Le equazioni di polinomi

Come si risolvono le equazioni di polinomi?

Il concetto di uguaglianza è intuitivo: se due oggetti matematici \(a\) e \(b\) sono uguali, si scrive che \(a = b\). Lo stesso simbolo "\(=\)" è stato scelto così proprio perché rappresenta due rette parallele, le quali intuitivamente rimandano al concetto di "uguale". Quando \(a\) e \(b\) sono noti, la proposizione \(P(a,b): a=b\) o è vera, o è falsa. Tuttavia, ci sono casi in cui i valori di \(a\) o di \(b\) dipendono da un certo numero di variabili, dette "incognite". In tal caso l'uguaglianza si dice "equazione". Lo scopo della risoluzione di un'equazione è determinare il valore (o i valori), detto "soluzione", delle incognite che rendono vera l'uguaglianza, se tali valori esistono.

Le equazioni più comuni sono senza dubbio quelle polinomiali, ovvero equazioni in cui si prova a cercare i valori di un'incognita che annullano un'espressione polinomiale. Per chiarire le idee, sono esempi di equazioni polinomiali i seguenti:

\( \quad \begin{array}{ccc} x+3(x-1)=0 & y+3ay=(y-1)^2 & ab+a^2=3ab \end{array} \)

Affronteremo il problema alle basi e, successivamente, in modo più rigoroso per gli studenti universitari.

Sommario

• Risolvere le equazioni di primo e secondo grado
• Equazioni di 1° grado
• Equazioni di 2° grado
• Equazioni di grado superiore al secondo
• Casi particolari
• Equazioni di 3° grado
• Equazioni di grado superiore al terzo

Risolvere le equazioni di primo e secondo grado

I principi di equivalenza

Due equazioni si dicono equivalenti se ammettono lo stesso insieme delle soluzioni. Ad esempio,

\( \quad \begin{array}{ccc} x+3=0 & \text{e} & 3x+9=0 \end{array} \)

ammettono la stessa soluzione: \(x=-3\). Dunque, si può scrivere 

\( \quad x+3=0 \Leftrightarrow 3x+9=0 \)

dove quella strana doppia freccia \(\Leftrightarrow\) significa "se e solo se".

Per risolvere qualsiasi equazione, polinomiale e non, ci si può servire dei principi di equivalenza, ovvero operazioni che a partire da un'equazione ne restituiscono una nuova equivalente.

Primo principio: sommando (o sottraendo) a entrambi i membri dell'equazione una stessa quantità \(a\) si ottiene un'equazione equivalente a quella originaria.

Secondo principio: moltiplicando (o dividendo) entrambi i membri dell'equazione per una stessa quantità \(a\) (diversa da \(0\)) si ottiene un'equazione equivalente a quella originaria.

Attraverso i principi di equivalenza, si può sempre ricondurre un'equazione polinomiale in forma normale, ovvero nella forma in cui un polinomio viene posto uguale a \(0\). Diciamo che un'equazione polinomiale è di \(n\)-esimo grado se \(n\) è il grado del polinomio che viene posto uguale a \(0\).

Vediamo, ora, come si applicano i principi per ottenere la soluzione di un'equazione polinomiale.

Equazioni di 1° grado

Le equazioni di primo grado sono sempre nella forma normale

$$ ax+b=0 \tag{1} \label{eq1} $$

dove \(a\) e \(b\) sono due coefficienti su qualche campo, ad esempio numeri reali, e \(x\) è detta incognita, poiché è il valore da determinare affinché l'uguaglianza sia vera.

• Se \(a \neq 0\), è facile dimostrare che la soluzione dell'equazione \(\eqref{eq1}\) è$$ x = - \dfrac ba $$
• Se \(a = 0 \), si presentano tre casi:
• Se \(b=0\), l'equazione si dice indeterminata, poiché l'uguaglianza è verificata per ogni \(x\) nel proprio campo di appartenenza.
• Se \(b \neq 0\), l'equazione si dice impossibile, poiché l'uguaglianza non è verificata per ogni \(x\) nel proprio campo di appartenenza.

Riassumiamo in uno schema le soluzioni dell'equazione \(\eqref{eq1}\):

\( \quad \begin{array}{c|c|c} \text{valore di } a & \text{valore di } b  & \text{soluzione} \\ \hline a \neq 0 & \forall b & x = - \dfrac ba \\ a = 0 & b = 0 & \text{indeterminata} \\ a = 0  & b \neq 0 & \text{impossibile} \end{array} \)

Equazioni di 2° grado

Le equazioni di secondo grado sono sempre nella forma normale

$$ ax^2+bx + c=0 \tag{2} \label{eq2} $$

dove \(a\), \(b\) e \(c\) sono coefficienti su qualche campo, ad esempio numeri reali, e \(x\) è l'incognita.

Suddividiamo in casi anche la risoluzione di questa equazione.

• Se \(a = 0\), l'equazione diventa di primo grado, di cui abbiamo già discusso la risoluzione.
• Se \(a \neq 0\) si distinguono due casi. Definiamo una nuova grandezza, chiamata discriminante \(\Delta\):$$ \Delta = b^2 - 4ac $$
• Se \(\Delta \gt 0\), esistono due soluzioni reali dell'equazione \(\eqref{eq2}\):$$ x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \tag{3} \label{eq3} $$per verificarlo è sufficiente sostituirle nell'equazione \(\eqref{eq2}\)
• Se \(\Delta = 0\), la soluzione è unica (che si può vedere come la coincidenza delle due soluzioni precedenti):$$ -\dfrac{b}{2a} $$
• Se \(\Delta = 0\), le soluzioni dell'equazione \(\eqref{eq2}\) sono complesse e sono date dalla formula \(\eqref{eq3}\). 

Vediamo alcuni casi particolari in cui \(a\neq 0\).

• Se \(a\neq 0 \) e \( b = 0\), l'equazione \(\eqref{eq2}\) diventa $$ax^2+c=0$$È facile dimostrare attraverso i principi di equivalenza che:
• Se \(a\) e \(c\) hanno segno opposto, le soluzioni sono due e reali:$$ x = \pm \sqrt{-\dfrac ca} \tag{4} \label{eq4}$$
• Se \(a\) e \(c\) hanno segno uguale, le soluzioni sono due e complesse, date ancora dalla formula \(\eqref{eq4}\).
• Se \(a\neq 0 \) e \( c = 0\), l'equazione \(\eqref{eq2}\) diventa $$ax^2+bx=0$$Raccogliendo a fattor comune la \(x\) si ottiene$$x(ax+b)=0$$Per la legge di annullamento del prodotto le soluzioni sono date dall'unione degli insiemi delle soluzioni delle due equazioni \(x=0\) e \(ax+b=0\), di cui la seconda è un'equazione di primo grado e sappiamo già come risolverla.

Riassumiamo in uno schema le soluzioni dell'equazione \(\eqref{eq2}\):

\( \quad \begin{array}{c|c|c|c|c} \text{valore di } a & \text{valore di } b  & \text{valore di } c & \text{valore di } \Delta & \text{insieme delle soluzioni} \\ \hline a \neq 0 & \forall b & \forall c & \Delta \gt 0 & S = \left\{ x \in \mathbb{R} : x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \right\} \\ a \neq 0 & \forall b & \forall c & \Delta = 0 & S = \left\{ x \in \mathbb{R} : x = - \dfrac{b}{2a} \right\} \\ a \neq 0 & \forall b & \forall c & \Delta \lt 0 & S = \left\{ x \in \mathbb{C} : x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \right\} \\ a = 0 & \forall b & \forall c & \Delta = b^2 \geq 0 & \text{vedi eq. di 1° grado} \\ a \neq 0  & b \neq 0 & c = 0 & \Delta = b^2 \geq 0 & S = \{x \in \mathbb{R} : x=0 \vee ax + b = 0 \} \\ a \neq 0  & b = 0 & c \neq 0 & \Delta = -4ac \geq 0 & S = \left\{x \in \mathbb{C} : x= \pm \sqrt{- \dfrac ca} \right\} \end{array} \)

Equazioni di grado superiore al secondo

Casi particolari

Per le equazioni di grado superiore al secondo le soluzioni si complicano. Tuttavia, esistono due casi particolari che ora tratteremo.

Le soluzioni di un'equazione nella forma

$$ ax^n + b = 0 $$

dipendono non solo da \(b\) e da \(a\), ma anche da \(n\).

• Se \(a = 0\), l'equazione è impossibile (se \(b \neq 0\)) o indeterminata (se \(b=0\)).
• Se \(a \neq 0\)
• Se \(n\) è dispari, la soluzione è unica, reale ed è$$ x = - \sqrt[n]{ \dfrac ba} $$
• Se \(n\) è pari, le soluzioni sono due, reali (se \(a\) e \(b\) hanno segno opposto) o complesse (se \(a\) e \(b\) hanno segno uguale) e sono$$ x = \pm \sqrt[n]{ \dfrac ba} $$

Un'equazione di grado \(2n\) nella forma 

$$ ax^{2n} + bx^n + c = 0 $$

può essere ricondotta a un'equazione di secondo grado con la sostituzione \(t = x^n \). A quel punto, si risolve come un'equazione di secondo grado, trovando le radici dell'equazione equivalente:

\( \quad t = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{2a} \)

Ora, si torna alla variabile \(x\) sostituendo \(t = x^n\):

\( \quad x^n = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{2a} \)

Dunque, le soluzioni sono

• se \(n\) è dispari:$$x = \sqrt[n]{\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{2a}}$$
• se \(n\) è pari:$$x = \pm \sqrt[n]{\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{2a}}$$

Attenzione! Le soluzioni potrebbero essere complesse non reali.

Un'equazione di 3° grado nella forma

$$ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \tag{5} \label{eq5} $$

può essere ricondotta all'unione delle soluzioni di un'equazione di secondo grado e di un'equazione di primo grado. Infatti, sia \(x_0\) una radice del polinomio \(ax^3 + bx^2 + cx + d\) (da cercare tra i divisori di \(d\)). Con la regola di Ruffini si può scomporre il polinomio, ottenendo l'equazione equivalente

$$ (x-x_0)(px^2 + qx + r) = 0$$

e usare, a questo punto, la legge di annullamento del prodotto.

Casi generali

Equazioni di 3° grado

Per le equazioni di terzo grado che si presentano nella forma \(\eqref{eq5}\) e che sono complicate da risolvere col metodo di Ruffini esiste una formula di risoluzione generale, che dà le seguenti soluzioni [1]:

$$ x=-\frac{b}{3a}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}} $$

dove 

• \( \Delta_{\text{III}} := \dfrac {q^2} 4 + \dfrac {p^3} {27} \)
• \( p := \dfrac ca - \dfrac {b^2} {3a^2}\)
• \( q := \dfrac da - \dfrac {bc} {3a^2} + \dfrac{2b^3}{27a^3}\)

per dimostrarlo è sufficiente andare a sostituire la soluzione nell'equazione \(\eqref{eq5}\). Quest'equazione ammette tre soluzioni complesse (quindi, anche reali) in accordo al teorema fondamentale dell'algebra. L'appartenenza di una soluzione all'insieme dei numeri reali dipende dal segno della grandezza \( \Delta_{\text{III}} \), che per questo motivo viene chiamata "discriminante".

Equazioni di grado superiore al terzo

Per le equazioni di quarto grado si può determinare ancora una formula risolutiva con calcoli relativamente onerosi, ma per gradi pari o superiori al quinto vale il seguente teorema:

Teorema di Abel-Ruffini: non esiste una relazione risolutiva generale esprimibile tramite radicali per le equazioni polinomiali di grado 5 o superiore.

Successivamente Évariste Galois scoprì che un'equazione è risolubile per radicali se, e solo se, il gruppo di Galois associato ad essa è risolubile.

Riferimenti

[1] Equazione di terzo grado - Wikipedia