Matesica

I numeri razionali, le operazioni con questi e le loro proprietà I numeri razionali nascono come estensione dell'insieme dei numeri interi \(\mathbb{Z}\) e il loro insieme si indica con la lettera \(\mathbb{Q}\). Perché introdurre questi numeri? A cosa servono? Abbiamo visto che i naturali servono a contare e che l'insieme degli interi è chiuso rispetto alla sottrazione, in modo da poter calcolare, ad esempio, \(3-4\).  Il problema dell'insieme \(\mathbb{Z}\) è che non è ancora chiuso rispetto alla divisione. Ad esempio, s'immagini di avere tre fette di torta uguali e di volerle dividere per due persone in parti uguali. Si può fare: basta dividere una fetta a metà, ma quanta torta hanno ricevuto le singole persone? Certo, la risposta è una fetta e mezza, ma questo numero non esiste negli interi. Ovvero: \( \quad \nexists n \in \mathbb{Z}: n = \dfrac{3}{2} \) ed è qui che entrano in gioco i numeri razionali. Se ancora non hai letto il post sui numeri interi , ti consigl

I numeri reali, le operazioni con questi e le loro proprietà Ricapitolando, abbiamo visto che i numeri naturali si definiscono con gli assiomi di Peano e servono a descrivere la realtà. I numeri interi sono un'estensione dei numeri naturali e sono utili per chiudere l'operazione della sottrazione e definire l'elemento opposto. I numeri razionali, ancora, permettono di eseguire divisioni che, altrimenti, non sarebbero possibili in \(\mathbb{Z}\) e permettono di definire l'elemento inverso.  Tuttavia, i casi non sono ancora completi. Esistono alcuni numeri che non sono rappresentabili tramite frazioni: numeri che, insomma, non appartengono all'insieme dei razionali \(\mathbb{Q}\). Questi si definiscono  numeri irrazionali . Esempi classici di numeri irrazionali sono i logaritmi, \(e\) e \(\sqrt{2}\). L'unione dei numeri razionali e irrazionali forma l'insieme dei numeri reali , ovvero il primo insieme nel nostro percorso ad essere completo . Se per caso te li

I numeri interi, le operazioni con questi e le loro proprietà Nella realtà quotidiana i numeri più utilizzati sono quelli naturali. Ad esempio, \(1\) mela \(+\) \(2\) mele fanno un totale di \(3\) mele. Nelle operazioni sono comparse solo quantità intere e positive di mele. Allo stesso modo, i numeri naturali permettono di risolvere equazioni diofantee di primo grado come \(x + 2 = 3\). Dunque, apparentemente non si avrebbe alcuna necessità di introdurre i numeri negativi, che nella realtà difficilmente avrebbero una spiegazione. Come esempio, tuttavia, immagina questa situazione: vogliamo trovare il numero \(x\) di mele che bisogna sommare a \(2\) mele per ottenere \(1\) mela. L'equazione associata al problema è \(2 + x = 1\). Questa equazione non ha soluzione nei naturali. Infatti, non si può ottenere \(1\) sommando una quantità positiva a \(2\). L'unica soluzione sarebbe \(x = -1\), ma fisicamente non ha alcun significato \(-1\) mela se non quello di sottrarre una mela. Anal

I fondamenti dell'insiemistica: gli insiemi e le operazioni con questi Poco conosciuta è la teoria degli insiemi , ovvero quella teoria alla base della matematica stessa, come abbiamo visto nel post sui numeri naturali, che si occupa degli insiemi. La teoria è relativamente recente: prima del XIX secolo il concetto di insieme era considerato primitivo e intuitivo. Soltanto nella seconda metà del XIX secolo la nozione di insieme ha ricevuto la sua prima formalizzazione dal matematico Georg Cantor , mentre la teoria degli insiemi ha ricevuto i suoi fondamenti assiomatici nella prima metà del XX secolo grazie a matematici tra cui Ernst Zermelo e Adolf Fraenkel (a cui si deve il sistema assiomatico di Zermelo-Fraenkel) e Paul Bernays, Kurt Gödel e John von Neumann (a cui si deve il sistema assiomatico di Von Neumann-Bernays-Gödel) [1]. A Giuseppe Peano si deve, invece, la notazione e la sintassi.  In questo post vedremo gli argomenti essenziali della teoria degli insiemi, quali le noz

Millennium problems Se sei un vero appassionato della matematica, probabilmente avrai sentito parlare dei problemi per il millennio . Altrimenti, sei nel post giusto! Abbiamo già discusso dell'utilità della matematica nel primo post di questo blog. Il 24 maggio 2000 Clay Mathematics Institute  (CMI) ha deciso di presentare al convegno del Millennio di Parigi sette problemi della matematica allora irrisolti e di cui finora soltanto uno è stato risolto. La risoluzione dei problemi porterebbe a conseguenze estremamente pratiche in campi che spaziano dall'economia alla tecnologia. Per ogni problema risolto l'istituto assegnerà un milione di dollari. Vediamo quali sono questi problemi. Sommario Teoria di Yang-Mills e il gap di massa Ipotesi di Riemann P vs NP Le equazioni di Navier-Stokes Congettura di Hodge Congettura di Poincaré Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer Riferimenti Fonte delle immagini Teoria di Yang-Mills e il gap di massa Status: non risolto Figura 1: le regole

Il campo e il potenziale elettrostatici Oltre ai concetti di carica e di energia elettrica, un altro concetto a cui siamo tutti più o meno familiari è quello di tensione elettrica. Parole come "alta tensione" o "bassa tensione" sono entrati nel quotidiano. In questo post continuiamo la serie sull'elettromagnetismo e proviamo a dare una definizione matematica e fisica della tensione. Meno comune, invece, è il concetto di campo elettrico. Se te li fossi persi, ti consiglierei di andare a leggere i post precedenti sulla carica e sull' energia potenziale elettrica , poiché lì troverai le conoscenze necessarie a una lettura ottimale. Sommario Il campo elettrostatico Definizione Calcolare i campi elettrostatici delle distribuzioni di carica Il potenziale elettrostatico Definizione Calcolo del potenziale delle distribuzioni di carica Immagini Il campo elettrostatico Definizione Abbiamo definito grazie alla legge di Coulomb la forza \(\vec{\mathbf{F}}\) d'inter