Analisi matematica delle trasformazioni termodinamiche
Nella progettazione e nell'analisi delle macchine in ingegneria, siano esse motori, pompe, compressori o altro. Grazie allo studio delle dinamiche interne alla materia durante la somministrazione di calore o la variazione di pressione, volume e temperatura è possibile pensare a dispositivi che possano servire all'uomo per facilitarne la vita quotidiana, dai motori termici ai frigoriferi. Per capire l'importanza di questo studio, basti pensare a come potrebbe presentarsi la società moderna senza invenzioni quali l'auto, le navi a motore e gli aeroplani. L'unica energia meccanica disponibile proverrebbe dall'energia elettrochimica delle batterie e delle fonti rinnovabili, non sufficienti a coprire il fabbisogno energetico mondiale al giorno d'oggi.
In questo post analizzeremo da un punto di vista matematico le trasformazioni termodinamiche dei gas ideali.
Cos'è una trasformazione termodinamica? [ torna al menu ]
I sistemi termodinamici [ torna al menu ]
Prima di cominciare il nostro studio dobbiamo definire il suo oggetto:
Definizione 1: si dice trasformazione termodinamica una qualsiasi variazione di una delle variabili termodinamiche di un dato sistema termodinamico.
A questo punto sorge spontanea la prima domanda: cos'è un sistema termodinamico?
Definizione 2: si dice sistema termodinamico o volume di controllo una determinata regione di spazio a cui sono associabili le variabili termodinamiche.
A questo punto sorge spontanea la domanda: cos'è una variabile termodinamica?
Definizione 3: si dicono variabili termodinamiche le seguenti proprietà della materia:
-
pressione
; -
temperatura
; -
volume
; -
quantità di materia
.
La pressione
I fluidi esercitano una forza normale in ogni punto della superficie che li contiene per il principio di Pascal. Dunque, la pressione di un fluido può essere vista come l'intensità della forza esercitata sulle pareti del contenitore per unità di superficie dello stesso.
La temperatura
Il volume
Infine, la quantità di materia
La pressione, il volume, la quantità di materia e la temperatura (espressa in scala assoluta) assumono valori strettamente positivi, a parte nel caso degenere di un sistema termodinamico puntiforme.
L'equazione di stato [ torna al menu ]
Abbiamo detto che lo stato di un sistema termodinamico è rappresentato dall'insieme dei valori assunti in certo istante dalle variabili termodinamiche. Queste sono legate tra loro da una relazione, ovvero non sono indipendenti tra loro.
Definizione 4: si dice equazione di stato l'equazione nella forma
che esprime la relazione di dipendenza tra le variabili termodinamiche di un sistema.
L'equazione di stato di un gas ideale è
dove
Dividendo l'equazione per la massa
dove
-
è detto volume specifico ed è pari all'inverso della densità di massa del gas; -
è detta costante specifica del gas.
Le trasformazioni termodinamiche di un gas ideale [ torna al menu ]
Prima di cominciare con lo studio delle trasformazioni ricordo alcune definizioni:
-
L'energia interna specifica
di un gas è una misura della capacità del sistema termodinamico di scambiare energia per unità di massa. È una funzione di stato e si dimostra che vale dove è il calore specifico a volume costante. -
L'entalpia specifica
, definita come Si dimostra che -
La variazione di entropia specifica
, definita come rappresenta la quota di energia non trasformabile in lavoro per unità di massa e misura l'irreversebilità della trasformazione tra gli stati e . Anch'essa è una funzione di stato. Le trasformazioni reali hanno sempre . -
Il lavoro specifico di volume
rappresenta la quantità di energia scambiata per unità di massa durante la trasformazione tra gli stati e . -
Il lavoro tecnico specifico
rappresenta la parte dell'energia scambiata per unità di massa durante la trasformazione tra gli stati e effettivamente utilizzabile o consumata, senza tener conto, quindi, della parte di energia utilizzata nell'introduzione e nell'espulsione del fluido. -
Il primo principio della termodinamica afferma che la variazione di energia
interna
è pari al calore scambiato sottratto del lavoro di volume scambiato: o, equivalentemente, in termini di entalpia e lavoro tecnico: -
Il coefficiente di dilatazione adiabatica
è definito come il rapporto tra i calori specifici a volume costante e a pressione costante .
Cominciamo, ora, a descrivere le trasformazioni termodinamiche di un gas ideale, studiando come variano le sue variabili di stato e le energie in gioco.
Le trasformazioni isocore [ torna al menu ]
Definizione 5: si dice isocora la trasformazione termodinamica in cui si mantiene costante il volume del sistema termodinamico.
Il nome isocora deriva dal greco ἴσος ("uguale") e χώρα ("spazio", inteso come volume) [1]. È caratterizzata dall'equazione
dove
Dunque, noto il valore del volume in qualsiasi stato della trasformazione, si conosce il rapporto tra le altre variabili termodinamiche, che rimane costante:
e
Di solido si preferisce lavorare con le grandezze specifiche. Se il volume è costante e il sistema è chiuso, oppure se il fluido è incomprimibile, allora anche il volume specifico è costante
e si ha
Dunque la grandezza
e
Il lavoro specifico di volume scambiato nella trasformazione isocora vale
mentre il lavoro tecnico specifico vale
Il primo principio della termodinamica per la trasformazione isocora diventa
poiché
la variazione entropica specifica vale
Vediamo, infine, come si presenta una trasformazione isocora nei principali diagrammi termodinamici.
Nel piano
tra uno stato iniziale e uno finale.
Grazie alla
Infine, vediamo la trasformazione sul piano
poiché
Osservazioni:
- Tutto il lavoro scambiato in una trasformazione isocora è tecnico.
-
Sul piano
- le isocore si presentano come segmenti verticali. - Sul piano
- le isocore sono curve esponenziali. -
Sul piano
- le isocore si presentano come rette la cui pendenza dipende dal coefficiente di dilatazione adiabatica e dal volume del sistema.
Le trasformazioni isobare [ torna al menu ]
Definizione 6: si dice isobara la trasformazione termodinamica in cui si mantiene costante la pressione del sistema termodinamico.
È caratterizzata dall'equazione
dove
Dall'equazione di stato del gas sappiamo che
Dunque, il rapporto
si mantiene costante durante la trasformazione al valore
Passando alle grandezze specifiche l'equazione di stato ci fornisce l'equazione
Dunque la grandezza
e dall'equazione della trasformazione sappiamo che
Il lavoro specifico di volume scambiato nella trasformazione isobara vale
mentre il lavoro tecnico specifico vale
Il primo principio della termodinamica per la trasformazione isobara diventa
poiché
la variazione entropica specifica vale
Vediamo, infine, come si presenta una trasformazione isobara nei principali diagrammi termodinamici.
Nei piani
tra uno stato iniziale e uno finale.
Grazie alla
Osservazioni:
- Tutto il lavoro scambiato durante una trasformazione isobara è di volume: il lavoro tecnico è nullo. Ciò significa che tutta l'energia durante una trasformazione isobara viene impiegata per movimentare il fluido operativo.
-
Sul piano
- e - le isobare si presentano come segmenti orizzontali. -
Sul piano
- le isobare sono curve esponenziali come le isocore. La differenza tra queste due trasformazioni sta nella loro pendenza: essendo per la relazione di Mayer, le isobare hanno una pendenza minore delle isocore a parità di stato iniziale o di stato finale.
Le trasformazioni isoterme [ torna al menu ]
Definizione 7: si dice isoterma la trasformazione termodinamica in cui si mantiene costante la temperatura del sistema termodinamico.
È caratterizzata dall'equazione
dove
Dall'equazione di stato del gas sappiamo che
Dunque, il rapporto
si mantiene costante durante la trasformazione al valore
Passando alle grandezze specifiche l'equazione di stato ci fornisce l'equazione
Dunque la grandezza
e dall'equazione della trasformazione sappiamo che
Il lavoro specifico di volume scambiato nella trasformazione isoterma vale
dove
Il lavoro tecnico specifico vale
Si noti che, poiché
Il primo principio della termodinamica per la trasformazione isoterma diventa
poiché
la variazione entropica specifica vale
Vediamo, infine, come si presenta una trasformazione isobara nei principali diagrammi termodinamici.
Nel piano
o, equivalentemente,
tra uno stato iniziale e uno finale.
Sul piano
Infine, dalla definizione di entalpia si ottiene l'equazione sul piano
dove
Osservazioni:
- Il lavoro tecnico e di volume si eguagliano.
-
Sul piano
- le isoterme si presentano come iperboli equilatere. - Sul piano
- le isoterme sono segmenti orizzontali. -
Sul piano
- le isoterme si presentano come segmenti verticali.
Le trasformazioni adiabatiche reversibili o isoentropiche [ torna al menu ]
Definizione 8: si dice adiabatica la trasformazione termodinamica in cui il sistema termodinamico non scambia calore.
La parola "adiabatico" deriva dal greco: ἀ- ("non"), διὰ- ("attraverso"), e βαίνειν ("passare"), dunque significa "che non lascia passare" (s'intende il calore). [2]
È caratterizzata dall'equazione
Se la trasformazione è anche quasi-statica, è anche isoentropica:
Il primo principio della termodinamica per la trasformazione isoterma diventa
o, equivalentemente,
Esplicitiamo le equazioni e mettiamole a sistema:
Grazie a questo sistema si dimostra che le seguenti tre grandezze sono costanti durante la trasformazione:
Il lavoro specifico di volume scambiato nella trasformazione isoterma vale
dove
Il termine
Il lavoro tecnico specifico vale
Se scegliamo come stato di riferimento
Vediamo, ora, la trasformazione nei principali diagrammi termodinamici.
Nel piano
Nel piano
dove
Dal primo principio della termodinamica segue
ovvero:
Usando l'equazione di stato si ottiene
Dalla relazione
Integrando per separazione di variabili si ottiene
dove
Infine:
Osservazioni
-
Sul piano
- le adiabatiche sono simili a isoterme, ma hanno una pendenza maggiore di quest'ultime a parità di stato iniziale (o di stato finale). - Sul piano
- le adiabatiche sono segmenti verticali. -
Sul piano
- le adiabatiche assumono una forma esponenziale in cui non compare solo all'esponente, ma anche nel coefficiente che moltiplica la variabile .
Le trasformazioni politropiche [ torna al menu ]
Per ultime, ma non per importanza, studiamo le trasformazioni politropiche.
Definizione 9: si dice politropica la trasformazione termodinamica
governata dall'equazione
Se il gas è ideale, allora vale l'equazione di stato
si conservano.
Attraverso il primo principio della termodinamica e la conservazione di
Vediamo alcuni valori notevoli di
-
Per
si ha costante e . La trasformazione è isobara. -
Per
si ha costante e . La trasformazione è isoterma. -
Per
si ha costante e . La trasformazione è adiabatica. -
Per
si ha costante e . La trasformazione è isocora.
Confronto tra politropiche sul piano
Si noti, inoltre, che per
Calore specifico
In una trasformazione politropica il lavoro specifico di volume vale
Il lavoro specifico tecnico vale
La variazione entropica specifica vale
Riferimenti [ torna al menu ]
[1] iṡocòro in Vocabolario - Treccani
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