Le trasformazioni termodinamiche

Analisi matematica delle trasformazioni termodinamiche

Nella progettazione e nell'analisi delle macchine in ingegneria, siano esse motori, pompe, compressori o altro. Grazie allo studio delle dinamiche interne alla materia durante la somministrazione di calore o la variazione di pressione, volume e temperatura è possibile pensare a dispositivi che possano servire all'uomo per facilitarne la vita quotidiana, dai motori termici ai frigoriferi. Per capire l'importanza di questo studio, basti pensare a come potrebbe presentarsi la società moderna senza invenzioni quali l'auto, le navi a motore e gli aeroplani. L'unica energia meccanica disponibile proverrebbe dall'energia elettrochimica delle batterie e delle fonti rinnovabili, non sufficienti a coprire il fabbisogno energetico mondiale al giorno d'oggi.

In questo post analizzeremo da un punto di vista matematico le trasformazioni termodinamiche dei gas ideali.

Indice dei contenuti

• Cos'è una trasformazione termodinamica?
  • I sistemi termodinamici
  • L'equazione di stato
• Le trasformazioni termodinamiche di un gas ideale
• Le trasformazioni isocore
• Le trasformazioni isobare
• Le trasformazioni isoterme
• Le trasformazioni adiabatiche reversibili o isoentropiche
• Le trasformazioni politropiche
• Riferimenti

Cos'è una trasformazione termodinamica?           [ torna al menu ]

I sistemi termodinamici              [ torna al menu ]

Prima di cominciare il nostro studio dobbiamo definire il suo oggetto:

Definizione 1: si dice trasformazione termodinamica una qualsiasi variazione di una delle variabili termodinamiche di un dato sistema termodinamico.

A questo punto sorge spontanea la prima domanda: cos'è un sistema termodinamico?

Definizione 2: si dice sistema termodinamico o volume di controllo una determinata regione di spazio a cui sono associabili le variabili termodinamiche.

A questo punto sorge spontanea la domanda: cos'è una variabile termodinamica?

Definizione 3: si dicono variabili termodinamiche le seguenti proprietà della materia:

• pressione \(p\);
• temperatura \(\Theta\);
• volume \(V\);
• quantità di materia \(n\).

Il vettore \((p,T,V,n)\) delle variabili termodinamiche indica lo stato termodinamico del sistema.

La pressione \(p\) in prima approssimazione (vogliano perdonarmi i matematici) si definisce come il rapporto tra una forza \(F\) che viene applicata ortogonalmente su una superficie \(S\) e la superficie stessa

$$ p = \dfrac FS $$

I fluidi esercitano una forza normale in ogni punto della superficie che li contiene per il principio di Pascal. Dunque, la pressione di un fluido può essere vista come l'intensità della forza esercitata sulle pareti del contenitore per unità di superficie dello stesso.

La temperatura \(\Theta\) è una misura dell'eccitazione termica delle molecole che compongono il fluido. Non è da confondersi con il calore! Quest'ultimo, infatti, è una forma di energia che, trasferendosi da un corpo a un altro, ne modifica la temperatura. La temperatura è una delle grandezze fondamentali del Sistema Internazionale. Usualmente si esprime con la lettera \(t\), se si intende esprimerla in gradi Celsius \(°\mathrm{C}\), o con \(T\), se espressa in kelvin \(\mathrm{K}\).

Il volume \(V\) è intuitivamente l'estensione spaziale del sistema termodinamico. Ad esempio, potrebbe coincidere con il contenitore del fluido o con la regione spaziale delimitata dalle pareti di un cilindro in un motore termico. In realtà è chi compie l'analisi termodinamica a decidere le delimitazioni spaziali del sistema. Formalmente, per chi ha studiato Analisi II, il sistema termodinamico può essere rappresentato come la chiusura di un insieme aperto \(\tau\) nello spazio affine euclideo tridimensionale. Il volume è rappresentato dalla misura di \(\tau\):

$$ V = \int_\tau d\tau $$

Infine, la quantità di materia \(n\) viene espressa nel S.I. in moli \(mol\), ma conoscendo la natura della materia che compone il sistema termodinamico si può facilmente passare alla massa \(m\) grazie alla massa molare \(\mu\) (o viceversa):

$$ m = \mu n $$

La pressione, il volume, la quantità di materia e la temperatura (espressa in scala assoluta) assumono valori strettamente positivi, a parte nel caso degenere di un sistema termodinamico puntiforme.

L'equazione di stato              [ torna al menu ]

Abbiamo detto che lo stato di un sistema termodinamico è rappresentato dall'insieme dei valori assunti in certo istante dalle variabili termodinamiche. Queste sono legate tra loro da una relazione, ovvero non sono indipendenti tra loro.

Definizione 4: si dice equazione di stato l'equazione nella forma

$$ f(p,T,V,n) = 0 $$

che esprime la relazione di dipendenza tra le variabili termodinamiche di un sistema.

L'equazione di stato di un gas ideale è

$$ pV-nR_0T = 0 $$

dove \(R_0 = 8.314462618 \mspace{3mu} \mathrm{J}\mspace{3mu} \mathrm{mol}^{-1} \mspace{3mu} \mathrm{K}^{-1} \) si chiama costante universale dei gas.

Dividendo l'equazione per la massa \(m\) e ricordando che \(\frac nm = \frac 1 \mu\) si ottiene la nuova equazione di stato di maggior utilizzo:

$$ pv = RT \tag{1} \label{eq1} $$

dove 

• \(v = \frac Vm = \frac 1 \rho \) è detto volume specifico ed è pari all'inverso della densità di massa \(\rho\) del gas;
• \(R = \frac {R_0} \mu \) è detta costante specifica del gas.

Le trasformazioni termodinamiche di un gas ideale                          [ torna al menu ]

Prima di cominciare con lo studio delle trasformazioni ricordo alcune definizioni:

• L'energia interna specifica \(u\) di un gas è una misura della capacità del sistema termodinamico di scambiare energia per unità di massa. È una funzione di stato e si dimostra che vale$$ u = c_v T $$dove \(c_v\) è il calore specifico a volume costante.
• L'entalpia specifica \(h\), definita come$$ h = u + pv$$Si dimostra che$$dh = c_p \mspace{3mu} dT$$
• La variazione di entropia specifica \(\Delta s\), definita come$$\Delta s = \int_1^2 \frac{\delta q}T $$rappresenta la quota di energia non trasformabile in lavoro per unità di massa e misura l'irreversebilità della trasformazione tra gli stati \(1\) e \(2\). Anch'essa è una funzione di stato. Le trasformazioni reali hanno sempre \(ds \gt 0\).
• Il lavoro specifico di volume$$l = \int_1^2 p \mspace{3mu} dv$$rappresenta la quantità di energia scambiata per unità di massa durante la trasformazione tra gli stati \(1\) e \(2\).
• Il lavoro tecnico specifico $$w = - \int_1^2 v \mspace{3mu} dp$$rappresenta la parte dell'energia scambiata per unità di massa durante la trasformazione tra gli stati \(1\) e \(2\) effettivamente utilizzabile o consumata, senza tener conto, quindi, della parte di energia utilizzata nell'introduzione e nell'espulsione del fluido.
• Il primo principio della termodinamica afferma che la variazione di energia interna \(du\) è pari al calore scambiato \(\delta q\) sottratto del lavoro di volume \(\delta l\) scambiato:$$ du = \delta q - \delta l $$o, equivalentemente, in termini di entalpia e lavoro tecnico:$$ dh = \delta q - \delta w $$
• Il coefficiente di dilatazione adiabatica \(\gamma\) è definito come il rapporto tra i calori specifici a volume costante \(c_v\) e a pressione costante \(c_p\).$$ \gamma := \dfrac{c_p}{c_v} $$

Cominciamo, ora, a descrivere le trasformazioni termodinamiche di un gas ideale, studiando come variano le sue variabili di stato e le energie in gioco.

Le trasformazioni isocore              [ torna al menu ]

Definizione 5: si dice isocora la trasformazione termodinamica in cui si mantiene costante il volume del sistema termodinamico.

Il nome isocora deriva dal greco ἴσος ("uguale") e χώρα ("spazio", inteso come volume) [1]. È caratterizzata dall'equazione 

$$ V = V_j $$

dove \(V_j \in \mathbb{R}\) è il valore del volume in un qualsiasi stato \(j\) del sistema durante la trasformazione (di solito il valore allo stato iniziale \(1\)). Dall'equazione di stato del gas si osseva immediatamente il valore della costante. Infatti, dall'equazione di stato segue che

\( \quad V_j = \dfrac{nR_0T}{p} \)

Dunque, noto il valore del volume in qualsiasi stato della trasformazione, si conosce il rapporto tra le altre variabili termodinamiche, che rimane costante:

$$ \dfrac{nT}{p} = \dfrac{V_j}{R_0} $$

e \(\frac{V_j}{R_0}\) ne costituisce la costante di proporzionalità.

Di solido si preferisce lavorare con le grandezze specifiche. Se il volume è costante e il sistema è chiuso, oppure se il fluido è incomprimibile, allora anche il volume specifico è costante

\( \quad v = v_j \)

e si ha

\( \quad v_j = \dfrac{RT}{p} \)

Dunque la grandezza \(\frac{T}{p}\) si mantiene costante durante la trasformazione:

$$ \dfrac{T_1}{p_1} = \dfrac{T_2}{p_2} $$

e

\( \quad dv = 0 \)

Il lavoro specifico di volume scambiato nella trasformazione isocora vale

$$ l = \int_1^2 p \mspace{3mu} dv = 0 $$

mentre il lavoro tecnico specifico vale

$$w = - \int_1^2 v \mspace{3mu} dp = - v_j (p_2-p_1) $$

Il primo principio della termodinamica per la trasformazione isocora diventa

$$ du = \delta q $$

poiché \(\delta l = p \mspace{3mu} dv = 0\).

la variazione entropica specifica vale

$$ \Delta s = \int_1^2 \frac{\delta q}T = \int_1^2 \frac{du}T = \int_1^2 \frac{c_v}{T} dT $$

\(c_v\) è generalmente una funzione della temperatura, ma rimane approssimativamente costante. Considerandone il valore medio durante la trasformazione, si ha

$$ \Delta s = c_v \int_1^2 \frac{dT}T = c_v \ln \left(\dfrac{ T_2 }{ T_1 } \right) \tag{2} \label{eq2} $$

Vediamo, infine, come si presenta una trasformazione isocora nei principali diagrammi termodinamici.

Nel piano \(p\) - \(v\) si presenta con l'equazione

\( \quad v = v_j\)

tra uno stato iniziale e uno finale.

Grazie alla \(\eqref{eq2}\) possiamo determinare l'equazione della trasformazione nel piano \(T\) - \(s\):

\(\quad T(s) = T_1 e^{\frac{s-s_1}{c_v}} \)

Infine, vediamo la trasformazione sul piano \(p\) - \(h\). Dalla definizione di entalpia segue che

\( \quad p = \dfrac{h - c_v \Delta T}{v_j} \)

poiché \(h - h_1 = c_p \Delta T\):

\( \quad p(h) = \dfrac{h - \dfrac{c_v}{c_p} (h-h_1)}{v_j} = \left( 1- \dfrac 1{\gamma} \right) \dfrac{h}{v_j} + \dfrac{h_1}{\gamma v_j} \)

Osservazioni:

• Tutto il lavoro scambiato in una trasformazione isocora è tecnico.
• Sul piano \(p\) - \(v\) le isocore si presentano come segmenti verticali.
• Sul piano \(T\) - \(s\) le isocore sono curve esponenziali.
• Sul piano \(p\) - \(h\) le isocore si presentano come rette la cui pendenza dipende dal coefficiente di dilatazione adiabatica \(\gamma\) e dal volume \(v_j\) del sistema.  

Le trasformazioni isobare              [ torna al menu ]

Definizione 6: si dice isobara la trasformazione termodinamica in cui si mantiene costante la pressione del sistema termodinamico.

È caratterizzata dall'equazione 

\( \quad p = p_j \)

dove \(p_j\) è il valore della pressione in uno dei qualsiasi stati del sistema termodinamico (solitamente si prende la pressione \(p_1\) dello stato iniziale come riferimento). 

Dall'equazione di stato del gas sappiamo che

\( \quad p_j = \dfrac{nR_0T}{V} \)

Dunque, il rapporto 

$$ \dfrac{nT}{V} $$

si mantiene costante durante la trasformazione al valore \(\frac{p_j}{R_0}\).

Passando alle grandezze specifiche l'equazione di stato ci fornisce l'equazione

\(\quad \dfrac{T}{v} = \dfrac{p_j}{R} \)

Dunque la grandezza \(\frac{T}{v}\) si mantiene costante durante la trasformazione:

$$ \dfrac{T_1}{v_1} = \dfrac{T_2}{v_2} $$

e dall'equazione della trasformazione sappiamo che

\( \quad dp = 0 \)

Il lavoro specifico di volume scambiato nella trasformazione isobara vale

$$ l = \int_1^2 p \mspace{3mu} dv = p_j (v_2 - v_1) $$

mentre il lavoro tecnico specifico vale

$$w = - \int_1^2 v \mspace{3mu} dp = 0 $$

Il primo principio della termodinamica per la trasformazione isobara diventa

$$ dh = \delta q $$

poiché \(\delta w = - v \mspace{3mu} dp = 0\).

la variazione entropica specifica vale

$$ \Delta s = \int_1^2 \frac{\delta q}T = \int_1^2 \frac{dh}T = \int_1^2 \frac{c_p}{T} dT $$

\(c_p\) è generalmente una funzione della temperatura, ma rimane approssimativamente costante. Considerandone il valore medio durante la trasformazione, si ha

$$ \Delta s = c_p \int_1^2 \frac{dT}T = c_p \ln \left(\dfrac{ T_2 }{ T_1 } \right) \tag{3} \label{eq3} $$

Vediamo, infine, come si presenta una trasformazione isobara nei principali diagrammi termodinamici.

Nei piani \(p\) - \(v\) e \(p\) - \(h\) si presenta con l'equazione

\( \quad p = p_j\)

tra uno stato iniziale e uno finale.

Grazie alla \(\eqref{eq3}\) possiamo determinare l'equazione della trasformazione nel piano \(T\) - \(s\):

\(\quad T(s) = T_1 e^{\frac{s-s_1}{c_p}} \)

Osservazioni:

• Tutto il lavoro scambiato durante una trasformazione isobara è di volume: il lavoro tecnico è nullo. Ciò significa che tutta l'energia durante una trasformazione isobara viene impiegata per movimentare il fluido operativo.
• Sul piano \(p\) - \(v\) e \(p\) - \(h\) le isobare si presentano come segmenti orizzontali.
• Sul piano \(T\) - \(s\) le isobare sono curve esponenziali come le isocore. La differenza tra queste due trasformazioni sta nella loro pendenza: essendo \(c_p \gt c_v\) per la relazione di Mayer, le isobare hanno una pendenza minore delle isocore a parità di stato iniziale o di stato finale.

Le trasformazioni isoterme              [ torna al menu ]

Definizione 7: si dice isoterma la trasformazione termodinamica in cui si mantiene costante la temperatura del sistema termodinamico.

È caratterizzata dall'equazione 

\( \quad T = T_j \)

dove \(T_j\) è il valore della temperatura in uno dei qualsiasi stati del sistema termodinamico (solitamente si prende la temperatura \(T_1\) dello stato iniziale come riferimento). 

Dall'equazione di stato del gas sappiamo che

\( \quad T_j = \dfrac{pV}{n R_0} \)

Dunque, il rapporto 

$$ \dfrac{pV}{n} $$

si mantiene costante durante la trasformazione al valore \(R_0 T_j\).

Passando alle grandezze specifiche l'equazione di stato ci fornisce l'equazione

\( \quad R T_j = pv \)

Dunque la grandezza \(pv\) è costante durante la trasformazione:

$$ p_1 v_1 = p_2 v_2 $$

e dall'equazione della trasformazione sappiamo che

\( \quad dT = 0 \)

Il lavoro specifico di volume scambiato nella trasformazione isoterma vale

$$ l = \int_1^2 p \mspace{3mu} dv = p_j v_j \int_1^2 \dfrac{dv}{v} = p_j v_j \ln \left( \dfrac{v_2}{v_1} \right) $$

dove \(p_j\) e \(v_j\) sono i valori di pressione e volume specifico in un qualsiasi stato della trasformazione.

Il lavoro tecnico specifico vale

$$w = - \int_1^2 v \mspace{3mu} dp = - p_j v_j \int_1^2 \dfrac{dp}{p} = - p_j v_j \ln \left( \dfrac{p_2}{p_1} \right) $$

Si noti che, poiché \( \frac{p_2}{p_1} = \frac{v_1}{v_2}\), si ha

$$ l = w $$

Il primo principio della termodinamica per la trasformazione isoterma diventa

$$ \delta q = \delta l = \delta w $$

poiché \(du = c_v \mspace{3mu} dT = 0\) e \(dh = c_p \mspace{3mu} dT = 0\).

la variazione entropica specifica vale

$$ \Delta s = \int_1^2 \frac{\delta q}T_j = \dfrac{1}{T_j} \int_1^2 \delta l = \dfrac{l}{T_j} = \dfrac{p_j v_j}{T_j} \ln \left( \dfrac{v_2}{v_1} \right) = R \ln \left( \dfrac{v_2}{v_1} \right) \tag{4} \label{eq4} $$

Vediamo, infine, come si presenta una trasformazione isobara nei principali diagrammi termodinamici.

Nel piano \(p\) - \(v\) si presenta con l'equazione

\( \quad p = \dfrac{R T_j}{v}\)

o, equivalentemente,

\( \quad p = \dfrac{p_j v_j}{v}\)

tra uno stato iniziale e uno finale.

Sul piano \(T\) - \(s\) la trasformazione si presenta con l'equazione

\( \quad T(s) = T_j \)

Infine, dalla definizione di entalpia si ottiene l'equazione sul piano \(p\) - \(h\) 

\( \quad h = u_j + p_j v_j \)

dove \(u_j\) è il valore dell'energia interna (che resta costante) in uno stato \(j\) di riferimento, \(p_j\) e \(v_j\) sono il valore della pressione e del volume specifico nello stato \(j\) di riferimento. Ricordiamo, infatti, che anche \(pv\) è costante durante la trasformazione isoterma.

Osservazioni:

• Il lavoro tecnico e di volume si eguagliano.
• Sul piano \(p\) - \(v\) le isoterme si presentano come iperboli equilatere.
• Sul piano \(T\) - \(s\) le isoterme sono segmenti orizzontali.
• Sul piano \(p\) - \(h\) le isoterme si presentano come segmenti verticali.

Le trasformazioni adiabatiche reversibili o isoentropiche              [ torna al menu ]

Definizione 8: si dice adiabatica la trasformazione termodinamica in cui il sistema termodinamico non scambia calore.

La parola "adiabatico" deriva dal greco: ἀ- ("non"), διὰ- ("attraverso"), e βαίνειν ("passare"), dunque significa "che non lascia passare" (s'intende il calore). [2]

È caratterizzata dall'equazione 

\( \quad \delta q = 0 \)

Se la trasformazione è anche quasi-statica, è anche isoentropica:

\( \quad ds = \dfrac{ \delta q }{T} = 0 \)

Il primo principio della termodinamica per la trasformazione isoterma diventa

$$ du + \delta l = 0 $$

o, equivalentemente,

$$ dh + \delta w = 0 $$

Esplicitiamo le equazioni e mettiamole a sistema:

\( \quad \begin{cases} c_v \mspace{3mu} dT + p \mspace{3mu} dv = 0 \\ c_p \mspace{3mu} dT + v \mspace{3mu} dp = 0 \end{cases} \)

Grazie a questo sistema si dimostra che le seguenti tre grandezze sono costanti durante la trasformazione:

\( \quad \begin{array}{ccc} Tv^{\gamma - 1 } & p v^\gamma & pT^{\frac{\gamma}{1-\gamma}} \end{array} \)

Il lavoro specifico di volume scambiato nella trasformazione isoterma vale

$$ l = \int_1^2 p \mspace{3mu} dv = p_j v^{\gamma}_j \int_1^2 \mspace{3mu} \dfrac{dv}{v^\gamma} = \dfrac{p_j v^{\gamma}_j}{1-\gamma} \left( v_2^{1-\gamma} - v_1^{1-\gamma} \right)  $$

dove \(p_j\) e \(v_j\) sono i valori di pressione e volume specifico in un qualsiasi stato della trasformazione. Se scegliamo come stato di riferimento \(j=1\) si ottiene

$$ l = \dfrac{p_1 v_1}{1-\gamma} \left( \left( \dfrac{v_2}{v_1} \right)^{1-\gamma} - 1 \right) = \dfrac{p_1 v_1}{1-\gamma} \left( \left( \dfrac{p_2}{p_1} \right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} - 1 \right)  $$

Il termine \( \beta := \frac{p_2}{p_1} \) si chiama rapporto di compressione o rapporto di espansione (a seconda che la pressione aumenti o diminuisca) ed è una peculiarità della macchina che esegue la trasformazione.

Il lavoro tecnico specifico vale

$$w = - \int_1^2 v \mspace{3mu} dp = - p_j^{\frac{1}{\gamma}} v_j \int_1^2 \dfrac{dp}{p^{\frac{1}{\gamma}}} = - \dfrac{\gamma}{\gamma-1} p_j^{\frac{1}{\gamma}} v_j \left( p_2^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} - p_1^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} \right) $$

Se scegliamo come stato di riferimento \(j=1\) si ottiene

$$w = - \dfrac{\gamma}{\gamma-1} p_1 v_1 \left( \left( \dfrac{p_2}{p_1} \right) ^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} - 1\right) $$

Vediamo, ora, la trasformazione nei principali diagrammi termodinamici.

Nel piano \(p\) - \(v\) l'equazione della trasformazione è

\( \quad p(v) = \dfrac{p_j v_j^\gamma}{v^\gamma} \)

Nel piano \(T\) - \(s\) le trasformazioni adiabatiche reversibili hanno equazione

\( \quad s = s_j \)

dove \(s_j\) è il valore dell'entropia specifica in uno dei qualsiasi stati della trasformazione ed è costante.

Dal primo principio della termodinamica segue

\( \quad dh = - \delta w = v \mspace{3mu} dp \)

ovvero:

\( \quad \dfrac{dp}{dh} = \dfrac{1}{v} \)

Usando l'equazione di stato si ottiene

\( \quad \dfrac{dp}{dh} = \dfrac{p}{RT} \)

Dalla relazione \(dh = c_p \mspace{3mu} dT \) si ottiene che \(T = T_1 + \frac{h - h_1}{c_p} \), dunque:

\( \quad \dfrac{dp}{dh} = \dfrac{p}{R\left(T_1 + \dfrac{h- h_1}{c_p} \right)} = \dfrac{c_p}{R} \dfrac{p}{\left(c_p T_1 - h_1 + h \right)} = \dfrac{\gamma}{\gamma-1} \dfrac{p}{\dfrac{\gamma}{\gamma-1} p_1 v_1  - h_1 + h } \)

Integrando per separazione di variabili si ottiene

\( \quad p(h) = \alpha \left(\dfrac{ \gamma }{\gamma-1} p_1 v_1 - h_1 + h \right) ^{\frac{\gamma}{\gamma-1}} \)

dove \(\alpha \) è una costante d'integrazione. Ponendo \(p_1 = p(h_1)\), 

\( \quad \alpha = \dfrac{p_1}{ \left(\dfrac{\gamma}{\gamma-1} p_1 v_1  \right) ^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}} \)

Infine:

\( \quad p(h) = p_1 \left(1+ \left( 1- \dfrac{1}{\gamma} \right) \dfrac{h-h_1 }{p_1 v_1 }  \right) ^{\frac{\gamma}{\gamma-1}} \)

Osservazioni

• Sul piano \(p\) - \(v\) le adiabatiche sono simili a isoterme, ma hanno una pendenza maggiore di quest'ultime a parità di stato iniziale (o di stato finale).
• Sul piano \(T\) - \(s\) le adiabatiche sono segmenti verticali.
• Sul piano \(p\) - \(h\) le adiabatiche assumono una forma esponenziale in cui \(\gamma\) non compare solo all'esponente, ma anche nel coefficiente che moltiplica la variabile \(h\).

Le trasformazioni politropiche              [ torna al menu ]

Per ultime, ma non per importanza, studiamo le trasformazioni politropiche.

Definizione 9: si dice politropica la trasformazione termodinamica governata dall'equazione$$ pv^n = k$$con \(n\) e \(k\) due costanti. [3]

Se il gas è ideale, allora vale l'equazione di stato \(\eqref{eq1}\) e si dimostra che anche le grandezze

\( \quad \begin{array}{cc} Tv^{n-1} & pT^{\frac{n}{1-n}} \end{array} \)

si conservano.

Attraverso il primo principio della termodinamica e la conservazione di \(Tv^{n-1}\) si dimostra che il calore specifico della trasformazione vale

$$ c := \dfrac{\delta q}{dT} = \dfrac{n-\gamma}{n-1} c_v $$

Vediamo alcuni valori notevoli di \(n\):

• Per \(n=0\) si ha \(p\) costante e \(c=\gamma c_v = c_p\). La trasformazione è isobara.
• Per \(n=1\) si ha \(pv\) costante e \(c \rightarrow\infty\). La trasformazione è isoterma.
• Per \(n=\gamma\) si ha \(pv^\gamma\) costante e \(c=0\). La trasformazione è adiabatica.
• Per \(n \rightarrow\infty\) si ha \(v\) costante e \(c=c_v \). La trasformazione è isocora.

Confronto tra politropiche sul piano \(p\) - \(v\). In rosso: isoterma. In blu: adiabatica. In nero: isocora. In viola: isobara. Area arancione: trasformazioni politropiche con \(1\lt n \lt \gamma\).

Si noti, inoltre, che per \(1 \lt n \lt \gamma\), ovvero per trasformazioni comprese tra l'isoterma e l'adiabatica, il calore specifico assume valori negativi.

Calore specifico \(c\) in funzione di \(n\) per un gas ideale biatomico.

In una trasformazione politropica il lavoro specifico di volume vale

$$ l = \int_1^2 p \mspace{3mu} dv = p_1 v^{n}_1 \int_1^2 \mspace{3mu} \dfrac{dv}{v^n} = \begin{cases} p_1 v_1 \ln \left( \dfrac{v_2}{v_1} \right) \mspace{20mu} \text{se} \mspace{3mu} n=1 \\ \dfrac{p_1 v_1}{1-n} \left( \left( \dfrac{p_2}{p_1} \right)^{\frac{1-n}{n}} - 1 \right)  \mspace{20mu} \text{se} \mspace{3mu} n\neq 1 \end{cases} $$

Il lavoro specifico tecnico vale

$$ w = - \int_1^2 v \mspace{3mu} dp = - p_1^{\frac{1}{n}} v_1 \int_1^2 \mspace{3mu} \dfrac{dp}{p^{\frac{1}{n}}} = \begin{cases} - p_1 v_1 \ln \left( \dfrac{p_2}{p_1} \right) \mspace{20mu} \text{se} \mspace{3mu} n=1 \\ - \dfrac{n}{n-1} p_1 v_1 \left( \left( \dfrac{p_2}{p_1} \right) ^{\frac{n-1}{n}} - 1\right)  \mspace{20mu} \text{se} \mspace{3mu} n\neq 1 \end{cases} $$

La variazione entropica specifica vale

$$ \Delta s = \int_1^2 \frac{\delta q}T = c \int_1^2 \frac{dT}T = \dfrac{n-\gamma}{n-1} c_v \ln \left( \dfrac{T_2}{T_1} \right) $$

Riferimenti              [ torna al menu ]

[1] iṡocòro in Vocabolario - Treccani

[2] Trasformazione adiabatica - Wikipedia

[3] Trasformazione politropica - Wikipedia