L'integrale: alle basi del calcolo integrale

Cos'è l'integrale? - I fondamenti del calcolo integrale

Probabilmente ti sarà capitato a scuola di incontrare questo strano simbolo $\int$, ma cosa significa? Come si calcola un integrale e cos'è? L'integrale è alla base di una branca dell'analisi matematica, chiamata "calcolo integrale". È uno strumento fondamentale dell'analisi del continuo, utilizzato nelle più disparate scienze precise: dalla fisica all'economia. Dunque, per uno studente STEM conoscerne il significato e l'utilizzo è essenziale. 

In questo post definiremo l'integrale di una funzione reale a valori reali per gli studenti di liceo e vedremo quali sono le sue generalizzazioni, utili per gli studenti universitari.

Prerequisiti:

• numeri reali
• calcolo differenziale

Indice dei contenuti

• L'integrale di Riemann
• Funzioni reali a una variabile
• Esempio
• Funzioni reali a più variabili
• L'integrale di Darboux
• Funzioni reali a una variabile
• Funzioni reali a più variabili
• Proprietà
• Fonte delle immagini
• Riferimenti

L'integrale di Riemann [ torna al menu ]

Esistono diverse definizioni di integrale. Iniziamo dalla definizione data da Bernhard Riemann.

Funzioni reali a una variabile [ torna al menu ]

Iniziamo il nostro percorso con il caso più semplice: l'integrale di una funzione reale a una variabile $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, con $[a,b]\subset \mathbb{R}$.

Immaginiamo di aver tracciato il grafico $\mathrm{\Gamma }$ di questa funzione sul piano cartesiano $Oxy$ e di voler calcolare l'area sottesa tra il grafico della funzione e l'asse $x$ delle ascisse in un intervallo $[a,b]$ di quest'ultimo. Se la porzione di piano indicata non è una figura di cui già conosciamo la formula, come ad esempio un triangolo o un rettangolo, il calcolo sarebbe impossibile. È a questo punto che arriva in aiuto un nuovo strumento: l'integrale.

Suddividiamo l'intervallo $[a,b]$ in $n$ sottointervalli $[x_0,x_1],[x_1,x_2],...,[x_{n-1},x_n]$, definiti dai nodi $x_0,x_1,...,x_{n-1},x_n$ con $x_0=a$ e $x_n=b$. Tale suddivisione prende il nome di "partizione" dell'intervallo $[a,b]$. Ora, consideriamo per ogni sottointervallo

• la lunghezza del sottointervallo: $x_j-x_{j-1}$;
• il minimo valore assunto dalla funzione nel $j$-esimo sottointervallo $\underset{x\in [x_{j-1},x_j]}{min}f(x)$
• il massimo valore assunto dalla funzione nel $j$-esimo sottointervallo $\underset{x\in [x_{j-1},x_j]}{max}f(x)$

La massima lunghezza $|\mathrm{\Delta }|=\underset{j\in \{1,...,n\}}{max}(x_j-x_{j-1})$ prende il nome di "calibro" della partizione.

Ora, definiamo una grandezza che chiameremo somma di Riemann: 

$${\sigma }_n=\sum _{j=1}^n(x_j-x_{j-1})f(t_j)$$

dove $t_j\in [x_{j-1},x_j]$. ${\sigma }_n$ rappresenta la somma dei rettangoli con base di lunghezza $x_j-x_{j-1}$ pari alla lunghezza dell'intervallo $[x_{j-1},x_j]$ e di altezza pari a un valore della funzione $f(t_j)$ nello stesso intervallo. 

Scelte comuni di $t_j$ sono

• $t_j=x_{j-1}$, nel qual caso ${\sigma }_n$ si chiama somma sinistra di Riemann;
• $t_j=x_j$, nel qual caso ${\sigma }_n$ si chiama somma destra di Riemann;
• $t_j=\frac{x_j-x_{j-1}}{2}$, nel qual caso ${\sigma }_n$ si chiama somma media di Riemann;
• $t_j\in [x_{j-1},x_j]:f(t_j)=\underset{x\in [x_{j-1},x_j]}{min}f(x)$, nel qual caso ${\sigma }_n$ si chiama somma inferiore di Riemann;
• $t_j\in [x_{j-1},x_j]:f(t_j)=\underset{x\in [x_{j-1},x_j]}{max}f(x)$, nel qual caso ${\sigma }_n$ si chiama somma superiore di Riemann;

Ora, l'idea è quella di prendere partizioni sempre più fini, ovvero di aumentare il numero $n$ di poli fino a infinito, in modo da rendere infinitamente piccoli gli intervalli $[x_{j-1},x_j]$. Ciò avviene se il calibro $|\mathrm{\Delta }|$ tende a $0$.

$f$ si dice integrabile secondo Riemann o Riemann-integrabile nell'intervallo $[a,b]$ se esiste ed è finito il limite 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\int }_a^{b}f(x)dx:=\underset{|\mathrm{\Delta }|\to 0}{lim}{\sigma }_n\end{array}$$

definito integrale di Riemann. $dx$ rappresenta una variazione infinitamente piccola della variabile $x$, ovvero la lunghezza di un intervallo infinitamente piccolo sull'asse $x$.

Si può dimostrare che la convergenza del limite $\text{(1)}$ non dipende dalla scelta di $t_j$.

Figura 1: l'immagine mostra l'approssimazione dell'area sotto il grafico della funzione $f(x)$ con una partizione a cinque nodi equidistanti con $x_0=a$ e $x_5=b$ con una somma sinistra di Riemann.

Esempio [ torna al menu ]

Proviamo a calcolare l'integrale della funzione $f(x)=c$ nell'intervallo $[a,b]$, con $c\in \mathbb{R}$ una costante. Iniziamo creando una partizione dell'intervallo con poli $x_0=a,x_1,...,x_n=b$ equidistanti, ovvero tali che

$x_j-x_{j-1}=x_i-x_{i-1}\mathrm{\forall }i,j\in \{1,...,n\}$

In tal modo il calibro $|\mathrm{\Delta }|$ della partizione è pari alla lunghezza di un qualsiasi intervallo $[x_{j-1},x_j]$.

Calcoliamo, ora, la somma di Riemann:

${\sigma }_n=c\sum _{j=1}^n(x_j-x_{j-1})=c(b-a)$

Infatti, $f(t_j)$ è pari a $c$ per ogni scelta di $t_j\in [x_{j-1},x_j]$, essendo la funzione costante, e $\sum _{j=1}^n(x_j-x_{j-1})$ è una somma telescopica.

Infine, si ha

${\int }_a^{b}f(x)dx:=\underset{x_j-x_{j-1}\to 0}{lim}c(b-a)=c(b-a)$

Il risultato è intuitivo: l'area sottesa è un rettangolo di base $b-a$ e altezza $c$, dunque pari a $c(b-a)$.

Funzioni reali a più variabili [ torna al menu ]

In più dimensioni l'integrale di una funzione $f:D\to \mathbb{R}$, con $D\subset {\mathbb{R}}^n$, rappresenta il volume $n$-dimensionale sotteso tra l'iperpiano $x_1,...,x_n$ e il grafico $\mathrm{\Gamma }$ della funzione $f$.

L'idea alla base della definizione è sempre la stessa, generalizzata a più dimensioni. Sia $\mu$ una misura e $\mathcal{P}=\{D_1,...,D_k\}$ una partizione del dominio $D$ in domini normali. La somma di Riemann per $f$ si definisce

$${\sigma }_k=\sum _{j=1}^k\mu \left(D_j\right)f(t_j)$$

dove $t_j\in D_j$. 

La funzione $f$ si dice integrabile secondo Riemann, o Riemann-integrabile, se esiste ed è finito il limite

$$\underset{\mu \left(D_j\right)\to 0}{lim}{\sigma }_k:=\underset{N}{\int }f(x)dN$$

L'integrale di Darboux [ torna al menu ]

La definizione di integrale di Gaston Darboux è del tutto equivalente a quella di Riemann, ma ha il vantaggio di essere più semplice.

Funzioni reali a una variabile [ torna al menu ]

Sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una funzione continua in $[a,b]\subset \mathbb{R}$. Suddividiamo, come per l'integrale di Riemann, l'intervallo in una partizione 

$\mathcal{P}=\{x_0,...,x_n:x_0=a<x_1<...<x_{n-1}<x_n=b\}$

di $n$ intervalli individuati dai nodi $x_0,...,x_n\in \mathbb{R}$.

Definiamo ora le seguenti grandezze:

• Somma inferiore di Darboux: $$s(\mathcal{P},f)=\sum _{i=1}^n(x_i-x_{i-1})\underset{t\in [x_{i-1},x_i]}{inf}f(t)$$
• Somma superiore di Darboux: $$S(\mathcal{P},f)=\sum _{i=1}^n(x_i-x_{i-1})\underset{t\in [x_{i-1},x_i]}{sup}f(t)$$

La funzione $f$ è limitata per il teorema di Weierstrass, dunque ammette l'esistenza degli estremi inferiore e superiore per ogni intervallo della partizione. In particolare ammette un minimo e un massimo, ovvero esistono $m=\underset{x\in [a,b]}{min}f(x)$ e $M=\underset{x\in [a,b]}{max}f(x)$.

$m\le f(x)\le M\mathrm{\forall }x\in [a,b]$

Allora si può dimostrare che per ogni coppia di partizioni $({\mathcal{P}}_1,{\mathcal{P}}_2)$ di $[a,b]$ si ha

$m(b-a)\le s({\mathcal{P}}_1,f)\le S({\mathcal{P}}_2,f)\le M(b-a)\mathrm{\forall }({\mathcal{P}}_1,{\mathcal{P}}_2)$

Definiti gli insiemi delle somme inferiori e superiori di Darboux al variare della partizione $\mathcal{P}$ come segue:

• $\sigma =\{s(\mathcal{P},f){\}}_{\mathcal{P}}$
• $\mathrm{\Sigma }=\{S(\mathcal{P},f){\}}_{\mathcal{P}}$

dalla disequazione precedente segue che gli insiemi $\sigma$ e $\mathrm{\Sigma }$ formano due classi separate, ovvero 

$s\le S\mathrm{\forall }s\in \sigma ,\mathrm{\forall }S\in \mathrm{\Sigma }$

Per l'assioma di Dedekind sulla completezza dell'insieme $\mathbb{R}$ esiste un numero reale $\chi$ tale che

$s\le \chi \le S\mathrm{\forall }s\in \sigma ,\mathrm{\forall }S\in \mathrm{\Sigma }$ 

Se $\chi$ è anche unico, allora $f$ si dice integrabile secondo Darboux o Darboux-integrabile nell'intervallo $[a,b]$ e l'elemento 

$$\chi :=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$$

si definisce integrale di Darboux.

Funzioni reali a più variabili [ torna al menu ]

Definiamo, ora, l'integrale di Darboux per funzioni a più variabili. Sia $f:D\to {\mathbb{R}}^n$ una funzione limitata e continua sul dominio normale $D\subset {\mathbb{R}}^n$. Siano $m$ una misura di $D$ e $\mathcal{P}=\{D_1,...,D_k\}$ una partizione di $D$ in $k$ domini normali.

Le somme di Darboux sono così definite:

• Somma inferiore di Darboux: $$s(\mathcal{P},f)=\sum _{i=1}^{k}m(N_i)\underset{t\in N_i}{inf}f(t)$$
• Somma superiore di Darboux: $$S(\mathcal{P},f)=\sum _{i=1}^{k}m(N_i)\underset{t\in N_i}{sup}f(t)$$

Come nel caso unidimensionale si può dimostrare le somme inferiori e superiori formano due classi separate al variare della partizione $\mathcal{P}$, ovvero che

$\underset{\mathcal{P}}{sup}\{s(\mathcal{P},f)\}\le \underset{\mathcal{P}}{inf}\{S(\mathcal{P},f)\}\mathrm{\forall }s\in \sigma ,\mathrm{\forall }S\in Sigma$

dove 

• $\sigma =\{s(\mathcal{P},f){\}}_{\mathcal{P}}$
• $\mathrm{\Sigma }=\{S(\mathcal{P},f){\}}_{\mathcal{P}}$

$f$ si dice integrabile secondo Darboux o Darboux-integrabile nel dominio $D$ se e solo se l'elemento separatore $\chi$ di queste due classi coincide con l'estremo superiore di $\sigma$ e quello inferiore di $\mathrm{\Sigma }$. Se ciò accade, allora si pone

$$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx:=\chi =\underset{\mathcal{P}}{sup}\{s(\mathcal{P},f)\}=\underset{\mathcal{P}}{inf}\{S(\mathcal{P},f)\}$$

e si definisce integrale di Darboux.

Proprietà [ torna al menu ]

L'integrale gode di diverse proprietà.

• Relazione tra l'integrale di Riemann e l'integrale di Darboux: una funzione è Riemann-integrabile se e solo se è Darboux-integrabile. In particolare, se i due integrali esistono, allora il loro valore è uguale. Per questo motivo non si fa distinzione tra i due e ${\int }_{D}fdD$ si chiama integrale di Riemann-Darboux.
• Linearità: siano $f$ e $g$ due funzioni continue e definite sul dominio $D\subset {\mathbb{R}}^n$ e siano $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$ due scalari. Si ha $$\underset{D}{\int }(\lambda f(x)+\mu g(x))dD=\lambda \underset{D}{\int }f(x)dD+\mu \underset{D}{\int }g(x)dD$$
• Additività: sia $f$ una funzione continua su un dominio $D\subset {\mathbb{R}}^n$ e sia $\mathcal{P}=\{D_1,...,D_k\}$ una partizione di $D$. Si ha$$\underset{D}{\int }f(x)dD=\sum _{p=1}^k\underset{D_p}{\int }f(x)dD$$
• Monotonia: siano $f$ e $g$ due funzioni continue e definite sul dominio $D\subset {\mathbb{R}}^n$ tali che $f(x)<g(x)$ per ogni $x\in D$. Si ha $$\underset{D}{\int }f(x)dD<\underset{D}{\int }g(x)dD$$
• Disuguaglianza triangolare: sia $f$ integrabile su un dominio $D\subset {\mathbb{R}}^n$. Si ha $$|\underset{D}{\int }f(x)dD|\le \underset{D}{\int }|f(x)|dD$$

Fonte delle immagini [ torna al menu ]

Figura 1: generato con Microsoft Paint

Riferimenti [ torna al menu ]

Integrale di Darboux - Wikipedia

Integrale di Riemann - Wikipedia