La regola di Sarrus

Abbiamo visto cos'è il determinante di una matrice quadrata. Le matrici \(3 \times 3\) sono molto frequenti in fisica, ma il loro determinante è molto lungo da calcolare. Esiste, tuttavia, una scorciatoia mnemonica per ricordarsi la formula: la regola di Sarrus, in onore del matematico francese Pierre Frederic Sarrus. Vediamola.

Prerequisiti:

• determinante
• matrice

Sommario

• La regola di Sarrus
• Metodo 1 - riorganizzazione orizzontale
• Metodo 2 - riorganizzazione verticale
• Metodo 3 - riorganizzazione a farfalla
• Immagini
• Riferimenti

La regola di Sarrus

Data una matrice

\( \quad A = \left[ \begin{array}{ccc} [A]_{1,1} & [A]_{1,2} & [A]_{1,3} \\  [A]_{2,1} &  [A]_{2,2} & [A]_{2,3} \\ [A]_{3,1} & [A]_{3,2} & [A]_{3,3} \end{array} \right] \in \mathbb{K}^{3 \times 3} \)

a valori su un campo \(\mathbb{K}\) ne abbiamo calcolato il determinante con la formula di Leibniz, ottenendo

$$ \begin{array}{rl} \det A & = [A]_{1,1}[A]_{2,2}[A]_{3,3} - [A]_{1,2}[A]_{2,1}[A]_{3,3}  \\ & - [A]_{1,1}[A]_{2,3}[A]_{3,2} + [A]_{1,2}[A]_{2,3}[A]_{3,1} \\ & + [A]_{1,3}[A]_{2,1}[A]_{3,2}  - [A]_{1,3}[A]_{2,2}[A]_{3,1} \end{array} \tag{1}\label{eq1} $$

La formula è molto lunga, ma c'è un metodo rapido per ricordarla, di cui presentiamo tre varianti.

Metodo 1 - riorganizzazione orizzontale

Riscrivi le prime due colonne della matrice a destra di quest'ultima:

\( \quad \left[ \begin{array}{ccc} [A]_{1,1} & [A]_{1,2} & [A]_{1,3} \\  [A]_{2,1} &  [A]_{2,2} & [A]_{2,3} \\ [A]_{3,1} & [A]_{3,2} & [A]_{3,3} \end{array} \right] \begin{array}{cc} [A]_{1,1} & [A]_{1,2} \\  [A]_{2,1} &  [A]_{2,2} \\ [A]_{3,1} & [A]_{3,2} \end{array} \)

Ora, somma le moltiplicazioni dei termini sulle diagonali verso destra e sottrai per la somma delle moltiplicazioni dei termini sulle diagonali verso sinistra:

Otterrai

\( \quad \begin{array}{rl} \det A & = [A]_{1,1} [A]_{2,2} [A]_{3,3} + [A]_{1,2} [A]_{2,3} [A]_{3,1} \\ & + [A]_{1,3} [A]_{2,1} [A]_{3,2} - ( [A]_{1,2} [A]_{2,1} [A]_{3,3} \\ & + [A]_{1,1} [A]_{2,3} [A]_{3,2} + [A]_{1,3} [A]_{2,2} [A]_{3,1}) \end{array} \)

ovvero la formula \(\eqref{eq1}\).

Metodo 2 - riorganizzazione verticale

Riscrivi le prime due righe della matrice sotto quest'ultima:

\( \quad \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{ccc} [A]_{1,1} & [A]_{1,2} & [A]_{1,3} \\  [A]_{2,1} &  [A]_{2,2} & [A]_{2,3} \\ [A]_{3,1} & [A]_{3,2} & [A]_{3,3} \end{array} \right] \\ \begin{array}{ccc} [A]_{1,1} & [A]_{1,2} & [A]_{1,3} \\  [A]_{2,1} &  [A]_{2,2} & [A]_{2,3}  \end{array}   \end{array} \)

Ora, come prima, somma le moltiplicazioni dei termini sulle diagonali verso destra e sottrai per la somma delle moltiplicazioni dei termini sulle diagonali verso sinistra:

Otterrai

\( \quad \begin{array}{rl} \det A & = [A]_{1,1} [A]_{2,2} [A]_{3,3} + [A]_{2,1} [A]_{3,2} [A]_{1,3} \\ & + [A]_{3,1} [A]_{1,2} [A]_{2,3} - ( [A]_{1,3} [A]_{2,2} [A]_{3,1} \\ & + [A]_{2,3} [A]_{3,2} [A]_{1,1} + [A]_{3,3} [A]_{1,2} [A]_{2,1}) \end{array} \)

ovvero la formula \(\eqref{eq1}\).

Metodo 3 - riorganizzazione a farfalla

Il metodo a farfalla non prevede la riscrittura di righe o colonne. Si eseguono le moltiplicazioni seguendo l'ordine indicato nella figura sottostante:

\( \quad \left[ \begin{array}{ccc} [A]_{1,1} & [A]_{1,2} & [A]_{1,3} \\  [A]_{2,1} &  [A]_{2,2} & [A]_{2,3} \\ [A]_{3,1} & [A]_{3,2} & [A]_{3,3} \end{array} \right] \)

Come puoi notare, le linee formano una figura che ricordano le ali di una farfalla.

Otterrai

\( \quad \begin{array}{rl} \det A & = [A]_{1,1} [A]_{2,2} [A]_{3,3} + [A]_{1,2} [A]_{2,3} [A]_{3,1} \\ & + [A]_{2,1} [A]_{3,2} [A]_{1,3} - ( [A]_{1,3} [A]_{2,2} [A]_{3,1} \\ & + [A]_{1,2} [A]_{2,1} [A]_{3,3} + [A]_{2,3} [A]_{3,2} [A]_{1,1} ) \end{array} \)

ovvero la formula \(\eqref{eq1}\).

Immagini

Figure 1, 2 e 3: generate con Microsoft Paint.

Riferimenti

Rule of Sarrus - Wikipedia