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Lo studio di funzione

Cos'è e a cosa serve lo studio di funzione?  Lo studio di funzione è un importante strumento dell'analisi matematica per poter comprendere al meglio le caratteristiche di una funzione. Ne discende che chiunque lavori nell'ambito delle scienze esatte deve padroneggiare l'abilità di studiare una funzione. In questo post vedremo come si fa uno studio di funzione, a una o più variabili, portando due esempi. Inoltre, vedremo in qual modo lo studio di una funzione possa essere applicato a un caso reale. Studio di funzione: come si fa? Lo studio di una funzione reale a variabili reali deve passare per i seguenti passi in modo ordinato: Dominio e l'immagine : ponendo le condizioni di esistenza della funzione f:DC si può comprendere quale sia il suo dominio naturale D. Inoltre, non meno importante è studiare quale sia l'immagine Im, che può darci utili informazioni. Simmetrie : cerchia...

Il campo elettrostatico e il potenziale elettrostatico

Il campo e il potenziale elettrostatici

Oltre ai concetti di carica e di energia elettrica, un altro concetto a cui siamo tutti più o meno familiari è quello di tensione elettrica. Parole come "alta tensione" o "bassa tensione" sono entrati nel quotidiano. In questo post continuiamo la serie sull'elettromagnetismo e proviamo a dare una definizione matematica e fisica della tensione. Meno comune, invece, è il concetto di campo elettrico.

Se te li fossi persi, ti consiglierei di andare a leggere i post precedenti sulla carica e sull'energia potenziale elettrica, poiché lì troverai le conoscenze necessarie a una lettura ottimale.

Sommario

  • Il campo elettrostatico
    • Definizione
    • Calcolare i campi elettrostatici delle distribuzioni di carica
  • Il potenziale elettrostatico
    • Definizione
    • Calcolo del potenziale delle distribuzioni di carica
  • Immagini

Il campo elettrostatico

Definizione

Abbiamo definito grazie alla legge di Coulomb la forza F d'interazione tra cariche. A partire da questa forza si può definire un campo vettoriale, detto campo elettrostatico E. S'immagini che nello spazio si trovino una carica q0 in posizione r0 e una carica fittizia q in posizione r. La carica q0 esercita una forza F sulla carica q. Il campo elettrostatico si definisce come il rapporto tra la forza di Coulomb F che verrebbe esercitata sulla carica q se questa esistesse in posizione r:

E(r)=F(r)q

In posizione r non deve necessariamente esistere una carica. Per questo motivo q viene detta fittizia. Si ammette che il campo elettrico esista in posizione r indipendentemente dall'esistenza di una carica q in quella posizione. Il campo elettrico diventa, così, una proprietà dello spazio dipendente solo dalla posizione e dalla carica q0 che lo genera.

Calcolare i campi elettrostatici delle distribuzioni di carica

Iniziamo analizzando il campo elettrostatica di una singola carica:

E(r)=14πεq0r2r^

dove r=|rr0| è la distanza tra la posizione r e la posizione r0 della carica che origina il campo e r^=(rr0)/r è il versore che dalla posizione r0 punta verso r

Poiché la forza di Coulomb rispetta il principio di sovrapposizione, anche il campo elettrostatico lo rispetta: date n cariche q1,...,qn nelle posizioni r1,...,rn il campo elettrostatico E in posizione r è dato dalla somma dei campi elettrostatici E1,...,En delle singole cariche:

E(r)=i=1nEi(r)=14πεi=1nqiri2r^i

dove ri=|rri| è la distanza tra la posizione r e la posizione ri della carica che origina il campo i-esimo e r^i=(rri)/ri è il versore che dalla posizione ri punta verso r

Se la distribuzione è continua, bisogna sommare i contributi infinitesimi dei campi:

E(r)=14πεr^r2dq0

dove dq0 è la carica infinitesima che genera il campo, r0 è la sua posizione, r=|rr0| è la distanza tra la posizione r e la posizione r0 della carica dq e r^=(rr0)/r è il versore che dalla posizione r0 punta verso r. In generale r^0 dipende dalla carica dq0, quindi poni attenzione nel portarlo fuori dall'integrale.

Il potenziale elettrostatico

Definizione

Ciò che comunemente è chiamato "tensione" altro non è che il potenziale elettrico. Abbiamo visto come l'energia potenziale elettrica sia definita in elettrostatica (lo sottolineo) come l'opposto del lavoro della forza di Coulomb. Infatti, quest'ultima è conservativa ed è possibile definirne una funzione potenziale, solitamente riferita all'infinito. E cosa si può dire del campo elettrostatico?

Essendo la forza di Coulomb conservativa ed essendo il campo elettrostatico definito come la forza di Coulomb per unità di carica, anche il campo elettrostatico è conservativo, ovvero la sua circuitazione su un qualsiasi percorso γ chiuso è nulla.

γEdr=1qγFdr=0

Pertanto, si può definire una funzione potenziale V:R3R, detta potenziale elettrostatico tale che 

E=V

Così definita, questa funzione potenziale V è anche tale che

rirfEdr=V(rf)V(ri)

per il teorema fondamentale del calcolo integrale. La differenza ΔV=V(rf)V(ri) di potenziale elettrico è ciò che nel linguaggio comune si chiama tensione. Come si può notare esistono infinite funzione potenziali V tali che l'equazione precedente sia soddisfatta, tutte differenti per una costante cR. Solitamente si riferisce V all'infinito, ovvero si pone potenziale elettrico nullo per un punto a distanza infinita dalla carica (o dalle cariche). Operativamente, se ri=rir^ è la posizione "iniziale" (ricordiamo che q0 è fittizia) si pone V(ri)=0 per ri. In tal modo V in ogni punto r dello spazio vale

V(r)=rEdr

Calcolo del potenziale delle distribuzioni di carica

Iniziamo calcolando il potenziale elettrico generato da una carica q0 in coordinate sferiche:

V(r)=r14πεq0r2r^dr=14πεq0rdrr2=14πεq0r

Ora, il potenziale di una distribuzione di n cariche q1,...,qn nelle posizioni r1,...,rn può essere calcolato tramite il principio di sovrapposizione:

V(r)=ri=1nEidr=i=1n(rEidr)=i=1nVi(r)=14πεi=1nqiri

Se la distribuzione è continua, va integrato il contributo infinitesimo dE al campo vettoriale sulla distribuzione di carica:

V(r)=rEdr=(rEdr)=dV=14πεdq0r

dove r è la distanza della carica infinitesima dq0 dalla posizione r in cui si vuole calcolare il potenziale.

Immagini

Figura d'intestazione: avviso di linea in tensione. Fotografato alla stazione di Trieste Airport.

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