La media aritmetica e ponderata - quanto influisce un voto sulla media?

Quanto devo prendere per...

A scuola, nel periodo in cui s'intravedeva la pagella avvicinarsi all'orizzonte, ci siamo tutti chiesti la fatidica domanda:

Quanto devo prendere per arrivare alla sufficienza?

Vediamo come si calcola in questo post!

Sommario

• Media aritmetica
• Con un voto
• Con due voti
• Con \(m\) voti
• Media ponderata
• Con un voto
• Con \(m\) voti
• Dimostrazione dell'equazione
• Immagini

Media aritmetica

Con un voto

Formula

Ci sono diversi modi per valutare uno studente. Il metodo più utilizzato nelle scuole di grado inferiore all'università è sicuramente la media aritmetica. Dati \(n\) voti \(v_1,...,v_n\), la media aritmetica \(M_a\) si calcola per definizione come rapporto tra la somma dei voti e il loro numero:

$$ M_a := \dfrac 1n \sum\limits_{i=1}^n v_i = \dfrac{v_1 + v_2 + ... + v_n}{n}$$

Ora, supponiamo di avere già quegli \(n\) voti e che prossimamente sia programmata una verifica. Il voto \(v_{n+1}\) della verifica sarà l'\(n+1\)-esimo. Quanto devo prendere per riuscire ad avere una certa media \(M_a\)? Basta utilizzare la formula inversa della definizione:

$$ v_{n+1} = (n+1) M_a - \sum\limits_{i=1}^{n} v_i  \tag{2} \label{eq2} $$

Esempio

Ad esempio, i voti di Marco in storia siano \(4,5,4,6\). La media sarebbe:

\( \quad M_a = \dfrac{4+5+4+6}{4} = \dfrac {19}4 = 4.75 \)

Per riuscire a ottenere la media del \(6\) dovrei prendere nella prossima verifica un voto \(v\) pari a:

\( \quad v = (4+1) 6 - ( 4+5+4+6 ) = 11 \)

Naturalmente, non è possibile prendere \(11\) dal momento che i voti nella scuola italiana vengono assegnati con un massimo pari a \(10\). Quindi, cosa significa? Se il voto \(v\) è maggiore di \(10\), ciò significa che è impossibile ottenere la media desiderata con un solo voto: potrebbero servirne di più.

Con due voti

Formula

Proviamo a vedere come diventa il calcolo se avessi bisogno di due voti per raggiungere una certa media aritmetica. Supponiamo di voler utilizzare i voti \(v_{n+1}\) e \(v_{n+2}\) delle due prossime verifiche. Una volta ottenuti i due voti, la media aritmetica \(M_a\) si calcola per definizione come

\( \quad M_a := \dfrac 1{n+2} \sum\limits_{i=1}^{n+2} v_i = \dfrac 1{n+2} \left( \sum\limits_{i=1}^{n} v_i + v_{n+1} + v_{n+2} \right) \)

Dunque, esiste la seguente relazione tra la media \(M_a\) futura e i prossimi due voti:

$$ v_{n+1} + v_{n+2} = (n+2) M_a - \sum\limits_{i=1}^{n} v_i \tag{3} \label{eq3} $$

Non avendo altre condizioni sui voti \(v_{n+1}\) e \(v_{n+2}\) a parte quella per cui i due voti siano multipli di \(0.25\) e che siano compresi tra \(0\) e \(10\), in generale esistono molteplici combinazioni possibili per soddisfare l'equazione \(\eqref{eq3}\) (ricorda che hai già preso gli \(n\) voti \(v_1,...,v_n\), dunque il secondo membro dell'equazione è un numero!). 

È molto semplice dimostrare che la combinazione di voti \(v_{n+1}\) e \(v_{n+2}\) che minimizza lo sforzo è quella in cui i due voti siano uguali (\(v_{n+1}=v_{n+2}\)). In tal caso, si ha

$$ v_{n+1} = \dfrac 12 \left((n+2) M_a - \sum\limits_{i=1}^{n} v_i  \right) $$

Esercizio 1: dimostra che la combinazione in cui \(v_{n+1}=v_{n+2}\) è quella che minimizza lo sforzo, ovvero che permette di avere i voti minori da prendere.

Esempio

Torniamo all'esempio di Marco nel paragrafo precedente. Abbiamo visto che con i voti in storia \(4,5,4,6\) non potrei avere la media del \(6\) neanche prendendo \(10\) nella prossima verifica. Vediamo, invece, come potrei arrivare al \(6\) con le prossime due verifiche:

\( \quad v = \dfrac 12 \left((4+2) 6 - ( 4+5+4+6 ) \right) = 8.5 \)

Prendendo due volte otto e mezzo Marco arriverebbe alla sufficienza nella media.

Con \(m\) voti

Formula

E se fosse troppo difficile prendere otto e mezzo due volte? Posso pur sempre aumentare il numero di voti da prendere per raggiungere il mio obiettivo. Proviamo a generalizzare il metodo precedente, usando un certo numero \(m\) di voti da prendere invece che due.

Immagina di aver già preso gli \(n\) voti \(v_1,...,v_n\) e di voler dedicare le prossime \(m\) verifiche al raggiungimento di una certa media \(M_a\). Se immaginiamo di aver già preso questi \(m\) voti \( v_{n+1},...,v_{n+m} \), la media si calcola come segue:

\( \quad M_a := \dfrac 1{n+m} \sum\limits_{i=1}^{n+m} v_i = \dfrac 1{n+m} \left( \sum\limits_{i=1}^{n} v_i + \sum\limits_{j=n+1}^{n+m} v_j  \right) \)

Pertanto, decisa la media obiettivo \(M_a\), deve valere l'equazione

$$ \sum\limits_{j=n+1}^{n+m} v_j = (n+m) M_a - \sum\limits_{i=1}^{n} v_i \tag{4} \label{eq4} $$

Di nuovo esistono in generale moltissime possibili combinazioni dei voti \( v_{n+1},...,v_{n+m} \) che soddisfano la relazione \(\eqref{eq4}\), ma la combinazione meno onerosa è quella in cui gli \(m\) voti sono tutti uguali. In tal caso, il primo voto che dovresti prendere (e, quindi, anche i restanti) dovrebbe essere:

$$ v_{n+1} = \dfrac 1m \left((n+m) M_a - \sum\limits_{i=1}^{n} v_i  \right) $$

Qual è la parte interessante? Che il voto \(v_{n+1}\) che dovresti prendere diminuisce con l'aumentare del numero \(m\) di prossimi voti che investirai nel raggiungimento della media desiderata \(M_a\)!

Esercizio 2: prova a dimostrarlo ;)

Esempio

Torniamo a Marco: Marco decide che arrivare a otto e mezzo per due volte è troppo ambizioso. Invece, vuole investire i suoi prossimi \(4\) voti nel raggiungimento della sufficienza. Qual è il voto che per le prossime quattro verifiche dovrebbe prendere?

\( \quad v = \dfrac 14 \left((4+4) 6 - ( 4+5+4+6 ) \right) = 7.25 \)

Con quattro 7+ Marco arriverebbe alla sufficienza.

Quanti voti?

Formula

Proviamo, ora, a ribaltare la prospettiva. Invece di chiederci quale siano i prossimi voti che dovrei prendere, chiediamoci: "per quante volte dovrei prendere un certo voto \(v\) per arrivare alla media sperata?"

L'incognita adesso non è \(v\), ma è \(m\)! Per rispondere a questa domanda possiamo, pertanto, risolvere l'equazione \(\eqref{eq4}\) per \(m\) ponendo tutti i voti \( v_{n+1},...,v_{n+m} \) pari al voto \(v\) che voglio prendere:

$$ m = \dfrac 1{v - M_a} \left( n M_a - \sum\limits_{i=1}^{n} v_i \right) $$

Esempio

Tornando a Marco, Marco ha deciso che vuole raggiungere la media del \(6\) a forza di \(7\). Quandi \(7\) dovrebbe prendere per arrivare alla sufficienza?

\( \quad m = \dfrac 1{7 - 6} \left( 4 \cdot 6 - ( 4+5+4+6 ) \right) = 5 \)

Marco dovrebbe prendere \(5\) volte \(7\) per arrivare al \(6\) nella media.

Media ponderata

Con un voto

Formula

Nelle università la storia è diversa. Il metodo di valutazione utilizzato nelle università è la media ponderata. Dati i voti \(v_1,...,v_n\) con i relativi pesi \(\sigma_1,...,\sigma_n\) (che potrebbero essere, ad esempio, i CFU dei relativi esami) la media ponderata si calcola come

$$ M_p := \dfrac {\sum\limits_{i=1}^n \sigma_i v_i}{\sum\limits_{j=1}^n \sigma_j} \tag{5} \label{eq5} $$

Si chiama "ponderata" appunto perché maggiore è il peso \(\sigma_i\) rispetto agli altri, più il corrispettivo voto \(v_i\) avrà influenza sulla media.

Come nel capitolo precedente, supponiamo di avere già quegli \(n\) voti nel nostro libretto e che prossimamente sia programmato un esame. Quale dovrebbe essere il prossimo voto \(v_{n+1}\) (con peso \(\sigma_{n+1}\)) per arrivare alla media \(M_p\)? Per rispondere è sufficiente calcolare la media, supponendo di conoscere questo voto, e poi risolvere rispetto a lui:

$$ v_{n+1} = \dfrac{1}{\sigma_{n+1}} \left( \left( \sum\limits_{j=1}^{n+1}\sigma_j \right) M_p - \sum\limits_{i=1}^n \sigma_i v_i \right) \tag{6} \label{eq6} $$

Esempio

Ad esempio, Marco è arrivato all'università e ora studia alla facoltà di storia. Sul libretto ha già quattro esami con i voti \(18, 19, 22, 23\), con i valori in CFU rispettivamente di \(9,9,3,6\). La sua media ponderata attuale è circa \(19.89\) e vorrebbe portarla a \(21\). Il prossimo esame è da \(6\) CFU. Quale voto dovrebbe prendere?

\( \quad v = \dfrac{1}{6} \left( \left( 9+9+3+6+6 \right) 21 - \left( 9 \cdot 18 + 9 \cdot 19 + 3 \cdot 22 + 6 \cdot 23 \right) \right) = 26 \)

Con \(m\) voti

Formula

Se \(26\) fosse un voto troppo alto da raggiungere, Marco potrebbe utilizzare i prossimi \(m\) voti per abbassare l'asticella. Supponiamo di aver già i voti \(v_1,...,v_n\) con i relativi pesi \(\sigma_1,...,\sigma_n\) sul libretto e di voler investire i prossimi \(m\) voti \(v_{n+1},...,v_{n+m}\) con i relativi pesi \(\sigma_{n+1},...,\sigma_{n+m}\) per raggiungere la media ponderata \(M_p\) desiderata. La relazione che esiste tra i voti \(v_{n+1},...,v_{n+m}\) e la media obiettivo \(M_p\) è

$$  \sum\limits_{k=n+1}^{n+m} \sigma_k v_k = \left( \sum\limits_{j=1}^{n+m} \sigma_j \right) M_p - \sum\limits_{i=1}^{n} \sigma_i v_i \tag{7} \label{eq7} $$

Per comodità chiamiamo nell'equazione \(\eqref{eq7}\) il secondo membro \( p:= \left( \sum\limits_{j=1}^{n+m} \sigma_j \right) M_p - \sum\limits_{i=1}^{n} \sigma_i v_i  \), che è un numero noto, poiché già sono noti per ipotesi la media \(M_p\) desiderata, i voti \(v_1,...,v_n\) con i relativi pesi \(\sigma_1,...,\sigma_n\) registrati nel libretto e i pesi \(\sigma_{n+1},...,\sigma_{n+m}\) dei prossimi voti.

Naturalmente, vogliamo minimizzare lo sforzo cercando i minimi voti \(v_{n+1},...,v_{n+m}\) che permettano di rendere vera l'uguaglianza \(\eqref{eq7}\). Questi sono:

$$ \begin{cases} v_{n+1} = \dfrac pq \sigma_{n+1} \\ v_{n+2} = \dfrac pq \sigma_{n+2} \\ \vdots \\ v_{n+m} = \dfrac pq \sigma_{n+m} \end{cases} $$

dove \(q := \sum\limits_{k=n+1}^{n+m} \sigma_k^2\). Per i più curiosi lascio nel prossimo paragrafo la dimostrazione 😉.

Nota che \(p\) dipende dalla media \(M_p\) che ti poni come obiettivo, mentre \(q\) dipende solo dal peso dei prossimi esami.

Esempio

Torniamo ancora una volta a Marco. Marco decide che \(26\) è fuori dalla sua portata e decide di usare la prossima sessione di \(3\) esami per raggiungere il suo obiettivo: la media del \(21\). Questi esami sono storia antica, storia medievale e storia contemporanea, con CFU rispettivamente \(6,12,9\). Il coefficiente \(p\) per l'obiettivo che si è posto Marco è

\( \quad p := \left( \underbrace{9+9+3+6}_{\text{CFU degli esami già dati}} + \underbrace{6+12+9}_{\text{CFU dei prossimi esami}} \right) 21 - \left( 9 \cdot 18 + 9 \cdot 19 + 3 \cdot 22 + 6 \cdot 23 \right) = 597  \)

Mentre il coefficiente \(q\) degli esami è

\( \quad q := 6^2 + 12^2 + 9^2 = 261 \)

I voti \(v_{\text{sto. ant.}},v_{\text{sto. med.}},v_{\text{sto. con.}}\) che dovrebbe prendere sono:

\( \quad \begin{cases} v_{\text{sto. ant.}} = \dfrac {527}{261} 6 \approx 13.73 \\ v_{\text{sto. med.}} = \dfrac {527}{261} 12 \approx 27.45 \\ v_{\text{sto. con.}} = \dfrac {527}{261} 9 \approx 20.59 \end{cases} \)

Dunque, prendendo \(14\) in storia antica, \(28\) in storia medievale, e \(21\) in storia contemporanea, Marco avrebbe raggiunto almeno la media del \(21\). Ovviamente, Marco non può prendere \(14\) in storia antica, perché l'esame non sarebbe superato. Quel \(14\) significa che può permettersi un voto molto basso in quell'esame. Dunque? Si rifà il calcolo supponendo di aver preso il minimo per superare quell'esame: \(18\). In tal caso i coefficienti \(p\) e \(q\) valgono

\( \quad p := \left( \underbrace{9+9+3+6+6}_{\text{CFU degli esami già dati}} + \underbrace{12+9}_{\text{CFU dei prossimi esami}} \right) 21 - \left( 9 \cdot 18 + 9 \cdot 19 + 3 \cdot 22 + 6 \cdot 23 + 6 \cdot 18 \right) = 489 \)

\( \quad q := 6^2 + 12^2 + 9^2 + 6^2 = 297 \)

I voti \(v_{\text{sto. med.}},v_{\text{sto. con.}}\) che dovrebbe prendere sono:

\( \quad \begin{cases} v_{\text{sto. med.}} = \dfrac {489}{297} 12 \approx 19.76 \\ v_{\text{sto. con.}} = \dfrac {489}{297} 9 \approx 14.82 \end{cases} \)

I voti (arrotondati per eccesso) sarebbero un \(20\) in storia medievale e un \(15\) in storia contemporanea. Ancora una volta, il \(15\) non è accettabile, quindi supponiamo che Marco prenda \(18\) in storia contemporanea e calcoliamo il voto che dovrebbe prendere in storia medievale (questa volta con la formula \(\eqref{eq6}\)).

$$ v_{\text{sto. med.}} = \dfrac{1}{12} \left( \left( 9+9+3+6+6+12+9 \right) 21 - \left( 9 \cdot 18 + 9 \cdot 19 + 3 \cdot 22 + 6 \cdot 23 + 6 \cdot 18 + 9 \cdot 18 \right) \right) = 27.25 $$

Marco dovrebbe arrivare a un \(28\) in storia medievale. 

Riassumendo: prendendo \(18\) in storia antica e in storia contemporanea e un \(28\) in storia medievale, Marco arriverebbe alla media del \(21\). Nel caso di Marco un \(28\) in storia contemporanea, un esame da \(12\) CFU, non è più semplice di un \(26\) in storia antica, quindi:

• da un lato, se l'obiettivo di Marco è semplicemente arrivare alla media del \(21\), gli basta prendere \(26\) in storia antica (\(6\) CFU), ma poi sarà più difficile mantenere questa media.
• dall'altro, se l'obiettivo di Marco è arrivare e mantenere la media del \(21\), allora prendere \(28\) in storia medievale gli permetterebbe di arrivare semplicemente al \(18\) nei restanti due esami.

Come si può vedere, l'equazione \(\eqref{eq7}\) non implica necessariamente prendere un voto minore, ma minimizza lo sforzo utilizzando gli esami di peso maggiore. In conclusione, è uno strumento di pianificazione.

Dimostrazione dell'equazione \(\eqref{eq7}\)

Se ammettiamo per semplicità computazionale che i voti \(v_{n+1},...,v_{n+m}\) assumano valori reali, l'equazione \(\eqref{eq7}\) corrisponde all'equazione cartesiana di un iperpiano \(\alpha\) nello spazio euclideo \(\mathcal{E}_m\) su \(\mathbb{R}^m\). Dunque, la combinazione di voti \(v_{n+1},...,v_{n+m}\) che minimizza questi voti e che mi permetta di raggiungere la media \(M_p\) è quella del punto di \(\mathcal{E}_n\), le cui coordinate nella base canonica siano i voti \(v_{n+1},...,v_{n+m}\), appartenente all'iperpiano \(\alpha\) la cui distanza euclidea dall'origine \(O\) sia minima.

Il punto \(H\) di \(\alpha\) che soddisfa questa condizione è quello dato dall'intersezione di \(\alpha\) con la sua retta \(r\) normale passante per l'origine. L'equazione parametrica di questa retta è

$$ r: P = O + \lambda \mathbf{n} \tag{8} \label{eq8} $$

dove \(\mathbf{n} = (\sigma_{n+1},...,\sigma_{n+m})^T\) è il vettore normale all'iperpiano \(\alpha\) e \(\lambda \in \mathbb{R}\) è un coefficiente. In forma esplicita:

\( \quad r: \left[ \begin{array}{c} v_{n+1} \\ v_{n+2} \\ \vdots \\ v_{n+m} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \lambda \sigma_{n+1} \\ \lambda \sigma_{n+2} \\ \vdots \\ \lambda \sigma_{n+m} \end{array} \right] \) 

Il punto \(H\), essendo per definizione l'intersezione tra \(r\) e \(\alpha\), deve soddisfare sia l'equazione \(\eqref{eq7}\), sia l'equazione \(\eqref{eq8}\). Pertanto, deve valere il sistema di equazioni

\( \quad \begin{cases} v_{n+1} = \lambda \sigma_{n+1} \\ v_{n+2} = \lambda \sigma_{n+2} \\ \vdots \\ v_{n+m} = \lambda \sigma_{n+m} \\ \sum\limits_{k=n+1}^{n+m} \sigma_k v_k = p \end{cases} \)

Sostituendo i valori di \(v_{n+1},...,v_{n+m}\) nell'equazione \(\eqref{eq7}\) si ottiene:

$$ \lambda = \dfrac pq \tag{9} \label{eq9} $$

dove \(q := \sum\limits_{k=n+1}^{n+m} \sigma_k^2\). Segue la tesi:

\( \quad H - O =  \lambda \sigma \)

con \(\lambda\) dato dalla \(\eqref{eq9}\) e \(\sigma = (\sigma_{n+1},...,\sigma_{n+m})^T\) il vettore dei pesi.

Influenza di un voto sulla media

Media aritmetica

Ora, proviamo a porci un'altra domanda, una domanda di tipo qualitativo: data una successione di voti \(v_1,...,v_n\) quanto influenza la media un nuovo voto \(v_{n+1}\)? Per rispondere dobbiamo innanzitutto capire cosa si intende per "influenza". Definiamo \(M_a (n)\) la media aritmetica degli \(n\) voti \(v_1,...,v_n\) e \(M_a (n+1)\) la media aritmetica degli \(n+1\) voti \(v_1,...,v_n,v_{n+1}\). La variazione della media si calcola come 

\( \quad \Delta M_a = M_a (n+1) - M_a (n) :=  \dfrac 1{n+1} \sum\limits_{i=1}^{n+1} v_i - \dfrac 1n \sum\limits_{i=1}^n v_i = \left( \dfrac 1{n+1} - \dfrac 1n \right) \sum\limits_{i=1}^{n} v_i + \dfrac {v_{n+1}}{n+1}  \)

Definiamo, poi, l'influenza \(i\) del voto \(v_{n+1}\) la variazione percentuale della media che questo voto provoca.

$$ i \left(v_{n+1} \right) := \dfrac{\Delta M_a}{M_a (n)} = \dfrac n{n+1} \left( 1 + \dfrac{v_{n+1}}{ \sum\limits_{i=1}^n v_i } \right) - 1 $$

Come si nota dalla formula qui sopra, l'influenza \(i\) è lineare nel nuovo voto \(v_{n+1}\) e diminuisce rapidamente all'aumentare del numero di voti \(n\) già registrati, fino a diventare nulla per un numero teoricamente infinito di voti.

\( \quad \lim\limits_{n \rightarrow \infty} i = 0 \)

Infatti, il termine \(\frac{n}{n+1}\) tende a \(1\), mentre la sommatoria \(\sum\limits_{i=1}^n v_i \) tende a infinito, essendo i termini \(v_i\) compresi tra \(0\) e \(10\), quindi il rapporto \(\frac{v_{n+1}}{ \sum\limits_{i=1}^n v_i }\) tende a \(0\).

Per comprendere meglio quale sia l'influenza di un nuovo voto \(v\), torniamo all'esempio di Marco, i cui voti in storia siano \(4,5,4,6\). L'influenza di \(v\) sulla media di Marco sarebbe

\( \quad i(v) = \dfrac 4{4+1} \left( 1 + \dfrac{v}{ 4+5+4+6} \right) - 1 = \dfrac 45 \left( 1 + \dfrac{v}{19} \right) - 1 \)

Guardando il grafico si nota come:

• uno 0 diminuirebbe la media del 20%;
• un 5- (4,75) manterrebbe la media uguale.
• un 10 aumenterebbe la media del 22,11%.

Immagini

Foto di intestazione: di Annie Spratt, https://unsplash.com/@anniespratt.