La carica elettrica e la forza di Coulomb

Le fondamenta dell'elettromagnetismo

A tutti è capitato almeno una volta di sperimentare il fenomeno dell'elettricità. Ne osserviamo gli effetti quando accendiamo la luce nella stanza, la televisione, il dispositivo con cui stai leggendo questo post o quando a volte sentiamo una scintilla toccando con la mano una parte metallica. Potete fare un piccolo esperimento proprio ora: prendete una penna biro, strofinatela contro il tessuto della vostra maglia e avvicinatela ad alcuni pezzetti di carta. Osserverete che la carta viene naturalmente attratta dalla penna. Cos'è l'elettricità e cosa la causa? Daremo risposta a questa domanda in questo articolo.

Sommario

• La quantizzazione della carica
• La legge di Coulomb
• La forza di Coulomb
• L'interazione elettrica
• Il principio di sovrapposizione
• L'elettrizzazione
• Immagini

La quantizzazione della carica

Grazie all'esperimento appena realizzato con la biro e con la carta abbiamo potuto constatare che la materia possieda una proprietà che chiameremo "carica", che può essere indotta per strofinio. Ora, ripetendo l'esperimento con diversi materiali, possiamo constatare che la carica di un materiale attrae altri materiali carichi, mentre ne respinge altri. Quindi devono esistere due tipi di cariche. Queste cariche devono essere possedute da due particelle atomiche, che durante lo strofinio si spostano da un corpo all'altro. Secondo la convenzione di Benjamin Franklin, tutt'ora in uso, chiameremo un tipo di carica "positiva", mentre l'altra carica sarà negativa. 

Figura 1: modello dell'atomo di elio.

Dallo studio dei modelli atomici sappiamo che la carica positiva è propria del protone, mentre quella negativa dell'elettrone. In particolare il protone e l'elettrone possiedono una quantità di carica che è uguale e opposta, pari in valore assoluto alla cosiddetta carica elementare:

$$ e=1.602176634\cdot 10^{-19} C $$

Dunque, la carica dell'elettrone è \(-e\), mentre la carica del protone è \(+e\).

Il coulomb \([C]\) è l'unità di misura della carica nel Sistema Internazionale, ma non è un'unità primitiva: essa viene definita a partire dalla corrente elettrica e per questo ne daremo la definizione in un'altro post.

Poiché l'elettrizzazione di un corpo è dovuta allo spostamento delle particelle cariche, la carica \(q\) di ogni corpo è quantizzata, ovvero è un multiplo intero della carica elementare \(e\):

\( \quad q=(N_p-N_e)e \)

dove \(N_p\) è il numero di protoni nel corpo e \(N_e\) il numero di elettroni. Se \(q=0\), il numero di protoni è pari a quello degli elettroni e il corpo si dice neutro.

Bisogna precisare che, poiché la carica elementare è molto piccola, possiamo considerare la carica continua senza commettere errori di approssimazione notevoli, in modo da poter usare gli strumenti dell'analisi matematica. 

La legge di Coulomb

La forza di Coulomb

Dall'esperimento di elettrizzazione per strofinio possiamo concludere che gli oggetti carichi esercitano una forza, che può essere di attrazione (se le cariche hanno segno opposto) o di repulsione (se le cariche hanno segno uguale). Il primo a formulare sperimentalmente l'espressione dell'interazione elettrica fu Charles Augustin de Coulomb tra il 1777 e il 1785 grazie a una bilancia di torsione.

Figura 2: bilancia di torsione.

Siano \(q_1\) e \(q_2\) due cariche puntiformi nelle posizioni \(\vec{\mathbf{r}}_1\) e \(\vec{\mathbf{r}}_2\). La forza \(\vec{\mathbf{F}}_{12}\), detta forza di Coulomb, che la carica \(q_1\) esercita su \(q_2\) è 

$$ \vec{\mathbf{F}}_{12} = \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon} \dfrac{q_1 q_2}{r^2} \hat{\mathbf{r}} $$

dove \(r=\left| \vec{\mathbf{r}}_2-\vec{\mathbf{r}}_1\right|\) è la distanza tra le cariche e \( \hat{\mathbf{r}}_{12}=(\vec{\mathbf{r}}_2-\vec{\mathbf{r}}_1)/r\) è il versore che punta dalla carica \(q_1\) alla carica \(q_2\). Si noti che il carattere repulsivo o attrattivo della forza è incluso nel prodotto \(q_1 q_2\).

Figura 3: forza di Coulomb per due cariche di segno opposto.

\(\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r \) si definisce costante dielettrica del mezzo ed è il prodotto della costante dielettrica del vuoto \(\varepsilon_0=8.85418781762 \cdot 10^{-12} C^2 m^{-2} N^{-1}\) per la costante dielettrica relativa \(\varepsilon_r\) del mezzo in cui si trovano le cariche. Poiché \(\varepsilon_r \geq 1\) e \(\varepsilon_r = 1\) solo per il vuoto, la forza di Coulomb ha intensità massima nel vuoto. Talvolta si usa la costante di Coulomb \(k = 1/4\pi\varepsilon_0 = 8.987551787368176 \cdot 10^9 N m^2 C^{-2}\).

Naturalmente, l'unità di misura della forza di Coulomb nel S.I. è il newton \([N]\). Per il terzo principio della dinamica sulla carica \(q_1\) agisce una forza \(\vec{\mathbf{F}}_{21} \) uguale è contraria alla forza \(\vec{\mathbf{F}}_{12}\):

\( \quad \vec{\mathbf{F}}_{21} = -\vec{\mathbf{F}}_{12} \)

Attenzione! Per calcolare l'intensità (o modulo) della forza di Coulomb, bisogna considerare il valore assoluto delle cariche:

\( \quad \left| \vec{\mathbf{F}}_{12} \right| = \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon} \dfrac{|q_1| |q_2|}{r^2} \)

L'interazione elettrica

L'interazione elettrica, insieme alla forza di gravità, è una delle forze fondamentali della fisica. Su scala macroscopica la forza gravitazionale è quella prevalente, poiché i corpi sono spesso macroscopicamente neutri. A livello atomico, tuttavia, l'interazione elettrica è la forza prevalente. Per chiarire l'idea, si pongano un elettrone e un protone a distanza \(d\) nel vuoto. La forza di attrazione gravitazionale ha intensità \(F_G=G \mspace{3mu} m_e m_p / d^2\), dove \(G\) è la costante di gravitazione universale, \(m_e = 9.109384 \cdot 10^{−31} kg\) è la massa dell'elettrone e \(m_p = 1.672622 \cdot 10^{−27} kg\) la massa del protone, mentre la forza di Coulomb ha intensità \(F_C=  1/4\pi\varepsilon_0 \mspace{3mu} e^2 / d^2\). Il rapporto tra l'intensità delle due forze è

\( \quad \dfrac{F_C}{F_G} = \dfrac{e^2}{4\pi \varepsilon_0} \dfrac{1}{ G m_e m_p } \approx 10^{39} \)

Ciò significa che la forza di Coulomb è approssimativamente \(10^{39}\) volte superiore alla forza gravitazionale tra le due particelle! Chiaramente quest'ultima è trascurabile a livello microscopico.

Il principio di sovrapposizione

Per il principio di sovrapposizione, la forza di Coulomb \(\vec{\mathbf{F}}\) risultante su una carica \(q_0\) in posizione \(\vec{\mathbf{r}}_0\) esercitata da una distribuzione di \(n\) cariche \(q_1,...,q_n\) nelle posizioni \(\vec{\mathbf{r}}_1,...,\vec{\mathbf{r}}_n\) è la somma dei contributi delle forze delle singole cariche:

$$ \vec{\mathbf{F}} = \sum\limits_{i=1}^n {\vec{\mathbf{F}}_i} = \dfrac{q_0}{4\pi\varepsilon} \sum\limits_{i=1}^n {\dfrac{q_i}{r_i^2} \hat{\mathbf{r}}_i }$$

dove \(r_i=\left|\vec{\mathbf{r}}_0-\vec{\mathbf{r}}_i\right|\) è la distanza della \(i\)-esima carica \(q_i\) dalla carica \(q_0\) e \(\hat{\mathbf{r}}_i = \vec{\mathbf{r}}_0-\vec{\mathbf{r}}_i\) è il versore che punta dalla carica \(q_i\) a \(q_0\).

Se la distribuzione di carica è continua, per ottenere la forza di Coulomb sulla carica \(q_0\) in posizione \(\vec{\mathbf{r}}_0\) bisogna integrare sulla distribuzione:

$$ \vec{\mathbf{F}} =  \dfrac{q_0}{4\pi\varepsilon} \int{\dfrac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}dq}$$

dove \(r=\left|\vec{\mathbf{r}}_0-\vec{\mathbf{r}}\right|\) è la distanza della carica infinitesima \(dq\) dalla carica \(q_0\) e \(\hat{\mathbf{r}}=\vec{\mathbf{r}}_0-\vec{\mathbf{r}}\) è il versore che punta dalla carica \(dq\) a \(q_0\).

L'elettrizzazione

Lo strofinio non è l'unico modo per elettrizzare un materiale. Dopo aver strofinato la biro potete osservare non solo che la parte strofinata attrae la carta, ma anche che la parte non strofinata non attrae la carta. Ciò significa che le particelle cariche rimangono confinate nella zona strofinata. Ma le cariche non dovrebbero respingersi per la legge di Coulomb? Ciò significa che le molecole della penna si oppongono allo spostamento delle cariche. Si dice che il materiale della penna è isolante o dielettrico. Al contrario le cariche sono libere di muoversi nei conduttori. Supponiamo di avvicinare un corpo carico positivamente a un materiale conduttore neutro. Le cariche negative sul conduttore tenderanno ad allontanarsi dal corpo conduttore, creando una regione a carica positiva dal lato vicino al corpo che abbiamo avvicinato e una regione negativa dall'altro lato. Se, poi, si collega a terra il conduttore, le cariche negative potranno abbandonare il conduttore, allontanandosi indefinitamente. A questo punto sul conduttore resterà una carica complessiva positiva, determinata dal numero di elettroni che ha perso. Il conduttore si dirà elettrizzato per induzione.

Figura 4: passaggi per l'elettrizzazione per induzione di una sfera conduttrice.

Il conduttore dell'esperimento precedente ha una carica residua positiva per l'eccesso di protoni rispetto al numero di elettroni. Se si pone a contatto col conduttore un corpo carico negativamente, gli elettroni tenderanno a trasferirsi sul corpo positivo, neutralizzando l'eccesso di carica positiva.

I semiconduttori, infine, mostrano un comportamento variabile tra quello di un conduttore e di un isolante a seconda delle condizioni al contorno.

Immagini

Figura 1: Di User:Yzmo - Opera propria, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2246091.

Figura 2: Di Charles-Augustin de Coulomb - Recherches théoriques et expérimentales sur la force de torsion et sur l'élasticité des fils de metal, Pubblico dominio, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=938164.

Figure 3 e 4: generate con Microsoft Paint.