Matesica

Cos'è una funzione? Sicuramente avrai sentito parlare di funzioni alle superiori, ma sono un concetto che può sembrare difficile da comprendere per chi è alle prime armi. Cosa significa quella scritta \(f(x)\)? E quei simboli \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)? In questo post cercheremo di rispondere a queste domande! Se ti sei perso il post sui fondamenti d'insiemistica si consiglio di leggerlo. Sommario Definizioni Operazioni Estensione e restrizione Applicazioni Immagini Definizioni Siano \(D\) e \(C\) due insiemi qualsiasi. Una funzione \(f\) (a volte chiamata applicazione ) si definisce come una legge che associa ad ogni elemento \(x\) di \(D\) un elemento \(y\) di \(C\). Quest'associazione si scrive con la notazione $$ f: D \rightarrow C $$ o, equivalentemente, $$ x \longmapsto f(x) $$ Figura 1: esempio di funzione. L'insieme blu si chiama dominio , quello viola codominio . Figura 2: esempio di non funzione. La legge associa a \(b\) due elementi, mentre per

Alle basi della matematica  La definizione dei campi e degli spazi vettoriali apre la strada a nuovi strumenti matematici in ogni scienza. I campi permettono la definizione dei polinomi, delle radici di questi e degli spazi vettoriali. Grazie agli spazi vettoriali si può facilmente modellizzare la realtà e non solo. Vediamo in questo post come si definiscono. Sommario Campo Spazio vettoriale Definizione Combinazione lineare, base e dimensione di Hamel Sottospazio vettoriale e formula di Grassmann Spazio normato Spazio di Banach Spazio di Hilbert Spazio vettoriale topologico Spazi vettoriali notevoli Retta reale \(\mathbb{R}\) Numeri complessi \(\mathbb{C}\) Spazi \(\mathbb{K}^n\) Spazi \(\mathbb{K}_n[x]\) dei polinomi Spazi \(\mathbb{K}^{m\times n}\) delle matrici Spazi \(\mathcal{C}^{n}\) Spazi \(\mathbb{K}^{X}\) delle funzioni Estensione di campo Riferimenti Immagini Campo Sia \(\mathbb{K}\) un insieme in cui sono definite due operazioni binarie \(+\) e \(*\). \(\mathbb{K}\) si defin

Alle basi della matematica moderna: i gruppi Figura 1: ritratto di Évariste Galois a 15 anni. La teoria dei gruppi , di cui Évariste Galois è considerato il padre, nacque nel XIX secolo per lo studio delle equazioni polinomiali. Grazie ai lavori di Galois, Paolo Ruffini e Niels Henrik Abel dimostrarono il teorema di Abel-Ruffini, secondo cui non esistono soluzioni generali espresse tramite radicali di un'equazione polinomiale di grado maggiore o uguale a \(5\). Sommario Definizioni e proprietà Definizione Permutazioni e gruppo simmetrico Fondamenti di teoria dei gruppi Omomorfismo e isomorfismo Sottogruppo e generatore Classe laterale Sottogruppo normale Gruppo quoziente Gruppo ciclico Operazioni Prodotto diretto e semidiretto Prodotto libero Presentazione di un gruppo Gruppo libero Presentazione Riferimenti Immagini Definizioni e proprietà Definizione Sia \(G\) un insieme in cui sia definita un operazione binaria \(*\). Se quest'operazione è una funzione associa a due elementi

Le matrici Nel post sugli spazi vettoriali abbiamo citato un particolare spazio vettoriale: \(\mathbb{K}^{m \times n}\), lo spazio delle matrici \(m \times n\). Se hai seguito un corso di geometria analitica avrai sicuramente sentito parlare delle matrici, che sono fondamentali nello studio degli spazi vettoriali. Basti pensare al post sul cambiamento di base: esso viene attuato praticamente con una matrice. In generale a tutte le trasformazioni lineari viene associata una matrice e la loro struttura di spazio vettoriale garantisce loro importanti proprietà. In questo post esploreremo la teoria sul calcolo matriciale. Se non l'hai ancora fatto, ti consiglio di dare una letta al post sui campi e sugli spazi vettoriali. Sommario Cos'è una matrice? Operazioni con le matrici Somma Moltiplicazione per elemento Moltiplicazione tra matrici Somma diretta Spazio delle matrici Cos'è una matrice? Intuitivamente abbiamo tutti in mente cosa significhi "matrice". Al suono di qu

Irrazionalità e trascendenza Non tutti sono a conoscenza della suddivisione dei numeri in algebrici e trascendenti . La distinzione  tra questi è più importante di quanto possa sembrare. Vediamo come si definiscono questi numeri. Sommario I numeri algebrici Definizione Operazioni I numeri trascendenti Definizione e storia Operazioni Estensioni algebriche e trascendenti Riferimenti Immagini I numeri algebrici Definizione Si definisce algebrico  un numero complesso \(z\) che è la radice di un polinomio \(p(x)\) non nullo a coefficienti interi, ovvero se è la soluzione di almeno un'equazione polinomiale nella forma $$ \sum\limits_{k=0}^n a_k x^k = 0 $$ dove i coefficienti \(a_0,...,a_n\) sono interi (o, equivalentemente, razionali) non tutti nulli e \(n \geq 1\). Si dice \(n\) il grado di algebricità di \(z\) se questo risolve un'equazione polinomiale di grado \(n\) e nessun'equazione di grado inferiore. Figura 1: Numeri algebrici colorati per grado (blu = 4, ciano = 3, rosso