L'integrale: alle basi del calcolo integrale

Cos'è l'integrale? - I fondamenti del calcolo integrale

Probabilmente ti sarà capitato a scuola di incontrare questo strano simbolo \( \int \), ma cosa significa? Come si calcola un integrale e cos'è? L'integrale è alla base di una branca dell'analisi matematica, chiamata "calcolo integrale". È uno strumento fondamentale dell'analisi del continuo, utilizzato nelle più disparate scienze precise: dalla fisica all'economia. Dunque, per uno studente STEM conoscerne il significato e l'utilizzo è essenziale. 

In questo post definiremo l'integrale di una funzione reale a valori reali per gli studenti di liceo e vedremo quali sono le sue generalizzazioni, utili per gli studenti universitari.

Prerequisiti:

• numeri reali
• calcolo differenziale

Indice dei contenuti

• L'integrale di Riemann
• Funzioni reali a una variabile
• Esempio
• Funzioni reali a più variabili
• L'integrale di Darboux
• Funzioni reali a una variabile
• Funzioni reali a più variabili
• Proprietà
• Fonte delle immagini
• Riferimenti

L'integrale di Riemann [ torna al menu ]

Esistono diverse definizioni di integrale. Iniziamo dalla definizione data da Bernhard Riemann.

Funzioni reali a una variabile [ torna al menu ]

Iniziamo il nostro percorso con il caso più semplice: l'integrale di una funzione reale a una variabile \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\), con \([a,b] \subset \mathbb{R}\).

Immaginiamo di aver tracciato il grafico \(\Gamma\) di questa funzione sul piano cartesiano \(Oxy\) e di voler calcolare l'area sottesa tra il grafico della funzione e l'asse \(x\) delle ascisse in un intervallo \( [a,b]\) di quest'ultimo. Se la porzione di piano indicata non è una figura di cui già conosciamo la formula, come ad esempio un triangolo o un rettangolo, il calcolo sarebbe impossibile. È a questo punto che arriva in aiuto un nuovo strumento: l'integrale.

Suddividiamo l'intervallo \([a,b]\) in \(n\) sottointervalli \([x_0,x_1],[x_1,x_2],...,[x_{n-1},x_n]\), definiti dai nodi \(x_0,x_1,...,x_{n-1},x_n\) con \(x_0 = a\) e \(x_n=b\). Tale suddivisione prende il nome di "partizione" dell'intervallo \([a,b]\). Ora, consideriamo per ogni sottointervallo

• la lunghezza del sottointervallo: \( x_j - x_{j-1}\);
• il minimo valore assunto dalla funzione nel \(j\)-esimo sottointervallo \( \min\limits_{x \in [x_{j-1},x_j]} f(x) \)
• il massimo valore assunto dalla funzione nel \(j\)-esimo sottointervallo \( \max\limits_{x \in [x_{j-1},x_j]} f(x) \)

La massima lunghezza \(|\Delta| = \max\limits_{j\in \{1,...,n\}} \left( x_j - x_{j-1} \right) \) prende il nome di "calibro" della partizione.

Ora, definiamo una grandezza che chiameremo somma di Riemann: 

$$ \sigma_n = \sum\limits_{j=1}^n \left( x_j - x_{j-1} \right) f(t_j) $$

dove \( t_j \in [x_{j-1} , x_j ] \). \(\sigma_n \) rappresenta la somma dei rettangoli con base di lunghezza \(x_j - x_{j-1}\) pari alla lunghezza dell'intervallo \([x_{j-1},x_j]\) e di altezza pari a un valore della funzione \(f(t_j)\) nello stesso intervallo. 

Scelte comuni di \(t_j\) sono

• \(t_j = x_{j-1} \), nel qual caso \(\sigma_n\) si chiama somma sinistra di Riemann;
• \(t_j = x_j \), nel qual caso \(\sigma_n\) si chiama somma destra di Riemann;
• \(t_j = \frac{x_j - x_{j-1}}{2}\), nel qual caso \(\sigma_n\) si chiama somma media di Riemann;
• \(t_j \in [ x_{j-1},x_j ] : f(t_j) = \min\limits_{x \in [ x_{j-1},x_j ] } f(x) \), nel qual caso \(\sigma_n\) si chiama somma inferiore di Riemann;
• \(t_j \in [ x_{j-1},x_j ] : f(t_j) = \max\limits_{x \in [ x_{j-1},x_j ] } f(x) \), nel qual caso \(\sigma_n\) si chiama somma superiore di Riemann;

Ora, l'idea è quella di prendere partizioni sempre più fini, ovvero di aumentare il numero \(n\) di poli fino a infinito, in modo da rendere infinitamente piccoli gli intervalli \([x_{j-1},x_j]\). Ciò avviene se il calibro \(| \Delta |\) tende a \(0\).

\(f\) si dice integrabile secondo Riemann o Riemann-integrabile nell'intervallo \([a,b]\) se esiste ed è finito il limite 

$$ \int_a^b f(x) \mspace{3mu} dx := \lim\limits_{| \Delta | \rightarrow 0} \sigma_n \tag{1} \label{eq1} $$

definito integrale di Riemann. \(dx\) rappresenta una variazione infinitamente piccola della variabile \(x\), ovvero la lunghezza di un intervallo infinitamente piccolo sull'asse \(x\).

Si può dimostrare che la convergenza del limite \(\eqref{eq1}\) non dipende dalla scelta di \(t_j\).

Figura 1: l'immagine mostra l'approssimazione dell'area sotto il grafico della funzione \(f(x)\) con una partizione a cinque nodi equidistanti con \(x_0 = a\) e \(x_5 = b\) con una somma sinistra di Riemann.

Esempio [ torna al menu ]

Proviamo a calcolare l'integrale della funzione \(f(x) = c\) nell'intervallo \([a,b]\), con \(c \in \mathbb{R}\) una costante. Iniziamo creando una partizione dell'intervallo con poli \(x_0=a,x_1,...,x_n=b\) equidistanti, ovvero tali che

\( \quad x_j-x_{j-1} = x_i-x_{i-1} \mspace{7mu} \forall i,j \in \{1,...,n\}\)

In tal modo il calibro \(|\Delta|\) della partizione è pari alla lunghezza di un qualsiasi intervallo \([x_{j-1},x_j]\).

Calcoliamo, ora, la somma di Riemann:

\( \quad \sigma_n = c \sum\limits_{j=1}^n \left( x_j - x_{j-1} \right) = c(b-a) \)

Infatti, \(f(t_j)\) è pari a \(c\) per ogni scelta di \(t_j \in [x_{j-1},x_j]\), essendo la funzione costante, e \(\sum\limits_{j=1}^n \left( x_j - x_{j-1} \right)\) è una somma telescopica.

Infine, si ha

\( \quad \int_a^b f(x) \mspace{3mu} dx := \lim\limits_{x_j - x_{j-1} \rightarrow 0} c(b-a) = c(b-a) \)

Il risultato è intuitivo: l'area sottesa è un rettangolo di base \(b-a\) e altezza \(c\), dunque pari a \(c(b-a)\).

Funzioni reali a più variabili [ torna al menu ]

In più dimensioni l'integrale di una funzione \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\), con \(D \subset \mathbb{R}^n\), rappresenta il volume \(n\)-dimensionale sotteso tra l'iperpiano \(x_1,...,x_n\) e il grafico \(\Gamma\) della funzione \(f\).

L'idea alla base della definizione è sempre la stessa, generalizzata a più dimensioni. Sia \(\mu\) una misura e \(\mathcal{P} = \{D_1, ... , D_k\}\) una partizione del dominio \(D\) in domini normali. La somma di Riemann per \(f\) si definisce

$$ \sigma_k = \sum\limits_{j=1}^k \mu \left( D_j \right) f(t_j) $$

dove \(t_j \in D_j\). 

La funzione \(f\) si dice integrabile secondo Riemann, o Riemann-integrabile, se esiste ed è finito il limite

$$ \lim\limits_{\mu \left( D_j \right) \rightarrow 0 } \sigma_k := \int\limits_N f(x) \mspace{3mu} dN $$

L'integrale di Darboux [ torna al menu ]

La definizione di integrale di Gaston Darboux è del tutto equivalente a quella di Riemann, ma ha il vantaggio di essere più semplice.

Funzioni reali a una variabile [ torna al menu ]

Sia \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} \) una funzione continua in \( [a,b] \subset \mathbb{R}\). Suddividiamo, come per l'integrale di Riemann, l'intervallo in una partizione 

\( \quad \mathcal{P} = \{x_0,...,x_n : x_0 = a \lt x_1 \lt ... \lt x_{n-1} \lt x_n = b \}\)

di \(n\) intervalli individuati dai nodi \(x_0,...,x_n \in \mathbb{R}\).

Definiamo ora le seguenti grandezze:

• Somma inferiore di Darboux: $$ s(\mathcal{P},f) = \sum\limits_{i=1}^n (x_i - x_{i-1}) \inf\limits_{t \in [x_{i-1},x_i]} f(t) $$
• Somma superiore di Darboux: $$ S(\mathcal{P},f) = \sum\limits_{i=1}^n (x_i - x_{i-1}) \sup\limits_{t \in [x_{i-1},x_i]} f(t) $$

La funzione \(f\) è limitata per il teorema di Weierstrass, dunque ammette l'esistenza degli estremi inferiore e superiore per ogni intervallo della partizione. In particolare ammette un minimo e un massimo, ovvero esistono \(m = \min\limits_{x \in [a,b]} f(x) \) e \(M = \max\limits_{x \in [a,b]} f(x) \).

\( \quad m \leq f(x) \leq M \mspace{10mu} \forall x \in [a,b] \)

Allora si può dimostrare che per ogni coppia di partizioni \((\mathcal{P}_1,\mathcal{P}_2)\) di \([a,b]\) si ha

\( \quad m(b-a) \leq s(\mathcal{P}_1,f) \leq S (\mathcal{P}_2,f) \leq M(b-a) \mspace{10mu} \forall (\mathcal{P}_1,\mathcal{P}_2) \)

Definiti gli insiemi delle somme inferiori e superiori di Darboux al variare della partizione \(\mathcal{P}\) come segue:

• \( \sigma = \{s(\mathcal{P},f)\}_{\mathcal{P}} \)
• \( \Sigma = \{S(\mathcal{P},f)\}_{\mathcal{P}} \)

dalla disequazione precedente segue che gli insiemi \(\sigma\) e \(\Sigma\) formano due classi separate, ovvero 

\( \quad s \leq S \mspace{10mu} \forall s\in \sigma, \forall S \in \Sigma \)

Per l'assioma di Dedekind sulla completezza dell'insieme \(\mathbb{R}\) esiste un numero reale \(\chi\) tale che

\( \quad s \leq \chi \leq S \mspace{10mu} \forall s\in \sigma, \forall S \in \Sigma \) 

Se \(\chi\) è anche unico, allora \(f\) si dice integrabile secondo Darboux o Darboux-integrabile nell'intervallo \([a,b]\) e l'elemento 

$$ \chi := \int\limits_a^b f(x) \mspace{3mu} dx $$

si definisce integrale di Darboux.

Funzioni reali a più variabili [ torna al menu ]

Definiamo, ora, l'integrale di Darboux per funzioni a più variabili. Sia \(f: D \rightarrow \mathbb{R}^n\) una funzione limitata e continua sul dominio normale \(D \subset \mathbb{R}^n\). Siano \(m \) una misura di \(D\) e \( \mathcal{P} = \{ D_1 , ... , D_k \} \) una partizione di \(D\) in \(k\) domini normali.

Le somme di Darboux sono così definite:

• Somma inferiore di Darboux: $$ s(\mathcal{P},f) = \sum\limits_{i=1}^k m(N_i) \inf\limits_{t \in N_i} f(t) $$
• Somma superiore di Darboux: $$ S(\mathcal{P},f) = \sum\limits_{i=1}^k m(N_i) \sup\limits_{t \in N_i} f(t) $$

Come nel caso unidimensionale si può dimostrare le somme inferiori e superiori formano due classi separate al variare della partizione \(\mathcal{P}\), ovvero che

\( \quad \sup\limits_{\mathcal{P}} \{s(\mathcal{P},f) \} \leq \inf\limits_{\mathcal{P}} \{S(\mathcal{P},f)\}  \mspace{10mu} \forall s\in\sigma , \forall S \in Sigma \)

dove 

• \( \sigma = \{s(\mathcal{P},f)\}_{\mathcal{P}} \)
• \( \Sigma = \{S(\mathcal{P},f)\}_{\mathcal{P}} \)

\(f\) si dice integrabile secondo Darboux o Darboux-integrabile nel dominio \(D\) se e solo se l'elemento separatore \(\chi\) di queste due classi coincide con l'estremo superiore di \(\sigma\) e quello inferiore di \(\Sigma\). Se ciò accade, allora si pone

$$ \int\limits_a^b f(x) \mspace{3mu} dx := \chi = \sup\limits_{\mathcal{P}} \{ s(\mathcal{P},f)\} = \inf\limits_{\mathcal{P}} \{S(\mathcal{P},f)\} $$

e si definisce integrale di Darboux.

Proprietà [ torna al menu ]

L'integrale gode di diverse proprietà.

• Relazione tra l'integrale di Riemann e l'integrale di Darboux: una funzione è Riemann-integrabile se e solo se è Darboux-integrabile. In particolare, se i due integrali esistono, allora il loro valore è uguale. Per questo motivo non si fa distinzione tra i due e \(\int_D f \mspace{3mu} dD\) si chiama integrale di Riemann-Darboux.
• Linearità: siano \(f\) e \(g\) due funzioni continue e definite sul dominio \(D \subset \mathbb{R}^n\) e siano \(\lambda,\mu \in \mathbb{R}\) due scalari. Si ha $$ \int\limits_D \left( \lambda f(x) + \mu g(x) \right) \mspace{3mu} dD = \lambda \int\limits_D f(x) \mspace{3mu} dD + \mu \int\limits_D g(x) \mspace{3mu} dD $$
• Additività: sia \(f\) una funzione continua su un dominio \(D \subset \mathbb{R}^n\) e sia \(\mathcal{P} = \{D_1 ,..., D_k\} \) una partizione di \(D\). Si ha$$ \int\limits_D f(x) \mspace{3mu} dD = \sum\limits_{p=1}^k \int\limits_{D_p} f(x) \mspace{3mu} dD $$
• Monotonia: siano \(f\) e \(g\) due funzioni continue e definite sul dominio \(D \subset \mathbb{R}^n\) tali che \(f(x) \lt g(x)\) per ogni \(x \in D\). Si ha $$ \int\limits_D f(x) \mspace{3mu} dD \lt \int\limits_D g(x) \mspace{3mu} dD $$
• Disuguaglianza triangolare: sia \(f\) integrabile su un dominio \(D \subset \mathbb{R}^n\). Si ha $$ \left| \int\limits_D f(x) \mspace{3mu} dD \right| \leq \int\limits_D \left| f(x) \right| \mspace{3mu} dD $$

Fonte delle immagini [ torna al menu ]

Figura 1: generato con Microsoft Paint

Riferimenti [ torna al menu ]

Integrale di Darboux - Wikipedia

Integrale di Riemann - Wikipedia