La media aritmetica e ponderata - quanto influisce un voto sulla media?

Quanto devo prendere per...

A scuola, nel periodo in cui s'intravedeva la pagella avvicinarsi all'orizzonte, ci siamo tutti chiesti la fatidica domanda:

Quanto devo prendere per arrivare alla sufficienza?

Vediamo come si calcola in questo post!

Sommario

• Media aritmetica
• Con un voto
• Con due voti
• Con $m$ voti
• Media ponderata
• Con un voto
• Con $m$ voti
• Dimostrazione dell'equazione
• Immagini

Media aritmetica

Con un voto

Formula

Ci sono diversi modi per valutare uno studente. Il metodo più utilizzato nelle scuole di grado inferiore all'università è sicuramente la media aritmetica. Dati $n$ voti $v_1,...,v_n$, la media aritmetica $M_a$ si calcola per definizione come rapporto tra la somma dei voti e il loro numero:

$$M_a:={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{v}_i={\displaystyle \frac{v_1+v_2+...+v_n}{n}}$$

Ora, supponiamo di avere già quegli $n$ voti e che prossimamente sia programmata una verifica. Il voto $v_{n+1}$ della verifica sarà l'$n+1$-esimo. Quanto devo prendere per riuscire ad avere una certa media $M_a$? Basta utilizzare la formula inversa della definizione:

$$\begin{array}{}\text{(2)}& v_{n+1}=(n+1)M_a-\sum _{i=1}^n{v}_i\end{array}$$

Esempio

Ad esempio, i voti di Marco in storia siano $4,5,4,6$. La media sarebbe:

$M_a={\displaystyle \frac{4+5+4+6}{4}}={\displaystyle \frac{19}{4}}=4.75$

Per riuscire a ottenere la media del $6$ dovrei prendere nella prossima verifica un voto $v$ pari a:

$v=(4+1)6-(4+5+4+6)=11$

Naturalmente, non è possibile prendere $11$ dal momento che i voti nella scuola italiana vengono assegnati con un massimo pari a $10$. Quindi, cosa significa? Se il voto $v$ è maggiore di $10$, ciò significa che è impossibile ottenere la media desiderata con un solo voto: potrebbero servirne di più.

Con due voti

Formula

Proviamo a vedere come diventa il calcolo se avessi bisogno di due voti per raggiungere una certa media aritmetica. Supponiamo di voler utilizzare i voti $v_{n+1}$ e $v_{n+2}$ delle due prossime verifiche. Una volta ottenuti i due voti, la media aritmetica $M_a$ si calcola per definizione come

$M_a:={\displaystyle \frac{1}{n+2}}\sum _{i=1}^{n+2}{v}_i={\displaystyle \frac{1}{n+2}}(\sum _{i=1}^n{v}_i+v_{n+1}+v_{n+2})$

Dunque, esiste la seguente relazione tra la media $M_a$ futura e i prossimi due voti:

$$\begin{array}{}\text{(3)}& v_{n+1}+v_{n+2}=(n+2)M_a-\sum _{i=1}^n{v}_i\end{array}$$

Non avendo altre condizioni sui voti $v_{n+1}$ e $v_{n+2}$ a parte quella per cui i due voti siano multipli di $0.25$ e che siano compresi tra $0$ e $10$, in generale esistono molteplici combinazioni possibili per soddisfare l'equazione $\text{(3)}$ (ricorda che hai già preso gli $n$ voti $v_1,...,v_n$, dunque il secondo membro dell'equazione è un numero!). 

È molto semplice dimostrare che la combinazione di voti $v_{n+1}$ e $v_{n+2}$ che minimizza lo sforzo è quella in cui i due voti siano uguali ($v_{n+1}=v_{n+2}$). In tal caso, si ha

$$v_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}((n+2)M_a-\sum _{i=1}^n{v}_i)$$

Esercizio 1: dimostra che la combinazione in cui $v_{n+1}=v_{n+2}$ è quella che minimizza lo sforzo, ovvero che permette di avere i voti minori da prendere.

Esempio

Torniamo all'esempio di Marco nel paragrafo precedente. Abbiamo visto che con i voti in storia $4,5,4,6$ non potrei avere la media del $6$ neanche prendendo $10$ nella prossima verifica. Vediamo, invece, come potrei arrivare al $6$ con le prossime due verifiche:

$v={\displaystyle \frac{1}{2}}((4+2)6-(4+5+4+6))=8.5$

Prendendo due volte otto e mezzo Marco arriverebbe alla sufficienza nella media.

Con $m$ voti

Formula

E se fosse troppo difficile prendere otto e mezzo due volte? Posso pur sempre aumentare il numero di voti da prendere per raggiungere il mio obiettivo. Proviamo a generalizzare il metodo precedente, usando un certo numero $m$ di voti da prendere invece che due.

Immagina di aver già preso gli $n$ voti $v_1,...,v_n$ e di voler dedicare le prossime $m$ verifiche al raggiungimento di una certa media $M_a$. Se immaginiamo di aver già preso questi $m$ voti $v_{n+1},...,v_{n+m}$, la media si calcola come segue:

$M_a:={\displaystyle \frac{1}{n+m}}\sum _{i=1}^{n+m}{v}_i={\displaystyle \frac{1}{n+m}}(\sum _{i=1}^n{v}_i+\sum _{j=n+1}^{n+m}{v}_j)$

Pertanto, decisa la media obiettivo $M_a$, deve valere l'equazione

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \sum _{j=n+1}^{n+m}{v}_j=(n+m)M_a-\sum _{i=1}^n{v}_i\end{array}$$

Di nuovo esistono in generale moltissime possibili combinazioni dei voti $v_{n+1},...,v_{n+m}$ che soddisfano la relazione $\text{(4)}$, ma la combinazione meno onerosa è quella in cui gli $m$ voti sono tutti uguali. In tal caso, il primo voto che dovresti prendere (e, quindi, anche i restanti) dovrebbe essere:

$$v_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{m}}((n+m)M_a-\sum _{i=1}^n{v}_i)$$

Qual è la parte interessante? Che il voto $v_{n+1}$ che dovresti prendere diminuisce con l'aumentare del numero $m$ di prossimi voti che investirai nel raggiungimento della media desiderata $M_a$!

Esercizio 2: prova a dimostrarlo ;)

Esempio

Torniamo a Marco: Marco decide che arrivare a otto e mezzo per due volte è troppo ambizioso. Invece, vuole investire i suoi prossimi $4$ voti nel raggiungimento della sufficienza. Qual è il voto che per le prossime quattro verifiche dovrebbe prendere?

$v={\displaystyle \frac{1}{4}}((4+4)6-(4+5+4+6))=7.25$

Con quattro 7+ Marco arriverebbe alla sufficienza.

Quanti voti?

Formula

Proviamo, ora, a ribaltare la prospettiva. Invece di chiederci quale siano i prossimi voti che dovrei prendere, chiediamoci: "per quante volte dovrei prendere un certo voto $v$ per arrivare alla media sperata?"

L'incognita adesso non è $v$, ma è $m$! Per rispondere a questa domanda possiamo, pertanto, risolvere l'equazione $\text{(4)}$ per $m$ ponendo tutti i voti $v_{n+1},...,v_{n+m}$ pari al voto $v$ che voglio prendere:

$$m={\displaystyle \frac{1}{v-M_a}}(n{M}_a-\sum _{i=1}^n{v}_i)$$

Esempio

Tornando a Marco, Marco ha deciso che vuole raggiungere la media del $6$ a forza di $7$. Quandi $7$ dovrebbe prendere per arrivare alla sufficienza?

$m={\displaystyle \frac{1}{7-6}}(4\cdot 6-(4+5+4+6))=5$

Marco dovrebbe prendere $5$ volte $7$ per arrivare al $6$ nella media.

Media ponderata

Con un voto

Formula

Nelle università la storia è diversa. Il metodo di valutazione utilizzato nelle università è la media ponderata. Dati i voti $v_1,...,v_n$ con i relativi pesi ${\sigma }_1,...,{\sigma }_n$ (che potrebbero essere, ad esempio, i CFU dei relativi esami) la media ponderata si calcola come

$$\begin{array}{}\text{(5)}& M_p:={\displaystyle \frac{\sum _{i=1}^n{\sigma }_i{v}_i}{\sum _{j=1}^n{\sigma }_j}}\end{array}$$

Si chiama "ponderata" appunto perché maggiore è il peso ${\sigma }_i$ rispetto agli altri, più il corrispettivo voto $v_i$ avrà influenza sulla media.

Come nel capitolo precedente, supponiamo di avere già quegli $n$ voti nel nostro libretto e che prossimamente sia programmato un esame. Quale dovrebbe essere il prossimo voto $v_{n+1}$ (con peso ${\sigma }_{n+1}$) per arrivare alla media $M_p$? Per rispondere è sufficiente calcolare la media, supponendo di conoscere questo voto, e poi risolvere rispetto a lui:

$$\begin{array}{}\text{(6)}& v_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{{\sigma }_{n+1}}}(\left(\sum _{j=1}^{n+1}{\sigma }_j\right)M_p-\sum _{i=1}^n{\sigma }_i{v}_i)\end{array}$$

Esempio

Ad esempio, Marco è arrivato all'università e ora studia alla facoltà di storia. Sul libretto ha già quattro esami con i voti $18,19,22,23$, con i valori in CFU rispettivamente di $9,9,3,6$. La sua media ponderata attuale è circa $19.89$ e vorrebbe portarla a $21$. Il prossimo esame è da $6$ CFU. Quale voto dovrebbe prendere?

$v={\displaystyle \frac{1}{6}}((9+9+3+6+6)21-(9\cdot 18+9\cdot 19+3\cdot 22+6\cdot 23))=26$

Con $m$ voti

Formula

Se $26$ fosse un voto troppo alto da raggiungere, Marco potrebbe utilizzare i prossimi $m$ voti per abbassare l'asticella. Supponiamo di aver già i voti $v_1,...,v_n$ con i relativi pesi ${\sigma }_1,...,{\sigma }_n$ sul libretto e di voler investire i prossimi $m$ voti $v_{n+1},...,v_{n+m}$ con i relativi pesi ${\sigma }_{n+1},...,{\sigma }_{n+m}$ per raggiungere la media ponderata $M_p$ desiderata. La relazione che esiste tra i voti $v_{n+1},...,v_{n+m}$ e la media obiettivo $M_p$ è

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \sum _{k=n+1}^{n+m}{\sigma }_k{v}_k=\left(\sum _{j=1}^{n+m}{\sigma }_j\right)M_p-\sum _{i=1}^n{\sigma }_i{v}_i\end{array}$$

Per comodità chiamiamo nell'equazione $\text{(7)}$ il secondo membro $p:=\left(\sum _{j=1}^{n+m}{\sigma }_j\right)M_p-\sum _{i=1}^n{\sigma }_i{v}_i$, che è un numero noto, poiché già sono noti per ipotesi la media $M_p$ desiderata, i voti $v_1,...,v_n$ con i relativi pesi ${\sigma }_1,...,{\sigma }_n$ registrati nel libretto e i pesi ${\sigma }_{n+1},...,{\sigma }_{n+m}$ dei prossimi voti.

Naturalmente, vogliamo minimizzare lo sforzo cercando i minimi voti $v_{n+1},...,v_{n+m}$ che permettano di rendere vera l'uguaglianza $\text{(7)}$. Questi sono:

$$\{\begin{array}{l}{v}_{n+1}={\displaystyle \frac{p}{q}}{\sigma }_{n+1}\\ v_{n+2}={\displaystyle \frac{p}{q}}{\sigma }_{n+2}\\ ⋮\\ v_{n+m}={\displaystyle \frac{p}{q}}{\sigma }_{n+m}\end{array}$$

dove $q:=\sum _{k=n+1}^{n+m}{\sigma }_k^2$. Per i più curiosi lascio nel prossimo paragrafo la dimostrazione 😉.

Nota che $p$ dipende dalla media $M_p$ che ti poni come obiettivo, mentre $q$ dipende solo dal peso dei prossimi esami.

Esempio

Torniamo ancora una volta a Marco. Marco decide che $26$ è fuori dalla sua portata e decide di usare la prossima sessione di $3$ esami per raggiungere il suo obiettivo: la media del $21$. Questi esami sono storia antica, storia medievale e storia contemporanea, con CFU rispettivamente $6,12,9$. Il coefficiente $p$ per l'obiettivo che si è posto Marco è

$p:=(\underset{\text{CFU degli esami già dati}}{\underbrace{9+9+3+6}}+\underset{\text{CFU dei prossimi esami}}{\underbrace{6+12+9}})21-(9\cdot 18+9\cdot 19+3\cdot 22+6\cdot 23)=597$

Mentre il coefficiente $q$ degli esami è

$q:=6^2+{12}^2+9^2=261$

I voti $v_{\text{sto. ant.}},v_{\text{sto. med.}},v_{\text{sto. con.}}$ che dovrebbe prendere sono:

$\{\begin{array}{l}{v}_{\text{sto. ant.}}={\displaystyle \frac{527}{261}}6\approx 13.73\\ v_{\text{sto. med.}}={\displaystyle \frac{527}{261}}12\approx 27.45\\ v_{\text{sto. con.}}={\displaystyle \frac{527}{261}}9\approx 20.59\end{array}$

Dunque, prendendo $14$ in storia antica, $28$ in storia medievale, e $21$ in storia contemporanea, Marco avrebbe raggiunto almeno la media del $21$. Ovviamente, Marco non può prendere $14$ in storia antica, perché l'esame non sarebbe superato. Quel $14$ significa che può permettersi un voto molto basso in quell'esame. Dunque? Si rifà il calcolo supponendo di aver preso il minimo per superare quell'esame: $18$. In tal caso i coefficienti $p$ e $q$ valgono

$p:=(\underset{\text{CFU degli esami già dati}}{\underbrace{9+9+3+6+6}}+\underset{\text{CFU dei prossimi esami}}{\underbrace{12+9}})21-(9\cdot 18+9\cdot 19+3\cdot 22+6\cdot 23+6\cdot 18)=489$

$q:=6^2+{12}^2+9^2+6^2=297$

I voti $v_{\text{sto. med.}},v_{\text{sto. con.}}$ che dovrebbe prendere sono:

$\{\begin{array}{l}{v}_{\text{sto. med.}}={\displaystyle \frac{489}{297}}12\approx 19.76\\ v_{\text{sto. con.}}={\displaystyle \frac{489}{297}}9\approx 14.82\end{array}$

I voti (arrotondati per eccesso) sarebbero un $20$ in storia medievale e un $15$ in storia contemporanea. Ancora una volta, il $15$ non è accettabile, quindi supponiamo che Marco prenda $18$ in storia contemporanea e calcoliamo il voto che dovrebbe prendere in storia medievale (questa volta con la formula $\text{(6)}$).

$$v_{\text{sto. med.}}={\displaystyle \frac{1}{12}}((9+9+3+6+6+12+9)21-(9\cdot 18+9\cdot 19+3\cdot 22+6\cdot 23+6\cdot 18+9\cdot 18))=27.25$$

Marco dovrebbe arrivare a un $28$ in storia medievale. 

Riassumendo: prendendo $18$ in storia antica e in storia contemporanea e un $28$ in storia medievale, Marco arriverebbe alla media del $21$. Nel caso di Marco un $28$ in storia contemporanea, un esame da $12$ CFU, non è più semplice di un $26$ in storia antica, quindi:

• da un lato, se l'obiettivo di Marco è semplicemente arrivare alla media del $21$, gli basta prendere $26$ in storia antica ($6$ CFU), ma poi sarà più difficile mantenere questa media.
• dall'altro, se l'obiettivo di Marco è arrivare e mantenere la media del $21$, allora prendere $28$ in storia medievale gli permetterebbe di arrivare semplicemente al $18$ nei restanti due esami.

Come si può vedere, l'equazione $\text{(7)}$ non implica necessariamente prendere un voto minore, ma minimizza lo sforzo utilizzando gli esami di peso maggiore. In conclusione, è uno strumento di pianificazione.

Dimostrazione dell'equazione $\text{(7)}$

Se ammettiamo per semplicità computazionale che i voti $v_{n+1},...,v_{n+m}$ assumano valori reali, l'equazione $\text{(7)}$ corrisponde all'equazione cartesiana di un iperpiano $\alpha$ nello spazio euclideo ${\mathcal{E}}_m$ su ${\mathbb{R}}^m$. Dunque, la combinazione di voti $v_{n+1},...,v_{n+m}$ che minimizza questi voti e che mi permetta di raggiungere la media $M_p$ è quella del punto di ${\mathcal{E}}_n$, le cui coordinate nella base canonica siano i voti $v_{n+1},...,v_{n+m}$, appartenente all'iperpiano $\alpha$ la cui distanza euclidea dall'origine $O$ sia minima.

Il punto $H$ di $\alpha$ che soddisfa questa condizione è quello dato dall'intersezione di $\alpha$ con la sua retta $r$ normale passante per l'origine. L'equazione parametrica di questa retta è

$$\begin{array}{}\text{(8)}& r:P=O+\lambda \mathbf{n}\end{array}$$

dove $\mathbf{n}=({\sigma }_{n+1},...,{\sigma }_{n+m}{)}^T$ è il vettore normale all'iperpiano $\alpha$ e $\lambda \in \mathbb{R}$ è un coefficiente. In forma esplicita:

$r:\left[\begin{array}{c}{v}_{n+1}\\ v_{n+2}\\ ⋮\\ v_{n+m}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\lambda {\sigma }_{n+1}\\ \lambda {\sigma }_{n+2}\\ ⋮\\ \lambda {\sigma }_{n+m}\end{array}\right]$ 

Il punto $H$, essendo per definizione l'intersezione tra $r$ e $\alpha$, deve soddisfare sia l'equazione $\text{(7)}$, sia l'equazione $\text{(8)}$. Pertanto, deve valere il sistema di equazioni

$\{\begin{array}{l}{v}_{n+1}=\lambda {\sigma }_{n+1}\\ v_{n+2}=\lambda {\sigma }_{n+2}\\ ⋮\\ v_{n+m}=\lambda {\sigma }_{n+m}\\ \sum _{k=n+1}^{n+m}{\sigma }_k{v}_k=p\end{array}$

Sostituendo i valori di $v_{n+1},...,v_{n+m}$ nell'equazione $\text{(7)}$ si ottiene:

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \lambda ={\displaystyle \frac{p}{q}}\end{array}$$

dove $q:=\sum _{k=n+1}^{n+m}{\sigma }_k^2$. Segue la tesi:

$H-O=\lambda \sigma$

con $\lambda$ dato dalla $\text{(9)}$ e $\sigma =({\sigma }_{n+1},...,{\sigma }_{n+m}{)}^T$ il vettore dei pesi.

Influenza di un voto sulla media

Media aritmetica

Ora, proviamo a porci un'altra domanda, una domanda di tipo qualitativo: data una successione di voti $v_1,...,v_n$ quanto influenza la media un nuovo voto $v_{n+1}$? Per rispondere dobbiamo innanzitutto capire cosa si intende per "influenza". Definiamo $M_a(n)$ la media aritmetica degli $n$ voti $v_1,...,v_n$ e $M_a(n+1)$ la media aritmetica degli $n+1$ voti $v_1,...,v_n,v_{n+1}$. La variazione della media si calcola come 

$\mathrm{\Delta }{M}_a=M_a(n+1)-M_a(n):={\displaystyle \frac{1}{n+1}}\sum _{i=1}^{n+1}{v}_i-{\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{v}_i=({\displaystyle \frac{1}{n+1}}-{\displaystyle \frac{1}{n}})\sum _{i=1}^n{v}_i+{\displaystyle \frac{v_{n+1}}{n+1}}$

Definiamo, poi, l'influenza $i$ del voto $v_{n+1}$ la variazione percentuale della media che questo voto provoca.

$$i\left(v_{n+1}\right):={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }{M}_a}{M_a(n)}}={\displaystyle \frac{n}{n+1}}(1+{\displaystyle \frac{v_{n+1}}{\sum _{i=1}^n{v}_i}})-1$$

Come si nota dalla formula qui sopra, l'influenza $i$ è lineare nel nuovo voto $v_{n+1}$ e diminuisce rapidamente all'aumentare del numero di voti $n$ già registrati, fino a diventare nulla per un numero teoricamente infinito di voti.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}i=0$

Infatti, il termine $\frac{n}{n+1}$ tende a $1$, mentre la sommatoria $\sum _{i=1}^n{v}_i$ tende a infinito, essendo i termini $v_i$ compresi tra $0$ e $10$, quindi il rapporto $\frac{v_{n+1}}{\sum _{i=1}^n{v}_i}$ tende a $0$.

Per comprendere meglio quale sia l'influenza di un nuovo voto $v$, torniamo all'esempio di Marco, i cui voti in storia siano $4,5,4,6$. L'influenza di $v$ sulla media di Marco sarebbe

$i(v)={\displaystyle \frac{4}{4+1}}(1+{\displaystyle \frac{v}{4+5+4+6}})-1={\displaystyle \frac{4}{5}}(1+{\displaystyle \frac{v}{19}})-1$

Guardando il grafico si nota come:

• uno 0 diminuirebbe la media del 20%;
• un 5- (4,75) manterrebbe la media uguale.
• un 10 aumenterebbe la media del 22,11%.

Immagini

Foto di intestazione: di Annie Spratt, https://unsplash.com/@anniespratt.