdotto nuovi insiemi numerici man mano che si presentava la necessità di risolvere equazioni non risolubili negli insiemi definiti in precedenza. Siamo arrivati a definire i numeri reali, che comprendono i naturali , gli interi , i razionali e gli irrazionali , ma questi non permettono di risolvere la seguente equazione: \( \quad x^2+1=0\) Infatti, non esiste \(x \in \mathbb{R}\) tale che il suo quadrato sia negativo. Dobbiamo ancora allargare, dunque, i nostri insiemi numerici e definire i cosiddetti numeri complessi, il cui insieme si indica con la lettera \(\mathbb{C}\). Sommario Definizione L'unità immaginaria I numeri complessi in forma cartesiana e il piano di Argand-Gauss Altre forme Le operazioni con i complessi Coniugato Inverso Somma Prodotto Rapporto Proprietà Applicazioni Immagini Definizione L'unità immaginaria Iniziamo la definizione dei numeri complessi introducendo l' unità immaginaria come l