Come si risolvono le equazioni di polinomi?
Il concetto di uguaglianza è intuitivo: se due oggetti matematici
Le equazioni più comuni sono senza dubbio quelle polinomiali, ovvero equazioni in cui si prova a cercare i valori di un'incognita che annullano un'espressione polinomiale. Per chiarire le idee, sono esempi di equazioni polinomiali i seguenti:
Affronteremo il problema alle basi e, successivamente, in modo più rigoroso per gli studenti universitari.
Sommario
- Risolvere le equazioni di primo e secondo grado
- Equazioni di 1° grado
- Equazioni di 2° grado
- Equazioni di grado superiore al secondo
- Casi particolari
- Equazioni di 3° grado
- Equazioni di grado superiore al terzo
Risolvere le equazioni di primo e secondo grado
I principi di equivalenza
Due equazioni si dicono equivalenti se ammettono lo stesso insieme delle soluzioni. Ad esempio,
ammettono la stessa soluzione:
dove quella strana doppia freccia
Per risolvere qualsiasi equazione, polinomiale e non, ci si può servire dei principi di equivalenza, ovvero operazioni che a partire da un'equazione ne restituiscono una nuova equivalente.
Primo principio: sommando (o sottraendo) a entrambi i membri dell'equazione una stessa quantità
Secondo principio: moltiplicando (o dividendo) entrambi i membri dell'equazione per una stessa quantità
Attraverso i principi di equivalenza, si può sempre ricondurre un'equazione polinomiale in forma normale, ovvero nella forma in cui un polinomio viene posto uguale a
Vediamo, ora, come si applicano i principi per ottenere la soluzione di un'equazione polinomiale.
Equazioni di 1° grado
Le equazioni di primo grado sono sempre nella forma normale
dove
- Se
, è facile dimostrare che la soluzione dell'equazione è - Se
, si presentano tre casi: - Se
, l'equazione si dice indeterminata, poiché l'uguaglianza è verificata per ogni nel proprio campo di appartenenza. - Se
, l'equazione si dice impossibile, poiché l'uguaglianza non è verificata per ogni nel proprio campo di appartenenza.
Riassumiamo in uno schema le soluzioni dell'equazione
Equazioni di 2° grado
Le equazioni di secondo grado sono sempre nella forma normale
dove
Suddividiamo in casi anche la risoluzione di questa equazione.
- Se
, l'equazione diventa di primo grado, di cui abbiamo già discusso la risoluzione. - Se
si distinguono due casi. Definiamo una nuova grandezza, chiamata discriminante : - Se
, esistono due soluzioni reali dell'equazione : per verificarlo è sufficiente sostituirle nell'equazione - Se
, la soluzione è unica (che si può vedere come la coincidenza delle due soluzioni precedenti): - Se
, le soluzioni dell'equazione sono complesse e sono date dalla formula .
Vediamo alcuni casi particolari in cui
- Se
e , l'equazione diventa È facile dimostrare attraverso i principi di equivalenza che: - Se
e hanno segno opposto, le soluzioni sono due e reali: - Se
e hanno segno uguale, le soluzioni sono due e complesse, date ancora dalla formula . - Se
e , l'equazione diventa Raccogliendo a fattor comune la si ottiene Per la legge di annullamento del prodotto le soluzioni sono date dall'unione degli insiemi delle soluzioni delle due equazioni e , di cui la seconda è un'equazione di primo grado e sappiamo già come risolverla.
Riassumiamo in uno schema le soluzioni dell'equazione
Equazioni di grado superiore al secondo
Casi particolari
Per le equazioni di grado superiore al secondo le soluzioni si complicano. Tuttavia, esistono due casi particolari che ora tratteremo.
Le soluzioni di un'equazione nella forma
dipendono non solo da
- Se
, l'equazione è impossibile (se ) o indeterminata (se ). - Se
- Se
è dispari, la soluzione è unica, reale ed è - Se
è pari, le soluzioni sono due, reali (se e hanno segno opposto) o complesse (se e hanno segno uguale) e sono
Un'equazione di grado
può essere ricondotta a un'equazione di secondo grado con la sostituzione
Ora, si torna alla variabile
Dunque, le soluzioni sono
- se
è dispari: - se
è pari:
Attenzione! Le soluzioni potrebbero essere complesse non reali.
Un'equazione di 3° grado nella forma
può essere ricondotta all'unione delle soluzioni di un'equazione di secondo grado e di un'equazione di primo grado. Infatti, sia
e usare, a questo punto, la legge di annullamento del prodotto.
Casi generali
Equazioni di 3° grado
Per le equazioni di terzo grado che si presentano nella forma
dove
per dimostrarlo è sufficiente andare a sostituire la soluzione nell'equazione
Equazioni di grado superiore al terzo
Per le equazioni di quarto grado si può determinare ancora una formula risolutiva con calcoli relativamente onerosi, ma per gradi pari o superiori al quinto vale il seguente teorema:
Teorema di Abel-Ruffini: non esiste una relazione risolutiva generale esprimibile tramite radicali per le equazioni polinomiali di grado 5 o superiore.
Successivamente Évariste Galois scoprì che un'equazione è risolubile per radicali se, e solo se, il gruppo di Galois associato ad essa è risolubile.
Commenti
Posta un commento