Cos'è il determinante? Tutto ciò che devi sapere
"determinante", molte volte avrai sentito e visto questa parola nei corsi di geometria analitica, di meccanica razionale, di analisi, etc. Saresti in grado di spiegare di che si tratta? Se la risposta è "no", allora sei nel post giusto!
Il determinante è una parte molto importante della matematica e se ne fa largo uso nella maggior parte delle scienze matematiche. Conoscere la sua definizione e le sue proprietà deve far parte del bagaglio culturale di qualsiasi studente di ingegneria, matematica o fisica. Nonostante la lunghezza di questo post, che si prefigge l'obiettivo di essere un mega-riassunto, alcune dimostrazioni sono tralasciate e, se sei interessato a conoscerle, potrai trovarle nei prossimi post, in cui tratterò gli argomenti in dettaglio.
Sommario
- Definizione
- Significato geometrico
- Definizione per assiomi
- Determinante di una matrice
- Definizione costruttiva - la formula di Leibniz
- Determinante di una matrice
- Primo teorema di Laplace
- Determinante di matrice
- Proprietà
- Matrice trasposta
- Teorema di Binet
- Matrice triangolare
- Matrice diagonale o diagonalizzabile
- Immagini
Definizione
Significato geometrico
Sia
Ad esempio, la matrice
avrà determinante
Corrispondente all'area del parallelogramma i cui vertici sono i punti
Se hai letto bene, ho parlato di volume orientato. Perché "orientato"? Cosa significa che un volume è "orientato"? Dalle scuole medie il professore ti ha detto che il volume è sempre positivo. Ebbene, questo non è del tutto vero. Infatti, possiamo assegnare un segno al volume che dipenda dalla base degli
Attenzione! Dirò un'ovvietà, ma potresti non averci fatto caso: si può calcolare il determinante solo di una matrice quadrata!
Definizione per assiomi
Ora che abbiamo stabilito cosa sia il determinante, iniziamo a darne una definizione formale. In un primo momento possiamo redigere una definizione per assiomi.
Definizione 1: Il determinante
- il determinante della matrice identità
è - date le matrici
e lo scalare , - Se
si ottiene scambiando due righe o due colonne di , allora . - Se
si ottiene moltiplicando una riga o una colonna di per , allora . - Se
si ottiene sommando una riga o una colonna di per un'altra riga o colonna di rispettivamente, allora .
Avrai subito riconosciuto che gli ultimi tre punti sono le mosse dell'algoritmo di Gauss.
Il primo assioma è intuitivo: le colonne della matrice identità, qualunque sia la sua dimensione, sono i versori della base canonica, pertanto il parallelepipedo
Analizziamo ora i punti del secondo assioma. Uno scambio di colonne consiste sostanzialmente in una permutazione dispari dei vettori della base, ottenendo una base a diversa orientazione, il che significa che dovrò cambiare il segno al determinante, dato che l'orientamento del parallelepipedo
La moltiplicazione di una colonna o di una riga per uno scalare
L'ultimo punto del secondo assioma è meno intuitivo e per spiegarlo ti chiedo di tornare alla matrice
Ora, scriviamo la matrice
Calcoliamone ora il determinante come area del parallelogramma :
A volte il determinante di una matrice
Determinante di una matrice
Abbiamo detto che il determinante di una matrice
Scriviamo qui i vettori colonna:
Usiamo la Figura 1 per chiarire la nostra situazione.
Figura 1 |
L'obiettivo è trovare l'area azzurra. Per farlo sottraiamo all'area del rettangolo con vertici opposti i vettori
Figura 2 |
In conclusione:
Cosa succede quando scambiamo le colonne
Cosa succede, invece, quando sommiamo una riga con un'altra? Vediamolo con un paio di calcoli. Sommiamo, ad esempio, la seconda colonna alla prima:
Quando si sommano le righe, viene sommata e sottratta un'area
Definizione costruttiva - la formula di Leibniz
Il determinante di una matrice quadrata
dove
è una permutazione dell'insieme dei primi numeri naturali (escluso lo ); è l'insieme delle permutazioni ; è il segno della permutazione ; è l' -esimo elemento della permutazione .
Attenzione! La formula di Leibniz è una definizione: non ha bisogno di essere dimostrata.
È subito chiaro che la complessità computazionale del determinante con la formula di Leibniz cresce molto rapidamente al crescere di
Se non hai capito come si applica la formula, non preoccuparti: vediamo subito un esempio nel prossimo paragrafo.
Esercizio 1: prova a calcolare il determinante della matrice
Esercizio 2: la formula di Leibniz rispetta gli assiomi definiti nel paragrafo precedente?
Determinante di una matrice
Sia
Calcoliamone il determinante con la formula di Leibniz:
. La permutazione è ottenuta per scambi, quindi è pari. . La permutazione è ottenuta per scambio, quindi è dispari. . La permutazione è ottenuta per scambio, quindi è dispari. . La permutazione è ottenuta per scambi, quindi è pari. . La permutazione è ottenuta per scambi, quindi è pari. . La permutazione è ottenuta per scambio, quindi è dispari.
Attenzione! Preferisco chiarirlo prima di proseguire: quelli che abbiamo appena trovato sono tutti e i soli elementi dell'insieme
Ora possiamo esplicitare la sommatoria:
Ottimo! Manca un ultimo passaggio. Esplicitiamo il segno della permutazione e sostituiamo quei
In conclusione si ottiene:
Salta subito all'occhio la difficoltà computazionale per arrivare al risultato e la complessità di quest'ultimo, nonostante stiamo parlando di una matrice
Primo teorema di Laplace
Non si può parlare di determinante senza citare il primo teorema di Laplace (anche detto sviluppo di Laplace). La prima parte del teorema di Laplace garantisce una formula efficace per matrici piccole o contenenti molti zeri.
Data una matrice
la matrice che si ottiene cancellando l' -esima riga e la -esima colonna dalla matrice ; minore complementare dell'elemento ; cofattore o complemento algebrico dell'elemento .
Se è tutto chiaro, arriviamo ora alla formula vera e propria. Fissata una riga
oppure, equivalentemente, fissata una colonna
So che a prima vista sembra complicata. Analizziamo la prima formula e vediamo da cos'è composta.
Vediamone subito un'applicazione nel prossimo paragrafo
Determinante di matrice
Sia
Innanzitutto, scegliamo una riga (prendiamo la prima, ad esempio, fissando
Esplicitiamo la sommatoria:
Vediamo come si calcolano i minori complementari. Per ottenere la matrice
Il determinante di questa matrice
Allo stesso modo si calcolano gli altri minori complementari, ottenendo:
Si tratta di una formula molto lunga, ma, come si vede da una prima analisi, segue la forma che si raggiungerebbe con la formula di Leibniz. Guarda, ad esempio, il primo termine
Esercizio 3: gli altri termini corrispondono a quelli che si otterrebbero con Leibniz? Prova a calcolare il determinante della matrice
Proprietà
Matrice trasposta
Teorema 1: il determinante è invariante rispetto alla trasposizione:
Questo primo risultato importante ha un spiegazione piuttosto semplice. Supponiamo di calcolare il determinante con lo sviluppo di Laplace secondo fissando la prima riga. Dopo aver trasposto la matrice, basta calcolare il determinante fissando la prima colonna per ottenere gli stessi identici calcoli. In formule:
Il teorema di Binet
Oltre alle proprietà che definiscono il determinante, la prima proprietà che segnalo è il teorema di Binet. Questo teorema si traduce nella seguente formula:
e ci dice che il determinante della moltiplicazione di matrici è pari alla moltiplicazione dei determinanti delle matrici. Questo teorema è importantissimo e permette di dimostrare altre proprietà del determinante.
La prima tra queste è il determinante della matrice inversa, pari all'inverso del determinante della matrice. Infatti, se una matrice
Ne si conclude che
Teorema 2: il determinante di una matrice invertibile è diverso da
Quindi, se una matrice ha determinante nullo, sappiamo subito che non è invertibile.
Presentiamo qua altri due importanti corollari del teorema di Binet .
Teorema 3: il determinante è invariante per similitudine di matrici.
Questo perché, se
Teorema 4: il determinante di una matrice
Questo fatto è una diretta conseguenza del secondo assioma che definisce il determinante. Moltiplicare per
Teorema 5: il determinante di una matrice ortogonale
Se una matrice
da cui segue che
Matrice triangolare
Teorema 6: il determinante di una matrice triangolare
Dimostriamo il Teorema 6 per induzione su
Quindi il teorema è verificato per
Supponiamo che il teorema sia verificato per
abbia determinante pari a
e calcoliamo il determinante di una matrice triangolare
Estraiamo dalla sommatoria il primo addendo:
Ora, poni attenzione al prossimo passaggio.
è il determinante della matrice a cui sono state tolte la prima riga e la prima colonna. è, dunque, una matrice e per l'ipotesi induttiva il suo determinante è è il determinante della matrice a cui sono state tolte la prima riga e la -esima colonna. è, dunque, una matrice con la prima colonna composta da soli e il suo determinante è (per ipotesi induttiva)
In conclusione:
QED
Matrice diagonale o diagonalizzabile
Dal Teorema 6 segue che il determinante di una matrice diagonale
Nota che da questo teorema segue che il determinante della matrice identità
Combinando questo risultato col Teorema 3, possiamo scrivere il settimo teorema:
Teorema 7: il determinante di una matrice diagonalizzabile
Ciò è vero perché se
Immagini
Figure 1 e 2: generate con Microsoft OneNote e Paint.
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