Matesica

La regola di Sarrus Abbiamo visto cos'è il determinante di una matrice quadrata. Le matrici \(3 \times 3\) sono molto frequenti in fisica, ma il loro determinante è molto lungo da calcolare. Esiste, tuttavia, una scorciatoia mnemonica per ricordarsi la formula: la regola di Sarrus , in onore del matematico francese Pierre Frederic Sarrus. Vediamola. Prerequisiti: determinante matrice Sommario La regola di Sarrus Metodo 1 - riorganizzazione orizzontale Metodo 2 - riorganizzazione verticale Metodo 3 - riorganizzazione a farfalla Immagini Riferimenti La regola di Sarrus Data una matrice \( \quad A = \left[ \begin{array}{ccc} [A]_{1,1} & [A]_{1,2} & [A]_{1,3} \\  [A]_{2,1} &  [A]_{2,2} & [A]_{2,3} \\ [A]_{3,1} & [A]_{3,2} & [A]_{3,3} \end{array} \right] \in \mathbb{K}^{3 \times 3} \) a valori su un campo \(\mathbb{K}\) ne abbiamo calcolato il determinante con la formula di Leibniz , ottenendo $$ \begin{arr...

Qual è la relazione tra due basi dello stesso spazio vettoriale? In un post precedente abbiamo parlato di spazi vettoriali , di basi e di dimensione. Abbiamo visto che un'insieme di vettori che formano una base permettono di individuare ogni vettore dello spazio con una combinazione lineare, ma la base non è unica. La domanda sorge spontanea: che relazione esiste tra una base e l'altra? Come faccio a cambiare la base dello spazio? Vediamolo. Sommario Introduzione al problema Generalizzazione del problema Proprietà della matrice di cambiamento di base Relazione tra le basi Matrice inversa Orientamento della base Permutazione dei vettori alla base Conservazione del volume Note Immagini Introduzione al problema Vediamo di capire l'importanza di questo problema con un esempio pratico. Immagina un piano inclinato su cui si trova una pallina come in Figura 1. Tutti abbiamo la concezione naturale di "alto" e "basso", quindi possiamo decidere di costruire un sis...

Tutto ciò che devi sapere sulle potenze e sui radicali A un lettore inesperto potrebbero sembrare strane queste operazioni. Cos'è la potenza di un numero? Esistono le radici  di un numero? Ebbene sì e le loro definizioni non sono così complicate come può sembrare 😉 La definizione di radice e di potenza possono essere facilmente trovate su Wikipedia o su un qualunque libro di matematica del liceo, ma qui tratteremo l'argomento in modo diverso. Inizieremo a trattare le potenze e le radici a esponente/indice naturale, per poi passare a quello intero e così via fino ai complessi. In tal modo riusciremo a ricostruire con criterio e in modo completo la teoria delle potenze. Se ti sei perso i post sugli insiemi numerici, ti consiglio di darci una letta prima di intraprendere questo argomento. Sommario Potenze e radici a esponente/indice naturale Potenza \(n\)-esima, con \(n \in \mathbb{N}\) Proprietà delle potenze Proprietà 1. Proprietà 2. Proprietà 3. Proprietà 4. Proprietà 5. Radi...

Cos'è il determinante? Tutto ciò che devi sapere "determinante", molte volte avrai sentito e visto questa parola nei corsi di geometria analitica, di meccanica razionale, di analisi, etc. Saresti in grado di spiegare di che si tratta? Se la risposta è "no", allora sei nel post giusto! Il determinante è una parte molto importante della matematica e se ne fa largo uso nella maggior parte delle scienze matematiche. Conoscere la sua definizione e le sue proprietà deve far parte del bagaglio culturale di qualsiasi studente di ingegneria, matematica o fisica. Nonostante la lunghezza di questo post, che si prefigge l'obiettivo di essere un mega-riassunto, alcune dimostrazioni sono tralasciate e, se sei interessato a conoscerle, potrai trovarle nei prossimi post, in cui tratterò gli argomenti in dettaglio. Sommario Definizione Significato geometrico Definizione per assiomi Determinante di una matrice \(2 \times 2\) Definizione costruttiva - la formula di Leibniz Det...

La formula di De Moivre Figura 1: ritratto di Abraham de Moivre. La formula di De Moivre , in onore al matematico francese Abraham de Moivre, permette di calcolare agilmente la potenza \(n\)-esima di un numero complesso \(z\). Sebbene sia facilmente derivabile dalla formula di Eulero, storicamente fu scoperta per prima e per questo motivo ne daremo una dimostrazione per induzione.  Sommario La formula Dimostrazione Trovare le radici di \(z\) Formula generale Radici dell'unità La formula Sia \(z = r( \cos \phi + i \sin \phi)\) un numero complesso di modulo \(r\) e anomalia \(\phi\). La potenza \(n\)-esima di \(z\) è $$ z^n = r^n (\cos (n\phi) + i \sin (n \phi)) $$ Nota che se volessimo calcolare la potenza in coordinate cartesiane \((x+iy)^n\) dovremmo usare il teorema binomiale, complicando notevolmente i calcoli. Dimostrazione Dimostriamola per induzione su \(n \in \mathbb{N}\). Per \(n = 0\) la formula è verificata: \( \quad z^0 = r^0(\cos (0\phi) + i \sin (0 \phi) = 1\) Or...

Tutto ciò che devi sapere sui numeri complessi Finora abbiamo introdotto nuovi insiemi numerici man mano che si presentava la necessità di risolvere equazioni non risolubili negli insiemi definiti in precedenza. Siamo arrivati a definire i numeri reali, che comprendono i naturali , gli interi , i razionali e gli irrazionali , ma questi non permettono di risolvere la seguente equazione: \( \quad x^2+1=0\) Infatti, non esiste \(x \in \mathbb{R}\) tale che il suo quadrato sia negativo. Dobbiamo ancora allargare, dunque, i nostri insiemi numerici e definire i cosiddetti numeri complessi, il cui insieme si indica con la lettera \(\mathbb{C}\). Sommario Definizione L'unità immaginaria I numeri complessi in forma cartesiana e il piano di Argand-Gauss Altre forme Le operazioni con i complessi Coniugato Inverso Somma Prodotto Rapporto Proprietà Applicazioni Immagini Definizione L'unità immaginaria Iniziamo la definizione dei numeri complessi introducendo l' unità immaginaria come l...