Il campo elettrostatico e il potenziale elettrostatico

Il campo e il potenziale elettrostatici

Oltre ai concetti di carica e di energia elettrica, un altro concetto a cui siamo tutti più o meno familiari è quello di tensione elettrica. Parole come "alta tensione" o "bassa tensione" sono entrati nel quotidiano. In questo post continuiamo la serie sull'elettromagnetismo e proviamo a dare una definizione matematica e fisica della tensione. Meno comune, invece, è il concetto di campo elettrico.

Se te li fossi persi, ti consiglierei di andare a leggere i post precedenti sulla carica e sull'energia potenziale elettrica, poiché lì troverai le conoscenze necessarie a una lettura ottimale.

Sommario

• Il campo elettrostatico
• Definizione
• Calcolare i campi elettrostatici delle distribuzioni di carica
• Il potenziale elettrostatico
• Definizione
• Calcolo del potenziale delle distribuzioni di carica
• Immagini

Il campo elettrostatico

Definizione

Abbiamo definito grazie alla legge di Coulomb la forza \(\vec{\mathbf{F}}\) d'interazione tra cariche. A partire da questa forza si può definire un campo vettoriale, detto campo elettrostatico \(\vec{\mathbf{E}}\). S'immagini che nello spazio si trovino una carica \(q_0\) in posizione \(\vec{\mathbf{r}}_0\) e una carica fittizia \(q\) in posizione \(\vec{\mathbf{r}}\). La carica \(q_0\) esercita una forza \(\vec{\mathbf{F}}\) sulla carica \(q\). Il campo elettrostatico si definisce come il rapporto tra la forza di Coulomb \(\vec{\mathbf{F}}\) che verrebbe esercitata sulla carica \(q\) se questa esistesse in posizione \(\vec{\mathbf{r}}\):

$$ \vec{\mathbf{E}} \left(\vec{\mathbf{r}}\right) = \dfrac{\vec{\mathbf{F}}\left(\vec{\mathbf{r}}\right)}{q} $$

In posizione \(\vec{\mathbf{r}}\) non deve necessariamente esistere una carica. Per questo motivo \(q\) viene detta fittizia. Si ammette che il campo elettrico esista in posizione \(\vec{\mathbf{r}}\) indipendentemente dall'esistenza di una carica \(q\) in quella posizione. Il campo elettrico diventa, così, una proprietà dello spazio dipendente solo dalla posizione e dalla carica \(q_0\) che lo genera.

Calcolare i campi elettrostatici delle distribuzioni di carica

Iniziamo analizzando il campo elettrostatica di una singola carica:

$$ \vec{\mathbf{E}} \left(\vec{\mathbf{r}}\right) = \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon} \dfrac{q_0}{r^2} \hat{\mathbf{r}} $$

dove \(r = \left|\vec{\mathbf{r}}-\vec{\mathbf{r}}_0 \right| \) è la distanza tra la posizione \(\vec{\mathbf{r}}\) e la posizione \(\vec{\mathbf{r}}_0\) della carica che origina il campo e \( \hat{\mathbf{r}} = \left(\vec{\mathbf{r}}-\vec{\mathbf{r}}_0 \right)/r \) è il versore che dalla posizione \(\vec{\mathbf{r}}_0\) punta verso \(\vec{\mathbf{r}}\). 

Poiché la forza di Coulomb rispetta il principio di sovrapposizione, anche il campo elettrostatico lo rispetta: date \(n\) cariche \(q_1,...,q_n\) nelle posizioni \(\vec{\mathbf{r}}_1,...,\vec{\mathbf{r}}_n\) il campo elettrostatico \(\vec{\mathbf{E}}\) in posizione \(\vec{\mathbf{r}}\) è dato dalla somma dei campi elettrostatici \(\vec{\mathbf{E}}_1,...,\vec{\mathbf{E}}_n\) delle singole cariche:

$$ \vec{\mathbf{E}} \left(\vec{\mathbf{r}}\right) = \sum\limits_{i=1}^{n} \vec{\mathbf{E}}_i \left(\vec{\mathbf{r}}\right) = \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon} \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{q_i}{r_i^2} \hat{\mathbf{r}}_i $$

dove \(r_i = \left|\vec{\mathbf{r}}-\vec{\mathbf{r}}_i \right| \) è la distanza tra la posizione \(\vec{\mathbf{r}}\) e la posizione \(\vec{\mathbf{r}}_i\) della carica che origina il campo \(i\)-esimo e \( \hat{\mathbf{r}}_i = \left(\vec{\mathbf{r}}-\vec{\mathbf{r}}_i \right)/r_i \) è il versore che dalla posizione \(\vec{\mathbf{r}}_i\) punta verso \(\vec{\mathbf{r}}\). 

Se la distribuzione è continua, bisogna sommare i contributi infinitesimi dei campi:

$$ \vec{\mathbf{E}} \left(\vec{\mathbf{r}}\right) = \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon} \int \dfrac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}dq_0 $$

dove \(dq_0\) è la carica infinitesima che genera il campo, \(\vec{\mathbf{r}}_0\) è la sua posizione, \(r = \left|\vec{\mathbf{r}}-\vec{\mathbf{r}}_0 \right| \) è la distanza tra la posizione \(\vec{\mathbf{r}}\) e la posizione \(\vec{\mathbf{r}}_0\) della carica \(dq\) e \( \hat{\mathbf{r}} = \left(\vec{\mathbf{r}}-\vec{\mathbf{r}}_0 \right)/r \) è il versore che dalla posizione \(\vec{\mathbf{r}}_0\) punta verso \(\vec{\mathbf{r}}\). In generale \(\hat{\mathbf{r}}_0\) dipende dalla carica \(dq_0\), quindi poni attenzione nel portarlo fuori dall'integrale.

Il potenziale elettrostatico

Definizione

Ciò che comunemente è chiamato "tensione" altro non è che il potenziale elettrico. Abbiamo visto come l'energia potenziale elettrica sia definita in elettrostatica (lo sottolineo) come l'opposto del lavoro della forza di Coulomb. Infatti, quest'ultima è conservativa ed è possibile definirne una funzione potenziale, solitamente riferita all'infinito. E cosa si può dire del campo elettrostatico?

Essendo la forza di Coulomb conservativa ed essendo il campo elettrostatico definito come la forza di Coulomb per unità di carica, anche il campo elettrostatico è conservativo, ovvero la sua circuitazione su un qualsiasi percorso \(\gamma\) chiuso è nulla.

$$ \oint\limits_{\gamma} \vec{\mathbf{E}} \cdot d\vec{\mathbf{r}} = \dfrac{1}{q} \oint\limits_{\gamma} \vec{\mathbf{F}} \cdot d\vec{\mathbf{r}} = 0 $$

Pertanto, si può definire una funzione potenziale \(V:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}\), detta potenziale elettrostatico tale che 

$$ \vec{\mathbf{E}} = -\nabla V $$

Così definita, questa funzione potenziale \(V\) è anche tale che

$$ - \int\limits_{\vec{\mathbf{r}}_i}^{\vec{\mathbf{r}}_f} \vec{\mathbf{E}} \cdot d\vec{\mathbf{r}} = V\left(\vec{\mathbf{r}}_f\right) - V\left(\vec{\mathbf{r}}_i\right) $$

per il teorema fondamentale del calcolo integrale. La differenza \( \Delta V = V\left(\vec{\mathbf{r}}_f\right) - V\left(\vec{\mathbf{r}}_i\right) \) di potenziale elettrico è ciò che nel linguaggio comune si chiama tensione. Come si può notare esistono infinite funzione potenziali \(V\) tali che l'equazione precedente sia soddisfatta, tutte differenti per una costante \(c\in\mathbb{R}\). Solitamente si riferisce \(V\) all'infinito, ovvero si pone potenziale elettrico nullo per un punto a distanza infinita dalla carica (o dalle cariche). Operativamente, se \(\vec{\mathbf{r}}_i = r_i \hat{\mathbf{r}}\) è la posizione "iniziale" (ricordiamo che \(q_0\) è fittizia) si pone \(V\left(\vec{\mathbf{r}}_i\right) = 0\) per \(r_i \rightarrow \infty\). In tal modo \(V\) in ogni punto \(\vec{\mathbf{r}}\) dello spazio vale

$$ V\left(\vec{\mathbf{r}}\right) = - \int\limits_{\infty}^{\vec{\mathbf{r}}} \vec{\mathbf{E}} \cdot d\vec{\mathbf{r}} $$

Calcolo del potenziale delle distribuzioni di carica

Iniziamo calcolando il potenziale elettrico generato da una carica \(q_0\) in coordinate sferiche:

$$ V\left(\vec{\mathbf{r}}\right) = - \int\limits_{\infty}^{\vec{\mathbf{r}}} \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon} \dfrac{q_0}{r^2} \hat{\mathbf{r}} \cdot d\vec{\mathbf{r}} = - \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon} q_0 \int\limits_{\infty}^{ r } \dfrac{dr}{r^2} = \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon} \dfrac{q_0}{r} $$

Ora, il potenziale di una distribuzione di \(n\) cariche \(q_1,...,q_n\) nelle posizioni \(\vec{\mathbf{r}}_1,...,\vec{\mathbf{r}}_n\) può essere calcolato tramite il principio di sovrapposizione:

$$ V\left(\vec{\mathbf{r}}\right) = - \int\limits_{\infty}^{\vec{\mathbf{r}}} \sum\limits_{i=1}^{n} \vec{\mathbf{E}}_i \cdot d\vec{\mathbf{r}} = \sum\limits_{i=1}^{n} \left( - \int\limits_{\infty}^{\vec{\mathbf{r}}} \vec{\mathbf{E}}_i \cdot d\vec{\mathbf{r}} \right) = \sum\limits_{i=1}^{n} V_i \left(\vec{\mathbf{r}}\right) = \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon} \sum\limits_{i=1}^{n}  \dfrac{q_i}{r_i} $$

Se la distribuzione è continua, va integrato il contributo infinitesimo \(d\vec{\mathbf{E}}\) al campo vettoriale sulla distribuzione di carica:

$$ V\left(\vec{\mathbf{r}}\right) = - \int\limits_{\infty}^{\vec{\mathbf{r}}} \int \vec{\mathbf{E}} \cdot d\vec{\mathbf{r}} = \int \left(- \int\limits_{\infty}^{\vec{\mathbf{r}}} \vec{\mathbf{E}} \cdot d\vec{\mathbf{r}} \right) = \int dV = \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon} \int \dfrac{dq_0}{r} $$

dove \(r\) è la distanza della carica infinitesima \(dq_0\) dalla posizione \(\vec{\mathbf{r}}\) in cui si vuole calcolare il potenziale.

Immagini

Figura d'intestazione: avviso di linea in tensione. Fotografato alla stazione di Trieste Airport.