L'energia potenziale elettrica

Si parla quotidianamente di "energia elettrica", ma sei sicuro di sapere cosa sia? Proviamo a darne una definizione matematica. Se non hai ancora letto il post precedente, ti consiglio di farlo prima di procedere alla lettura di questo post, in modo che sia chiaro cosa siano la carica elettrica e la forza di Coulomb.

Sommario

• L'energia potenziale elettrica
• L'energia di una distribuzione di carica
• Immagini

L'energia potenziale elettrica

Innanzitutto è importante specificare che la definizione di energia potenziale elettrica è valida in elettrostatica, ovvero in assenza di cariche in moto, poiché in elettrodinamica il quadro della situazione è assai diverso.

In elettrostatica l'unica interazione significativa tra le cariche è la forza di Coulomb, di cui abbiamo già visto la formulazione. Infatti, la forza di gravitazione è significativamente ridotta rispetto a questa e le altre forze elettromagnetiche non si presentano in assenza di moto delle cariche.

La forza di Coulomb rientra in una famiglia particolare di funzioni, dette campi conservativi. Ciò significa che il lavoro della forza di Coulomb non dipende dal percorso seguito dalla carica, ma soltanto dalle posizioni iniziale e finale. Per dimostrarlo, iniziamo calcolando il lavoro $W$ della forza che esercita una carica $q$ posta nell'origine del sistema di riferimento su una carica $q_0$ che si sposta da una posizione $\gamma (0)$ a una posizione $\gamma (t)$ lungo il percorso $\gamma :[0,t]\to {\mathbb{R}}^3$ integrando in coordinate sferiche:

$W=\underset{\gamma (0)}{\overset{\gamma (t)}{\int }}\overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{r}}={\displaystyle \frac{q{q}_0}{4\pi \epsilon }}\underset{r(0)}{\overset{r(t)}{\int }}{\displaystyle \frac{dr}{r^2}}=-{\displaystyle \frac{q{q}_0}{4\pi \epsilon }}({\displaystyle \frac{1}{r(t)}}-{\displaystyle \frac{1}{r(0)}})$

Pertanto, il lavoro su un percorso $\gamma$ chiuso è nullo

$$\underset{\gamma }{\oint }\overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{r}}=0$$

Si può definire una funzione $U:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$, detta energia potenziale elettrica tale che

$$\overrightarrow{\mathbf{F}}=-\mathrm{\nabla }U$$

Attenzione! Esistono infinite funzioni $U$ tali che l'equazione precedente sia rispettata, tutte differenti per una costante. Pertanto, fisicamente ha senso solo una differenza di energia potenziale. Convenzionalmente si sceglie la funzione $U$ tale che il suo valore per una distanza infinita sia nullo:

$$U\left(\overrightarrow{\mathbf{r}}\right)=-\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{\overrightarrow{\mathbf{r}}}{\int }}\overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{r}}={\displaystyle \frac{q{q}_0}{4\pi \epsilon }}{\displaystyle \frac{1}{r}}$$

Scelta una funzione $U$, il lavoro della forza di Coulomb dello spostamento della carica tra una posizione ${\overrightarrow{\mathbf{r}}}_i$ e una ${\overrightarrow{\mathbf{r}}}_f$ si calcola come

$W=-\mathrm{\Delta }U=U\left({\overrightarrow{\mathbf{r}}}_i\right)-U\left({\overrightarrow{\mathbf{r}}}_f\right)$

Si noti che secondo l'equazione $\overrightarrow{\mathbf{F}}=-\mathrm{\nabla }U$ la forza di Coulomb $\mathbf{F}$ è sempre diretta nello spazio in modo da puntare verso configurazioni a energia potenziale minore.

E se le cariche fossero più di due? Si supponga che nello spazio esistano $n$ cariche $q_1,...,q_n$ nelle posizioni ${\overrightarrow{\mathbf{r}}}_1,...,{\overrightarrow{\mathbf{r}}}_n$ oltre alla carica $q_0$ in posizione ${\overrightarrow{\mathbf{r}}}_0$. In tal caso l'energia potenziale elettrica $U$ della carica $q_0$ è data dal principio di sovrapposizione:

$$U\left({\overrightarrow{\mathbf{r}}}_0\right)=-\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{{\overrightarrow{\mathbf{r}}}_0}{\int }}\sum _{i=1}^n{\overrightarrow{\mathbf{F}}}_i\cdot d\overrightarrow{\mathbf{r}}=\sum _{i=1}^n(-\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{{\overrightarrow{\mathbf{r}}}_0}{\int }}{\overrightarrow{\mathbf{F}}}_i\cdot d\overrightarrow{\mathbf{r}})$$$$=\sum _{i=1}^n{U}_i\left({\overrightarrow{\mathbf{r}}}_0\right)={\displaystyle \frac{q_0}{4\pi \epsilon }}\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{q_i}{r_i}}$$

Analogamente, se la distribuzione è continua, l'energia potenziale della carica $q_0$ è

$$U\left({\overrightarrow{\mathbf{r}}}_0\right)=-\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{{\overrightarrow{\mathbf{r}}}_0}{\int }}\int d\overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{r}}=\int (-\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{{\overrightarrow{\mathbf{r}}}_0}{\int }}d\overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{r}})$$$$=\int dU={\displaystyle \frac{q_0}{4\pi \epsilon }}\int {\displaystyle \frac{dq}{r}}$$

Si noti come caso particolare che, se nello spazio si ha solo una carica, la sua energia potenziale è nulla in qualsiasi configurazione. 

L'energia di una distribuzione di carica

Finora abbiamo parlato dell'energia potenziale elettrica di una carica, ma la si può definire anche per una distribuzione di carica. L'energia potenziale elettrica propria di una distribuzione è definita come l'opposto del lavoro necessario a portare le cariche dall'infinito alle loro posizioni.

S'immagini che inizialmente lo spazio sia vuoto Il lavoro $W_1$ per portare la prima carica $q_1$ nella posizione ${\overrightarrow{\mathbf{r}}}_1$ è nullo, poiché non sono presenti altre cariche che possano esercitare una forza su questa carica:

$W_1=0$

Il lavoro per portare la seconda carica $q_2$ da una distanza infinita nella sua posizione ${\overrightarrow{\mathbf{r}}}_2$ è

$W_2=-{\displaystyle \frac{1}{4\pi \epsilon }}{\displaystyle \frac{q_1{q}_2}{r_{12}}}$

dove $r_{12}=|{\overrightarrow{\mathbf{r}}}_2-{\overrightarrow{\mathbf{r}}}_1|$ è la distanza tra le cariche $q_1$ e $q_2$.

Il lavoro per portare la terza carica $q_3$ da una distanza infinita nella sua posizione ${\overrightarrow{\mathbf{r}}}_3$ è

$W_3=-{\displaystyle \frac{1}{4\pi \epsilon }}{\displaystyle \frac{q_1{q}_3}{r_{13}}}-{\displaystyle \frac{1}{4\pi \epsilon }}{\displaystyle \frac{q_2{q}_3}{r_{23}}}$

Il lavoro per portare l'$n$-esima carica $q_n$ in posizione ${\overrightarrow{\mathbf{r}}}_n$ è

$W_n=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sum _{\begin{array}{c}i,j=1\\ i\ne j\end{array}}^n{\displaystyle \frac{1}{4\pi \epsilon }}{\displaystyle \frac{q_i{q}_j}{r_{ij}}}$

In conclusione, l'energia potenziale elettrica $U$ della distribuzione di $n$ cariche è

$$U={\displaystyle \frac{1}{2}}\sum _{\begin{array}{c}i,j=1\\ i\ne j\end{array}}^n{\displaystyle \frac{1}{4\pi \epsilon }}{\displaystyle \frac{q_i{q}_j}{r_{ij}}}$$

Il fattore $1/2$ viene introdotto perché $q_i{q}_j/r_{ij}$ compare due volte nella sommatoria. Inoltre, bisogna escludere i casi $i=j$, poiché $r_{ii}=0$.

Se la distribuzione è continua, dobbiamo introdurre il concetto di potenziale elettrostatico $V$, che definiremo in un prossimo post.

$$U={\displaystyle \frac{1}{2}}\int V\left(\overrightarrow{\mathbf{r}}\right)dq$$

Immagini

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