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Lo studio di funzione

Cos'è e a cosa serve lo studio di funzione?  Lo studio di funzione è un importante strumento dell'analisi matematica per poter comprendere al meglio le caratteristiche di una funzione. Ne discende che chiunque lavori nell'ambito delle scienze esatte deve padroneggiare l'abilità di studiare una funzione. In questo post vedremo come si fa uno studio di funzione, a una o più variabili, portando due esempi. Inoltre, vedremo in qual modo lo studio di una funzione possa essere applicato a un caso reale. Studio di funzione: come si fa? Lo studio di una funzione reale a variabili reali deve passare per i seguenti passi in modo ordinato: Dominio e l'immagine : ponendo le condizioni di esistenza della funzione f:D→C si può comprendere quale sia il suo dominio naturale D. Inoltre, non meno importante è studiare quale sia l'immagine Im, che può darci utili informazioni. Simmetrie : cerchia...
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La regola di Sarrus

La regola di Sarrus

Abbiamo visto cos'è il determinante di una matrice quadrata. Le matrici 3×3 sono molto frequenti in fisica, ma il loro determinante è molto lungo da calcolare. Esiste, tuttavia, una scorciatoia mnemonica per ricordarsi la formula: la regola di Sarrus, in onore del matematico francese Pierre Frederic Sarrus. Vediamola.

Prerequisiti:

Sommario

  • La regola di Sarrus
    • Metodo 1 - riorganizzazione orizzontale
    • Metodo 2 - riorganizzazione verticale
    • Metodo 3 - riorganizzazione a farfalla
  • Immagini
  • Riferimenti

La regola di Sarrus

Data una matrice

A=[[A]1,1[A]1,2[A]1,3[A]2,1[A]2,2[A]2,3[A]3,1[A]3,2[A]3,3]∈K3×3

a valori su un campo K ne abbiamo calcolato il determinante con la formula di Leibniz, ottenendo

(1)detA=[A]1,1[A]2,2[A]3,3−[A]1,2[A]2,1[A]3,3−[A]1,1[A]2,3[A]3,2+[A]1,2[A]2,3[A]3,1+[A]1,3[A]2,1[A]3,2−[A]1,3[A]2,2[A]3,1

La formula è molto lunga, ma c'è un metodo rapido per ricordarla, di cui presentiamo tre varianti.

Metodo 1 - riorganizzazione orizzontale

Riscrivi le prime due colonne della matrice a destra di quest'ultima:

[[A]1,1[A]1,2[A]1,3[A]2,1[A]2,2[A]2,3[A]3,1[A]3,2[A]3,3][A]1,1[A]1,2[A]2,1[A]2,2[A]3,1[A]3,2

Ora, somma le moltiplicazioni dei termini sulle diagonali verso destra e sottrai per la somma delle moltiplicazioni dei termini sulle diagonali verso sinistra:

Otterrai

detA=[A]1,1[A]2,2[A]3,3+[A]1,2[A]2,3[A]3,1+[A]1,3[A]2,1[A]3,2−([A]1,2[A]2,1[A]3,3+[A]1,1[A]2,3[A]3,2+[A]1,3[A]2,2[A]3,1)

ovvero la formula (1).

Metodo 2 - riorganizzazione verticale

Riscrivi le prime due righe della matrice sotto quest'ultima:

[[A]1,1[A]1,2[A]1,3[A]2,1[A]2,2[A]2,3[A]3,1[A]3,2[A]3,3][A]1,1[A]1,2[A]1,3[A]2,1[A]2,2[A]2,3

Ora, come prima, somma le moltiplicazioni dei termini sulle diagonali verso destra e sottrai per la somma delle moltiplicazioni dei termini sulle diagonali verso sinistra:

Otterrai

detA=[A]1,1[A]2,2[A]3,3+[A]2,1[A]3,2[A]1,3+[A]3,1[A]1,2[A]2,3−([A]1,3[A]2,2[A]3,1+[A]2,3[A]3,2[A]1,1+[A]3,3[A]1,2[A]2,1)

ovvero la formula (1).

Metodo 3 - riorganizzazione a farfalla

Il metodo a farfalla non prevede la riscrittura di righe o colonne. Si eseguono le moltiplicazioni seguendo l'ordine indicato nella figura sottostante:

[[A]1,1[A]1,2[A]1,3[A]2,1[A]2,2[A]2,3[A]3,1[A]3,2[A]3,3]

Come puoi notare, le linee formano una figura che ricordano le ali di una farfalla.

Otterrai

detA=[A]1,1[A]2,2[A]3,3+[A]1,2[A]2,3[A]3,1+[A]2,1[A]3,2[A]1,3−([A]1,3[A]2,2[A]3,1+[A]1,2[A]2,1[A]3,3+[A]2,3[A]3,2[A]1,1)

ovvero la formula (1).

Immagini

Figure 1, 2 e 3: generate con Microsoft Paint.

Riferimenti

Rule of Sarrus - Wikipedia


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