Il sistema di coordinate cartesiane

Le coordinate cartesiane

Quello cartesiano è uno dei sistemi maggiormente usati nelle scienze matematiche e fisiche. L'idea risale al matematico e filosofo francese René Descartes (italianizzato in Renato Cartesio) nel 1637 [1], il quale propose di individuare un punto su un piano mediante l'utilizzo di due rette che s'intersecano.

Figura 1: ritratto di René Descartes.

In questo post andremo a vedere come si definisce questo sistema di riferimento, quali sono le coordinate dei suoi elementi e quale forma assumano gli operatori differenziali.

Sommario

• Definizione
• $n$ dimensioni
• $1$ dimensione
• $2$ dimensioni
• $3$ dimensioni
• Operatori differenziali
• $n$ dimensioni
• $3$ dimensioni
• Differenziali
• In \(\mathbb{R}^3)
• In ${\mathbb{R}}^n$
• Riferimenti
• Immagini

Definizione

$n$ dimensioni

Forma un sistema di riferimento cartesiano di uno spazio euclideo $(V,\cdot )$ una base ortonormale $\mathcal{B}=\{{\hat{\mathbf{e}}}_1,...,{\hat{\mathbf{e}}}_n\}$. Si può facilmente dimostrare che i versori ${\hat{\mathbf{e}}}_1,...,{\hat{\mathbf{e}}}_n$ siano linearmente indipendenti, poiché sono ortogonali per ipotesi. Infatti, sia 

$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\overrightarrow{\mathbf{v}}}_i=\overrightarrow{\mathbf{0}}$

una combinazione lineare nulla di $n$ vettori ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_1,...,{\overrightarrow{\mathbf{v}}}_n$ ortogonali. Si ha

$\mathrm{\forall }j\in \{1,...,n\}0={\overrightarrow{\mathbf{v}}}_j\cdot \overrightarrow{\mathbf{0}}={\overrightarrow{\mathbf{v}}}_j\cdot \underset{={\alpha }_j{\overrightarrow{\mathbf{v}}}_j+\sum _{\begin{array}{c}i=1\\ i\ne j\end{array}}^n{\alpha }_i{\overrightarrow{\mathbf{v}}}_i}{\underbrace{\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\overrightarrow{\mathbf{v}}}_i}}=$${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_j\cdot {\alpha }_j{\overrightarrow{\mathbf{v}}}_j+\underset{\begin{array}{c}=0\\ \text{perché i vettori }{\overrightarrow{\mathbf{v}}}_j\text{ e}\\ {\overrightarrow{\mathbf{v}}}_i\text{ sono ortogonali}\end{array}}{\underbrace{{\overrightarrow{\mathbf{v}}}_j\cdot \sum _{\begin{array}{c}i=1\\ i\ne j\end{array}}^n{\alpha }_i{\overrightarrow{\mathbf{v}}}_i}}$$={\alpha }_j\underset{\ne 0}{\underbrace{{\overrightarrow{\mathbf{v}}}_j\cdot {\overrightarrow{\mathbf{v}}}_j}}\iff {\alpha }_j=0$

Inoltre, si può sempre ottenere una base ortonormale a partire da una base di $n$ vettori linearmente indipendenti di $V$ grazie al procedimento di Gram-Schmidt.

Un vettore $\overrightarrow{\mathbf{x}}$ viene rappresentato nella base $\mathcal{B}$ come una combinazione lineare dei versori della base:

$$\overrightarrow{\mathbf{x}}=\sum _{i=1}^n{x}_i{\hat{\mathbf{e}}}_i$$

I coefficienti $x_1,...,x_n$ si dicono coordinate cartesiane del vettore $\overrightarrow{\mathbf{x}}$ e formano una $n$-upla in ${\mathbb{R}}^n$, da cui segue che esista un isomorfismo $\mathrm{\Phi }:V\to {\mathbb{R}}^n$ che assegna a ogni elemento $\overrightarrow{\mathbf{x}}$ di $V$ le sue coordinate cartesiane:

$\mathrm{\Phi }\left(\overrightarrow{\mathbf{x}}\right)=(x_1,...,x_n)$

Pertanto, si possono facilmente definire le norme $p$ in $V$ e, in particolare, l'equivalenza tra queste norme. Ciò non dovrebbe sorprendere, poiché si può dimostrare che tutte le norme degli spazi vettoriali di dimensione finita sono equivalenti grazie all'isomorfismo con ${\mathbb{R}}^n$.

In particolare, sono molto importanti il prodotto scalare euclideo $\cdot :V\times V\to \mathbb{R}$, definito come

$$\overrightarrow{\mathbf{x}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{y}}={\overrightarrow{\mathbf{x}}}^T\overrightarrow{\mathbf{y}}=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i$$

e la norma $\Vert \cdot \Vert :V\to \mathbb{R}$ dedotta dal prodotto scalare euclideo, detta norma euclidea:

$$\Vert \overrightarrow{\mathbf{x}}\Vert =\sqrt{\overrightarrow{\mathbf{x}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{x}}}=\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}$$

Attenzione! Le formule del prodotto scalare euclideo e della norma euclidea appena presentate sono definite solo in un sistema di riferimento cartesiano! Se la base del sistema di riferimento non fosse ortonormale, per utilizzare il prodotto scalare e la norma euclidei bisognerebbe ortonormalizzare la base.

$1$ dimensione

Il sistema di riferimento cartesiano a una dimensione è una retta ottenuta dallo scalamento di un versore $\hat{\mathbf{e}}$. Operativamente si scrive  $V=\text{span}\left(\hat{\mathbf{e}}\right)$. La base ortonormale $\mathcal{B}$ si riduce a un versore $\hat{\mathbf{e}}$, che determina il verso della retta.

Figura 2: sistema di riferimento cartesiano a una dimensione.

Nota che tutte le basi ortonormali composte da un solo versore sono sistemi di riferimento cartesiani a una dimensione.

Ogni vettore $\overrightarrow{\mathbf{x}}$ del piano si individua come il prodotto di uno scalare $x$ per il versore $\hat{\mathbf{e}}$:

$\overrightarrow{\mathbf{x}}=x\hat{\mathbf{e}}$

$x\in \mathbb{R}$ è l'unica coordinata del vettore $\overrightarrow{\mathbf{x}}$ e il suo isomorfismo in $\mathbb{R}$ è esattamente il numero reale $x$:

$\mathrm{\Phi }\left(\overrightarrow{\mathbf{x}}\right)=x$

Il prodotto scalare euclideo si riduce al prodotto delle coordinate e la norma euclidea è il valore assoluto:

$\overrightarrow{\mathbf{x}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{y}}=xy$

$\Vert \overrightarrow{\mathbf{x}}\Vert =\sqrt{x^2}=|x|$

$2$ dimensioni

Il sistema di riferimento cartesiano a due dimensioni è comunemente conosciuto come piano cartesiano. Lo spazio $V$ è generato da due versori ortogonali ${\hat{\mathbf{e}}}_1$ e ${\hat{\mathbf{e}}}_2$. Operativamente si scrive $V=\text{span}({\hat{\mathbf{e}}}_1,{\hat{\mathbf{e}}}_2)$. La base ortonormale $\mathcal{B}$ si riduce a due versori ${\hat{\mathbf{e}}}_1$ e ${\hat{\mathbf{e}}}_2$, a volte indicati come $\hat{\mathbf{i}}$ e $\hat{\mathbf{j}}$ in fisica.

Figura 3: sistema di riferimento cartesiano a due dimensioni.

Ogni vettore $\overrightarrow{\mathbf{x}}$ del piano si individua come una combinazione lineare dei versori della base:

$\overrightarrow{\mathbf{x}}=x_1{\hat{\mathbf{e}}}_1+x_2{\hat{\mathbf{e}}}_2$

$x_1,x_2\in \mathbb{R}$ costituiscono le coordinate cartesiane del vettore $\overrightarrow{\mathbf{x}}$ e il suo isomorfismo in ${\mathbb{R}}^2$ è il punto

$\mathrm{\Phi }\left(\overrightarrow{\mathbf{x}}\right)=(x_1,x_2)$

Il prodotto scalare e la norma euclidei sono definiti come

$\overrightarrow{\mathbf{x}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{y}}=x_1{y}_1+x_2{y}_2$

$\Vert \overrightarrow{\mathbf{x}}\Vert =\sqrt{x_1^2+x_2^2}$

$3$ dimensioni

Il sistema di riferimento cartesiano a tre dimensioni è il modello matematico più semplice dello spazio in cui si trovano gli oggetti della realtà. Lo spazio $V$ è generato da tre versori ortogonali ${\hat{\mathbf{e}}}_1$, ${\hat{\mathbf{e}}}_2$ e ${\hat{\mathbf{e}}}_3$. Operativamente si scrive $V=\text{span}({\hat{\mathbf{e}}}_1,{\hat{\mathbf{e}}}_2,{\hat{\mathbf{e}}}_3)$. La base ortonormale $\mathcal{B}$ è composta da tre versori ${\hat{\mathbf{e}}}_1$, ${\hat{\mathbf{e}}}_2$ e ${\hat{\mathbf{e}}}_3$, a volte indicati come $\hat{\mathbf{i}}$, $\hat{\mathbf{j}}$ e $\hat{\mathbf{k}}$ in fisica.

Figura 4: sistema di riferimento cartesiano a tre dimensioni.

Ogni vettore $\overrightarrow{\mathbf{x}}$ del piano si individua come una combinazione lineare dei versori della base:

$\overrightarrow{\mathbf{x}}=x_1{\hat{\mathbf{e}}}_1+x_2{\hat{\mathbf{e}}}_2+x_3{\hat{\mathbf{e}}}_3$

$x_1,x_2,x_3\in \mathbb{R}$ sono le coordinate cartesiane del vettore $\overrightarrow{\mathbf{x}}$ e il suo isomorfismo in ${\mathbb{R}}^3$ è il punto

$\mathrm{\Phi }\left(\overrightarrow{\mathbf{x}}\right)=(x_1,x_2,x_3)$

Il prodotto scalare e la norma euclidei sono definiti come

$\overrightarrow{\mathbf{x}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{y}}=x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3$

$\Vert \overrightarrow{\mathbf{x}}\Vert =\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$

Operatori differenziali

Prima di intraprendere la lettura di questo paragrafo, ti consiglio di leggere il post in cui parlo delle derivate e del calcolo differenziale ;)

$n$ dimensioni

Iniziamo definendo l'operatore nabla $\mathrm{\nabla }$ su $n$ dimensioni in un sistema di riferimento cartesiano con base $\mathcal{B}=\{{\hat{\mathbf{e}}}_1,...,{\hat{\mathbf{e}}}_n\}$:

$$\mathrm{\nabla }=\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{\partial }{\partial x_i}}{\hat{\mathbf{e}}}_i$$

Nabla in un sistema cartesiano è il vettore le cui componenti sono le derivate parziali rispetto alle coordinate $x_1,...,x_n$. Attenzione! Ho scelto di sottolineare "in un sistema cartesiano" perché la definizione che abbiamo appena dato di nabla è vera solo in una base ortonormale di vettori. Cambiando il sistema di riferimento, cambia anche la definizione di nabla. In un post dedicheremo più spazio a questo operatore per chiarire le idee.

A partire dall'operatore nabla si può definire il gradiente di una funzione $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$, che in coordinate cartesiane assume la forma

$$\mathrm{\nabla }f\left(\overrightarrow{\mathbf{x}}\right)=\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{\partial f\left(\overrightarrow{\mathbf{x}}\right)}{\partial x_i}}{\hat{\mathbf{e}}}_i$$

La divergenza di un campo vettoriale $\overrightarrow{\mathbf{V}}:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ in coordinate cartesiane ha la forma

$$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{\mathbf{V}}\left(\overrightarrow{\mathbf{x}}\right)=\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{\partial V_i}{\partial x_i}}$$

dove $V_i=(\overrightarrow{\mathbf{V}}\cdot {\hat{\mathbf{e}}}_i){\hat{\mathbf{e}}}_i$ è la componente $i$-esima del campo vettoriale.

Ti faccio notare che il l'operatore nabla $\mathrm{\nabla }$ è un vettore. La divergenza di $\mathrm{\nabla }$, detta anche operatore di Laplace ${\mathrm{\nabla }}^2$, in coordinate cartesiane assume la forma

$${\mathrm{\nabla }}^2=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }=\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{{\partial }^2}{\partial x_i^2}}$$

Il laplaciano di un campo scalare $f$ in coordinate cartesiane si calcola come

$${\mathrm{\nabla }}^{2}f\left(\overrightarrow{\mathbf{x}}\right)=\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f\left(\overrightarrow{\mathbf{x}}\right)}{\partial x_i^2}}$$

$3$ dimensioni

In tre dimensioni si può definire anche il prodotto vettoriale $\times :{\mathbb{R}}^3\times {\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$. Grazie a questa operazione si definisce un altro operatore differenziale: il rotore di un campo vettoriale $\overrightarrow{\mathbf{V}}:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$, che in coordinate cartesiane assume la forma

$$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{\mathbf{V}}=({\displaystyle \frac{\partial V_3}{\partial x_2}}-{\displaystyle \frac{\partial V_2}{\partial x_3}}){\hat{\mathbf{e}}}_1-({\displaystyle \frac{\partial V_1}{\partial x_3}}-{\displaystyle \frac{\partial V_3}{\partial x_1}}){\hat{\mathbf{e}}}_2-({\displaystyle \frac{\partial V_2}{\partial x_1}}-{\displaystyle \frac{\partial V_1}{\partial x_2}}){\hat{\mathbf{e}}}_3$$

dove $\overrightarrow{\mathbf{V}}=V_1{\hat{\mathbf{e}}}_1+V_2{\hat{\mathbf{e}}}_2+V_3{\hat{\mathbf{e}}}_3$.

Differenziali

In ${\mathbb{R}}^3$

In tre dimensioni nel sistema di coordinate $(O;{\hat{\mathbf{e}}}_x,{\hat{\mathbf{e}}}_y,{\hat{\mathbf{e}}}_z)$ si ha

• spostamento infinitesimo: $d\overrightarrow{\mathbf{x}}=dx{\hat{\mathbf{e}}}_x+dy{\hat{\mathbf{e}}}_y+dz{\hat{\mathbf{e}}}_z$
• volume infinitesimo: $dV=dxdydz$

Per ottenere $d\overrightarrow{\mathbf{x}}$ è sufficiente differenziare $\overrightarrow{\mathbf{x}}\in {\mathbb{R}}^3$ rispetto alle sue coordinate $(x,y,z)$. 

Ottenere $d\overrightarrow{\mathbf{S}}$ è più complicato. In generale, una superficie $\overrightarrow{\mathbf{S}}$ in ${\mathbb{R}}^3$ è parametrizzata $\overrightarrow{\mathbf{S}}=x(u,v){\hat{\mathbf{e}}}_x+y(u,v){\hat{\mathbf{e}}}_y+z(u,v){\hat{\mathbf{e}}}_z$ su un dominio $D\subseteq {\mathbb{R}}^2$. Definiamo il vettore normale alla superficie

$\overrightarrow{\mathbf{N}}={\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{S}}}{\partial u}}\times {\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{S}}}{\partial v}}=({\displaystyle \frac{\partial y}{\partial u}}{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial v}}-{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}}{\displaystyle \frac{\partial y}{\partial v}}){\hat{\mathbf{e}}}_x+({\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}}{\displaystyle \frac{\partial x}{\partial v}}-{\displaystyle \frac{\partial x}{\partial u}}{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial v}}){\hat{\mathbf{e}}}_y+({\displaystyle \frac{\partial x}{\partial u}}{\displaystyle \frac{\partial y}{\partial v}}-{\displaystyle \frac{\partial y}{\partial u}}{\displaystyle \frac{\partial x}{\partial v}}){\hat{\mathbf{e}}}_z$

Adesso, definiamo il differenziale $d\overrightarrow{\mathbf{S}}$ come

$d\overrightarrow{\mathbf{S}}=\overrightarrow{\mathbf{N}}dudv$

In ${\mathbb{R}}^n$

Il differenziale del vettore $\overrightarrow{\mathbf{x}}$ in un sistema di coordinate cartesiane assume una forma molto semplice:

$$d\overrightarrow{\mathbf{x}}=\sum _{i=1}^{n}d{x}_i{\hat{\mathbf{e}}}_i$$

L'elemento di volume infinitesimo di ${\mathbb{R}}^n$ si definisce come il prodotto dei differenziali

$$dV=\prod _{i=1}^{n}d{x}_i$$

Intuitivamente, è il volume di un cubo $n$-dimensionale di lati di lunghezza $d{x}_1,...,d{x}_n$ infinitesima.

Il vettore superficie $n$-dimensionale $\overrightarrow{\mathbf{S}}$ è più complicato da calcolare. $\overrightarrow{\mathbf{S}}$ in generale è una parametrizzazione dipendente da $n-1$ parametri $u_1,...,u_{n-1}$:

$\overrightarrow{\mathbf{S}}=\sum _{i=1}^n{x}_i(u_1,...,u_{n-1}){\hat{\mathbf{e}}}_i$

Adesso, definiamo il differenziale $d\overrightarrow{\mathbf{S}}$ come

$d\overrightarrow{\mathbf{S}}=\mathrm{J}\overrightarrow{\mathbf{S}}d\overrightarrow{\mathbf{u}}$

dove $d\overrightarrow{\mathbf{u}}=(d{x}_1,...,d{x}_n)$.

Riferimenti

[1] Sistema di riferimento cartesiano. (2 settembre 2021). Wikipedia, L'enciclopedia libera. Tratto il 28 gennaio 2022, 19:26. 

Immagini

Figura 1: Di Frans Hals - André Hatala [e.a.] (1997) De eeuw van Rembrandt, Bruxelles: Crédit communal de Belgique, ISBN 2-908388-32-4., Pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2774313.

Figure 2, 3 e 4: generate con Microsoft OneNote.