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Cos'è l'integrale? - I fondamenti del calcolo integrale Probabilmente ti sarà capitato a scuola di incontrare questo strano simbolo \( \int \), ma cosa significa? Come si calcola un integrale e cos'è? L'integrale è alla base di una branca dell'analisi matematica, chiamata " calcolo integrale ". È uno strumento fondamentale dell'analisi del continuo, utilizzato nelle più disparate scienze precise: dalla fisica all'economia. Dunque, per uno studente STEM conoscerne il significato e l'utilizzo è essenziale.  In questo post definiremo l'integrale di una funzione reale a valori reali per gli studenti di liceo e vedremo quali sono le sue generalizzazioni, utili per gli studenti universitari. Prerequisiti: numeri reali calcolo differenziale Indice dei contenuti L'integrale di Riemann Funzioni reali a una variabile ...

I prodotti tra vettori La prima difficoltà che hai incontrato alle superiori quando hai visto i vettori probabilmente sono le differenze notevoli che intercorrono tra questi e i cosiddetti scalari. Nel 99% dei casi, in fisica si indica per scalare  un numero, sia esso reale, complesso, naturale, intero o altro. Precisamente, uno scalare è un elemento di un campo . Un vettore , invece, sempre nel 99% dei casi si può vedere come \(n\)-upla di scalari, detti coordinate  del vettore. Più precisamente, un vettore è l'elemento di uno spazio vettoriale . Tra gli scalari, così come tra i vettori, sono definite delle operazioni, quali la somma e la sottrazione. Se vuoi approfondire la questione, ti consiglio di leggere questo post linkato.  Dopo questo breve ripasso, in questo post vediamo nello specifico le operazioni di prodotto scalare, prodotto vettoriale e composizioni di queste due tra vettori. Sommario Il prodotto scalare Definizione Il prodotto scalare euclideo Il prodott...

Come si risolvono le equazioni di polinomi? Il concetto di uguaglianza è intuitivo: se due oggetti matematici \(a\) e \(b\) sono uguali, si scrive che \(a = b\). Lo stesso simbolo "\(=\)" è stato scelto così proprio perché rappresenta due rette parallele, le quali intuitivamente rimandano al concetto di " uguale ". Quando \(a\) e \(b\) sono noti, la proposizione \(P(a,b): a=b\) o è vera , o è falsa . Tuttavia, ci sono casi in cui i valori di \(a\) o di \(b\) dipendono da un certo numero di variabili, dette " incognite ". In tal caso l'uguaglianza si dice " equazione ". Lo scopo della risoluzione di un'equazione è determinare il valore (o i valori), detto " soluzione ", delle incognite che rendono vera l'uguaglianza, se tali valori esistono. Le equazioni più comuni sono senza dubbio quelle polinomiali , ovvero equazioni in cui si prova a cercare i valori di un'incognita che annullano un'espressione polinomiale. Per ch...

Quanto devo prendere per... A scuola, nel periodo in cui s'intravedeva la pagella avvicinarsi all'orizzonte, ci siamo tutti chiesti la fatidica domanda: Quanto devo prendere per arrivare alla sufficienza? Vediamo come si calcola in questo post! Sommario Media aritmetica Con un voto Con due voti Con \(m\) voti Media ponderata Con un voto Con \(m\) voti Dimostrazione dell'equazione Immagini Media aritmetica Con un voto Formula Ci sono diversi modi per valutare uno studente. Il metodo più utilizzato nelle scuole di grado inferiore all'università è sicuramente la media aritmetica . Dati \(n\) voti \(v_1,...,v_n\), la media aritmetica \(M_a\) si calcola per definizione come rapporto tra la somma dei voti e il loro numero: $$ M_a := \dfrac 1n \sum\limits_{i=1}^n v_i = \dfrac{v_1 + v_2 + ... + v_n}{n}$$ Ora, supponiamo di avere già quegli \(n\) voti e che prossimamente si...

La regola di Sarrus Abbiamo visto cos'è il determinante di una matrice quadrata. Le matrici \(3 \times 3\) sono molto frequenti in fisica, ma il loro determinante è molto lungo da calcolare. Esiste, tuttavia, una scorciatoia mnemonica per ricordarsi la formula: la regola di Sarrus , in onore del matematico francese Pierre Frederic Sarrus. Vediamola. Prerequisiti: determinante matrice Sommario La regola di Sarrus Metodo 1 - riorganizzazione orizzontale Metodo 2 - riorganizzazione verticale Metodo 3 - riorganizzazione a farfalla Immagini Riferimenti La regola di Sarrus Data una matrice \( \quad A = \left[ \begin{array}{ccc} [A]_{1,1} & [A]_{1,2} & [A]_{1,3} \\  [A]_{2,1} &  [A]_{2,2} & [A]_{2,3} \\ [A]_{3,1} & [A]_{3,2} & [A]_{3,3} \end{array} \right] \in \mathbb{K}^{3 \times 3} \) a valori su un campo \(\mathbb{K}\) ne abbiamo calcolato il determinante con la formula di Leibniz , ottenendo $$ \begin{arr...

Qual è la relazione tra due basi dello stesso spazio vettoriale? In un post precedente abbiamo parlato di spazi vettoriali , di basi e di dimensione. Abbiamo visto che un'insieme di vettori che formano una base permettono di individuare ogni vettore dello spazio con una combinazione lineare, ma la base non è unica. La domanda sorge spontanea: che relazione esiste tra una base e l'altra? Come faccio a cambiare la base dello spazio? Vediamolo. Sommario Introduzione al problema Generalizzazione del problema Proprietà della matrice di cambiamento di base Relazione tra le basi Matrice inversa Orientamento della base Permutazione dei vettori alla base Conservazione del volume Note Immagini Introduzione al problema Vediamo di capire l'importanza di questo problema con un esempio pratico. Immagina un piano inclinato su cui si trova una pallina come in Figura 1. Tutti abbiamo la concezione naturale di "alto" e "basso", quindi possiamo decidere di costruire un sis...